专题1.7 空间向量与立体几何讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过13大题型分类框架系统梳理空间向量与立体几何知识体系，从空间向量运算、共线共面定理到法向量、空间角、距离等核心内容，用题型目录呈现知识脉络，突出重点题型与内在逻辑联系。 讲义亮点在于52道压轴题分层设计，涵盖选择、多选、解答等题型，如“求平面的法向量”“点到平面距离的向量求法”等，通过例题解析培养数学思维与空间观念，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化探究，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题1.7 空间向量与立体几何52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、空间向量加减运算的几何表示 题型二、由空间向量共线求参数或值 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 题型五、空间向量数乘运算的几何表示 题型六、空间向量数量积的应用 题型七、空间向量基本定理及其应用 题型八、空间向量夹角余弦的坐标表示 题型九、求平面的法向量 题型十、已知线线角求其他量 题型十一、已知线面角求其他量 题型十二、点到平面距离的向量求法: 题型十三、平行平面距离的向量求法: 【经典例题一 空间向量加减运算的几何表示】 1．已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量之间的大小关系，进行代换得到答案. 【详解】由于，,,由于点E是CD的中点， 所以，，，故， 故选：B. 2．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用向量的线性运算与数量积定义逐项分析即可. 【详解】对于,由题意得，错误； 对于,，正确； 对于,，正确； 对于,，错误. 故选： 3．已知正四面体的棱长均为2，则___________. 【答案】 【分析】中点为，由向量的加法法则可知，在正三角形中即可求出答案. 【详解】如图所示：取中点为，连接、， 在中：， 所以， 在正三角形中，为中点， 所以. 故答案为：.    4．如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量的线性运算可化简； （2）证明出，即可证得结论成立； （3）分析可知为的中点，可得出，推导出，，结合空间向量的线性运算可证得结论成立. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 所以． （2），同理得， 所以，所以四边形是平行四边形． （3）因为四边形是平行四边形，、交于点，则为的中点， 因为、分别为、的中点， 所以，． 由，可得． 【经典例题二 由空间向量共线求参数或值】 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为. 6．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（   ） A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q作出图形，确定平面，及点G的轨迹．对于A，由条件得点G为棱的中点P，根据线面平行的性质判定即可；对于B，由，可得点G到的距离即为与间的距离，求解即可判断；对于C，连，与的交点即为点G，求解即可得出；对于D，设面，根据对称性可知，为的中点，由已知得为直线与平面所成的角，即可求解判断. 【详解】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q， ∵点E，F分别为棱，的中点，∴， ∵，∴， ∵平面，平面，∴， ∵平面，∴平面， ∵平面，∴，同理， ∵平面，∴平面， 根据条件平面，可得平面即为平面， 于是点G的轨迹即为线段 对于A，若，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P， 连，∵，∴为平行四边形， ∴，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴， ∴正六边形的边长为， 设正六边形的中心， 则均是边长为的正三角形， ∵, ∴，即与间的距离， 因为，所以点G到的距离即为与间的距离， 所以点G到的距离为，所以 B错误； 对于C，连，交点为， ∵，则点G在上， 又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点， ∵分别为的中点，则， 此时，于是满足，所以C正确； 对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点， ∴， ∵平面，∴为直线与平面所成的角， 又， ∴， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确， 故选：ACD. 7．在空间直角坐标系中，向量，，若，则______. 【答案】7 【分析】先利用空间向量共线（平行）的坐标条件，建立比例关系求出方程的解即可. 【详解】因为（），则存在实数，使得，则对应坐标成比例，即： 由，解得， 同理，，解得， 因此，. 故答案为：7. 8．如图所示,在正方体中,是上一点,是的中点. (1)求证:平面； (2)若平面,求证:是的中点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由正方形的性质可得，再由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系，由（1）知是平面法向量，由解出，即可得结论. 【详解】（1）因为四边形是正方形，，又平面平面，，而在平面内相交，平面 （2） 以为原点，分别为轴，建立坐标系，设正方体棱长为1， 则， 设，由（1）知，是平面法向量， 平面,，可得，是的中点. 【经典例题三 空间共线向量定理的推论及应用】 9．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 10．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 【答案】ABC 【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可. 【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界）， 若，则，故点的轨迹为线段，故A正确； 对于B：若，则，所以，即， 又，故点的轨迹为线段，故B正确； 对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面， 当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确； 对于D：若使平面，则点必在棱上，此时，故不存在， 使得平面，故D错误. 故选：ABC.    11．已知两非零向量,且与不共线，若(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______. ①与共线；②与共线；③与,共面. 【答案】①②③ 【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的各个说法： ①.当时，，此时与共线； ②.当时，，此时与共线； ③.由向量基本定理可知与,共面； 据此可得所给的三个结论有可能正确的是①②③. 【点睛】本题主要考查向量共线的充分必要条件，向量基本定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】(1)选出向量的基底，利用向量共线基本定理，可判断两条直线平行． (2)根据向量的线性运算，可判断直线与直线的平行，进而得到平面与平面的平行． 【详解】证明把{}作为空间的一个基底. (1)因为,所以=2. 所以EG∥AC. (2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C. 因为,所以=2.所以FG∥AB1. 又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C, 所以FG∥平面AB1C. 又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C. 【经典例题四 空间共面向量定理的推论及应用】 13．在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量面的推论可求出的值. 【详解】因为点在平面内，设，其中、， 所以， 整理可得， 因为、、不共面，且， 所以，故，因此， 故选：A. 14．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【分析】设，以为基底表示出，利用，，，四点共面，得到，再由，得到，代入上式，即可得到方程组，进而求出结果. 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： 16．如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【答案】 因为从所在平面外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且满足，则有向量，，，， 而在中，有，所以 故E，F，G，H四点共面，证毕. 【分析】利用共面向量定理证明，由可得四点共面. 【详解】略 【经典例题五 空间向量数乘运算的几何表示】 17．在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1，分别求出点的坐标及向量的坐标，利用向量加法表示出，列出对应的方程组，解方程组即可得到，问题得解． 【详解】如图，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，以方向为方向，以方向为方向，以方向为方向，设正方体的边长为1， 则,,,,, ,,,, 因为点在平面内，可设（其中为常数）， 又与共线，可设，由图可得： , 即：， 整理得：， 由（1）（3）可得：，即： 由（2）（3）可得：，即：， 联立（4）（5）解得：，代入（2）可得： ，整理得：， 所以. 所以. 故选D. 【点睛】本题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，考查转化能力及计算能力，还考查了空间思维能力，考查了平面向量基本定理知识，属于难题． 18．（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】对于A，因为E，F分别是BC，CD的中点，所以，正确； 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：AC 19．三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________． 【答案】 【分析】由题设易知△为边长为的等边三角形，若为中点，根据空间向量加减法的几何意义可得，即可求. 【详解】由题设，可得如下三棱锥的示意图，且， 又，即△为边长为的等边三角形. 若为中点，由，，则， ∴. 故答案为： 20．如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 【经典例题六 空间向量数量积的应用】 21．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 22．（多选）已知空间向量两两的夹角均为，且.若向量满足，，则的可能值是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】AD 【分析】取三棱锥，，利用余弦定理求出各边长，令，利用向量运算法则得到，根据题目条件得到⊥，⊥，可得点D、E在空间中的轨迹为两个球，利用球心距离与半径关系得到两个球有公共点，则可求得最大值与最小值，得到答案. 【详解】取三棱锥，， 且，，， 所以，， 如图，令， 因为，， 又， 所以，，即， 所以⊥，⊥， 分别取的中点，则，，， 则点D、E在空间中的轨迹分别为以M、N为球心，半径为1、的球面， 由于，所以两球有公共点，最小值为， 当四点共线且按此顺序排列时，取得最大值， 最大值为， 选出在范围之间的即可. 故选：AD. 23．在三棱锥中，已知，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据以及得到向量关系式，由此化简可得到的表达式，最后根据基本不等式可求解出最小值. 【详解】设， 因为，所以，所以， 所以 又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 24．如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2) ， 所以，所以， 同理可证，所以. 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. 【详解】（1）， ， 所以； （2）略 【经典例题七 空间向量基本定理及其应用】 25．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 26．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 27．正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 【答案】/0.4 【分析】根据空间向量的线性运算、空间基底等知识列方程，化简求得的值. 【详解】 由题知四点共面，可设， 则， 又由题可知，，， 且， 所以有 整理可得，. 又不共面，所以有， 解得. 故答案为：. 28．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)为定值 【分析】（1）根据空间向量基本定理进行求解； （2）设，表达出，根据平面，设存在实数，使得，表达出，，从而得到方程，得到，分和时，结合根的判别式，得到，求出为定值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面为平行四边形，所以， 故； （2）由（1）知，，又， 所以， 则， ，， 设，又， 则， 因为平面，则存在实数，使得， 故， 所以 ， 故， 整理得，， 当时，，解得， 当时，由， 解得或， 综上，， 所以对所有满足条件的平面，点的轨迹长度为， 故为定值，. 【经典例题八 空间向量夹角余弦的坐标表示】 29．已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B    30．（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断A、B，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D. 【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， ，， 绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确； 设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确； 由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量， 则，故C正确； 设直线在平面内的投影与直线所成的角为， 则，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算. 31．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则直线与所成角的余弦值为_____. 【答案】 【分析】构造长方体，建立空间直角坐标系，利用点面的对称，及空间向量计算线线夹角即可. 【详解】如图： 在长方体中，表示入射线，平面为平面，在平面的射影为， 因为直线照射到平面的入射角为，所以. 不妨令，，将平面绕轴旋转得平面. 建立空间直角坐标系，则，可取， 易知反射光线的方向向量为：. 设D关于平面的对称点为N，作， 易得，所以， 则，所以反射线的方向向量为：. 所以. 故答案为： 32．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过全等三角形得到结论； （2）利用，，求出，从而得到的运动轨迹是圆，通过空间向量法得到的方程及方程中的范围，利用数量积得到直线与直线所成角的余弦值，结合的范围得到所求余弦值的范围. 【详解】（1）证明：在平面上的投影为，点与点重合， 平面，平面，，. 四边形为菱形，，，. （2），. ， 是以为圆心，以3为半径的圆上的点， 以为原点，分别为轴，过作的平行线作为，如图所示， 设，则有，则， ，，，， ，，， 设直线与直线所成角为， 则， ，，，， ，故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为. 【经典例题九 求平面的法向量】 33．一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接相交于点，连接，以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系，设，求出，求出平面的一个法向量，利用可得答案. 【详解】如图，在正四棱锥中，连接相交于点，连接， 则平面，且， 以为原点，分别以所在的直线为轴正方向建立空间直角坐标系， 设，由， 可得， 则，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，， 可得，所以， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和向量的数量积为零求解. 34．（多选）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 【答案】ABD 【分析】A：根据条件写出平面的方程并化简；B：先分析方程对应的一个法向量，然后根据法向量与之间的关系作出判断；C：与题设方程作对比，然后作出判断即可；D：设出三元一次方程的一般形式，然后与题设方程对比并作出判断. 【详解】对于A：根据题设可知平面的方程为， 即为，故A正确； 对于B：因为平面的方程为， 由题设可知平面的一个法向量为，且即共线， 所以是平面的法向量，故B正确； 对于C：， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故C错误； 对于D：设，其等价于， 该方程可表示：一个法向量为且过的平面，故D正确； 故选：ABD. 35．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法得出平面CDF的一个法向量. 【详解】解：以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz， 由题意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0）， ， 设平面CDF的一个法向量为， 则，取x=-1，得， 故答案为：（答案不唯一） 36．如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 【答案】(1)是棱上靠近点的四等分点 (2) 【分析】第（1）问建立空间直角坐标系，设出点的位置参数，利用线面垂直的向量条件列出方程，解出参数确定位置； 第（2）问同样设参数表示动点坐标，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于参数的函数，再根据参数范围求出距离的取值范围. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，， 则，，，，，， ∴，，， 要使平面， 需满足 由，解得． ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． （2）设，，则，，∴，，． 设平面的法向量为，令，得到，， 得为平面的一个法向量． 点到平面的距离， 易知在区间上单调递减， 最大值为2，最小值为， ∴． 即点到平面距离的取值范围为． 【经典例题十 已知线线角求其他量】 37．已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 38．（多选）在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．平面与平面所成角的正弦值是 C．当时，的值最小 D．若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求解判断ACD；易得平面平面，进而求解判断B. 【详解】对于A，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，则， 则，，设，， 所以，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 而平面，则平面平面， 所以平面与平面所成角的正弦值是1，故B错误； 对于C，由A知，，则， 则，， 所以， 当，即时，的值最小，故C正确； 对于D，设，则，， 当平面上的动点满足时， ， 整理得，所以点的轨迹为椭圆，故D正确. 故选：ACD. 39．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 40．如图所示，已知点，为正四面体内两点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由边的大小关系判断角的大小关系，进而判断余弦值的范围. 【详解】 设过，，三点的平面截四面体所得的三角形为，不妨设在上，在上，则． 因为，中必有一条不是正四面体的棱，不妨设不是棱． 由于，， 故，即． 若不是棱，同理可证． 若是棱，则． 因此， 从而． 【经典例题十一 已知线面角求其他量】 41．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设棱柱高，求出平面的法向量，令，求出的值. 【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，    设，则，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 故， 又直线与平面所成角的正弦值为， ，解得. 故选：D. 42．（多选）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法正确的是（    ）    A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆 D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 【答案】AB 【分析】根据体积公式，即可判断A，建立空间直角坐标系，根据线线角，线面角，以及利用法向量判断线面关系，即可判断BCD. 【详解】. 当在平面上运动时，点到平面的距离为2， 所以四棱锥的体积，故A正确； B.如图，建立空间直角坐标系，，，，, ，,， 设与所成角为， 则 当时，，，则， 当时，， 所以，，故B正确；    C. 若点在底面上运动，设，，， 平面的法向量为， 则直线与平面所成的角为时，， 化简为，则点的轨迹为圆，故C错误； D.如图，，，，，， ，，， ，，且，且平面， 所以平面，即向量是平面的法向量， ，，， 若平面，则， 即， 直线与底面有公共点，即存在点满足平面，故D错误.    故选：AB 43．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据直线与平面所成角的向量求法可得答案. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 44．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （2）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）因为，所以，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面． 又平面，所以，因为，所以，， 以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 因为，，，， 所以，，，，，，   ，， 设平面的一个法向量为，则即 令，得， 同理易知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为． （2）设，由题可知， 即，，， 即，所以． 因为平面，所以是平面的一个法向量，所以， 即， 解得，，故，． 【经典例题十二 点到平面距离的向量求法】 45．在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 46．（多选）如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为 D．平面与底面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法，逐项判断. 【详解】以点为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则． 选项A:，因为，所以，故A正确； 选项B:，设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，则平面的一个法向量， 因为，所以与平面不平行，故B错误； 选项C：点到面的距离为，故C正确； 选项D：底面的法向量，所以平面与底面所成夹角的余弦值为，故D正确． 47．在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据题设建立空间直角坐标系，设出点的坐标，结合为菱形和条件可得到，；由此得到，然后求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式得到关于的关系式，最后根据的范围即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. 48．正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，以及向量，得到，结合，得到点到平面的距离； （2）由（1）得是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体  A B C D − A 1 B 1 C 1 D 1  的棱长为4， 分别为，中点，且． 则， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则， 令，可得，所以， 则，所以，即向量和为共线向量， 所以也是平面的一个法向量，所以平面， 又由，所以点到平面的距离. （2）由（1）知：向量是平面的一个法向量， 且，， 设平面的一个法向量为， 所以， 令，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 则. 【经典例题十三 平行平面距离的向量求法:】 49．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      50．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．过三点的平面截正方体所得的截面图形为直角梯形 【答案】AB 【分析】以点为原点，，，向量正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，根据线面平行的向量求法判断A，根据两平面距离的向量求法判断B，根据两平面夹角的向量求法判断C，根据向量得出，则过三点的平面截正方体所得的截面图形为四边形，再根据向量垂直的数量积判断与不垂直，且与也不垂直，即可判断D. 【详解】是正方体， 如图，以点为原点，，，向量正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 对于A，，，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则， 则，即平面，故A正确； 对于B，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， ， 平面平面， 点在平面内，点在平面内， 则平面到平面的距离为，故B正确； 对于C，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 则平面与平面夹角的余弦值为，故C错误； 对于D，，，，， 则，，，, 则，即， 则再同一平面， 则过三点的平面截正方体所得的截面图形为梯形， ，， 则与不垂直，且与也不垂直，结合， 梯形不是直角梯形，故D错误； 故选：AB. 51．如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积求向量模长可得第一空，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算点面距离求体积即可. 【详解】由题意易知， ； 如图所示，建立空间直角坐标系，则，设， 由题意可知， 不妨取，则， 易知是底面的一个法向量， 所以到底面的距离为. 52．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，进而根据向量夹角公式计算即可； （2）利用向量法求线面距离作答即可. 【详解】（1）在正方体中，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，，， 显然，所以， 而平面，平面，于是平面， 因此直线到平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为， 所以直线FC到平面的距离是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 空间向量与立体几何52道压轴题型专训（13大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、空间向量加减运算的几何表示 题型二、由空间向量共线求参数或值 题型三、空间共线向量定理的推论及应用 题型四、空间共面向量定理的推论及应用 题型五、空间向量数乘运算的几何表示 题型六、空间向量数量积的应用 题型七、空间向量基本定理及其应用 题型八、空间向量夹角余弦的坐标表示 题型九、求平面的法向量 题型十、已知线线角求其他量 题型十一、已知线面角求其他量 题型十二、点到平面距离的向量求法: 题型十三、平行平面距离的向量求法: 【经典例题一 空间向量加减运算的几何表示】 1．已知平行四边形ABCD，点E是CD的中点，点F满足，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知正四面体的棱长均为2，则___________. 4．如图，在空间四边形中，、、、分别是、、、的中点． (1)化简：； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设、交于点，求证：． 【经典例题二 由空间向量共线求参数或值】 5．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 6．（多选）在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（   ） A．若，则平面 B．点到直线的距离为 C．若，则 D．直线与平面所成角的正弦值为 7．在空间直角坐标系中，向量，，若，则______. 8．如图所示,在正方体中,是上一点,是的中点. (1)求证:平面； (2)若平面,求证:是的中点. 【经典例题三 空间共线向量定理的推论及应用】 9．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 10．（多选）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（    ）    A．若，则点的轨迹为线段 B．若，则点的轨迹为线段 C．存在，使得 D．存在，使得平面 11．已知两非零向量,且与不共线，若(λ,μ∈R,且λ2+μ2≠0),则下列三个结论有可能正确的是_______. ①与共线；②与共线；③与,共面. 12．如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点. (1)求证:EG∥AC; (2)求证:平面EFG∥平面AB1C． 【经典例题四 空间共面向量定理的推论及应用】 13．在直三棱柱中，，，.若点满足，且点在平面内，则（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 15．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    16．如图，四边形ABCD是平行四边形，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使．求证：E，F，G，H四点共面． 【经典例题五 空间向量数乘运算的几何表示】 17．在正方体中，点，，分别在棱，，上，且，，（其中），若平面与线段的交点为，则 A． B． C． D． 18．（多选）已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，则（   ） A． B． C． D． 19．三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，若，则________． 20．如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【经典例题六 空间向量数量积的应用】 21．已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 22．（多选）已知空间向量两两的夹角均为，且.若向量满足，，则的可能值是（    ） A． B．6 C． D． 23．在三棱锥中，已知，则的最小值为__________. 24．如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【经典例题七 空间向量基本定理及其应用】 25．如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 26．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 27．正四棱锥中，点、分别是棱，上一点，且，，平面交棱于点，若，则的值为______ 28．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，平面与直线、、分别交于点、、，且满足.点在直线上，为棱的中点，且直线平面. (1)设，，，试用基底表示向量； (2)若点的轨迹长度与棱长的比值为，试讨论是否为定值，若为定值，请求出，若不为定值，请说明理由. 【经典例题八 空间向量夹角余弦的坐标表示】 29．已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 30．（多选）如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（    ）    A．设向量旋转后的向量为，则 B．点的轨迹是以为半径的圆 C．设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是 D．直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是 31．光线沿直线以的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面上的点，反射光线为射线，在平面上的射影为，现将镜面以为轴旋转，反射光线变为射线，则直线与所成角的余弦值为_____. 32．如图，四棱锥中，底面是菱形，，，对角线与相交于点，点在平面上的投影为点． (1)若点与点重合，求证：； (2)若，求直线与直线所成角的余弦值的取值范围． 【经典例题九 求平面的法向量】 33．一平面截正四棱锥，与棱的交点依次为，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为 B．若平面的方程为，则是平面的法向量 C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线 D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面 35．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，CD的中点，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如图2所示的立体图形．在线段EC上存在点G，使得AG∥平面CDF．以E为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系E-xyz，则平面CDF的一个法向量_________． 36．如图，在长方体中，，，，分别为棱，上的动点（含端点）． (1)当点在什么位置时，有平面？ (2)当动点，满足时，求点到平面距离的取值范围． 设，， 则，，，，，， ∴，，， 要使平面， 需满足 由，解得． ∴当是棱上靠近点的四等分点时，有平面． 【经典例题十 已知线线角求其他量】 37．已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 38．（多选）在正方体中，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．平面与平面所成角的正弦值是 C．当时，的值最小 D．若平面上的动点满足，则点M的轨迹是椭圆 39．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 40．如图所示，已知点，为正四面体内两点．求证：． 【经典例题十一 已知线面角求其他量】 41．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的余弦值为，则正四棱柱的高为（   ）    A．1 B．2 C．3 D．4 42．（多选）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法正确的是（    ）    A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆 D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 43．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则_________． 44．如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，．    (1)求平面与平面夹角的正弦值； (2)若空间中存在一点Q，满足，且直线平面，求的长． 【经典例题十二 点到平面距离的向量求法】 45．在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 46．（多选）如图所示，正方体的棱长为2，点为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B．平面 C．点到平面的距离为 D．平面与底面夹角的余弦值为 47．在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 48．正方体的棱长为4，分别为和中点，且． (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【经典例题十三 平行平面距离的向量求法:】 49．在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 50．（多选）在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面到平面的距离为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．过三点的平面截正方体所得的截面图形为直角梯形 51．如图，在平行六面体中，，，，，．则____________；该平行六面体的体积为__________． 52．在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点． (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $