专题1.8 空间向量与立体几何讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过6大题型系统构建空间向量与立体几何知识体系，按“空间向量数量积-坐标运算-夹角余弦-平面法向量-点到平面距离-点到直线距离”的逻辑梳理核心内容，清晰呈现各知识点的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于60道分层计算题设计，如平行六面体数量积计算、正方体法向量求解等典型题，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）与数学语言（向量表达），基础题巩固方法，综合题提升能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

专题1.8空间向量与立体几何60道计算题专项训练 (6大题型) 题型预览 题型一求空间向量的数量积 题型二空间向量的坐标运算 题型三空间向量夹角余弦的坐标表示 题型四求平面的法向量 题型五点到平面距离的向量求法 题型六点到直线距离的向量求法 计算专项训练 + 【经典计算题一求空间向量的数量积】 1.如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，AB=4,AD=3,AM=5.∠BMD=90,∠BMA=∠DMM=60 求： A D B ①44B 4C的长 2.如图，已知正方体ABCD-AB'CD'的棱长为1，M和N分别是BB和CA的中点. C M N-- C B D A CA'.AB (1)求 的值； MN⊥BB (2)求证： 3.如图，在直四棱 ABCD-ABCD中， AB//CD AB LAD AA=AB=2AD=2CD=4 E F G DD AD BB 分别为棱 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系 24 B G B C A A 卡D D 0U若DP-号D8求p点坐标 3 (2)求 CG·EF 的值， 4.如图，在平行六面体ABCD-AB'C"D'中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA的长为2，且 ∠A'AB=∠A'AD=120 ·求： D' C 心 e方 C (1)AC的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值 5.如图，在正四面体OABC中，己知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG=3GE OA OB OC (1)试用向量 表示向量0G (2)若正四面体的边长为2，求OG·AB的值. 6.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C"D'中，AB=5,AD=3,AA'=7,∠BAD=60°，∠BAA=∠DAA'=45° D B D A B 求： (AB.AD (2)AC'的长 ABCD-A'B'C"D,AB=2,AD=AA'=4,∠AAB=∠AAD=∠BAD=60° 7.已知平行六面体 D B D C A (1)求A'C的长度？ (2)求证：AB⊥A'D: (3)求异面直线AA'与BD'所成角的余弦值. ABCD-ABCD ABCD 8.如图，已知平行六面体 中，底面 是边长为1的正方形， AA=2,∠AAB=∠AAD=60° AB=a,AD=b,AA=c ,设 B A D ⑩用a6,c表示4C,并求4C, (2)求os(4A,BD) ABCD-ABCD 2,4,4,0 9.已知长方体 同一顶点处的一组棱长分别为 是其中心，过点的直线交长方体 的表面于M,N两点，另有一点P是表面上的动点，求PM·PW的取值范围 10.如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足DC=3BD,E为线段AD的中点，设 OA=a,OB=b,OC=c B a,b,c (1)试用向量 表示向量OE (②)若0A=OB=4,OC=3,∠A0B=∠AOC=∠B0C=60°，求OE.BC的值. 【经典计算题二空间向量的坐标运算】 11. 棱长为1的正方体ABCD-4BCD中，E,F,G分别为楼DD,DG,BC的中点，以{，D,为正 交基底，求下列向量的坐标： A D F B D B G ()E,A,4G (②，EG,DG 12.己知，在棱长为2的正四面体A-BCD中，以△BCD的中心O为坐标原点，OA为2轴，OC为y轴 建立空间直角坐标系，如图所示。M为B的中点，求O州的坐标 ZA A M B4 - 13.已知9，e2,e}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： 1)P=28+3e+e (29=-e+8-2e 3)=-2e-e 0 14.已知在空间直角坐标系中，A1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5): 0若点M满足M-号+子4C,求点M的坐标： (②若方=Ci.g=CB求(D+)-(厅-g) ，求 15.已知9，，9}是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (①P=-e1+e2-2e (2)9=8-6 3)=2e2+3e 16.在平面直角坐标系X0Y中，已知点A(2,0),B(I0,0),C(11,3),D10,6 D A (I)证明：存在点P使得PA=PB=PC=PD,并求P的坐标： (2)过点C的直线I将四边形ABCD分成周长相等的两部分，求该直线I的方程 17.在△ABC中，A2,-5,3).AB=(4,12)BC=(3,-2,5) (1)求顶点B、C的坐标： CA-BC (2)求 (3)若点p在4C上，且P-P℃，求点p的坐标 ABCD-ABCD是长方体， AB=AA=2,AD=4 AB AD 18.已 ,且E为侧面的中心，F为的中点，分 别求BCBD,BF.B,Ef.F 9,如图.在长方体08C-D8C'中，0A=3,0C=4,OD=2.以0a0c0D 丁为单位正交 基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oz, D' B (I)写出D',C,A',B四点的坐标： ②写出向量4B,BB,4C,AC的坐标 20.在直三棱柱ABOAB:O中，∠A0B=2，A0=4,B0=2,A1=4,D为4B的中点，在如图所示 的空间直角坐标系中，求D0,4B 的坐标。 B D O' B 【经典计算题三空间向量夹角余弦的坐标表示】 21.已知空间中三点 0,-),B(2,1),C-2,03),设a=B,6=4C b (求向量“与夹角的余弦值： (②若与4-师夹角为锐角，求实数的取值范围 2.已知向量0-（-l,2),6=（←1,2，-) ①求与5的夹角： ②若a+b与i+ 垂直，求实数的值 23.已知向量i=(m,25,6,6=(0,2).c=,5,2meR) ①求os6,c, ②求6-A的最小值 24.已知空间中三点4(-11，，B(0,21)C(-2,13) (Q求B+AC 的坐标： (②)求C0s<AB,AC 的值 25.已知空间中三点4-1,0，B(0,2)C(-23) ①设=25，且c1AB,求的坐标， (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求△ABC的面积. 26.已知a=2,4,）.6=(2,03).c=(00,2) 国求a-6+d的值： ②求a-6与°夹角的余弦值： 设d=(@0,),若-d-=6-d,求2的值. 27.已知 (-2,0,2)B(-1,1,2)C(-3,0,4)ā=ABb=AC (求cos(a,) (2若a+6与a-2 与 互相垂直，求实数k的值， 28.已知空间四点402,3)，B2-2-).C0,43).D←-13，) (I)若A、B、C、D四点共面，求九的值： (2)求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围 29.已知空间三点 -2021.-1L2.C-3,00,设a=,6=4c 0)求和币的夹角°的余弦值 (2)若向量 ka+b ka-2b 互相垂直，求的值： 30.己知空间三点A(0,2,3),B(-2,16),DL,-山5)，以向量AB,AD为一组邻边组成平行四边形ABCD, (1)求C点坐标： (2)求平行四边形ABCD的面积S. 【经典计算题四求平面的法向量】 31.在空间直角坐标系0-z中，已知向量B=(10,),AC=(0,1)D=(←1,0) 求BC.CD (2)求平面BCD的一个法向量。 32.在正方体 BCD-ABGD中，E,F分别为棱 AD AB 的中点，在如图所示的空间直角坐标系中， 求： ZA D E A B D AL-- B BDD B (1)平面 的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量. 33.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，AB=AP=1, AD=3 ,试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 34.如图，己知正方体1BCD-4BCD中4，B,D,4的坐标分别为 (0,0,0）B(a,0,0）D(0,a,0) 4(0,0,a) 分别求平面ABCD与平面BD 面BDA的一个法向量· Z◆ A D B C D B 35.如图，在棱长为3的正方体 BCD-ABCD中，点M在楼CC上，且 。CM=2MG.以D为原点， DA DC DD MDB 所在直线分别为'轴、’轴、2轴，建立如图所示的空间直角坐标系。求平面M心 的一 个法向量 D D 36,如图，已知平面“内有423)，B4L,2）,C(63,7)三点，求平面“的法向量 B 37.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥底面ABCD,且 SA=AB=BC=1:AD= 2,建立适当的空间直角坐标系，分别求平面SCD与平面SB4的一个法向量. S A D 图，在空间直角坐标系中有直三棱柱4BC-B'C',底面是等腰直角三角形，M8-2,∠AG 2, 侧棱AA=2,点D,E分别是CC”和A'B的中点，求点A到平面AED的距离. D C 39.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2,PD⊥底面 ABCD,且PD=AD,求：平面PAB的一个法向量. 40.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD,且PD=1,E、F分别为AB、BC的中点，求点D 到平面PEF的距离. 【经典计算题五点到平面距离的向量求法】 41. 如图所示，平行六面体ABCD-4RCA中，E:F分别在BB和D,D上，BE=写肌，DF-号D0. D AEC F (1)求证：四边形 为平行四边形： ABCD (2)若底面 为正方形，且B=4,从=3，A1B=4D=60,1C与F相交于点M,求点M 到直线AB的距离 42.在正四棱柱 BCD-4CD中4B=2B8=2为BG的中点 D M 取4D中M,B 中点 B中点W,求证： MN上平面 APC (2)求点B到平面APC的距离. 43.在棱长为1的正方体 BCD-4BCD中，E为BC的中点，分别以DA,DC,DD为产辅，)轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ZA D (I)求向量BE BD 2在向量 上的投影向量的坐标： (2)求点A到平面BD,E的距离 44.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD,M为SA的中点，且 ∠ADC=2 元，AB=SA=4: (I)证明：SC/1平面MDB: (2)求点C到平面SBD的距离 BCD-4BCD中，M,E,F AB,AD,BC,CD 45.在棱长为1的正方体 分别是棱 的中点证明平面 AMWI∥平面EFDB,并求平面AMN与平面EFDB的距离. 46.在棱长为1的正方体 BCD-ABCD中ERG分别是BCCC,B 的中点 (I)求EF与CG所成角的余弦值： (2)点G到平面AEF的距离 47.在棱长为1的正方体 BCD-ABCD中，E,F,G分别是D DD BD BB 的中点 D A B E D C B (I)求EF与CG所成角的余弦值： (2)点G到平面AEF的距离. 48.如图，已知在四面体A-BCD中，∠DAB=60°，∠BAC=45°，∠CAD=30°，AB=4,AC=3,AD=4, 求点B到平面ACD的距离. 49.如图，在直四棱柱 CD-ABCD中，底面4BCD为平行四边形，侧技从，B,CG,DD均垂 直于底面MBCD,满足MB=2AD=4,∠B1D=120,侧楼长为25.已知：点E为体对角线BD与A .23 BD AC 的交点，点6为线 DB上的点，且 G=2GA,点F为线0的中点，点X为楼40上的点，且 AX=3XD 点2为 梦4D上的点，且 FO//BAG 平面 D G B X B XO// GCC (1)求证： 平面 XO GCC (2)求直线到平面 的距离 50. 如图所示正四楼链S-ABCD,M=S8=SC=0=2,4B=2,P为侧枝SD的中点。 B (I)求直线SC与平面ABCD所成角的正弦值； (2)求点P到平面SBC的距离. 【经典计算题六点到直线距离的向量求法】 ABCD-ABCD电由，D=AM=1,AB=2,点E为棱AB的中点，求点B到的 中， DC 51.如图，在长方 距离. D B D E 52.如图，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，E,F分别为线段AB BC的中点· ◇ C F A B D E B (1)求F点到 4c 的距离： CE (2)求点F到平面 的距离。 53.在正四棱柱 BCD-4BC0中，4=2B=4,点E在线段CG上，且CG=4CE.月 ,点F为BD中点 D C A 6 E B D (求点到直线EF 距离： (2)求证： 面BDE A,C⊥ 54.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AB=3,BC=2,E是 PB上一点，且BE=2EP,求点E到直线PD的距离 E D B 55.如图，在棱长为2的正方体 BCD-ABGD中，，P分别是4B,CC的中点. 0 B D E B DE (1)求到直线 的距离； DEF (2)求到平面 的距离， 56,如图，在长方体ABCD-4BCD中，MB=AD44=2,p为棱DD的中点. 2 D C B D B BD (1)证明： PAC ∥平面 (2)若2是线段PD的中点，求△4C的面积. BB 57.如图，在棱长为1的正方体 BCD-4BCD中，E为线段DD的中点，F为线段B的中点 D B E B (1)求直线 C到直线ME的距离； (2)求平面 B,E与平面 ACF 所成角的余弦值。 ABCD-ABCD AB 58.如图，在棱长为1的正方体 中，E为线段A的中点，F为线段AB的中点， D B D E B AC ()求点B到直线 的距离： CFEC (2)求平 AEC与平面 夹角的余弦值 ABCD-ABCD 59.已知 BC的中点 是楼长为2的正方体，点E为1的中点，点F为 D B BD⊥EF (1)求证： C BD (2)求点到直线的距离 60.如图，在棱长为1的正方体 BCDA8CD中，E为线段DD的中点，F为线段B的中点 BB D C A B E 、 1 C D B A BE ()求点到直线“的距离： FC ABE (2)求直线到平面 的距离 专题1.8 空间向量与立体几何60道计算题专项训练 （6大题型） 题型一 求空间向量的数量积 题型二 空间向量的坐标运算 题型三 空间向量夹角余弦的坐标表示 题型四 求平面的法向量 题型五 点到平面距离的向量求法 题型六 点到直线距离的向量求法 【经典计算题一 求空间向量的数量积】 1．如图，在平行六面体中，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用向量数量积的计算公式，直接计算，即可求解；. （2）由向量的线性运算法则，求得，根据向量运算律，即可求解. 【详解】（1）解：在平行六面体中，，且， 由向量数量积的计算公式，可得. （2）解：由向量的线性运算法则，可得， 因为，且， 所以 ， 所以，即的长. 2．如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 3．如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）写出各点坐标，设，写出相关向量得到方程组，解出即可； （2）出向量的坐标，然后用数量积公式计算即可. 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 5．如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且    (1)试用向量，，表示向量； (2)若正四面体的边长为2，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）根据空间向量的数量积的计算公式，准确计算，即可求解.    【详解】（1）解：因为点是线段的中点，在上，且, 根据向量的线性运算法则，可得： ， 即. （2）解：因为正四面体的边长为，且， 可得，且， 由（1）可得知 . 6．如图，在平行六面体中，，． 求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由结合空间向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得：. （2）因为 则 ， 所以. 7．已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【详解】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 8．如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 9．已知长方体同一顶点处的一组棱长分别为是其中心，过点的直线交长方体的表面于两点，另有一点是表面上的动点，求的取值范围. 【答案】 【分析】插入分点，则有，分析可知，，即可求解. 【详解】 如图所示，插入分点，则有， 由长方体同一顶点处的一组棱长分别为，是其中心， 所以，，得， 所以. 10．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 【经典计算题二 空间向量的坐标运算】 11．棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，， 【详解】在正交基底下， （1）， ， ， ． （2）， ； ， ， ． 12．已知，在棱长为2的正四面体中，以的中心为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示，为的中点，求的坐标.    【答案】. 【分析】利用空间坐标系中向量坐标求法，结合向量的运算进行求解. 【详解】易知的中线长为，则， ， 设分别是轴正方向上的单位向量，轴与的交点为， 则， . .    13．已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据给出的空间向量，即可写出空间向量的坐标. 【详解】（1）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （2）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （3）由题意， 是单位正交基底，， ∴. （4）由题意， 是单位正交基底，， ∴. 14．已知在空间直角坐标系中，，，； (1)若点M满足，求点M的坐标； (2)若，，求． 【答案】(1)； (2)16. 【分析】（1）设，根据空间向量线性运算的坐标表示，求解即可； （2）先用坐标表示，根据空间向量线性运算和数量积的坐标表示，求解即可. 【详解】（1）不妨设点， 则，， 故， 即，即. （2）由题意，， 故. 15．已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由已知可得的坐标，再由向量的坐标运算求解即可． 【详解】（1），，是单位正交基底， ，，， ∴； （2），，是单位正交基底， ，，， ∴； （3），，是单位正交基底， ，，， ∴. 16．在平面直角坐标系中，已知点 （1）证明：存在点使得，并求的坐标； （2）过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，求该直线的方程. 【答案】（1）证明见解析，；（2）. 【解析】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心，算出， 根据，得出为的中点，进而求解 (2)利用两点间距离公式可得，，，，再根据过 点的直线将四边形分成周长相等的两部分列方程求解即可 【详解】(1)由知，点为四边形外接圆的圆心， ，，，四边形外接圆的圆心且为的中点，点的坐标为 (2)由两点间距离公式可得，，，， 过点的直线将四边形分成周长相等的两部分，故在线段上取一点， 令，即可得三角形的周长等于四边形的周长 设的坐标为，则， ，，点的坐标为， 则该直线的方程为： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题 17．在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【详解】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题. 18．已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求. 【答案】16，0，2. 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出，，，，，，，，的坐标，再由向量的坐标公式，结合向量的数量积的坐标表示，计算可得所求向量的数量积． 【详解】如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， 即有，0，，，0，，，4，，，0，， ，0，，，4，，，4，， ，0，，，2，， （1），4，，4，； （2），2，，0，； （3），2，，2，．    19．如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)写出，C，，四点的坐标； (2)写出向量，，，的坐标． 【答案】(1)点，点，点C， (2)；；；． 【分析】（1）根据如图所示的空间直角坐标系以及长方体的长宽高可直接写出点的坐标； （2）利用向量坐标的线性运算可得向量的坐标. 【详解】（1）点在z轴上，且， 所以点的坐标是． 同理，点C的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点的坐标是． 点在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，， 它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点的坐标是． （2）； ； ； ． 20．在直三棱柱ABOA1B1 O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D 为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 的坐标．   【答案】 【分析】通过空间向量的线性运先计算得＝－－－及＝－－，进而通过坐标的线性运算可得解. 【详解】 ∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2， ∴＝－－－ ∵＝－＝－(＋)＝－－. 又||＝2，||＝4，||＝4， ∴＝－－(－4,2，－4)． 【经典计算题三 空间向量夹角余弦的坐标表示】 21．已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 22．已知向量，. (1)求与的夹角； (2)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由数量积的运算律以及模和数量积的坐标计算公式即可求解. 【详解】（1）由题意， 因为，所以； （2）由题意， 因为，， 所以，解得. 23．已知向量. (1)求； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数量积的定义及坐标表示，求出向量的模和向量的数量积，进而求出向量夹角的余弦值. （2）根据向量减法的坐标表示，和向量模的坐标表示，再根据二次函数最值情况，求出结果即可. 【详解】（1）由题意得， 则. （2）由题意得，则， ，则，当时取等号， 即时，取得最小值. 24．已知空间中三点，，. (1)求的坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算求解； （2）根据空间向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为空间中三点，， 所以，， 所以. （2）. 25．已知空间中三点，，． (1)设，且，求的坐标； (2)若四边形ABCD是平行四边形，求顶点D的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由，可设，根据模长求得即可求解； （2）设，由ABCD是平行四边形可得，利用向量相等即可解出点坐标； （3）根据空间向量模长及夹角公式，再利用公式求解. 【详解】（1）由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． （2）设，因为ABCD是平行四边形，所以， 由，，， 得，， 所以，故． （3）由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 26．已知，，． (1)求的值； (2)求与夹角的余弦值； (3)设，若，求的值． 【答案】(1)9 (2) (3) 【分析】利用空间向量坐标表示的数量积计算公式、夹角余弦公式和模长公式解决相关问题． 【详解】（1） （2），，,， 设与的夹角为，则． （3），， 根据， 解得． 27．已知，，，，． (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）首先求出向量，，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； 【详解】（1）因为、、，，， 所以，， 则． （2）因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 28．已知空间四点，，，. (1)若、、、四点共面，求的值； (2)求直线和直线夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，存在唯一一对实数，使得，代入坐标，列出方程组，求解即得； （2）设直线和直线的夹角为，利用空间向量的夹角公式求出的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其取值范围. 【详解】（1）由题意，得，, ，，，四点共面， 存在实数使得， 即， 则，解得，，， 故的值为. （2），，      设直线和直线的夹角为， ，              因为，，所以，所以， 所以两直线和的夹角余弦值的范围是 . 29．已知空间三点，设. (1)求和的夹角的余弦值; (2)若向量与互相垂直，求的值. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求出，再利用向量夹角的坐标表示计算即得. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合（1）中信息列出方程求解即可. 【详解】（1）由点，得， 所以，所以和夹角的余弦值为 （2）由（1）可得， 因为向量与互相垂直， 则， 整理可得，解得或， 所以的值为2或. 30．已知空间三点，，，以向量，为一组邻边组成平行四边形， (1)求点坐标； (2)求平行四边形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据空间向量的线性运算及平行四边形法则求解即可； （2）先根据空间向量求出，进而结合面积公式求解即可. 【详解】（1）设，则，，， 由平行四边形法则：，     所以，，，即点坐标为. （2）由题意，，， ，所以， 所以. 【经典计算题四 求平面的法向量】 31．在空间直角坐标系中，已知向量，，． (1)求，； (2)求平面的一个法向量． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【详解】（1），，， ，. （2）设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 32．在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 33．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 【答案】（不唯一） 【分析】用垂直关系，可以以A为原点，以AB、AD、AP为坐标轴建立空间直角坐标系，再按照法向量的求法计算即可. 【详解】因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直. 如图所示，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系A－xyz， 则，， ，，， 于是，， 设平面ACE的一个法向量为， 则，即，所以， 令，则，，即 所以平面ACE的一个法向量. 34．如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】， 【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可. 【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示， 因此是平面的一个法向量； 设是平面的法向量． 由已知得，， 因而 取，得，则是平面的一个法向量． 35．如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一） 【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可. 【详解】因为正方体的棱长为3，， 所以，，，则，， 设是平面的法向量，则，， 所以， 取，则，，故， 于是是平面的一个法向量（答案不唯一）． 36．如图，已知平面内有，，三点，求平面的法向量． 【答案】（结果不唯一） 【分析】设出法向量的坐标，根据法向量与向量垂直，列出方程组，求解即可. 【详解】不妨设平面的法向量，又， 故可得，即，不妨取，故可得， 故平面的一个法向量为. 又平面的法向量不唯一，只要与向量平行且非零的向量均可. 故答案为：.（结果不唯一） 37．如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．    【答案】答案见解析 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，平面的法向量可直接写出，设出平面的法向量，根据垂直关系列出方程组，求出答案. 【详解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且， ∴两两垂直． 以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，      则， 则，易知向量是平面的一个法向量． 设为平面的法向量， 则即， 取，则， 所以平面的一个法向量为. 38．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，底面是等腰直角三角形，，，侧棱，点D，E分别是和的中点，求点到平面AED的距离． 【答案】. 【分析】利用已知的空间直角坐标系，求出平面AED的法向量，再借助点到平面的距离公式计算作答. 【详解】直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，在给定的直角坐标系中， 点，则棱中点， 线段中点，， 设平面AED的一个法向量，则，令，得， 而，所以点到平面AED的距离. 39．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求：平面PAB的一个法向量． 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系，假设平面PAB的一个法向量，法向量与平面内的两相交的直线垂直，利用数量积为，解方程即可求得． 【详解】 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BDAD， 从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，为坐标原点， 射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz， 则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）． 设平面PAB的法向量为（x，y，z）， 则，即， 即，因此可取． 40．已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E、F分别为AB、BC的中点，求点D到平面PEF的距离． 【答案】. 【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离. 【详解】依题意，以点D为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，则， 设平面PEF的一个法向量为，则，令，得， 所以点D到平面PEF的距离． 【经典计算题五 点到平面距离的向量求法】 41．如图所示，平行六面体中，，分别在和上，，.    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若底面为正方形，且，，，与相交于点，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，以为空间一组基底，借助可得证； （2）利用基底得，利用点到直线的距离空间向量公式求解. 【详解】（1）设，，，以为空间一组基底， ，， 则，即且，所以四边形为平行四边形. （2）由题意可知，，，，， 由（1）可知，为平行四边形，为的中点， 则， 则. ， 则点到直线的距离为， 则点到直线的距离为. 42．在正四棱柱中，为的中点．      (1)取中点中点，求证：平面． (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，写出点坐标，求出平面的一个法向量，再证明即可； （2）根据点到面的距离公式求解即可． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 所以． 设平面的法向量为，则， 令，解得． 又∵， 所以平面． （2）平面的法向量，， ∴点到平面的距离． 43．在棱长为1的正方体中，为的中点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求向量在向量上的投影向量的坐标； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得相关向量的坐标，利用向量在向量上的投影向量公式计算； （2）利用空间向量点到平面的距离公式计算. 【详解】（1）在棱长为1的正方体中， 可知，，， 所以，， 所以，向量在向量上的投影向量为 ， 所以，向量在向量上的投影向量的坐标为: . （2）设平面的法向量为， 则，则， 即， 取，，， 则平面的一个法向量为， 又， 所以，， 所以，点到平面的距离为: . 44．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点，且，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) 如图所示，建立以A为原点的空间直角坐标系， 由，， 可知， 所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，即， 易知， 又平面，所以平面； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可； （2）利用空间向量计算点面距离即可. 【详解】（1）略 （2）由上可知，，， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则，即， 则点到平面的距离. 45．在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点.证明平面平面，并求平面与平面的距离. 【答案】证明见解析， 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可求证平行，根据点到平面的向量法公式求解距离. 【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. ,，, 设平面的法向量为， 由，得， 令，则，故. 设平面的法向量为， , 由，得， 令，则，故. 由于，所以平面平面. 平面与平面的距离为. 46．在棱长为 1 的正方体中分别是B1的中点. (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）求解平面法向量，即可根据点到平面距离的向量法公式求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， , , 所以； ； 设与所成角为，则 故与所成角的余弦值为.    （2）则 设平面的法向量则且即： 令得故； ； 设点到平面的距离为， 故. 47．在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点    (1)求与所成角的余弦值； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，标注相关点坐标，求出对应的一个方向向量，应用向量法求异面直线的夹角； （2）根据（1），求出、平面对应的一个方向向量、法向量，应用向量法求点面距. 【详解】（1）如图建系，，，，，，    则，， ， 所以异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 点到平面的距离. 48．如图，已知在四面体中，，，，，求点到平面的距离.    【答案】 【分析】由点到面的距离得空间向量表示即可求解，设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. 【详解】设向量，对于任意实数，，的最小值即是点到平面的距离. ， . 所以点到平面的距离为. 49．如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，侧棱，，，均垂直于底面，满足，，侧棱长为．已知：点为体对角线与的交点，点为线段上的点，且；点为线段的中点，点为棱上的点，且；点为棱上的点，且平面． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）以为坐标原点，分别用，，确定各点坐标．先利用的分点条件写出平面的法向量，再由平面确定的位置；由与的坐标判断，从而证明平面； （2）将线面距离转化为点到该平面的距离即可． 【详解】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则， 因为侧棱长为，所以，，，，， 由，则， 得，由为线段的中点，得. 设在线段上，令，， 则，，， 设平面的一个法向量，则， 则平面的一个法向量可取 因为平面，所以. 即， 即，解得. 所以，又为棱上的点，且，所以. 所以，， 因此．因为平面，且平面，所以平面． （2）由，，. ，， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 则平面的一个法向量. 由（1）知平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，， 于是. 所以直线到平面的距离为． 50．如图所示正四棱锥为侧棱的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，确定为直线与平面所成的角，即可求解； （2）建系，由点到面的距离公式即可求解. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为正四棱锥， 所以平面． 故为直线与平面所成的角． 在正方形中，，则对角线． ．在Rt中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 （2） 以为原点，方向分别为轴． 由（1）知． 则． 为中点，故． 向量． 设平面的法向量为． 令，得．故． 点到平面的距离： 【经典计算题六 点到直线距离的向量求法】 51．如图，在长方体中，，，点E为棱AB的中点，求点E到的距离．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线的单位方向向量，利用点到直线距离的向量公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，， ，， 与同方向的单位向量为：， 所以点E到的距离为．    故答案为： 52．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 53．在正四棱柱中，，点在线段上，且，点为中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求证：面. 【答案】(1) (2) 由（1）可得， 则， 由可得， 又由可得， 又， 故面. 【分析】（1）依题建系，求得相关点和向量的坐标，利用点到直线的距离的空间向量计算公式即可求得； （2）由（1）中所建的系求出的坐标，分别计算得到和，由线线垂直推出线面垂直. 【详解】（1）    如图,以为原点，以分别为轴正方向，建立空间直角坐标系， 正四棱柱,为中点, 则点到直线的距离为：. （2）略 54．如图所示，在四棱锥中，是矩形，平面，，，E是PB上一点，且，求点E到直线PD的距离. 【答案】 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以A为原点，分别为轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设，则， 则， 所以点E到直线PD的距离. 55．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点． (1)求到直线的距离； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）建系，用空间向量方法表示直线外一点到已知直线的距离公式求解即可； （2）建议，用空间向量方法表示平面外一点到已知平面的距离公式求解即可. 【详解】（1） 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以到直线的距离为 （2）由（1）得，， 设平面的法向量为，则 取，则，，得， 所以到平面的距离为 56．如图，在长方体中，，为棱的中点． (1)证明：∥平面． (2)若是线段的中点，求的面积． 【答案】(1) 如图， 以为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 根据题意，可得，，，，． 则，，． 设是平面的法向量，可得则 令，得． 因为，平面，所以平面． (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标，求解平面法向量，即可根据向量法求证， （2）根据点到线的向量法求解距离，即可由面积公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，，则，，所以， 所以． 设到直线的距离为，则， 所以． 57．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求直线到直线的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求平行线的距离. （2）利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 因为正方体棱长为1，所以，，，，. 所以，， 因为，所以. 又，所以点到直线的距离为： . （2）因为，所以，. 设平面的法向量为， 则，可取； 因为，所以. 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则 58．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    59．已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点.    (1)求证：； (2)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，由即可求证； （2）由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，所以， 故，故， 所以；    （2），，， 点到直线的距离为 . 60．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【分析】1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离； （2）先证明，把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解． 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， ，，，． 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2）因为，， 所以， 所以， 所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面 的距离， 设平面的一个法向量为， 又，，， 由， 令，则，，即， 又， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $