专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率及两条直线平行和垂直的判定核心知识点，系统梳理倾斜角定义、斜率公式、斜率与倾斜角的变化关系，以及平行和垂直的判定条件，构建完整知识支架。 资料设计11类分层题型，例题结合射击瞄准、建筑举架等实际情境培养数学眼光，通过参数求解、斜率范围问题发展数学思维，规范公式与图表表达提升数学语言能力，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固练习查漏补缺。

专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 2 【题型3 斜率公式的应用】 3 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 4 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 5 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 5 【题型7 两条直线平行的判定】 7 【题型8 已知两直线平行求参数】 8 【题型9 两条直线垂直的判定】 8 【题型10 已知两直线垂直求参数】 9 【题型11 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 9 考点1 倾斜角与斜率 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【变式2-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）经过点和的直线斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 斜率公式的应用】 【例3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 【例4】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（25-26高二·全国·课后作业）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.3】（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式5-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（25-26高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 考点2 两条直线平行和垂直的判定 知识点2 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】：判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型7 两条直线平行的判定】 【例7】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【变式7.1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式7-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式7.3】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【题型8 已知两直线平行求参数】 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【变式8.1】（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【变式8.2】（2026高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为_________． 【变式8.3】（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数_________. 【题型9 两条直线垂直的判定】 【例9】（25-26高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式9.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式9.2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）直线过点和点，直线过点和点.则直线与的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．无法确定 【变式9.3】（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【题型10 已知两直线垂直求参数】 【例10】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【变式10.1】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【变式10.2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【变式10.3】（25-26高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【题型11 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例11】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状. 【变式11.1】（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式11.2】（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式11.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 直线的倾斜角与斜率（举一反三讲义） 【人教A版】 【题型1 求直线的倾斜角】 2 【题型2 求直线的斜率】 3 【题型3 斜率公式的应用】 4 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 6 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 8 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 10 【题型7 两条直线平行的判定】 14 【题型8 已知两直线平行求参数】 16 【题型9 两条直线垂直的判定】 17 【题型10 已知两直线垂直求参数】 19 【题型11 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 21 考点1 倾斜角与斜率 知识点1 直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【注】：(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解． 【题型1 求直线的倾斜角】 【例1】（25-26高二上·陕西西安·期末）已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据斜率计算公式以及斜率和倾斜角关系即可求解. 【解答过程】由斜率公式得，所以直线l的倾斜角为． 故选：D. 【变式1.1】（25-26高二上·山西晋城·期末）若直线经过两点，，则此直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求直线斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求出. 【解答过程】因为直线经过两点，，、则直线斜率， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故选：B. 【变式1.2】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据直线经过求直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求直线的倾斜角. 【解答过程】直线PQ的斜率， 设直线的倾斜角为，则，且， 所以. 故选：B. 【变式1.3】（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知直线经过两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【解答过程】经过两点，则其斜率， 设倾斜角为，则. 故选：C. 【题型2 求直线的斜率】 【例2】（25-26高二上·湖南·阶段检测）点所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】利用两点斜率公式计算即可. 【解答过程】点所在直线的斜率为. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据经过两点的直线斜率公式即可得到答案. 【解答过程】由题意可得直线的斜率为. 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）经过点和的直线斜率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用斜率公式可求得结果. 【解答过程】因为直线点和，所以直线的斜率为. 故选：A. 【变式2-3】（25-26高二上·贵州·阶段检测）已知，两点在直线l上，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据斜率公式，可得斜率k的表达式，根据二次函数的性质，分析计算，即可得答案. 【解答过程】直线l的斜率. 因为 ， 所以，即直线l的斜率的取值范围是. 故选：C. 【题型3 斜率公式的应用】 【例3】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）若，，三点共线，则实数a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据直线的斜率公式进行求解即可. 【解答过程】由三点共线得，即，解得． 故选：A. 【变式3-1】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列三点在同一直线上的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解题思路】对于ABD：利用斜率来判断三点是否共线；对于C：根据三点结合直线分析判断. 【解答过程】对于选项A：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故A错误； 对于选项B：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故B错误； 对于选项C：显然三点在同一直线上，故C正确； 对于选项D：因为，且， 所以三点不在同一直线上，故D错误； 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【解答过程】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏盐城·阶段检测）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中 是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【解题思路】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【解答过程】因为，所以， 不妨设，则 ． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 【题型4 斜率与倾斜角的变化关系】 【例4】（25-26高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【变式4.1】（25-26高二·全国·课后作业）设直线l的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分、两种情况讨论，求出对应的的取值范围，综合可得结果. 【解答过程】由题意可知，，当时，则为钝角，且； 当时，此时，. 综上所述，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D. 【变式4.2】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【解答过程】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 【变式4.3】（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【解答过程】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【题型5 已知直线的倾斜角或斜率求参数】 【例5】（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）经过，两点的直线的斜率是12，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据过两点的直线的斜率公式求的值. 【解答过程】由题意： . 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·江苏常州·期中）若经过两点的直线倾斜角，则实数的值为（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【解题思路】由两点的斜率公式与直线倾斜角与斜率的关系式即可列出方程，解出答案. 【解答过程】由题意知， 所以， 所以， 解得. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知三点. (1)若过两点的直线的倾斜角为，求的值； (2)若三点共线，求出的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据斜率公式计算即可； （2）由三点共线，可得，再根据斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，解得； （2）， 因为三点共线，所以， 即，解得. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线l经过两点，，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ (2)直线l与y轴平行？ (3)直线的倾斜角为？ (4)直线的倾斜角为锐角？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）直线l与x轴平行，则直线的斜率，据此可以求m的值； （2）直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在，据此可以得出m的值； （3）直线的倾斜角为，则直线的斜率，据此可以求m的值； （4）直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率，据此可以求出m的范围. 【解答过程】（1）若直线l与x轴平行，则直线l的斜率， 所以. （2）若直线l与y轴平行，则直线l的斜率不存在， 所以. （3）由题意可知，直线l的斜率，即， 解得. （4）由题意可知，直线l的斜率，即，解得. 【题型6 直线与线段的相交关系求斜率范围】 【例6】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 【变式6.1】（25-26高二上·陕西西安·阶段练习）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【解答过程】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 【变式6.2】（25-26高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 【变式6.3】（25-26高二上·河南·阶段练习）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【解题思路】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解答过程】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 考点2 两条直线平行和垂直的判定 知识点2 两条直线平行和垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】：判断两条直线是否垂直时：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型7 两条直线平行的判定】 【例7】（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【解答过程】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 【变式7.1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率来进行判断. 【解答过程】， 由图可知不共线，所以． 故选：B.    【变式7-2】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】由两直线的斜率关系判断. 【解答过程】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 故选：B. 【变式7.3】（25-26高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1)； (2)或与重合 【解题思路】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【解答过程】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 【题型8 已知两直线平行求参数】 【例8】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【解答过程】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 【变式8.1】（25-26高二上·广东湛江·阶段检测）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解题思路】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合. 【解答过程】过点和点的直线斜率为， 由两直线平行，则直线的斜率，解得， 验证，当时，，则直线的斜率为， 四点不共线，即两直线平行. 故选：D. 【变式8.2】（2026高二上·全国·专题练习）已知直线经过点和点，直线经过点和点，若与没有公共点，则实数a的值为_________． 【答案】 【解题思路】求出两条直线斜率，再根据直线平行的位置关系，解出参数. 【解答过程】解：由题意得，所以，因为，， 所以，所以． 故答案为：. 【变式8.3】（25-26高二上·安徽合肥·阶段检测）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相平行，则实数_________. 【答案】或1 【解题思路】讨论和两种情况求直线的斜率，根据两直线平行，得到斜率的关系，即可求解. 【解答过程】若，则直线的斜率为0，此时直线的斜率不存在，那么与不平行，不满足条件， 若，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以，即，解得：或. 故答案为：或. 【题型9 两条直线垂直的判定】 【例9】（25-26高二·青海西宁·期中）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【解答过程】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 【变式9.1】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的斜率为，那么与（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】C 【解题思路】利用两直线的位置关系求解. 【解答过程】因为直线经过，两点， 所以直线的斜率为，而， 所以，所以与垂直， 故选：C. 【变式9.2】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）直线过点和点，直线过点和点.则直线与的位置关系是（    ） A．重合 B．平行 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】分时，时，时三种情况讨论，观察直线斜率之间的关系即可得出结论. 【解答过程】解：①当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此. ②当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此. ③当时，直线的斜率，直线的斜率此时，. 综上可知，直线与垂直. 故选：C. 【变式9.3】（25-26高二·全国·课堂例题）判断直线与是否垂直． (1)的斜率为，经过点，； (2)经过点，，经过点，； (3)经过点，，经过点，． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据判断直线垂直； （2）斜率不存在，则判断是否与x平行，若平行，则两直线垂直； （3）根据判断直线垂直. 【解答过程】（1）设直线，的斜率分别为，，则，， 因为，所以． （2）由点A，B的横坐标相等，得的倾斜角为，则， 设直线的斜率为，则， 所以轴．故． （3）直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 【题型10 已知两直线垂直求参数】 【例10】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【解题思路】根据直线垂直得出斜率关系结合两点的斜率公式计算求解参数即可. 【解答过程】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 【变式10.1】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，且直线与直线垂直，则的值为（    ） A．或0 B．0或7 C．0 D．7 【答案】B 【解题思路】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解． 【解答过程】当时，直线的斜率不存在，直线 的斜率为 此时直线的方程为，直线的方程为，故; 当时， 则 解得， 综上，或. 故选：B. 【变式10.2】（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知坐标平面内直线经过、两点，直线经过、两点. (1)若直线，求实数的值； (2)若直线，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）根据直线平行的条件列出方程，求解即可； （2）分与两种情况，结合直线垂直的条件列出方程，求解即可. 【解答过程】（1），， 因为，所以，解得或. 又因为，且与不能重合，所以，即， 故. （2）当时，，解得； 当时，直线斜率不存在，倾斜角为；而，倾斜角为， 满足，合题意，故或. 【变式10.3】（25-26高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 【题型11 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】 【例11】（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状. 【答案】(1) (2)等腰直角三角形. 【解题思路】（1）根据题意，由中点公式求得，结合直线的斜率公式，即可求解； （2）利用直线的斜率公式，分别求得，得到且，得到和，进而得到的形状. 【解答过程】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 【变式11.1】（24-25高二·全国·课堂例题）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式11.2】（25-26高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【解答过程】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式11.3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【解题思路】根据直线的斜率和图象进行判断. 【解答过程】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $