空间向量与立体几何综合复习讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过系统梳理空间向量与立体几何知识，以“点线面向量表示—平行垂直判定—距离夹角计算”为逻辑主线，用表格对比不同空间角的向量求法，清晰呈现知识脉络与内在联系，突出法向量、方向向量等核心概念的应用重点。 讲义亮点在于9类分层题型设计，如正方体中点线面平行垂直证明、存在性探究问题等，结合向量法步骤指导，培养数学思维与空间观念。例题覆盖基础到综合，助力学生掌握方法，教师可据此实施精准化复习教学。

空间向量与立体几何综合复习讲义答案 一、基础知识 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 2．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 3．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 4．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 5．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 6．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 7．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 8．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 9．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 10．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 11．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 12．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 13．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 14．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 15．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 16．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 17．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 18．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 19．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 20．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 21．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 22．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 平行、垂直综合的向量证明】 【例1-1】如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【解】    以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以 平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C. 【例1-2】如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设， 则 ， 对于A，， 则，所以，故A正确； 对于B，，则，所以， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于C，， 若与平行，则存在唯一实数使得， 所以，无解， 所以与不平行，故C错误； 对于D，， 设平面的法向量， 则有，可取， 因为，且平面， 所以平面，故D正确. 故选：C. 【例1-3】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【例1-4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【题型2 点到平面距离的向量求法】 【例2-1】已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【解】 如图，分别取圆柱上下底面的圆心为 因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是， 设平面的法向量为， 则，故可取， 故点到平面的距离为. 故选：B. 【题型3平行平面距离的向量求法】 【例3-1】在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【解】建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A. 【题型4 点到直线距离的向量求法】 【例4-1】正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离. 故选：B. 【题型5 异面直线距离的向量求法】 【例5-1】在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【解】分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，E为AB的中点， 则，，，， 则，， 设与DE的公垂线的一个方向向量为， 则，取，得，则， 又， 所以异面直线与DE之间的距离为. 故选：C. 【例5-2】如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 【解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知， ，设同时垂直于， 由，令，得， 又，则异面直线间的距离为. 故选：A． 【题型6 向量法求异面直线所成的角】 【例6-1】如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解】因为，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 已知，则，，，. 因为为的中点，根据中点坐标公式可得点坐标为. 又因为为的中点，所以.   由坐标可得. .   先计算. 再计算，. 所以. 但异面直线夹角范围是，所以异面直线和夹角的余弦值为. 故选：D. 【例6-2】在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解】以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，故，， 设与所成的角为，则， 所以，令， 所以，故. 故选：B. 【题型7 向量法求线面角】 【例7-1】在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【解】 如图建立空间直角坐标系， 所以，，， ，，， ， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以, 因为，所以当时，正弦值最大，且最大值为. 故选：. 【例7-2】如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【解】（1） 取的中点，连接，，， 则，，，， 于是，则， 由，平面，得平面， 又平面，所以平面平面. （2） 由（1）知，直线两两垂直，以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，， 则， 设平面的法向量为，则， 令，得，由直线与平面所成角的正弦值为， 得 整理得，解得， 由于点在线段上，所以， 即. 【例7-3】如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解】（1）是等边三角形，O为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以， 以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，可取， 设直线PC与平面PAM所成角为， ，所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为. 【题型8 向量法求二面角】 【例8-1】如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【解】（1）取的中点为，连接，则， 而，故， 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故， 因平面，所以平面， 而平面，故，而， 故以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 故，故平面与平面夹角的正弦值为. 【例8-2】如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【解】（1）过作垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，， 因为为的中点，，所以， 又面，所以平面. 又因为平面，所以. 因为为的中点，所以. （2）如图，取的中点，连接. 因为，所以. 又因为平面平面，平面平面平面， 所以平面. 因为二面角的大小为， 所以即为二面角的平面角，即， 所以为等腰直角三角形，， 因为，为的中点， 所以. 所以. 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，解得， 所以. 同理，平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以. 【题型9 利用空间向量研究存在性问题】 【例9-1】在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为垂直于梯形所在的平面，平面， 所以⊥，⊥，又，故两两垂直， 如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为，则， 解得，令，则，则， 又 则点到平面的距离是 （2）存在点，当点与重合时，直线与平面所成角的大小为，理由如下： .. 设平面的法向量为，则，即， 解得令，得，所以平面的一个法向量为. 由，设，， 则，解得， 故，则.   因为直线与平面所成角的大小为， 所以   解得，由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，使得直线与平面所成角的大小为且. 【例9-2】如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【解】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 【例9-3】如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【解】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，即， 取AD的中点，连结PO，因为是正三角形，所以 又面面ABCD，面面，面， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）取AB的中点，连结ON，则，所以 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， 设，，则， 又，设平面的一个法向量为， 则，即，若， 取， 由直线AP与平面MBD所成角为，得， 化简得  解得或， 当或时，直线AP与平面所成角为. 【例9-4】如图，在四棱锥中，平面平面 为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【解】（1）取的中点，连接，，如图所示： 为棱的中点， ，，，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； （2） ，，， ，， 平面平面，平面平面， 平面， 平面， 又，平面，，，由， 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，， （i）故， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， ， 平面的一个法向量为, 则，令，则，，故， ,， 由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为； （ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是， 设，，则,0,，0,， 由（2）知平面的一个法向量为,,， ， 点到平面的距离是，，． 【例9-5】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 【例9-6】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量与立体几何综合复习讲义 一、基础知识 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 2．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 3．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 4．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 5．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 6．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 7．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 8．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 9．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 10．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 11．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 12．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 13．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 14．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 15．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 16．距离问题 (1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝，则点P到直线l的距离为(如图)． (2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 17．向量法求点到直线距离的步骤： (1)根据图形求出直线的单位方向向量. (2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量. (3)垂线段长度. 18．求点到平面的距离的常用方法 (1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离. (2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求. (3)等体积法. (4)向量法：设平面的一个法向量为，A是内任意点，则点P到的距离为. 19．夹角问题 (1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角． (2)空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为，，则cos θ＝|cos|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为，平面α的法向量为，则sin θ＝|cos|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为，则cos θ＝|cos|＝ 20．用向量法求异面直线所成角的一般步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)用坐标表示两异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值； (4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值. 21．向量法求直线与平面所成角的主要方法: (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 22．向量法求二面角的解题思路: 用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小. 【题型1 平行、垂直综合的向量证明】 【例1-1】如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【例1-2】如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（    ） A．与垂直 B．与平面垂直 C．与平行 D．与平面平行 【例1-3】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【例1-4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【题型2 点到平面距离的向量求法】 【例2-1】已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【题型3平行平面距离的向量求法】 【例3-1】在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【题型4 点到直线距离的向量求法】 【例4-1】正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【题型5 异面直线距离的向量求法】 【例5-1】在长方体中，，，，E为AB的中点，则异面直线与DE的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【例5-2】如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 【题型6 向量法求异面直线所成的角】 【例6-1】如图，在三棱锥中，，且，，两两垂直，M，N分别为，的中点，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例6-2】在正四棱柱中，为棱上的动点（不包含端点），则与所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 向量法求线面角】 【例7-1】在四棱台中，平面，，，，且，动点满足，则直线与平面所成角正弦值的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例7-2】如图，在三棱锥中，，M是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【例7-3】如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【题型8 向量法求二面角】 【例8-1】如图．在四棱锥中，，，，点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面； (2)若平面，求平面与平面夹角的正弦值． 【例8-2】如图，在三棱锥中，为的中点，平面平面. (1)证明：； (2)若二面角的大小为，求平面与平面的夹角的正弦值. 【题型9 利用空间向量研究存在性问题】 【例9-1】在如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.（用向量坐标法） (1)求点N到平面PAB的距离； (2)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的大小为？若存在，求出的长； 若不存在，请说明理由. 【例9-2】如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【例9-3】如图，在四棱锥中，是正三角形，，平面平面，是棱上动点． (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例9-4】如图，在四棱锥中，平面平面 为棱的中点. (1)证明： 平面； (2)若， （i）求二面角的余弦值； （ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【例9-5】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【例9-6】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $