第一章 空间向量与立体几何暑假单元测试-2026年新高二数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

该高中数学暑假单元测试讲义通过知识框架系统整合空间向量与立体几何内容，将向量线性运算、数量积、投影向量等基础知识点与立体几何中点线面位置关系、距离、二面角计算等综合应用串联，用典型例题呈现重难点内在联系，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如向量平行垂直判定（第1、2题）夯实运算能力，创新题如结合注意力机制的向量应用（第8题）培养数学眼光，解答题（如第16、18题）通过规范推理步骤发展数学思维，帮助不同层次学生提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

第一章 空间向量与立体几何暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【解析】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 2．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】因为， 所以，解得：， 故. 3．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 4．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由点关于x轴的对称点为， 所以． 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 8．注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得， ，， ， 则，所以， ， 所以注意力输出向量为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【解析】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 10．平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AD 【解析】设，，， 由题意得：，三个向量两两夹角为， 因此两两点积， 选项A， ，则 ， 因此，A正确； 选项B ，平行六面体中，对比得， ，B错误； 选项C  ，， 因此，C错误； 选项D ， ， ； 即； 因此，D正确. 11．如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 【答案】BCD 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，则， 对于A，， 故，故， 即直线和所成的角为，故A错误； 对于B，三棱锥的体积转化为三棱锥的体积， 三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故B正确； 对于C，设平面法向量为， ，因为， 所以，所以令，得， 所以平面法向量为， 取平面法向量为， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为，故C正确； 对于D，若，则，则点在线段上， 因平面平面，且平面平面，平面平面， 故， 因为平面，平面， 故平面， 同理可证平面， 因为平面，平面，且， 故有平面平面， 又因为平面，所以平面，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【解析】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 13．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【答案】 【解析】根据题意与的夹角为钝角， 则，解得； 若两向量方向相反，则存在，使得， 即，解得， 故有且， 所以实数的取值范围为. 14．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 由题意得：，,则的外接圆圆心为中点. 则三棱锥的外接球球心在过点且垂直于平面的直线上. 平面，则易得,又， 故可以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系. ,,,,，设， 则， 由，解得. 所以外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【解析】（1）由题可得向量； （2）由题，， 由（1）得， 所以． 16．（15分） 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）因为四边形是菱形， 所以，， 又因为 所以， 所以， 所以， 从而. 由， 得. 由，得. 所以，. 于是， 故.又， 而 ，   平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则   ，，，，， ，，. 设 是平面的法向量，   则，即，可取. 设是平面的法向量， ，即，可取.     于是， 设二面角的大小为， . 因此二面角的正弦值是. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，，，为棱 的中点，平面． (1)求证： 平面； (2)若二面角的大小为，求点A到平面的距离． 【解析】（1）如图，连接， 因为，， 又为棱 的中点，则，， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面．平面， 所以，因为，，所以， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系， 则，，，，设， 所以，，， 设平面一个的法向量为， 则，取， 取平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 所以， 所以A到平面的距离等于． 18．（17分） 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）（i）以为原点，为正交基底建立空间直角坐标系， 当为中点时，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得， 由于平面的法向量为， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为． （ii）设，则， 因为,,,四点共面，所以设， 即，得，当时，， 所以， 设平面的法向量为，则， 即，取，得， 所以点到平面的距离为． （2）由（1）得，易得平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为 ，当且仅当时取等号，此时， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 【解析】（1）取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 第2页，共16页 第1页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 2．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 3．如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知点关于x轴的对称点为，则（     ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 8．注意力机制是一种让模型在处理信息时，能够“有选择地聚焦”于最关键部分的技术，其核心是用数学中的向量来解决问题，设计三个关键向量：查询向量（表示我在寻找什么？）､键向量（表示我有什么可提供？）和值向量（表示我实际提供的内容是什么）.在计算注意力时，首先用与各个计算相似度，然后求权重，记，则注意力输出向量为现有，则注意力输出向量为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 10．平行六面体中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D． 11．如图，正方体的棱长为1，是棱上的动点（含端点），则（     ） A．直线和所成的角为 B．三棱锥的体积为定值 C．二面角的平面角的大小为 D．点满足，，，若，则平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 13．若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 14．如图，在三棱台中，平面，，，，，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 16．（15分） 如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，．    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 17．（15分） 如图，在四棱锥中，，，，为棱 的中点，平面． (1)求证： 平面； (2)若二面角的大小为，求点A到平面的距离． 18．（17分） 如图，在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别在棱，上，满足，，，四点共面． (1)当为中点时， （ⅰ）求平面与平面的夹角的余弦值； （ⅱ）求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 19．（17分） 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $