§1.1.1 空间向量及其线性运算（同步讲义+随堂检验+题型集训）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，先通过对比平面向量梳理空间向量基本概念，再系统讲解线性运算（加法三角形法则等），进而深入共线、共面向量定理，形成从概念到运算再到定理应用的递进式学习支架。 资料特色在于以概念对比表培养数学眼光，分层例题（含多地阶段检测题）与题型集训发展推理能力，知识网络思维导图助力系统梳理。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生强化练习，提升用数学语言解决立体几何问题的应用意识。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 §1.1.1 空间向量及其线性运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 区分平面向量与空间向量，掌握空间向量相关基本概念（向量、模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线 / 共面向量）(重点) 2. 掌握空间向量的线性运算：加法、减法、数乘，理解运算法则、几何意义（三角形法则、平行四边形法则空间拓展）(重点) 3. 理解空间共线向量定理、空间共面向量定理，会用定理证明向量共线、点共面 (重难点) 4. 能利用线性运算表示空间任意向量，解决立体几何中线、点、面的向量表示问题 (难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 空间向量的基本概念 💡知识梳理 1. 空间向量定义 · 定义：在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量. · 表示方法： ① 几何表示：有向线段 （ 起点， 终点）； ② 字母表示：黑体小写 ，手写 . · 模（长度）：向量的大小，记作 或 . 2. 特殊空间向量 (1) 零向量：长度为 0 的向量，记作 ，方向任意；规定 与任意向量共线. (2) 单位向量：模长为 1 的向量，与 同向的单位向量记作 . (3) 相等向量：长度相等且方向相同的空间向量，与起点位置无关（空间中可任意平移）. (4) 相反向量：长度相等、方向相反的向量， 的相反向量为 ；. (5) 平行（共线）向量：表示空间向量的有向线段互相平行或重合，记作 ；空间平行向量统称为共线向量. (6) 共面向量：平行于同一个平面的向量；任意两个空间向量一定共面，三个及以上向量不一定共面. 3. 平面向量 vs 空间向量对比 对比维度 平面向量 空间向量 存在范围 同一平面内 整个三维空间 平移性质 平面内平移不变 空间任意平移不变 共线判定 平面内平行 / 重合 空间中平行 / 重合 共面判定 全部向量天然共面 三向量需平行同一平面 🎯例题1-1（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 🎯例题1-2（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 🎯跟练1-1（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 🎯跟练1-2（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． PART 2 空间向量的线性运算 💡知识梳理 一、空间向量加法 1. 三角形法则（空间通用） 已知空间任意两向量 ，取一点 ，作 ，，则 . 2. 平行四边形法则（两向量共面时） ，以 为邻边作平行四边形 ，则对角线 . 3. 多边形法则（空间折线） . 二、空间向量减法 ；几何意义：，连接两向量终点，指向被减向量. 三、空间向量数乘 1. 定义：实数 与空间向量 的乘积 仍是空间向量： (1) ； (2) ： 与 同向；： 与 反向；：. 2. 线性运算运算律（和平面向量完全一致，空间恒成立） 对任意向量 ，实数 ： ① 加法交换律： ② 加法结合律： ③ 数乘分配律 1： ④ 数乘分配律 2： ⑤ 数乘结合律： 🎯例题2-1（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 🎯例题2-2（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 🎯例题2-3（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 🎯跟练 2-1（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 🎯跟练 2-2 （25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． PART 3 共线向量定理 💡知识梳理 空间共线向量定理 空间中任意两个向量 ， 的充要条件：存在唯一实数 ，使得 . 推论：若直线 过点 ，且方向向量为 ，则点 在直线 上 存在实数 ，，即 （直线向量参数方程）. 🎯例题3-1（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 🎯例题3-2（24-25高二上·福建·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 🎯例题3-3（24-25高二上·广东·阶段检测）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 🎯跟练3-1 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 🎯跟练3-2 （24-25高二上·河北石家庄·阶段检测）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 PART 4 共面向量定理 💡知识梳理 空间共面向量定理 如果两个向量 不共线，则向量 与 共面的充要条件：存在唯一实数对 ，使 . 推论（四点共面判定）：四点 共面 存在实数 满足 ，； 简化：. 🎯例题4-1 （25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 🎯例题4-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 🎯例题4-3（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证：四点共面，四点共面 🎯例题4-4（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 🎯例题4-5（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 🎯例题4-6 （25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 🎯跟练4-1（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 🎯跟练4-2 （24-25高三上·山东临沂·阶段检测·节选）如图，在正方体中，分别为棱的中点，． (1)试用表示． (2)证明：四点共面． 🎯跟练4-3（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 🎯跟练4-4 （24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 🎯跟练4-5 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 2．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东汕头·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 4．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 5．（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 6．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 题 型 集 训 梳模型 · 提能力 题型一：空间向量的概念理解 1. 关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2. （多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 3. （多选）以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 4. （多选）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型二：空间向量的线性运算及几何表示 1. 在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2. 如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 3. 如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 4. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 5. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型三：向量共线的判定（三点共线的判定） 1. 已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 2. 已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 3. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 4. A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线． 5. 在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 6. 如图，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且．求证：M，N，三点在一条直线上． 题型四：向量共线定理（推论）求参数 1. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 2. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 4. 已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 5. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 6. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 7. 已知空间的一组基底为，且满足，则______． 题型五：向量共面的判定（四点共面的判定） 1. 对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 2. 已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 3. （多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 4. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 5. 已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 6. 向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7. 下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型六：向量共面定理（推论）求参数 1. 是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______. 2. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 3. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4. 已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 5. 已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 7. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 8. 已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 §1.1.1 空间向量及其线性运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 区分平面向量与空间向量，掌握空间向量相关基本概念（向量、模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线 / 共面向量）(重点) 2. 掌握空间向量的线性运算：加法、减法、数乘，理解运算法则、几何意义（三角形法则、平行四边形法则空间拓展）(重点) 3. 理解空间共线向量定理、空间共面向量定理，会用定理证明向量共线、点共面 (重难点) 4. 能利用线性运算表示空间任意向量，解决立体几何中线、点、面的向量表示问题 (难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 空间向量的基本概念 💡知识梳理 1. 空间向量定义 · 定义：在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量. · 表示方法： ① 几何表示：有向线段 （ 起点， 终点）； ② 字母表示：黑体小写 ，手写 . · 模（长度）：向量的大小，记作 或 . 2. 特殊空间向量 (1) 零向量：长度为 0 的向量，记作 ，方向任意；规定 与任意向量共线. (2) 单位向量：模长为 1 的向量，与 同向的单位向量记作 . (3) 相等向量：长度相等且方向相同的空间向量，与起点位置无关（空间中可任意平移）. (4) 相反向量：长度相等、方向相反的向量， 的相反向量为 ；. (5) 平行（共线）向量：表示空间向量的有向线段互相平行或重合，记作 ；空间平行向量统称为共线向量. (6) 共面向量：平行于同一个平面的向量；任意两个空间向量一定共面，三个及以上向量不一定共面. 3. 平面向量 vs 空间向量对比 对比维度 平面向量 空间向量 存在范围 同一平面内 整个三维空间 平移性质 平面内平移不变 空间任意平移不变 共线判定 平面内平行 / 重合 空间中平行 / 重合 共面判定 全部向量天然共面 三向量需平行同一平面 🎯例题1-1（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的定义、相等向量和相反向量的定义，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 🎯例题1-2（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正方体的性质及相反向量的定义，再结合选项，即可求解. 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 🎯跟练1-1（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 🎯跟练1-2（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C PART 2 空间向量的线性运算 💡知识梳理 一、空间向量加法 1. 三角形法则（空间通用） 已知空间任意两向量 ，取一点 ，作 ，，则 . 2. 平行四边形法则（两向量共面时） ，以 为邻边作平行四边形 ，则对角线 . 3. 多边形法则（空间折线） . 二、空间向量减法 ；几何意义：，连接两向量终点，指向被减向量. 三、空间向量数乘 1. 定义：实数 与空间向量 的乘积 仍是空间向量： (1) ； (2) ： 与 同向；： 与 反向；：. 2. 线性运算运算律（和平面向量完全一致，空间恒成立） 对任意向量 ，实数 ： ① 加法交换律： ② 加法结合律： ③ 数乘分配律 1： ④ 数乘分配律 2： ⑤ 数乘结合律： 🎯例题2-1（25-26高二上·天津和平·期末）长方体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的加法、减法运算化简. 【详解】. 故选：C 🎯例题2-2（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的加法法则和数乘运算可得． 【详解】． 故选：B. 🎯例题2-3（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： . 故选：C. 🎯跟练 2-1（24-25高二上·河南南阳·阶段检测）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用 空间向量的线性运算结合向量相等即可求解. 【详解】. 故选：C. 🎯跟练 2-2 （25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在三棱柱中，M为的中点，若，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示， ∵M为的中点，，， ， ． PART 3 共线向量定理 💡知识梳理 空间共线向量定理 空间中任意两个向量 ， 的充要条件：存在唯一实数 ，使得 . 推论：若直线 过点 ，且方向向量为 ，则点 在直线 上 存在实数 ，，即 （直线向量参数方程）. 🎯例题3-1（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 🎯例题3-2（24-25高二上·福建·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 🎯例题3-3（24-25高二上·广东·阶段检测）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（   ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 🎯跟练3-1 （24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 🎯跟练3-2 （24-25高二上·河北石家庄·阶段检测）若空间向量不共线，且，则xy＝（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】由题可知左右两边系数对应相等即可求出x和y. 【详解】因为空间向量不共线， 要使， 则. 故选：D. PART 4 共面向量定理 💡知识梳理 空间共面向量定理 如果两个向量 不共线，则向量 与 共面的充要条件：存在唯一实数对 ，使 . 推论（四点共面判定）：四点 共面 存在实数 满足 ，； 简化：. 🎯例题4-1 （25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 🎯例题4-2（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 🎯例题4-3（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证：四点共面，四点共面； 【答案】证明见解析 【详解】因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 🎯例题4-4（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知空间中点，，，，若，，，四点共面，则实数的值为________. 【答案】 【分析】借助空间向量的基本定理计算即可得. 【详解】、、， 由，，，四点共面， 则存在实数，使得， 即有，解得. 故答案为：. 🎯例题4-5（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 🎯例题4-6 （25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 🎯跟练4-1（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量共面定理逐项判断即可得. 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 🎯跟练4-2 （24-25高三上·山东临沂·阶段检测·节选）如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    (1)试用表示． (2)证明：四点共面． 【答案】(1)，；(2)证明见解析 【详解】（1）依题意可得，    （2）连接．因为 所以， 则共面，故四点共面． 🎯跟练4-3（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 🎯跟练4-4 （24-25高二下·福建漳州·期末）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的判定方法，列出方程，求出参数值即可； 【详解】已知， 因为四点共面，所以，解得. 故选：A. 🎯跟练4-5 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）为空间任意一点，点与共面，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面的性质，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为点与共面， 所以，解得. 故选：D LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）空间向量中，下列结论错误的是（   ） A． B． C．单位向量的长度为1 D．零向量的方向任意 【答案】A 【分析】根据向量运算、单位向量、零向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，向量和为零向量，A选项错误. B选项，，B选项正确. C选项，单位向量的长度为1，C选项正确. D选项，零向量的方向任意，D选项正确. 故选：A 2．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 3．（23-24高二上·广东汕头·阶段检测）（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】AC 【分析】根据空间向量之间的平行、共面逐项判断即可. 【详解】若，，当，则与所在直线不一定平行，故A正确； 向量、、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误； 根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确； 若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确． 故选：AC. 4．（24-25高二上·河北邯郸·阶段检测）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为______． 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】由于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广东中山·阶段检测）若构成空间的一组基底，则（    ） A．，，不共面 B．，，不共面 C．，，不共面 D．，，不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理逐项判断即可． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为零的实数，使， 即，则共面与构成空间的一组基底矛盾， 因此，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B不正确； 对于C，因为，所以，，共面，故C不正确； 对于D，因为，所以，，共面，故D不正确； 故选：A． 6．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先利用已知条件求得，再利用均值定理即可求得的最大值. 【详解】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 题 型 集 训 梳模型 · 提能力 题型一：空间向量的概念理解 1. 关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2. （多选）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．零向量与任意向量平行 B．相反向量就是方向相反的向量 C．零向量不能作为任意直线的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】ACD 【详解】对于A，零向量方向是任意的，规定零向量与任意向量平行，故A正确； 对于B，相反向量是长度相等方向相反的一组向量，故B错误； 对于C，在直线上取非零向量，把与平行的非零向量称为直线的方向向量， 所以零向量不能作为任意直线的方向向量，故C正确； 对于D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故D正确. 故选：ACD 3. （多选）以下关于向量的说法正确的有（      ） A．若＝，则＝ B．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 C．若＝－且＝－，则= D．若与共线，与共线，则与共线 【答案】AC 【详解】若＝，则和的大小相等，方向相同，故A正确； 将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个球，故B错误； 若＝－，＝－，则＝－=，故C正确； 若与共线，与共线，则当时，无法判断与的关系，故D错误. 故选：AC. 4. （多选）如图正四棱柱，则下列向量相等的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【详解】由正四棱柱可知， A：，但与方向相反，故A不符题意； B：，但与方向不同，故B不符题意； C：，且与方向相同，故C符题意； D：，且与方向相同，故D符题意. 故选：CD. 题型二：空间向量的线性运算及几何表示 1. 在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 故选：D 2. 如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 3. 如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，设，，，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，所以选项错误； 因 .所以选项错误； 因为，所以选项错误. 因为，所以选项正确； 故选：. 4. 如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 5. 如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 题型三：向量共线的判定（三点共线的判定） 1. 已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 2. 已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 3. 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 4. A是所在平面外一点，G是的重心，M、E分别是BD、AG的中点，点F在线段AM上，，判断三点C、E、F是否共线． 【答案】C、E、F三点共线 【详解】解：设，，， ， ， ， ， 因为， 所以， 又因为、有公共点C， 所以C、E、F三点共线． 5. 在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以 ， 所以 ， 所以，即三点共线. 6. 如图，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且．求证：M，N，三点在一条直线上．    【答案】证明见解析 【详解】设，，，则． 又，所以， ． 因为，， 所以， 所以 ． 所以．可知． 又是直线和的公共点， 故和 共线，即M，N，三点在一条直线上． 题型四：向量共线定理（推论）求参数 1. 设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 2. 设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 3. 设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D 4. 已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【详解】，， 若与共线，则有， 即，解之得，则的值为3. 故选：C 5. 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 6. 设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数___________． 【答案】 【详解】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 7. 已知空间的一组基底为，且满足，则______． 【答案】 【详解】由题得存在实数满足，则． 又为空间的一组基底，则满足，解得则． 故答案为： 题型五：向量共面的判定（四点共面的判定） 1. 对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【详解】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点，所以共面. 故选：B. 2. 已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 3. （多选）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B： ，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D： ，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 4. 已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（    ） A．共面 B．不一定共面 C．无法判断是否共面 D．不共面 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算化简得，即可判断四点位置情况. 【详解】, 则， 所以，则， 故四点共面. 故选：A 5. 已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 6. 向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 7. 下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 题型六：向量共面定理（推论）求参数 1. 是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______. 【答案】3 【详解】因为点在平面内，所以，，共面， 所以存在与 使得, 即， 所以，解得. 故. 故答案为:3. 2. 已知四点满足任意三点均不共线，但四点共面，为平面外任意一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【详解】， 因为四点共面，所以，解得． 3. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当“”即“”时取“”， 故的最小值为 故选：B 4. 已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 则，由在所在平面内，得， 所以. 故选：B 5. 已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 6. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 7. 已知A，B，C，D四点是平面四边形的四个顶点，O是平面ABCD外一点.若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】由，得， 则，显然，否则， 点共面，矛盾，因此， 由共面向量定理的推论，得，所以. 故选：D 8. 已知长方体中，，向量，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，且，得点在平面内， 因此的最小值即为点到平面的距离，即三棱锥底面上的高， 长方体中，，， 等腰底边上的高，， 由，得，即，解得， 所以的最小值为. 故选：D 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $