专题2.2 基本不等式（高效培优讲义）数学人教A版高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理公式理解（区分与重要不等式的条件差异）、代数与几何证明（几何面积法和作差法）、使用条件（一正二定三相等），构建从概念到应用（求最值、比较大小、证明、实际问题）的递进式学习支架。 资料亮点在于数形结合的几何证明培养数学眼光，逻辑推理的题型训练（如恒成立问题推导）提升数学思维，实际应用案例（物流仓库选址）强化数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后通过即学即练和变式题帮助学生查漏补缺。

专题2.2 基本不等式 教学目标 1. 理解并掌握基本不等式的公式、推导过程与几何意义，明确基本不等式一正、二定、三相等的使用条件和取等条件，区分重要不等式与基本不等式的差异。 2. 过程与方法：方法，提升代数变形、逻辑推理与利用不等式求最值的运算能力。 3. 体会数形结合、转化与化归的数学思想，养成严谨的审题、解题习惯，提升数学抽象与数学运算的核心素养，增强解决最值实际问题的应用意识。 教学重难点 重点 1. 掌握基本不等式的代数推导、几何解释，熟记公式结构与成立前提条件。 2. 熟练运用基本不等式求解积定和最小、和定积最大两类基础最值问题。 3. 掌握简单代数式的配凑技巧，能规范使用基本不等式解决求值、比较大小问题。 难点 1. 精准理解并落实一正、二定、三相等，容易忽略变量为负、无法取等的陷阱。 2. 复杂代数式灵活配凑和、积定值，无法直接套用公式时的变形构造思路。 3. 含参数、多变量问题中，判断基本不等式的适用条件，严谨验证等号能否成立。 知识点01 基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是_________； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 【即学即练】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（__________________） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则__________________，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，；当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 【即学即练】 1．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 2．（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 3．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 知识点03 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：__________________. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求_________或_________的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案. 【即学即练】 1．求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 2．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【典例1】（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【变式1】（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【变式2】判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 题型02 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【典例1】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 题型03 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【典例1】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【变式1】（1）已知，求证：； （2）求证：． 【变式2】已知，求证: (1); (2). 题型04 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【典例1】若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【变式1】设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【变式2】（多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 题型05 利用基本不等式求解恒成立问题 解决基本不等式恒成立问题，核心是分离参数，将题目转化为最值问题。分清两种逻辑：大于等于恒成立，只需参数大于式子最大值；小于等于恒成立，参数小于式子最小值。利用基本不等式求出对应最值，严格核查一正、二定、三相等，确认等号可以取到。若变量为负数，先变形转换为正数再运算，无法直接用基本不等式时，搭配单调性分析，避免忽略取值范围造成解题疏漏。 【典例1】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【变式1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型06 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【典例1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【变式1】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【变式2】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 3．已知且为正数，求证：. 4．设均为正数，且，求证：. 5．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 8．设，则的最小值为__________． 9．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 1．（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 2．（多选）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 5．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 6．（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 7．（多选）已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 8．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 9．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 基本不等式 教学目标 1. 理解并掌握基本不等式的公式、推导过程与几何意义，明确基本不等式一正、二定、三相等的使用条件和取等条件，区分重要不等式与基本不等式的差异。 2. 过程与方法：方法，提升代数变形、逻辑推理与利用不等式求最值的运算能力。 3. 体会数形结合、转化与化归的数学思想，养成严谨的审题、解题习惯，提升数学抽象与数学运算的核心素养，增强解决最值实际问题的应用意识。 教学重难点 重点 1. 掌握基本不等式的代数推导、几何解释，熟记公式结构与成立前提条件。 2. 熟练运用基本不等式求解积定和最小、和定积最大两类基础最值问题。 3. 掌握简单代数式的配凑技巧，能规范使用基本不等式解决求值、比较大小问题。 难点 1. 精准理解并落实一正、二定、三相等，容易忽略变量为负、无法取等的陷阱。 2. 复杂代数式灵活配凑和、积定值，无法直接套用公式时的变形构造思路。 3. 含参数、多变量问题中，判断基本不等式的适用条件，严谨验证等号能否成立。 知识点01 基本不等式 1.对公式及的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. 2.由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）；②（异号）； ③或 【即学即练】 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．已知，，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 即，当且仅当时等号成立． 故选：A. 3．设，为正数，则，，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可比较, 【详解】∵， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当时等号成立， ∵， 当且仅当时等号成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立 故答案为： 知识点02 基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，；当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 【即学即练】 1．已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题． (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明：因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． 又，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立． (2) (3)3 【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可； （2）令，结合（1）的结论，即可证明； （3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可. 【详解】（1）略 （2），当且仅当时等号成立． 推导如下： 由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. （3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3． 2．（1）已知实数均大于0，证明：． （2）已知，证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对括号内应用重要不等式证明即可； （2）应用基本不等式，取加法化简即可. 【详解】证明：（1）根据待证不等式结构选用 ， 当且仅当时等号成立，所以． （2）因为，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，因此． 3．（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】 （1）证明：由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）证明：由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【分析】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 知识点03 用基本不等式求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数. 2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案. 【即学即练】 1．求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 2．（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 应用基本不等式时的三个关注点 (1)一正数：指式子中的a，b均为正数. (2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值. (3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值. 【典例1】（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 【变式1】（多选）（多选）下列说法中正确的是（    ） A．成立的条件是 B．成立的条件是 C．成立的条件是 D．成立的条件是 【答案】BC 【分析】根据不等式成立的条件即可判断． 【详解】为重要不等式，其中，A错，B对； 是基本不等式，其中，C对，D错. 故选：BC 【变式2】判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可. 【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误； 对于（2），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（3），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（4），当时，是负数，错误； 故答案为：（1）错误  （2）正确  （3）正确  （4）错误. 题型02 利用基本不等式比较大小 在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能． 【典例1】已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 【变式1】下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质、基本不等式成立的条件逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故C正确； 对于D，因为，所以，仅当a为±1时等号成立，故错误. 故选：C 【变式2】（多选）设，是正实数，则下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由基本不等式即可判断A，B，C；通过作差法即可判断D． 【详解】对于A： ，，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，故A成立； 对于B： ，，则，当且仅当时等号成立，故B成立； 对于C： ，，则，当且仅当时等号成立，故C成立； 对于D： ，， 因为， 所以，故D错误， 故选：ABC． 题型03 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)注意基本不等式成立的条件； (2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立； (3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 【典例1】（1）已知、都是正数，求证：； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相乘可得结论； （2）对，，分别利用基本不等式，然后将得到的式子相加化简可得结论. 【详解】证明：（1）∵、都是正数， ∴，，， ∴， 当且仅当时，等号成立． （2）∵，，， ∴，，， ∴， 故，当且仅当， 即时等号成立． 【变式1】（1）已知，求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：因为（当且仅当时取等号），， 所以①； 同理可得②；③； ①、②、③相加得， 所以， 又，所以， 所以，当且仅当时取等号． （2）证明：因为 ，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 即， 又，当时取等号， 所以，当且时取等号． 【分析】（1）根据重要不等式可得，从而得到，同理得到其余两式，再将三式相加即可得证； （2）利用作差法证明即可. 【变式2】已知，求证: (1); (2). 【答案】(1)证明：， ， 当且仅当，即时等号成立. (2)证明：， . 当且仅当时，即时等号成立. 【分析】（1）作“1”代换，根据基本不等式求解； （2）作“1”代换，根据基本不等式求解. 题型04 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求代数式的最值 (1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值． (2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式． 【典例1】若，则有（    ） A．最小值0 B．最大值2 C．最大值 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据基本不等式求乘积的最大值，再检验最小值的情况即可得解. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 故有最大值，故C正确，BD错误； 令，解得或， 又，所以取不到函数值0，故A错误. 故选：C. 【变式1】设且，则的最大值是（    ） A．400 B．100 C．40 D．20 【答案】A 【分析】直接用基本不等式求解即可. 【详解】因为 所以 即 所以 当且仅当且，即时等号成立. 故选：A 【变式2】（多选）下列函数的最小值为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】AC由基本不等式进行求解；B选项，可举出反例；D选项，变形后利用基本不等式求出答案. 【详解】对于A，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，，故A正确； 对于B，取，则，故B不正确； 对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故不是4，故C错误. 对于D，因为，所以， 故有基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：AD 题型05 利用基本不等式求解恒成立问题 解决基本不等式恒成立问题，核心是分离参数，将题目转化为最值问题。分清两种逻辑：大于等于恒成立，只需参数大于式子最大值；小于等于恒成立，参数小于式子最小值。利用基本不等式求出对应最值，严格核查一正、二定、三相等，确认等号可以取到。若变量为负数，先变形转换为正数再运算，无法直接用基本不等式时，搭配单调性分析，避免忽略取值范围造成解题疏漏。 【典例1】设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 【变式1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【变式2】已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 题型06 基本不等式在实际问题中的应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 【典例1】物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【变式1】某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【变式2】如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】利用“1的代换”构造符合基本不等式的结构，进而求解的最小值. 【详解】已知为正实数，且，则， 因此, 当且仅当即时取等号， 故的最小值为9. 2．，且x，y都是正数，则的最大值是_______． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式即可求解． 【详解】由x，y都是正数， 则，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是． 3．已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 4．设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 5．已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 6．已知，，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式计算判断A；举反例判断B，结合常值代换结合基本不等式计算判断C，D. 【详解】因为，，当且仅当取等号，故A错误； 当时，满足，但是，B选项错误； 利用乘1法，，当且仅当取等号，故C错误，D正确 7．（多选）下列说法正确的有（   ） A．设，，则“”是“”的必要条件 B．若，，则 C．当时，的最小值是 D．若：，，则：， 【答案】ABD 【分析】结合充分必要条件判定、不等式性质、基本不等式求最值、特称命题的否定四个知识点，逐一分析选项即可得出结论. 【详解】对于A：当，时，，所以充分性不成立， 反之，当时，且，所以必要性成立，故A正确； 对于B：由得，又， 由不等式的性质可得，故B正确； 对于C：当时，，所， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，故C错误； 对于D：由存在量词命题的否定是全称量词命题知， 命题：，的否定：，，故D正确. 8．设，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 得， 当且仅当，即时取等号． 9．若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 10．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为（），这两年的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意建立等式，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，因为， 所以， 易知，所以， 因为， 则有， 即，即， 因为，所以， 即，所以， 所以. 1．（多选）下列结论正确的有（     ） A．若，则的最大值为6 B．若，，，则的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及对勾函数的单调性，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，可得，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由，且，可得， 则，即， 解得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由，令， 因为在上单调递增，所以最小值为，所以C错误； 对于D，由，令，则， 因为在单调递增，所以最小值为，所以D正确． 2．（多选）若实数，，且，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】根据给定等量关系，应用基本不等式、“1”的代换及柯西不等式求各项对应代数式的最值，注意取值成立条件. 【详解】A：由均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为，错误， B：因为，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，正确， C：由题设， 由，得， 当且仅当，即时取等号，错误， D：设，问题化为，求的最大值， 根据柯西不等式， 所以，当且仅当即时等号成立， 此时，代入，解得，符合的条件， 所以的最大值为，正确. 3．（多选）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】已知， 分子相同为1，正数分母越大，分数越小，，故A错误； ，已知， 则，故，即，故B正确； 指数函数，当时，函数单调递增，由得； 当时，函数单调递减，由得， 故无法确定大小关系，故C错误； ，已知， 由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，故D正确． 4．（多选）已知，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简成同底数幂，再利用基本不等式（积定和最小）可判断A；先利用消元法，再利用基本不等式可判断B；利用基本不等式（和定积最大）、柯西不等式、二次函数单调性均可判断C；利用常数代换法、函数单调性均可判断D. 【详解】A.由基本不等式得 =，当且仅当，即时等号成立，A正确； B.由得， =，当且仅当， 即时等号成立，B错误； C.法一：（基本不等式）由得，即， ，所以， 当且仅当，即时等号成立， 法二：（柯西不等式）， 同理时等号成立， 法三：（二次函数单调性）由得， ， 当时，函数有最小值，C正确； D. 法一：（常数代换法）由得， ==1， 当且仅当，即时取等号， 法二：（函数单调性）由得, =，令， 二次函数开口向下，对称轴，当时， 所以，当且仅当时取等号，D正确. 5．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 6．（多选）已知，且，下列结论正确的是（   ） A．xy的最大值为2 B．最小值为 C．最小值为 D．最小值为8 【答案】ABC 【详解】对于A：由基本不等式，代入得，化简得， 当且仅当时取等号，A正确； 对于B:（法一）：因为， 所以，且． 所以，当时，． （法二）由柯西不等式，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以B正确． 对于C: ， 当且仅当，即时取等号，所以C正确； D.，当且仅当，由A选项可知， 所以最小值为，D错误． 7．（多选）已知，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】BCD 【详解】对于A，由， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故B正确； 对于C， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故C正确； 对于D， ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6，故D正确. 8．现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 9．（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为9 【答案】AC 【分析】先消元限定定义域，然后利用二次函数性质、常数代换法、取特值求解即可. 【详解】由及正实数，得，且. 对选项A：，这是关于的二次函数，开口向下， 对称轴为，且，故的最大值为. 该项正确. 对选项B：，对称轴为， 代入得最小值为，不等于. 该项错误. 对选项C：， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 该项正确. 对选项D：令，则，所以最大值不是9. 该项错误. 10．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有图形如图所示，C为线段上的点，且，，O为的中点，以为直径作半圆，过点C作的垂线交半圆于D，连接，，，过点C作的垂线，垂足为E，若不添加辅助线，则该图形可以完成的所有无字证明为__________．（填写序号） ①；②； ③；④． 【答案】①③ 【分析】先明确，的几何意义，即在图中相对应的线段，根据直角三角形的相似可得相应的比例式，结合不等关系，即可证明①③选项；由于在该图中没有相应的线段与之对应，可判断②④选项． 【详解】由题意可知，， 由∽可知，即， 所以； 在中，，即， 当时，O，C点重合，，此时，所以①正确； 在中，由∽可得，即， 所以， 由于，所以， 当时，，此时，所以③正确； 由于在该图中没有相应的线段与之对应，故②④中的不等式无法通过这种几何方法来证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $