第一章集合与常用逻辑用语单元检测讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习讲义以思维导图构建集合与常用逻辑用语的知识体系，知识清单系统梳理集合元素特征、子集、交并补运算及充分必要条件、量词命题等核心知识点，清晰呈现概念间的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于分层设计的过关检测与实用解题技巧，如单选题考查集合关系、解答题结合参数讨论培养推理能力，“空集优先原则”“集合转化法”等技巧指导强化数学语言表达，助力学生自主复习，为教师精准教学提供支持。

第一章集合与常用逻辑用语单元检测讲义 第一部分【知识梳理】 第二部分【知识清单】 集合元素三大特征：________、________、________。 若任意x∈A，则x∈B，称A⊆B；若A⊆B且________，则称A是B的真子集。 交集的定义：A∩B＝{________}；并集的定义：A∪B＝{________}。 设全集为U，集合A的补集：∁UA＝{________}。 若p⇒q成立，则p是q的________条件，q是p的________条件。 若p⇒q且q⇒p，即p⇔q，则p是q的________条件。 若集合A⫋B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件。 全称量词命题的标准形式：________；存在量词命题的标准形式：________。 全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定：________。 存在量词命题∃x∈M，p(x)的否定：________。 命题“若p，则q”的逆命题：________；否命题：________。 原命题与________真假性一致；逆命题与________真假性一致。 第三部分【过关检测】 一、单选题 1．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 3．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 6．满足的集合A的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 7．已知集合，且，则实数的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 8．已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合A的个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．20 二、多选题 9．若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．是菱形是正方形 B．若，，则 C．集合的真子集个数为7 D． 11．设集合，或，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知集合，，且，则实数a的取值范围是________． 13．已知，，若集合，则的值为_____． 14．已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是______. 四、解答题 15．已知集合，，． (1)求，； (2)求，． 16．设集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17．设全集，集合． (1)若时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围． 18．已知. (1)若中只有一个元素，求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若，求实数a的取值范围. 19．已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【解题技巧总结】 一、集合解题技巧 1、元素性质检验法 遇到含参集合，求出参数后，务必回代检验互异性，排除造成元素重复的解。 2、空集优先原则 讨论A⊆B、A∩B=∅、A∪B=B时，先考虑集合为空集的情况，极易漏解。 3、数轴法（数集运算首选） 连续实数集合的交集、并集、补集，画数轴直观判断；端点单独验证能否取等。 Venn 图法（离散集合 / 全集问题） 有限集合、补集、多层集合运算，画图快速理清关系。 4、等价转化套路 A⊆B ⇔ A∩B=A ⇔ A∪B=B； A∩B=∅：无公共元素。 二、充分、必要条件解题技巧 1、定义判断法 若p⇒q成立：p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2、集合转化法（高频） 设集合P对应条件p，集合Q对应条件q P是Q的真子集：p⇒q，充分不必要条件 Q是P的真子集：必要不充分条件 P=Q：充要条件 互不包含：既不充分也不必要 口诀：小范围⇒大范围 3、否定转化技巧 判断p不能推出q，举反例即可证明。 全称量词与存在量词解题技巧 4、命题否定规则 改量词，否结论；条件不变。 全称命题否定：任意变存在，否定结论 存在命题否定：存在变任意，否定结论 ⚠️易错：不能只否定结论，忘记更换量词。 三、恒成立、存在有解转化（压轴常用） 全称恒成立：对任意x∈M，f(x)>0 ⇔ f(x)最小值>0 存在有解：存在x∈M，f(x)>0 ⇔ f(x)最大值>0 四、四类命题易错提醒 原命题与逆否命题真假性一致 逆命题与否命题真假性一致 想要判断原命题困难时，可等价判断逆否命题真假。 五、高频避坑清单 数字0、集合{0}、空集∅三者不要混淆； 区分属于与包含关系：a∈{a}（元素属于集合）；{a}⊆{a,b}（集合包含集合） 条件语序不能颠倒：A 是 B 的充分条件 ≠ B 是 A 的充分条件； 全称、特称命题的否定≠否命题。 第五部分【参考答案】 知识清单参考答案： 确定性、互异性、无序性 存在元素x∈B，且x∉A x | x∈A且x∈B；x | x∈A或x∈B x | x∈U且x∉A 充分；必要 充要 充分不必要 ∀x∈M，p(x)；∃x∈M，p(x) ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 若q，则p；若¬p，则¬q 逆否命题；否命题 过关检测参考答案 1．B 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】是有理数，所以，①正确；是实数，所以，②错误； 中含有元素0，所以不是空集，③错误；自然数集真包含于整数集，所以，④正确．综上，正确结论的个数为2． 故选：B. 2．B 【分析】根据集合概念逐一判断即可. 【详解】对于A，高个子缺少判断的明确标准，不能构成集合，错误； 对于B，联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，正确； 对于C，因为，故数组成的集合中只有5个元素，错误； 对于D，由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，错误. 故选：B 3．C 【分析】先将集合化简，在数轴上表示出集合，再根据并集的定义求 【详解】依题意，，而，在数轴上表示出集合， 如图，所以．    故选：C. 4．B 【分析】由在上有解，由，判断包含关系，进而求解. 【详解】因为在上有解，所以，解得． 因为包含， 所以“”是“，”的必要不充分条件． 故选：B. 5．A 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 6．B 【分析】根据已知条件可知集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有，写出集合A的所有情况即可求解． 【详解】因为集合A满足⫋， 则集合A中必有1，2，集合A还可以有元素3，4，5且不能都含有， 满足条件的集合有，，，，，，，共7个． 故选：B． 7．C 【分析】由或求得并代入集合检验． 【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论． ①或， 当时，集合，满足题意； 当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． ②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去． 综上所述，． 故选：C． 8．C 【分析】根据集合中元素性质判断出符合两个性质的所有元素，在求出其个数即可. 【详解】由题意可知， 结合两个性质可知若，则，若，则； 若，则，若，则； 因此可知1和3不能同时出现也不能同时不出现，2和6不能同时出现也不能同时不出现，而4和5没有限制， 所以符合题意的集合有, 共16个. 故选：C 9．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 10．BC 【分析】借助菱形与正方形的关系、集合相等定义、真子集及空集的定义逐项判断即可得. 【详解】对A：菱形不一定是正方形，A错误； 对B：因为集合与集合均表示奇数集，所以，B正确； 对C：集合的真子集为，共7个，C正确； 对D：，由于空集不是空集的真子集，D错误． 故选：BC. 11．ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断A；根据元素与集合的关系求解判断B；根据交集、并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，无解， 所以若，则，故D错误. 故选：ABC. 12． 【分析】根据并集的定义，写出的取值范围即可. 【详解】 由题意知，则用数轴画图可得. 故答案为： 13． 【分析】由两集合相等及分式的分母不为0可求出n，再利用集合相等和互异性求m，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故，所以解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故答案为： 14． 【分析】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围. 【详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以，所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】分别求出集合，，利用集合交、并、补的运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， ， 所以， ． （2）由题意得，，， 所以， ． 16．(1)，或； (2) 【分析】（1）先求得集合A、B，然后利用交集、并集及补集运算的概念求解即可； （2）根据题意得是的真子集，按照和分类讨论，列不等式组求解即可，注意求并集. 【详解】（1）由，可得，解得， 所以，或， 当时，集合，即， 所以，或； （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，，解得，满足题意， 当时，， 由得，由得，由得， 所以， 综上，实数的取值范围是. 17．(1)，或 (2) (3)． 【分析】（1）由集合的交并补运算即可求解； （2）由题意得，进一步列不等式即可求解； （3）由题意得，对是否是空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以． 方法一  因为或，或， 所以或． 方法二  或． （2）因为，所以， 又，所以解得， 所以的取值范围是． （3）因为，所以（，分为与两种情况讨论）． 若，则，可得，满足； 若，要使，则不等式组无解． 综上，的取值范围是． 18．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论与两种情况，结合一次方程与二次方程的解法即可得解； （2）先解二次方程化简集合，再由分类讨论集合的各种情况，结合二次方程的解法即可得解. 【详解】（1）因为只有一个元素，， 当时，； 当时，对于，有，解得， 把代入集合，得； 综上，或，对应的集合或. （2）因为，， 当时，对于，有，解得； 当时，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，将代入，得，则， 此时（舍去）； 当，则有，方程无解析，此时不存在满足条件； 综上，的取值范围为. 19．(1)，且 (2) (3)当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $