专题1.3 集合的基本运算重难点题型专训讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理交集、并集、补集的概念及运算，结合Venn图表达与容斥原理应用，构建从概念理解（自然、符号、图形语言）到基础运算，再到参数求解与实际问题应用的递进式学习支架。 该资料以12大基础题型与3大提高题型分层设计，搭配即时训练与自我检测。通过《孙子算经》问题、Venn图分析等实例，培养学生用数学眼光抽象集合关系，用数学思维推理参数取值，用数学语言表达运算过程。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题1.3 集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+12大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、交集的概念及运算 题型二、根据交集结果求集合或参数 题型三、并集的概念及运算 题型四、根据并集结果求集合或参数 题型五、补集的概念及运算 题型六、根据补集运算确定集合或参数 题型七、交并补混合运算 题型八、根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九、容斥原理的应用 题型十、根据并集结果求集合元素个数 题型十一、集合新定义 题型十二、利用Venn图求集合 第二部分·练提高题型 题型一、交集相关求解 题型二、并集相关求解 题型三、补集相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} 【注】（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合B，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，得，即. 所以. 2．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知集合，则______． 【答案】 【详解】， ； 故：. 知识点02 补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作U． 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 （1） （2） 【注】∁UA的三层含义： （1）∁UA表示一个集合； （2）A是U的子集，即A⊆U； （3）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 （1）A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A． （2）A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A． （3） 【即时训练】 1．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知全集，集合，则________． 【答案】 【分析】根据补集的定义，在全集中剔除集合的所有元素，即可求得的补集 【详解】已知全集，集合， 则，即 知识点03 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示． 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍．用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数． 【即时训练】 1．（25-26高一上·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】画出韦恩图，列方程可得. 【详解】 设这两部电影都观看的有人， 由图形可知，解得. 故选：C 2．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 【答案】4 【分析】结合事件所表示的意义和韦恩图求出答案. 【详解】事件表示喜欢数学兴趣小组，且喜欢语文兴趣小组， 但不喜欢英语兴趣小组，故表示的区域为4. 故答案为：4 【基础题型一 交集的概念及运算】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合是点集，元素是点；集合是数集，元素是实数，故. 1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集定义计算即可. 【详解】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 2．（24-25高一上·浙江·阶段检测）（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】直接将各选项的数字变形判断即可. 【详解】对A，，满足的描述，所以，符合； 对B，，不满足的描述，则，不符合； 对C，，满足的描述，，符合； 对D，，不满足的描述，则，不符合. 故选：AC 3．（2025高二上·甘肃·竞赛）设集合，则的元素个数为_____． 【答案】2 【分析】判断集合中的元素有哪些在集合中即可求解. 【详解】在的元素中，都不是平方数，小于2025，所以它们都不属于， 而，所以的元素个数为2． 故答案为：2. 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）设集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交集运算求解； （2）分和讨论，根据子集关系求解出的取值范围. 【详解】（1），， . （2）当时，，解得：，满足题意； 当时，，解得，由（1）知， ，画出数轴图，   ，解得. 综上，实数的取值范围是. 【基础题型二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以或， 当时，与集合元素的互异性矛盾； 当时，可得，此时,满足 故. 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）设集合，.若，则的值可能为 （    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件得集合包含关系，再根据是否为空集分类讨论，最后解得结果. 【详解】， ， 当即时，满足题意，所以， 当即时，，由得或， 所以，或 综上，，或，或 故选：BCD 3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【分析】由，得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 4．（25-26高一上·辽宁·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，列出不等式求解即可； （2）法一：通过求解时的取值范围，再求其补集即可， 法二：通过求解即可. 【详解】（1）因为且， 所以 . 又， ， 实数的取值范围为. （2）解法1：命题“”是真命题，. 下面讨论的情形： ①当时，，满足； ②当时，，若，则或，解得. 综上，当时，. 命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 解法2：命题“”是真命题，. 解得： 即命题“”是真命题时，实数的取值范围为. 【基础题型三 并集的概念及运算】 【例3】（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用集合的并集运算求解. 【详解】 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求解集合，再由集合并集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 2．（24-25高三下·江西·阶段检测）（多选）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合和中元素的定义，对不同情况下元素的运算结果进行分析，判断其是否属于相应集合. 【详解】当时，，则，正确. 设，，则未必属于错误. ，因为， 所以，所以，D正确. 同理可得C正确. 故选：ACD 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 【答案】 【分析】解不等式求得，根据判别式求得，由此求得，进而求得中所有元素的和构成的集合. 【详解】，所以. ， 当时，， ，所有元素的和为2025. 当时，， ，所有元素的和为. 当时，由求根公式有的两个不相等的实数根为， ，其中， 若，， ，所有元素的和为. 若，则，所有元素的和为， 综上所述，的所有情况中，所有元素的和构成的集合为. 故答案为： 4．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合并集运算即可求解； （2）由，确定，求解即可. 【详解】（1）当时，， 又， 所以 （2）由 得， 因为， 所以， 解得， 即实数t的取值范围是. 【基础题型四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】若，则，故A错误； 若,则，故B错误； 若,则，故C错误； 若,则，故D正确； 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解方程求得集合A，根据并集结果从而求得. 【详解】集合，集合．由，可知集合必须包含元素2，即. 故选：D 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据集合的并集性质转化为子集关系，再分情况讨论的可能取值，结合元素互异性验证结果即可得解. 【详解】由已知，则，所以的值可能为,或. 由元素互异性可知，， 当时，解得，此时 或，满足题意. 当时，解得，若， 则集合中会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 当时，解得或1，若， 则集合和集合中均会出现重复元素，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 若，则，满足题意. 因此，实数的值可以为. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若 ，则实数 取值范围是_____. 【答案】 【分析】由,比较大小关系即可. 【详解】因为，且 ， 所以, 即实数 取值范围是, 故答案为: 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合关系可得，求得或，分别代入验证即可求解； （2）根据并集定义可知或，求得或，分别代入验证即可求解. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即，解得或， 当时，，，不满足，不合题意； 当时，，，满足，符合题意； 综上，； （2）因为集合，，， 所以或，解得或， 当时，，，满足，符合题意； 当时，，，此时，不合题意； 综上，. 【基础题型五 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 1．（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意解不等式，推导出x的取值范围，确定全集U，再根据给定集合进行补集运算求解. 【详解】根据题给条件：可知，所以 即. 集合 则，元素个数为4. 故选：B. 2．（24-25高一上·内蒙古兴安·阶段检测）（多选）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用补集的运算即可得解. 【详解】由于，所以， 所以可以是、、，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 3．（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将方程变形整理得，由得取值范围，其补集即为所求. 【详解】  设全集为时，集合为方程无实根时的取值， 则集合为方程有实根时的取值，于是，将方程变形整理得. 若方程有实数根，则由得，即， 由此解得，即， 所以或. 即当或时，方程0在内无实数根. 故答案为：. 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的意义求解即可； （2）利用补集的意义可求得，结合已知可得，求解即可. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以； （2）因为，或， 又因为，，所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【基础题型六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据补集的定义，先确定集合 ，再比较集合中的元素求出 . 【详解】因为 ，且 ，所以从全集 中去掉元素 后，得到 又 ，因此解得 1．（25-26高一上·广东江门·期末）设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的定义求出集合，然后根据元素与集合的关系判断即可. 【详解】因为全集，集合满足， 所以. 所以. 故选：A. 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围. 【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U； 若a≠0，则＝. 此时＝3或＝5， ∴a＝或a＝. 综上a的值为0或或. 故选：ABC 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是______. 【答案】 【分析】由，结合题意可求出，即可求出的长度的最大值. 【详解】因为数集，， 所以，解得：， ，所以，所以. 则的长度为:， 所以的长度的最大值是：. 故答案为： 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分，两种情况，结合题意讨论求解即可； （2）结合（1），根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）由，得， 当时，即时，，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围． （2）由（1）知，当时，，所以，满足； 当或时，，， 由可得，所以． 综上所述，实数的取值范围． 【基础题型七 交并补混合运算】 【例7】（2026·广东·模拟预测）已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的运算可得. 【详解】因为集合，， 所以， 综合选项判断可得B正确. 故选：B. 1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）设全集为，若，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出成立的条件，将集合转化为，即可得解. 【详解】已知，所以它的补集为； ，所以它的补集为. 要使成立，只需或， 所以集合或 . 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】本题考查集合的交、并、补基本运算，需根据各类运算的定义逐一计算各选项判断正误 【详解】选项A：根据并集定义，合并两个集合的所有元素并去重，可得，A正确; 选项B：根据交集定义，取两个集合的公共元素，可得，因此，B错误 选项C：先得，再求其在全集中的补集，即中去掉的剩余元素，得，C正确 选项D：先求在中的补集，得，再和求交集，公共元素只有，因此，D正确. 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设全集，，，则集合__________． 【答案】 【分析】由集合的交并补混合运算关系得到即可； 【详解】因为，， 所以集合中没有0,1,8,9， 又，所以集合中有2,4，同时 ，说明集合中没有5,7,10， 综上，集合， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算即可. （2）根据得到是的子集，分和两种情况计算，取并集即可. 【详解】（1）当时，，又或， 所以. （2）因为，所以是的子集. 当时，，解得. 当时，，解得，所以， 综上，. 【基础题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例8】（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到，再由即可得到． 【详解】由， ， 故选：D． 1．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（多选）已知全集，集合，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据补集和交集的定义，结合条件，分析集合中的元素. 【详解】由条件可知，集合中的元素有2和4，则集合中没有2和4，故A错误，B正确； 集合中没有元素6，所以集合中有元素6，故C正确； 因为集合中没有元素8，所以8是否属于集合不确定，故D错误. 故选：BC 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 【答案】 【分析】求出，由建立不等式即可得解. 【详解】由或，可得， 因为，， 所以且， 解得， 故答案为： 4．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 【基础题型九 容斥原理的应用】 【例9】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 【答案】A 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 1．（25-26高一上·河北·期中）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】设出喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数，根据题意，列方程即可解出答案. 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 2．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 3．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 4．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【答案】(1)340人 (2)251人 (3)84人 【分析】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为，由容斥原理求解即可； （2）由容斥原理只修一门课的学生有 ； （3）由容斥原理正好修两门课的学生有 【详解】（1）设修数学、语文、外语的学生组成集合为， 则， ， ， 所以该校共有340人. （2）只修一门课的学生有 , 所以只修一门课的学生有251人. （3）正好修两门课的学生有 ， 所以正好修两门课的学生有84人. 【基础题型十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（2026·安徽淮北·一模）已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用并集的运算求解. 【详解】，， ，的元素个数为. 故选：C. 1．（2025·广东深圳·一模）满足等式的集合X共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据方程的实数根可得集合，则，由集合的并集与元素的关系即可得符合条件的所有集合. 【详解】解：方程的实数根有，解集构成的集合为， 即，则符合该等式的集合为，，，， 故这样的集合共有4个. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）（多选）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据并集的定义结合条件即得． 【详解】由并集的定义知，当集合与中没有公共元素时，有，所以可能成立； 当集合与中有公共元素时，，所以可能成立； 当集合与集合为相等集合时，，所以可能成立； 根据集合的并集运算可知不能成立. 故选：ABD． 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有______对． 【答案】44 【分析】根据题意转化为对Card，进行分类讨论即可． 【详解】由条件可知，，， 当，时，不成立； 当，时，则，， 所以，，符合条件的有1对； 当，时，则，， 集合中另一个元素从剩下的6个数中再选1个，所以有6对； 当，时，则5，， 集合中另外的元素从剩下的6个数中再选2个，所以有15对； 当，时，，，矛盾； 剩下几种情况，由对称性和前面类似， 所以共有对， 故答案为：44. 4．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解一元二次方程即可； （2）根据并集的结果得到集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）由解得或，所以. （2）因为，所以， 由解得或， 若，则，满足； 若，则，因为，所以， 综上或. 【基础题型十一 集合新定义】 【例11】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 1．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题中的定义求解即可. 【详解】且，因为， 对于，所以；对于，所以； 则， 故选：C. 2．（24-25高一上·四川泸州·期中）（多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题干中所定义集合运算，结合题意可得答案. 【详解】因为，，， 所以，， ，. 故选：AD． 3．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 【答案】010101 【分析】利用集合的新定义得出，再由集合的字符表示即可求解. 【详解】由，，得，则， 因此此集合的第2个字符为1，第4个字符为1，第个字符为1，其余字符均为0， 所以表示的6位字符串是010101. 故答案为：010101 4．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【答案】(1)不是集，是集. (2) 证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. (3)17 【分析】（1）根据集的定义可判断； （2）根据集的特征得出，求和整理可证； （3）根据推理出所有的集，求出最小值即可. 【详解】（1）不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. （2）略 （3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时； 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时； 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时； 所以集合中所有元素的和的最小值为. 【基础题型十二 利用Venn图求集合】 【例12】（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 1．（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形结合集合的基本运算求解即可. 【详解】根据图形，阴影部分属于集合，不属于集合A，C， 则阴影部分所表示的集合可以为. 故选：A 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合Venn图逐项判断即可. 【详解】 由Venn图知： ，当时也成立，A正确； ，当时也成立，B错误； ，当时也成立，C正确， ，当时也成立，D正确， 故选：ACD 3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【分析】先分类讨论求出全集，再求出集合，结合韦恩图可知阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即可. 【详解】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段检测）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据，可得，再借助韦恩图即可得解； （2）根据交集和并集的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由， 如图，作出韦恩图， 由图可知； （2）因为， 所以或，. 【提高题型一 交集相关求解】 【例1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 当时，即； 当时，即，解得， 综上不等式的解集为或，故或， 又，根据交集的定义即可得. 1．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，由可得，利用集合间关系即可得解. 【详解】， 由，则，故， 即的取值范围为. 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）（多选）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，对集合A进行分类讨论，结合二次方程根的判别式和韦达定理计算. 【详解】当时，，解得； 当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于， 则，，得，， 综上，. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·河南·开学考试）设集合，则中元素的个数为___________. 【答案】81 【分析】由集合描述法转换成列举法，再由交集运算即可求解. 【详解】, ， 所以， 又， 所以中元素的个数为， 故答案为：81 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，并且．求满足题意的所有实数x所成的集合． 【答案】且 【分析】根据可得，分析的范围，然后结合集合元素的互异性求解可得. 【详解】因为，所以，所以， 当时，所以中元素都为负数，中元素都为非负数， 所以，此时满足. 由集合元素的互异性可知，，即，得. 综上，求满足题意的所有实数x所成的集合为且. 【提高题型二 并集相关求解】 【例2】（24-25高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集概念计算即可. 【详解】集合，，则. 故选：C. 1．（2026·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）（多选）（多选），，且，则的可能值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据，，得到，分类讨论解决即可. 【详解】由题知 由，解得或 所以， 因为，所以 当时，，满足题意， 当时，，，即，或，即； 故选：BCD 3．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，先求出集合，再根据并集的定义求解即可；（2）先求出集合，根据，在数轴上表示出集合，根据图可列不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以. 又，在数轴上表示出集合，如图： 由图知，解得，即实数的取值范围是. 【提高题型三 补集相关求解】 【例3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式后，根据补集运算求解. 【详解】因为，， 所以， 故选：D 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断. 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 2．（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合元素的性质及补集的概念求解即可得答案. 【详解】已知全集，其中， 当时， 当时， 当时， 故选：AC. 3．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 【答案】7 【分析】由得，即和为一元二次方程的根，利用根与系数关系即可求解. 【详解】由有：，所以和为一元二次方程的根， 所以，所以， 故答案为：. 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知全集 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中有四个元素，求和的值. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）若，则，根据一元二次方程根的关系即可求的取值范围； （2）若中有四个元素，则等价为为单元素集合，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：全集，， 由知，，即方程无解， ，， 判别式，即或， 由得； 由得； 同理，由3、4、5不是方程的根，依次可得，，； 综上可得所求范围是，且，，，； （2）解：中有四个元素，为单元素集合，由， 解得， 当时，方程化为，解得，所以，满足条件； 当时，方程化为，解得，所以，不满足条件； 综上知，，，． 1．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真子集的定义，结合交集定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，，即， 又，但，所以，故. 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查集合的运算以及方程和不等式的求解，分别求出A,B两个集合，再根据并集的定义求解. 【详解】由题意得，，，则. 故选C. 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集、交集的定义进行计算. 【详解】集合，， ∴，则． 故选：C. 4．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 而，则， 若，则，，此时，不满足题意，故， 同理可得，又，则. 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 6．（25-26高一上·江西赣州·期中）（多选）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 【答案】ABD 【分析】根据交集和并集运算判断AB，举反例判断C，结合元素的互异性和子集关系，分类讨论判断不成立，即可判断D. 【详解】A选项：当时，，，所以，正确； B选项：当时，或即， 当时，，，，有4个元素； 当时，，，，有4个元素；正确； C选项：由A选项可知当时，，， ，符合，但是不满足，错误； D选项：当时，，则，， 根据集合中元素满足互异性，得到，所以， 当时，，，不满足； 当即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 当，即或（舍去），即时，，，不满足； 综上，不存在，使得，所以，正确； 故选：ABD 7．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】∵，则，解得， 由选项可知，的值可以是或或． 故选：ABC 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 【答案】AB 【分析】根据集合的新定义，结合选项以及交并补的性质逐一判断即可． 【详解】解：对于A，因为，所以， 所以，且中的元素不能出现在中，因此，即A正确； 对于B，因为，所以， 即与是相同的，所以，即B正确； 对于C，因为，所以， 所以，即C错误； 对于D，由于 ， 而， 故，即D错误． 故选：AB． 9．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 【答案】BC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又，说明， 综上，画出维恩图如下： 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，的不同真子集个数为7，故D错误， 故选：BC. 10．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【分析】对于A. 通过举反例，即可判断；对于B. 由正整数相乘的封闭性即可判断；对于C.通过举反例，说明其为有限集合即可；对于D. 利用闭集合定义检验即可判断. 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 11．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 12．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 13．（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 【答案】 【分析】结合集合的交集及补集运算分析B的可能情况，然后再结合集合并集运算可求． 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： 14．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【分析】第一天售出商品数减去前两天都售出的商品数即可解决第一空，再求出第三天售出的商品中有多少种商品第二天未售出，要使商品种数最少，则只需第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过，即可得解. 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 15．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 【答案】27 【分析】利用列举法，结合并集的定义即可求解. 【详解】时，，则满足的有: 当时，， 当时，或， 当时，或， 当时，或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或， 当时，或或或或或或或， 综上可得. 故答案为：27 16．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 17．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 18．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 20．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义及集合的运算求解； （2）根据新定义，分类讨论即可得解； （3）根据集合的新定义结合交集及并集计算证明. 【详解】（1）因为；，则,， 则； （2）因为，，， 则，又因为， 若，则时，，，不合题意，舍去； 所以，则，可得，， 则，所以； （3）设， ； 设， ； 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算重难点题型专训 （3个知识点+12大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、交集的概念及运算 题型二、根据交集结果求集合或参数 题型三、并集的概念及运算 题型四、根据并集结果求集合或参数 题型五、补集的概念及运算 题型六、根据补集运算确定集合或参数 题型七、交并补混合运算 题型八、根据交并补混合运算确定集合或参数 题型九、容斥原理的应用 题型十、根据并集结果求集合元素个数 题型十一、集合新定义 题型十二、利用Venn图求集合 第二部分·练提高题型 题型一、交集相关求解 题型二、并集相关求解 题型三、补集相关求解 第三部分・自我检测 知识点01 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A，或x∈ B} 2．交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A，且x∈ B} 【注】（1）两个集合的并集、交集还是一个集合． （2）对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． （3）A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 3．集合关系的转化 A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集． 【即时训练】 1．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知集合，则______． 知识点02 补集与全集 1．全集 （1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． （2）符号表示：全集通常记作U． 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U，且x∉A} 图形 语言 性质 （1） （2） 【注】∁UA的三层含义： （1）∁UA表示一个集合； （2）A是U的子集，即A⊆U； （3）∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 3．集合的运算性质 （1）A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A． （2）A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A． （3） 【即时训练】 1．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·上海黄浦·期末）已知全集，集合，则________． 知识点03 Venn图表达集合的关系和运算 1．Venn图表达集合的运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示． 2．Venn图的应用 在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍．用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数． 【即时训练】 1．（25-26高一上·福建福州·期中）高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（   ） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 2．（25-26高二上·湖北十堰·期中）如图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况，设事件“参加数学兴趣小组”，事件“参加语文兴趣小组”，事件“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生，则事件所代表的区域是________（填区域编号）. 【基础题型一 交集的概念及运算】 【例1】（2026高三·全国·专题练习）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江·阶段检测）（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·甘肃·竞赛）设集合，则的元素个数为_____． 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）设集合，，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【基础题型二 根据交集结果求集合或参数】 【例2】（2026·云南·三模）已知集合，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）设集合，.若，则的值可能为 （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）设，，若，则实数的值可以为_____． 4．（25-26高一上·辽宁·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围. 【基础题型三 并集的概念及运算】 【例3】（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知集合，集合，则为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·江西·阶段检测）（多选）已知集合，则下列判断正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，则中所有元素的和的可能值组成的集合为______. 4．（25-26高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数t的取值范围. 【基础题型四 根据并集结果求集合或参数】 【例4】（2026·云南·模拟预测）已知全集，，则集合B可能为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知集合，集合．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）（多选）若集合，，且满足，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）已知集合，若 ，则实数 取值范围是_____. 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，. (1)若，求a的值； (2)若，求a的值. 【基础题型五 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一下·云南临沧·期末）设全集，集合，则中元素的个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·内蒙古兴安·阶段检测）（多选）设全集，，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南平顶山·开学考试）若当时，一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为______. 4．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【基础题型六 根据补集运算确定集合或参数】 【例6】（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知全集，集合，若，则（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 1．（25-26高一上·广东江门·期末）设全集，集合满足，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·贵州遵义·期末）（多选）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 3．（25-26高三上·贵州黔西南·阶段检测）集合（，、），定义为的长度.已知数集，，若，则的长度的最大值是______. 4．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【基础题型七 交并补混合运算】 【例7】（2026·广东·模拟预测）已知集合，全集和集合．若，则可能正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·浙江宁波·期中）设全集为，若，，则集合等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）（多选）设集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北石家庄·阶段检测）设全集，，，则集合__________． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知集合，，全集． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【基础题型八 根据交并补混合运算确定集合或参数】 【例8】（25-26高三上·山西晋城·阶段检测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）（多选）已知全集，集合，且集合满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段检测）已知或，，若，则m的取值范围是______. 4．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【基础题型九 容斥原理的应用】 【例9】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（   ） A．52 B．51 C．50 D．49 1．（25-26高一上·河北·期中）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 3．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 4．（25-26高三上·广西钦州·开学考试）一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130人；同时修数学、语文两门课的学生有48人，同时修数学、外语两门课的学生有30人，同时修语文、外语两门课的学生有21人；三门课全修的学生有5人.问： (1)该校共有多少学生？ (2)只修一门课的学生有多少？ (3)正好修两门课的学生有多少？ 【基础题型十 根据并集结果求集合元素个数】 【例10】（2026·安徽淮北·一模）已知集合，则的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 1．（2025·广东深圳·一模）满足等式的集合X共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26高一上·江苏连云港·阶段检测）（多选）设，均为有限集，中元素的个数为，中元素的个数为，中元素的个数为，下列各式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）设有序集合对满足：，，记，分别表示集合中的元素个数，则符合条件，的有序集合对有______对． 4．（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）若集合 (1)用列举法表示集合. (2)若，求实数的值. 【基础题型十一 集合新定义】 【例11】（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 1．（2025·上海闵行·一模）已知，若，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川泸州·期中）（多选）定义集合A与的运算：且．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·吉林·期中）设全集，且的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定，空集表示的字符串为000000．对于任意两集合，我们定义集合运算且．若，，则表示的6位字符串是___________． 4．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【基础题型十二 利用Venn图求集合】 【例12】（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·广东阳江·阶段检测）图中阴影部分所表示的集合是（   ）.（全集） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）（多选）已知为全集，若是的非空子集，且满足，则下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段检测）已知全集 (1)求集合； (2)若集合，求. 【提高题型一 交集相关求解】 【例1】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）（多选）已知，，若，则实数可能取的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南·开学考试）设集合，则中元素的个数为___________. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，，并且．求满足题意的所有实数x所成的集合． 【提高题型二 并集相关求解】 【例2】（24-25高二下·北京延庆·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·甘肃白银·阶段检测）（多选）（多选），，且，则的可能值为（    ） A． B． C．0 D． 3．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为______． 4．（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【提高题型三 补集相关求解】 【例3】（24-25高三上·浙江宁波·期末）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 1．（2026·江苏南通·模拟预测）已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东泰安·期中）（多选）已知全集，其中，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川眉山·阶段检测）已知全集，集合，若，则_______， 4．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知全集 (1)若，求实数的取值范围； (2)若中有四个元素，求和的值. 1．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）已知集合，则集合（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（25-26高一上·江西赣州·期中）（多选）设集合，，则（   ） A．当时， B．当时，有4个元素 C．当时， D． 7．（25-26高一上·广东河源·阶段检测）（多选）已知集合，，若，则a的值可以是（    ） A． B．0 C． D． 8．（2025·江苏泰州·模拟预测）（多选）对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．存在，使得 9．（24-25高一上·福建福州·期中）（多选）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的不同真子集个数为8 10．（25-26高二下·安徽·期末）（多选）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 11．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 12．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    13．（2026·江苏南通·模拟预测），，则______． 14．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 15．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知集合，若集合B，C满足，则称为“完美集合对”，所有“完美集合对”的个数记作，则________. 16．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 17．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 18．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 20．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）对任意，，记，称为集合，的对称差． (1)若为2的倍数，为3的倍数，求； (2)若，，，求，； (3)证明：对任意，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $