2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦等式与不等式性质第1课时，核心内容包括不等关系表示、比较大小方法（作差法、作商法）及重要不等式。通过限速、酸奶质量检查等生活情境导入，引导学生将实际不等关系转化为不等式，衔接初中等式性质基础，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于融合数学眼光、思维与语言：以赵爽弦图几何直观发现重要不等式，再通过代数证明深化逻辑推理，培养数形结合思想。作差法步骤化教学（作差→变形→判号→结论）提升数学运算素养，助力学生理解知识关联，也为教师提供清晰教学流程与实例，高效落实核心素养培养。

2.1等式性质与不等式性质（第1课时）教学设计 课题 等式性质与 不等式性质 单元 第一章集合与常用逻辑用语 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、梳理等式的基本性质，掌握不等式的八大基本性质，能利用不等式性质比较代数式大小、进行简单变形，培育数学运算核心素养。 2、通过类比等式性质探究不等式性质，学会作差比较法判断两式大小，体会类比推理、转化化归的数学思想，提升逻辑推理能力。 3、感受等式与不等式知识的内在关联，体会数学知识的系统性，养成严谨规范的代数变形习惯，体会不等关系在现实生活中的广泛应用。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2.1节的第一课时，是第二章的起始课。学生在初中阶段已学习了等式的基本性质、一元一次不等式的解法，具备了一定的等式与不等式基础。本节课从现实生活中的不等关系出发，回顾等式的基本性质，引出用不等式刻画不等关系的方法，探究比较两个实数大小的基本事实，并借助赵爽弦图推导重要不等式。本节内容是后续学习不等式性质、一元二次不等式解法、基本不等式等知识的基础，对培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算素养具有重要作用。第一课时聚焦不等关系的表示、比较大小的方法和重要不等式，第二课时将研究不等式的性质。 学情 分析 学生在初中阶段已学习了等式的基本性质，掌握了一元一次不等式的解法，对不等关系有直观的生活经验。但学生尚缺乏从"数"的角度系统认识不等式的理论工具——作差比较法，对"0是正负数的分界点"这一基本事实缺乏自觉运用意识。学生在学习本节课时可能存在以下困难：一是在将实际问题中的不等关系转化为不等式时，对关键词的符号化易出错；二是在运用作差法比较大小时，变形手段不够熟练，"定号"环节易出问题；三是在理解重要不等式时，对几何背景与代数证明之间的联系不够清晰，需要通过直观图形辅助理解。 教学 重点 理解等式与不等式的基本性质，熟练运用不等式性质进行变形，会用作差法比较两个代数式的大小。 教学 难点 运用不等式性质时易忽视条件，多步变形出错，灵活利用作差法处理含参数代数式大小比较问题。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【情境导入 激发思考】 教师PPT呈现情境（PPT呈现）： 情境1：在自然界和社会生活中，存在着大量的相等关系、不等关系、函数关系。我们曾经用等式（包括方程）刻画一些相等关系，用不等式刻画一些不等关系，用函数刻画一些函数关系，研究了等式、不等式、函数所具有的性质，并应用这些性质去解决问题。生活中的不等关系：高矮、胖瘦、轻重、长短…… 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ （1）某路段限速；； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 教师引导学生进行不等式的表示： （1）设该路段行驶的汽车速度为，则 （2）， （3）设三角形三边分别为，则 （4）设是直线外任意一点，是到的垂线段，是直线上任意一点，则 【类比引入 提出课题】 教师引导：在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 那么我们该如何解不等式呢？对于两个实数的大小关系我们是如何刻画，如何比较的？ 教师揭示课题：今天我们就来学习等式性质与不等式性质——首先研究不等关系的表示和比较大小的方法，并推导一个重要不等式。 设计意图：通过生活中的不等关系情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望，回顾等式与不等式的基本概念，自然引出本节课的课题。 1、阅读情境中的不等关系实例，思考如何用数学符号表示； 2、将生活中的不等关系转化为不等式或不等式组； 3、体会"不超过""至多"用≤，"不少于""至少"用≥； 4、明确本节课的学习目标，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：不等关系与比较大小的方法 【活动一：不等关系的表示】 问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 教师引导学生分析： 设提价后每本杂志的单价为元，则销售量为万本， 销售总收入为万元万元。 于是，不等关系"销售总收入不低于20万元"可以用不等式表示。 ⭐在数学中，我们用不等式来表示不等关系。 【活动二：比较两个实数大小的基本事实——作差法】 教师引导学生思考：对于两个实数的大小关系我们是如何刻画，如何比较的？ 从"数"的角度：0是正数与负数的分界点，它为实数比较大小提供了"标杆"。 从"形"的角度：数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 ⭐基本事实（作差法）： ； ；。 ⭐作差比较法的一般步骤： 第一步：作差——计算； 第二步：变形——通过因式分解、配方、通分等手段化简差式； 第三步：判号——判断差式的正负（与0比较）； 第四步：结论——根据差的符号得出大小关系。 口诀：作差→变形→判号→结论。 【活动三：作商法比较大小】 思考1：除了作差法外，还有什么其他方法可以比较大小？ 教师引导：1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆。 ⭐作商法：当时， 。 注意：作商法要求两数同号且不为0。 即时辨析： 【辨析1】设，比较与的大小。 解：由，得，，， 因此， 所以. · 探究二：重要不等式 【活动四：赵爽弦图与重要不等式的发现】 思考2：右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 教师引导学生将风车图抽象为几何图形： 设直角三角形的两直角边分别为，则： (1) 正方形的面积； (2) 四个直角三角形的面积和； 问题3：与有什么样的不等关系，如何表示？ 从图形直观来看，正方形面积 ≥ 四个直角三角形面积和，即。 更进一步地，考虑与的关系： 在赵爽弦图中，大正方形面积为， 四个直角三角形面积为，中间小正方形面积为。 由面积关系可得：。 问题4：与会出现相等的情况吗？什么时候相等？ 当时，图形中四个直角三角形恰好拼成大正方形，此时等号成立。 ⭐重要不等式：一般地，∀a, b∈R，有a² + b² ≥ 2ab，当且仅当a = b时，等号成立。 【活动五：重要不等式的代数证明】 问题5：你能用代数方法证明这个重要不等式吗？ 证明：由完全平方公式可得： ( ∵ ，当且仅当时等号成立， ∴ ∴ ，当且仅当时，等号成立。 ⭐证明思路：利用完全平方公式将化为，利用"任意实数的平方非负"定号。 设计意图：通过赵爽弦图的几何直观引导学生发现重要不等式a²+b²≥2ab，再从代数角度给出严格证明，渗透数形结合思想，让学生体会"几何直观发现结论，代数方法严格证明"的研究路径，培养数学抽象和逻辑推理素养。 1、分析实际问题，将不等关系转化为不等式； 2、理解"0是正负数的分界点"这一基本事实； 3、跟随教师板书作差法的四个步骤，记录口诀； 4、理解作商法的适用条件（同号且非零）； 5、独立完成即时训练，同桌互改。 6、观察赵爽弦图，理解几何背景； 7、从面积关系发现与的大小关系； 8、思考等号成立的条件——时； 9、跟随教师用完全平方公式完成代数证明； 10、记录重要不等式及等号条件。 课堂练习 · 典例精讲 【例1】比较和的大小 【分析】数字的大小可以通过作差后与0比较，类比我们也可以比较它们的大小。 解： ∵ ∴ 课堂练习 【题型1：实际问题的不等关系】 1、用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求矩形菜园的长宽都不能超过11，靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为， 这时菜园的另一条边长为 而矩形的长宽都不能超过11， ∴有 即. 2、用一段长为30的篱笆围成一个一遍靠墙的矩形菜园，墙长18，要求菜园的面积不小于110靠墙的一边长为试用不等式表示其中的不等关系。 解：由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18，∴ 这时菜园的另一条边长为 因此菜园的面积 依题意有即 故该题中的不等式关系表示为 【题型2：比较大小】 1、比较与的大小 解： ∵ ∵ ∴ ∴ 即 教师补充以下注意事项： 作差法比较大小注意： ⭐用作差法比较两个数(式)的大小时，其关键是变形，一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形，这样有利于定号。特别是作差后的式子为二次三项式时，常考虑因式分解或配方法变形。 ⭐注意培养逻辑推理素养和数学运算素养。 2、比较和的大小 解： ∵ 当时，，所以 当时，，所以 3、 解： 即 所以 【题型3：不等式的证明】 1、 解： 即 同理 即 所以 1、例1阶段：独立作差，注意展开和化简； 2、整理作差法和作商法的选取原则。 3、独立完成题型1，将实际问题转化为不等式（组）； 4、独立完成题型2的作差比较，注意变形和定号； 4、第3题注意因式分解定号的方法； 5、错题整理：变形不彻底、定号错误、分类讨论遗漏。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、不等关系的表示 ·用不等式（不等式组）表示实际问题中的不等关系 ·关键词："不超过""至多"→≤；"不少于""至少"→≥ 二、比较大小的方法 ·作差法： 步骤：作差→变形→判号→结论 ·作商法：时 变形手段：因式分解、配方、通分、有理化 三、重要不等式：，当且仅当时等号成立 四、方法选择：作差法（适用于任意情形）、作商法（仅适用于同号正数比较） 教师强调：作差法是比较大小的通法，关键是变形和定号。重要不等式是本章的核心不等式，在后续学习基本不等式时有重要应用。体会"0是正负的分界点"这一基本事实在比较大小的核心地位。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点； 2、独立绘制简易思维导图，梳理不等关系表示、比较大小方法、重要不等式； 3、主动举手分享本节课易错点； 4、完成自我评价：能否独立用作差法比较两个代数式的大小。 作业 布置 1、P34 书后练习第1、2、3题； 2、P35 习题2.1 第1、2、3题； 3、拓展：已知，证明，并指出等号成立的条件。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意配方定号的方法。 板书 设计 第二章 2.1 等式性质与不等式性质（第一课时） 一、不等关系的表示：关键词：≤（不超过/至多），≥（不少于/至少） 二、比较大小的方法 ·作差法： 步骤：作差→变形→判号→结论 ·作商法：时， 变形手段：因式分解/配方/通分/有理化 三、重要不等式：，当且仅当时等号成立 四、方法选择：作差法、作商法（同号正数） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $