专题1.8 集合与常用逻辑用语讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合与常用逻辑用语核心计算知识点，系统梳理元素与集合关系、集合元素个数、包含关系、交并补运算及充分/必要条件求参数等6大题型，搭建从基础概念到逻辑推理的学习支架，为函数、不等式等后续内容奠定基础。 该资料以60道专项计算题构建训练体系，通过具体问题（如元素关系求参数、充分条件推理）培养数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（符号表达），课中辅助教师分层教学，课后助力学生专项突破，有效查漏补缺。

专题1.8 集合与常用逻辑用语60道计算题专项训练 （6大题型） 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 根据集合的包含关系求参数 题型四 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 根据必要不充分条件求参数 【经典计算题一 根据元素与集合的关系求参数】 1．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 2．已知，，求实数的值. 3．已知集合，若，求实数的值． 4．已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 5．已知集合，且，求实数a的取值范围． 6．已知集合，若，求实数的值. 7．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 8．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． (1)设中含有3个元素，且求A； (2)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (3)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 9．设,点,但.求的值. 10．已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 【经典计算题二 根据集合中元素的个数求参数】 11．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 12．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 13．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 14．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 15．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 16．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 17．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 18．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 19．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 20．已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 【经典计算题三 根据集合的包含关系求。参数】 21．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 22．已知集合，，若，求实数的取值范围． 23．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 24．已知集合，非空集合，若，求实数值． 25．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 26．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 27．已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 28．已知集合，，且.若，求实数的值. 29．已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 30．已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【经典计算题四 根据交并补混合运算确定集合或参数】 31．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 32．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 33．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 34．已知全集，，，且，求的值． 35．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 36．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 37．已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 38．已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 39．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 40．设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【经典计算题五 根据充分不必要条件求参数】 41．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 42．设全集为， (1)若，求； (2)是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 43．已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 44．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 45．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 46．设全集，集合，集合，其中. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围 (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 47．已知集合，集合． (1)时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 48．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 49．已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 50．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【经典计算题六 根据必要不充分条件求参数】 51．设集合或. (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 52．已知集合，集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 53．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 54．已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 55．已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 56．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 57．设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 58．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 59．已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 60．已知集合，集合，． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.8 集合与常用逻辑用语60道计算题专项训练 （6大题型） 题型一 根据元素与集合的关系求参数 题型二 根据集合中元素的个数求参数 题型三 根据集合的包含关系求参数 题型四 根据交并补混合运算确定集合或参数 题型五 根据充分不必要条件求参数 题型六 根据必要不充分条件求参数 【经典计算题一 根据元素与集合的关系求参数】 1．已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 2．已知，，求实数的值. 【答案】 【分析】根据给定条件，分类代入计算并验证得答案. 【详解】集合，，而， 则或， 当时，解得，此时，与矛盾，即， 当时，而，因此，此时，符合题意， 所以实数的值为. 3．已知集合，若，求实数的值． 【答案】 【分析】根据，分三种情况进行讨论，计算出的值，然后代入集合中，需要留意是否满足集合中元素的互异性． 【详解】解：①当，即时，而，， 不满足集合中元素的互异性，舍去； ②当，即时，而，，符合题意； ③当时，，而，，不满足集合中元素的互异性，舍去． 综上可知，实数的值为． 4．已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解. 【详解】∵， ∴①当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ②当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ③当时，，由②得，舍去，则， 此时，，符合题意． 综上所述，. 5．已知集合，且，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，即恒成立，即可得到答案. 【详解】因为，，， 所以，即满足. 即恒成立，即. 故答案为： 6．已知集合，若，求实数的值. 【答案】或 【分析】依题意可得或，分别求出参数的值，需代入检验是否符合集合元素的互异性; 【详解】解：因为且， 所以或， 当，解得，此时，符合题意； 当，解得或， 若此时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 若此时，符合题意； 综上可得或 7．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 且, 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 8．已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． (1)设中含有3个元素，且求A； (2)能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； (3)中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在这样的，理由如下： 假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集； （3）是，证明：因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）不存在这样的，理由略； （3）是，证明略. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 9．设,点,但.求的值. 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系,由,但， ,建立的关系式,然后求解. 【详解】因为点，① 因为点，② 因为点，③ 由①②得,解得;类似地由①③得. . ，. 当时,由①得,由②得,由③得,所以. 因为,所以. 故答案为. 10．已知集合，且． （1）证明：若，则是偶数； （2）设，且，求实数的值； （3）设，求证：；并求满足的的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，． 【分析】（1）设，然后计算可得； （2）设，计算出，由（1）得的值，然后代入一一检验可得； （3）设，计算可证，在时可得，结合（2）可得值． 【详解】（1）证明：若,则， 所以 ， 因为， 所以原式， 因为，所以偶数，原式得证． （2）因为，且， 则，所以， 设，， 由（1）可知，即， 所以或． 当时，代入可得， 此时，不满足，所以不成立． 当时，代入解得，若，则，不满足，所以不成立；若，则，满足． 综上，可知． （3）证明:因为，所以可设，且， 则 所以 ， 即成立， 对于，不等式同时除以可得， 由（2）可知，在范围内，， 所以， 即． 【经典计算题二 根据集合中元素的个数求参数】 11．若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 12．已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 13．已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； （3）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）若是空集，则方程无实数根， ①当时，原方程变为，此时，不符合题意； ②则，，解得， 所以的范围为. （2）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （3）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 所以的取值范围为：或. 14．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来; (3)若中至多只有一个元素，求的取值范围; 【答案】(1) (2)时，元素为；时，元素为 (3)或 【分析】（1）由题意得方程无解，利用即可求解. （2）由题意，对二次项系数分和讨论，时方程为一元一次方程，有且仅有一个根，满足题意，时，利用即可求解. （3）由题意得，为空集，或有且仅有一个元素，由（1）（2）的结论即可求解. 【详解】（1）若是空集， 则方程无解， 此时， 即. 故的取值范围为. （2）若中只有一个元素， 则方程有且仅有一个实根， 当时，方程为，解得， 方程有且仅有一个实根，满足题意； 当时，， 解得， 此时， 或， 当时，，即该元素为； 当时，，即该元素为. （3）若中至多只有一个元素， 则为空集，或有且仅有一个元素， 由（1）（2）的结论可得的取值范围是或. 15．已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解； （2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可. 【详解】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 16．已知集合. (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来； (3)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的值为或，当时，元素为，当时，元素为 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 17．已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 18．已知集合，求： (1)当时，中至多只有一个元素，求的取值范围； (2)当满足什么条件时，集合为空集． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）当时，为一次方程，符合题意，当时，则可求得结果， （2）当，时，方程无解，当时，则可得答案. 【详解】（1）由题意得，方程可化为， ①当时，方程可化为，得， 所以，符合题意， ②当时， 因为中至多只有一个元素， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为或； （2）①当时，方程可化为， 因为为空集，所以， ②当时， 因为为空集，所以， 综上所述，当或时，集合为空集． 19．已知集合． (1)若集合A是空集，求a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求a的取值范围； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围． 【答案】(1)． (2)或 (3)或． 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． （3）根据至多一个分为一个和没有一个情况即可解决． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，a的取值范围是或 （3）因为A中至多只有一个元素， 所以A为空集或A只有一个元素， 由（1）、（2）可知或， 所以a的取值范围是：或． 20．已知集合 （1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素； （2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围. 【答案】（1），，或，；（2）或 【分析】（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可； （2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可． 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意． 当时，， 解得， 此时原方程为，即． 综上可知：，，或，； （2）由（1）知当时，中只有一个元素． 当时，若中至多含有一个元素， 则一元二次方程有一个解或无解， 即解得， 此时方程至多有一个解． 综上可知，的取值范围是或． 【经典计算题三 根据集合的包含关系求。参数】 21．（1）已知集合，．若，求实数的取值范围． （2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，符合题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围； （2）当时，求得，满足题意；当时，结合，列出不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解：（1）由集合， 当时，，解得，此时满足 ； 当时，要使得， 则满足且等号不能同时取，解得． 综上可得，实数的取值范围是． 解：（2）当时，由，得，满足； 当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 22．已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 23．已知集合，． (1)若中恰有一个元素，用列举法表示的值构成的集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分与两种情况讨论，当时，即可求出参数的值； （2）首先解方程求出集合，再分、、三种情况讨论，分别求出参数的范围（值），即可得解. 【详解】（1）若，即，则，符合题意． 若，即，则由中恰有一个元素，得， 解得或． 综上所述，的值构成的集合为． （2）由，解得或，则． 若，符合，则解得或． 若，则，解得，则，符合． 若，则，解得，则，不符合． 综上所述，的取值范围为． 24．已知集合，非空集合，若，求实数值． 【答案】 【分析】先根据条件，确定集合、的关系，再对集合可能的情况逐一讨论. 【详解】， ∵，∴， 又，所以： 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的值为． 25．已知． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据包含关系得到不等式，求出a的取值范围为； （2）分和两种情况，得到不等式，求出a的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以，解得， 故实数a的取值范围为； （2），， 当时，，解得，满足题意； 当时，，解集为， 综上，实数a的取值范围为. 26．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 27．已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 28．已知集合，，且.若，求实数的值. 【答案】 【分析】解出，由题意知或或，由此即可解出实数的值. 【详解】因为 所以 解得或， 所以， 因为且， 所以或或， 当时，，方程无解； 当时，； 当时，，方程无解； 综上所述：. 29．已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 30．已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【分析】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【详解】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 【经典计算题四 根据交并补混合运算确定集合或参数】 31．已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 32．已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集和补集的概念计算； （2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可. 【详解】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 33．已知集合，集合，全集为. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）利用集合混合运算的结果，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）因为，所以或， 又， 所以. （2）因为，， 所以， 又，， 所以与有交集， 则，即实数的取值范围为. 34．已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 35．记全集，已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）集合的交集和补集的运算计算得出结果；（2）根据已知条件，求解参数范围 【详解】（1）由，得， 方法1： 可得或， 由题，有或， 所以或． 方法2： 则， 所以，或． （2）依题意，或， 因为，所以 解得，故的取值范围为． 36．已知集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据补集和并集的运算法则列出不等式组，解不等式可得到a的取值范围. （2），则，分与两种情况，根据集合的关系列不等式组，解不等式可得到a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以或， 又因为且， 所以解得， 故a的取值范围为. （2）因为，则， 若，则，解得， 若，则解得， 综上所述a的取值范围为. 37．已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 38．已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 39．已知集合或，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集结果可得，分别讨论和的情况即可求得结果； （2）由交集结果可知，分别讨论、和，根据可构造不等式求得结果. 【详解】（1）由题意知：； 因为，故； ①当，即时，满足，此时； ②当，若，则，解得； 综上所述：m的取值范围为 （2）因为，且，故，即， 解得，则，； ①当，即时，； 故，解得； ②当，即时，； 故，解得； ③当，即时，，不合题意； 综上所述，m的取值范围为. 40．设集合． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或或或或 . 【分析】（1）由条件可知集合中包含元素2，所以代入求，并验证是否满足条件； （2）由条件得，分和三种情况讨论，得到的取值范围. 【详解】由题意， （1）由可知，， 即是方程的解， 所以， 即，解得：或， 当时，则，解得， 此时，满足， 当时，则，解得， 此时，满足. 所以实数的值是或； （2） ， 所以 ， 对于方程， ①当，即时，此时，满足条件； ②当时，，即，，不满足条件； ③当时，即时，因为，所以且， 将2代入方程得，解得或， 将代入方程得，解得， 所以且且， 综上可知，的取值范围是： 或或或或 【经典计算题五 根据充分不必要条件求参数】 41．已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由集合的并集运算，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为是的真子集，然后分A是否为空集讨论，列出不等式求解，即可得到结果． 【详解】（1）当时，，又， 所以． （2）因“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上所述，实数的取值范围是． 42．设全集为， (1)若，求； (2)是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入，利用集合的运算法则计算即可； （2）将条件“ 是 的充分不必要条件” 转化为是的真子集，列不等式解即可. 【详解】（1）当 时，则 ， 由，解得：，故. 计算， （2）条件“ 是 的充分不必要条件” 等价于：是的真子集. 已知 ， ， 由是的真子集， 可得：， 解得：. 故实数的取值范围为：. 43．已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据条件，列出不等式组，可求的取值范围. 【详解】（1）因为是的必要条件，所以. 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分条件，所以. 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集. 由（2）可知，当时，集合. 又因为与不能同时成立（前者解得，后者解得）， 所以两个集合不可能相等. 故是的充分不必要条件的充要条件与是的充分条件等价， 所以实数的取值范围为. 44．已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或．； (2)． 【分析】（1）利用交集运算即可求解； （2）利用充分不必要条件转化为，从而可得参数满足的不等式，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，又或． ∴或或．； （2）∵若，且是的充分不必要条件，，， ∴，则， 解得:，故的取值范围是． 45．已知集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用并集和交集的定义可得出集合，； （2）根据题意可知,分析可知，，根据集合的包含关系可得出关于的不等式组，解出的取值范围，再对的取值范围的端点值进行检验即可得解. 【详解】（1）当时，， 又因为，则，. （2）因为“”是“”成立的充分不必要条件，则, 因为，则，则， 由题意可得，解得， 检验：当时，，合乎题意， 当时，，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 46．设全集，集合，集合，其中. (1)若是的充分条件，求实数的取值范围 (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出集合A，B，根据充分条件得，列不等式组求解即可； （2）根据必要不充分条件得，然后列不等式组求解即可. 【详解】（1）， 两根分别为，且， 因为，所以， 因为是的充分条件，所以， 所以，解得. （2）因为是的必要不充分条件， 所以， 所以，所以. 47．已知集合，集合． (1)时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意求出两个集合，再求得即可. （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，集合， 由题意得集合， 则或， 则； （2）若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 则的取值范围为． 48．已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由补集与交集运算直接解出答案； （2）原命题等价于，讨论与，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 或， 所以. （2）因为“”是“”的充分条件， 所以， ①当时，，满足题意； ②当时：； 综上所述：实数的取值范围为. 49．已知集合，，，. (1)求，； (2)如果是的充分条件，求的取值范围； (3)当时，求使，，三条件中恰有两个成立的的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据集合的交并补运算求解； （2）根据题意得，即可得解； （3）使，，三条件中恰有两个成立，分三种情况求解. 【详解】（1），或， 所以. （2）是的充分条件， ，则. （3），，， 若，，，则，则， 若，，，则，则， 若，，，则，无解， . 50．设集合， (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】若是的充分不必要条件，则是的真子集，结合集合包含关系即可求解； 若是的必要条件，则，结合集合包含关系即可求解． 【详解】（1）若是的充分不必要条件，则是的真子集， 所以， 解得， 故实数m的取值范围为； （2）若是的必要条件，则， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数m的取值范围为. 【经典计算题六 根据必要不充分条件求参数】 51．设集合或. (1)求集合； (2)记或，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简集合B，然后利用交集运算求解即可； （2）根据必要不充分条件得到集合关系，利用集合关系列不等式组求解即可. 【详解】（1）， 又或，所以； （2）由题意得集合是集合的真子集，或， 显然， 所以或， 解得或，即， 所以实数的取值范围是. 52．已知集合，集合，设全集为实数集. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)，或； (2) 【分析】（1）直接代入后，根据集合的交并补计算即可； （2）转化为是的真子集，再列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）时，， 故， 或，或， 故或； （2）若“”是“”的必要不充分条件， 则是的真子集，显然恒成立，则， 则，等号不能同时成立，解得. 53．已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得集合，进而可得； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式，解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 54．已知命题，命题， (1)若是的充分非必要条件，求实数的取值范围; (2)若是的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得； （2）由题设推得是的真子集，即得不等式组，解之即得. 【详解】（1）设 由题意可知是的真子集，，即， 则或，解得，又， 故实数的取值范围是； （2）由题意可知是的真子集，则或，解得， 故实数的取值范围是. 55．已知集合， (1)命题，都有，若命题为真命题，求实数的值； (2)已知，若p是q的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据为真命题，可得，即可根据韦达定理求解， （2）将p是q的必要不充分条件转化为,即可根据，和分别求解. 【详解】（1）由可得， 由于，都有，为真命题，故， 因此,故且，故， （2）由于p是q的必要不充分条件，则,且 因为, 当时，则，则不存在， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 综上： 56．已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 57．设全集，集合，非空集合 (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的充分条件，由求解； （2）根据是的必要条件，由求解. 【详解】（1）已知全集，集合，非空集合， 因为是的充分条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是； （2）因为是的必要条件， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是. 58．已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再分与两种情况讨论即可求解； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式组，解不等式组即可. 【详解】（1）， 由，得， 当时，，解得； 当时，不等式组无解， 故实数的取值范围为． （2）因为是的必要不充分条件，所以， 或，解得或， 综上可得，故实数的取值范围为． 59．已知集合和集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交集运算讨论，，列不等式即可得实数的取值范围； （2）根据必要不充分条件得⫋，从而列不等式组即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得： ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，此时，要满足， 则需或，解得； 综上，实数的取值范围为； （2）∵q是p的必要不充分条件， ∴⫋， 则或，解得：， 故实数的取值范围为. 60．已知集合，集合，． (1)若，且，求实数a的取值范围； (2)是否存在实数m，使“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由集合交集运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围； （2）由题意是真子集，列不等式组求参数m范围． 【详解】（1）对于，等价于，解得， 所以， 且，可得， 若，则有： ①当时，，即 ，满足 ②当时，，解得， 综上所述：a的范围是. （2）由（1）得， 若“”是“”的必要不充分条件，可知是真子集， 因为，即集合， 可得，解得． 故存在实数m满足条件，且 m的范围是：. 学科网（北京）股份有限公司 $