专题03 空间向量基本定理（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底与基向量、单位正交基底、正交分解等概念，前承平面向量基本定理，后接空间向量坐标运算，构建从平面到空间的向量分解体系，搭建几何代数化的关键学习支架。 资料通过概念辨析（如共面条件判断）培养数学眼光，多层向量代换与参数求解训练数学思维，基底表示及数量积运算强化数学语言。典例与变式结合，课中助教师构建解题模板，课后通过分层训练帮助学生查漏补缺，提升空间向量应用能力。

专题03 空间向量基本定理 重点目标： 1. 熟记空间向量基本定理原文表述，理解定理中 “三个向量不共面”“有序实数组唯一” 两大核心条件，能区分平面向量基本定理与空间向量基本定理的异同. 2. 精准掌握基底、基向量教材定义，快速判断一组向量能否构成空间基底，明确零向量不能作为基向量. 3. 理解单位正交基底、正交分解课本概念，识别标准单位正交基底，清楚正交分解的几何意义. 4. 能在平行六面体、四面体、正方体中选取合适基底，将任意空间向量表示为基向量的线性组合. 5. 结合基底表示 + 数量积运算，完成空间线线平行、垂直、异面夹角的基础证明与计算. 难点目标： 1. 突破 “三个向量共面 / 不共面” 辨析难点，能通过线性关系证明三向量无法构成基底，规避 “两向量共线则三向量必共面” 易错陷阱. 2. 复杂几何体（四面体多层等分点、平行六面体混合夹角）中多层向量代换，用基底拆分复合向量. 3. 利用基底线性等式列方程组求解参数，结合共面条件完成求值类综合题. 4. 综合基底分解 + 数量积展开，处理多组不同夹角平行六面体的模长、垂直证明大题. 5. 理解空间向量基本定理的桥梁作用，建立 “基底法→坐标法” 完整逻辑，为 1.3 空间向量坐标运算铺垫. 1、 重点知识 （一）核心定理与基础概念（教材标准表述） 1. 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 2. 基底、基向量 若不共面，则集合叫做空间的一个基底；都叫做基向量. 核心基础结论： ① 基底中不能包含零向量； ② 同一基底内三个向量一定不共面； ③ 任意三个不共面向量均可作为一组基底. 3. 单位正交基底（课本标准名词） 如果空间一个基底的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，该基底称为单位正交基底，标准记为. 4. 正交分解 将任意空间向量表示为单位正交基向量线性组合的过程，称为向量的正交分解. （二）基底判定核心等价条件 三个向量不能构成空间基底共面存在不全为 0 的实数，使. 推论：若其中一个向量能写成另外两个向量的线性组合，则三向量共面，无法作为基底. （三）基底表示向量通用步骤（课本例题标准流程） 1. 定基底：选取几何体中共起点、不共面三条棱作为基向量； 2. 拆向量：利用向量加减、中点等分公式拆分目标向量； 3. 代换化简：全部转化为三个基向量的线性组合，整理出. 常用中点结论（必考化简工具）：为中点，则. （四）承上启下核心作用 空间向量基本定理是几何代数化的桥梁：任意空间向量均可通过基底转化为三元有序实数组，直接衔接下一节《空间向量及其运算的坐标表示》. 2、 难点知识 （一）概念辨析易错难点（选择高频陷阱） · 误区 1：“任意三个非零向量都是基底” 纠正：三非零向量若共面（如两向量共线、三向量可线性表示），仍不能构成基底. · 误区 2：“两向量共线，这两个向量加任意向量都能做基底” 纠正：两共线向量与任意第三个向量一定共面，永远无法构成空间基底. · 误区 3：“有序实数组不唯一” 纠正：定理强调唯一性，一组基底对应唯一一组系数，可用于列方程求参数. · 平面 vs 空间基底对比 对比项 平面向量基本定理 空间向量基本定理 基底数量 2 个不共线向量 3 个不共面向量 分解形式 ​ 适用范围 平面图形向量 全部三维立体向量 （二）运算综合难点 1. 多层等分点向量代换（四面体难题） 如为中点、在上且，多层减法拆分目标向量，多次代换基向量，步骤繁琐易符号出错. 2. 基底参数求解大题 已知两向量线性相等，对应基向量系数相等，建立三元一次方程组求未知数，常考压轴题. 3. 混合数量积展开计算 平行六面体给出三组棱两两夹角，展开，六项数量积分步计算，极易漏项. （三）几何证明综合难点（期末大题第一问） 1. 线线平行证明模板 用同一组基底表示两条直线方向向量，证明存在实数使，即可证平行. 2. 线线垂直证明模板 基底表示两方向向量，计算数量积，完成垂直证明（课本例题标准解法）. 3. 四面体对偶垂直拔高证明（课本拓广习题） 已知，利用基底数量积等量代换证明，训练代数变形能力. （四）深度拓展拔高知识 1. 基底选取解题技巧 · 平行六面体：直接选取同一顶点三条棱为基底； · 四面体：固定顶点出发三条棱，减少拆分步骤； · 带垂直条件几何体：优先选单位正交基底，简化数量积计算. 2. 空间向量线性无关拓展（教材隐含逻辑） 三个向量构成基底三个向量线性无关（不存在不全为 0 实数使线性组合为零向量），衔接大学线性代数，适合尖子生拓展. 3. 基底法通用解题三步（立体几何两大核心方法之一） ① 选基底，所有几何线段转化为基向量线性式； ② 线性、数量代数运算； ③ 将计算结果翻译为平行、垂直、角度、距离几何结论. 4. 基底与坐标的等价转换 单位正交基底下的系数，就是向量空间直角坐标，打通基底法与坐标法. 5. 多基底转化拔高题型 已知向量在基底下坐标，求其在新基底下的系数（习题 1.3 压轴拓展题）. （五）核心解题易错汇总 1. 判断基底时忽略 “不共面” 核心条件，仅看向量非零； 2. 向量拆分时混淆减法公式，颠倒起点终点； 3. 展开平方数量积遗漏交叉项、、； 4. 异面直线夹角忘记对余弦取绝对值，混淆向量夹角与线夹角. 题型01 概念的辨析 角度1：基底概念的辨析 【典例】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 【变式】在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 角度2：基本定理的辨析 【典例】（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确. 【变式】已知空间向量，下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若非零且共面，则它们所在的直线共面 C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得 D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底 【答案】C 【详解】A选项，若与共线，与共线，当为零向量时， 与不一定共线，所以A选项错误. B选项，若非零且共面，则它们所在的直线不一定共面， 比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线， 对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误. C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确. D选项，若不共线，向量（且）， 则共面，所以不能构成基底，D选项错误. 故选：C 题型02 基底表示空间向量问题 角度1：基底表示空间向量 【典例】三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 【变式】在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，是对角线AC，BD的交点.用基底表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为底面ABCD是平行四边形，所以是对角线AC和BD的中点，且， 所以, 而, 所以， 角度2：借助基底表示空间向量求参数 【典例】已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 【变式】如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而 ， ， ，，，则. 题型03 基底法证明平行或垂直关系 角度1：基底法证明平行关系 【典例】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】设，，， 则｛，，｝构成空间的一个单位正交基底． 所以，． 所以． 所以． 【变式】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点.求证：AF∥平面PCE. 【答案】证明见解析 【详解】证明：设空间不共面向量基底：。由题意得各中点对应的向量表达式： 假设存在唯一实数，使得平面内向量关系式成立： 将上述向量表达式代入等式： 整理等式右侧，合并同类基底向量： 由于基底为空间不共线向量，线性无关，等式左右两边对应基底向量系数必须相等，可得方程组： 将解得的代入第二个方程检验：，等式成立。 因此存在确定实数，使得向量关系式成立： 可以由线性表示， 又相交于点，所以平面。 又平面， 平面. 角度2：基底法证明垂直关系 【典例1】已知在空间四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图所示： 不妨选空间的一组基底向量为， 由题意，， 所以有，即， 同理有，即， 因此， 从而，即. 【典例2】如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 【答案】证明见解析 【详解】设，，，则为空间的一个基底且，，. 因为AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°， 所以，. 在平面BDD1B1上，取、为基向量，则对于面BDD1B1上任意一点P，存在唯一的有序实数对(λ,μ)，使得. 所以，. 所以是平面BDD1B1的法向量． 所以A1C⊥平面BDD1B1. 【变式1】如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 【变式2】如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【详解】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 题型04基底法求向量的夹角、模长或数量积 角度1：基底法求向量的夹角 【典例】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，， 设三棱柱棱长均为1，因，则， 又因，， 所以， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 【变式】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 角度2：基底法求向量的模长 【典例】如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 【答案】 【详解】设，其中，， ， ， 因为平面，则、、共面，显然、不共线， 所以，存在、，使得， 即 ， 因为为空间中的一组基底，所以，，解得， 因此，. 【变式】如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题意知，ABCD，CDEF都是正方形， 则，且，， 所以即为二面角的平面角，即. 因为，，设， 则，且，， 则 则， ， 则，当时，有最小值为. 所以，. 所以，线段MN长的最小值为. 角度3：基底法求向量的数量积 【典例】如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)，. (2)2 【详解】（1）因为， 所以 ， . （2）由题意易知， 所以， ， 则 . 【变式】如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. 求. 【答案】 【详解】设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，，， 同理可得， . 所以 . 题型05空间向量基本定理的综合问题 【典例】（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由 ，所以，故D正确； 故选：ACD. 【变式】已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）在平行六面体中，为空间的一个基底， 因为，，且， 则， ， 所以 . （2）由（1）知，，则， 又，所以向量与夹角的余弦值. 【巩固训练】 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，， A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 2. 如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图： 3. 如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 4. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又， 所以 ， 所以 ， 所以， 即直线与直线所成角的余弦值为． 5. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以 ， 因为、、不共面，所以，所以，故. 6. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 7. 设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心， 所以， 因为D是PG上的一点，且， 所以， 因为， 所以 , 因为， 所以， 所以为， 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 9. （1）如图，在三棱锥中，．求证：． （2）平行六面体中，，，，，，，求对角线的长． 【答案】 （1）证明见解析 （2） 【详解】（1）选择为基底. ∵，∴，∴ 同理由，得 ∴，∴ ∴ （2）平行六面体中，， 选择为基底，则 ∵，，， ∴ ∴ 则对角线的长为．· 10. 如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各棱的中点，设，，. (1)用，，表示，并求的长； (2)求与的夹角. 【答案】(1)；；(2). 【详解】（1）因分别为棱的中点，而，，， 所以， 因正四面体的棱长为1，则， 所以. （2）依题意，， 因正四面体的棱长为1，有， 因此， 所以，即与的夹角为. 【强化训练】 1. 已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，∴与共面，故A，B错误； ∵，∴与共面，故C错误； ∵是基底，∴不存在使成立， ∴与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确. 2. （多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【答案】BCD 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面， 则存在实数使得，说明共面， 与是空间的一个基底矛盾，所以不共面， 所以是空间的一个基底，故B正确； 对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确； 对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面， 所以当且仅当时，才成立，故D正确 3. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，即， 又， 所以. 4. 在平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行六面体中，向量不共面， 根据空间向量基本定理，， 又， 所以得，所以. 故选：A. 5. 已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 6. 在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 7. 在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，， ， 所以 ， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 8. （多选）在平行六面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【详解】选项A，由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于与是异面直线，所以PQ与不平行，故A错误； 选项B，取的中点，连接PM，QM，由于是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面. 由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 由于平面， 所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 选项C，在中，，则四边形是菱形，. ， ，所以， 由于平面， 所以平面，因为平面，所以，故C正确； 选项D，设，不妨设， 则， 因， 则 所以AQ不垂直于，故D错误. 9. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 【答案】证明见解析 【详解】证明：设 则 ， ， ， ， ， 又 ，同理可证， 这个四面体相对的棱两两垂直. 10. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点． (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ，化简得， 解得或， 或． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量基本定理 重点目标： 1. 熟记空间向量基本定理原文表述，理解定理中 “三个向量不共面”“有序实数组唯一” 两大核心条件，能区分平面向量基本定理与空间向量基本定理的异同. 2. 精准掌握基底、基向量教材定义，快速判断一组向量能否构成空间基底，明确零向量不能作为基向量. 3. 理解单位正交基底、正交分解课本概念，识别标准单位正交基底，清楚正交分解的几何意义. 4. 能在平行六面体、四面体、正方体中选取合适基底，将任意空间向量表示为基向量的线性组合. 5. 结合基底表示 + 数量积运算，完成空间线线平行、垂直、异面夹角的基础证明与计算. 难点目标： 1. 突破 “三个向量共面 / 不共面” 辨析难点，能通过线性关系证明三向量无法构成基底，规避 “两向量共线则三向量必共面” 易错陷阱. 2. 复杂几何体（四面体多层等分点、平行六面体混合夹角）中多层向量代换，用基底拆分复合向量. 3. 利用基底线性等式列方程组求解参数，结合共面条件完成求值类综合题. 4. 综合基底分解 + 数量积展开，处理多组不同夹角平行六面体的模长、垂直证明大题. 5. 理解空间向量基本定理的桥梁作用，建立 “基底法→坐标法” 完整逻辑，为 1.3 空间向量坐标运算铺垫. 1、 重点知识 （一）核心定理与基础概念（教材标准表述） 1. 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得. 2. 基底、基向量 若不共面，则集合叫做空间的一个基底；都叫做基向量. 核心基础结论： ① 基底中不能包含零向量； ② 同一基底内三个向量一定不共面； ③ 任意三个不共面向量均可作为一组基底. 3. 单位正交基底（课本标准名词） 如果空间一个基底的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，该基底称为单位正交基底，标准记为. 4. 正交分解 将任意空间向量表示为单位正交基向量线性组合的过程，称为向量的正交分解. （二）基底判定核心等价条件 三个向量不能构成空间基底共面存在不全为 0 的实数，使. 推论：若其中一个向量能写成另外两个向量的线性组合，则三向量共面，无法作为基底. （三）基底表示向量通用步骤（课本例题标准流程） 1. 定基底：选取几何体中共起点、不共面三条棱作为基向量； 2. 拆向量：利用向量加减、中点等分公式拆分目标向量； 3. 代换化简：全部转化为三个基向量的线性组合，整理出. 常用中点结论（必考化简工具）：为中点，则. （四）承上启下核心作用 空间向量基本定理是几何代数化的桥梁：任意空间向量均可通过基底转化为三元有序实数组，直接衔接下一节《空间向量及其运算的坐标表示》. 2、 难点知识 （一）概念辨析易错难点（选择高频陷阱） · 误区 1：“任意三个非零向量都是基底” 纠正：三非零向量若共面（如两向量共线、三向量可线性表示），仍不能构成基底. · 误区 2：“两向量共线，这两个向量加任意向量都能做基底” 纠正：两共线向量与任意第三个向量一定共面，永远无法构成空间基底. · 误区 3：“有序实数组不唯一” 纠正：定理强调唯一性，一组基底对应唯一一组系数，可用于列方程求参数. · 平面 vs 空间基底对比 对比项 平面向量基本定理 空间向量基本定理 基底数量 2 个不共线向量 3 个不共面向量 分解形式 ​ 适用范围 平面图形向量 全部三维立体向量 （二）运算综合难点 1. 多层等分点向量代换（四面体难题） 如为中点、在上且，多层减法拆分目标向量，多次代换基向量，步骤繁琐易符号出错. 2. 基底参数求解大题 已知两向量线性相等，对应基向量系数相等，建立三元一次方程组求未知数，常考压轴题. 3. 混合数量积展开计算 平行六面体给出三组棱两两夹角，展开，六项数量积分步计算，极易漏项. （三）几何证明综合难点（期末大题第一问） 1. 线线平行证明模板 用同一组基底表示两条直线方向向量，证明存在实数使，即可证平行. 2. 线线垂直证明模板 基底表示两方向向量，计算数量积，完成垂直证明（课本例题标准解法）. 3. 四面体对偶垂直拔高证明（课本拓广习题） 已知，利用基底数量积等量代换证明，训练代数变形能力. （四）深度拓展拔高知识 1. 基底选取解题技巧 · 平行六面体：直接选取同一顶点三条棱为基底； · 四面体：固定顶点出发三条棱，减少拆分步骤； · 带垂直条件几何体：优先选单位正交基底，简化数量积计算. 2. 空间向量线性无关拓展（教材隐含逻辑） 三个向量构成基底三个向量线性无关（不存在不全为 0 实数使线性组合为零向量），衔接大学线性代数，适合尖子生拓展. 3. 基底法通用解题三步（立体几何两大核心方法之一） ① 选基底，所有几何线段转化为基向量线性式； ② 线性、数量代数运算； ③ 将计算结果翻译为平行、垂直、角度、距离几何结论. 4. 基底与坐标的等价转换 单位正交基底下的系数，就是向量空间直角坐标，打通基底法与坐标法. 5. 多基底转化拔高题型 已知向量在基底下坐标，求其在新基底下的系数（习题 1.3 压轴拓展题）. （五）核心解题易错汇总 1. 判断基底时忽略 “不共面” 核心条件，仅看向量非零； 2. 向量拆分时混淆减法公式，颠倒起点终点； 3. 展开平方数量积遗漏交叉项、、； 4. 异面直线夹角忘记对余弦取绝对值，混淆向量夹角与线夹角. 题型01 概念的辨析 角度1：基底概念的辨析 【典例】若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式】在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 角度2：基本定理的辨析 【典例】（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【变式】已知空间向量，下列命题正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若非零且共面，则它们所在的直线共面 C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得 D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底 题型02 基底表示空间向量问题 角度1：基底表示空间向量 【典例】三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式】在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，是对角线AC，BD的交点.用基底表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 角度2：借助基底表示空间向量求参数 【典例】已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式】如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型03 基底法证明平行或垂直关系 角度1：基底法证明平行关系 【典例】如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为，，的中点．求证：． 【变式】如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E，F分别是AB，PD的中点.求证：AF∥平面PCE. 角度2：基底法证明垂直关系 【典例1】已知在空间四边形中，，，求证：． 【典例2】如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1， ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线A1C⊥平面BDD1B1. 【变式1】如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 题型04基底法求向量的夹角、模长或数量积 角度1：基底法求向量的夹角 【典例】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 角度2：基底法求向量的模长 【典例】如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 【变式】如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足，则线段MN长的最小值为__________． 角度3：基底法求向量的数量积 【典例】如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【变式】如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. 求. 题型05空间向量基本定理的综合问题 【典例】（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【变式】已知在平行六面体中，，，且. (1)求的长； (2)求向量与夹角的余弦值. 【巩固训练】 1. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2. 如图，在三棱锥中，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3. 如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 4. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6. 在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7. 设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（    ） A． B． C． D． 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ） A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 9. （1）如图，在三棱锥中，．求证：． （2）平行六面体中，，，，，，，求对角线的长． 10. 如图，正四面体（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体中各棱的中点，设，，. (1)用，，表示，并求的长； (2)求与的夹角. 【强化训练】 1. 已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（   ） A． B． C． D． 2. （多选）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 3. 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ） A． B． C． D． 4. 在平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6. 在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 7. 在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8. （多选）在平行六面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 9. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证: 这个四面体相对的棱两两垂直. 已知：如图，四面体，分别为棱的中点，且求证 . 10. 如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点． (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $