专题03 充分条件与必要条件（重难点讲义） 数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，从命题“若p则q”的真假与推出关系切入，系统梳理充分、必要、充要条件定义，结合集合包含关系判断条件类型，覆盖方程、不等式、几何等综合题型及充要条件证明步骤。 该资料逻辑分层清晰，重点与难点明确，题型含典例、变式及综合题，融入生活情境（如诗句、电路图）和高考拓展。通过集合关系培养数学思维，生活实例发展数学眼光，规范证明步骤提升数学语言表达，课中助力分层教学，课后帮助巩固查漏。

专题03 充分条件与必要条件 重点目标： 1. 理解命题 “若，则” 的真假与推出符号的对应关系，能准确判断简单命题能否推出. 2. 熟记充分条件、必要条件、充要条件的定义，能根据、区分三类条件. 3. 掌握用集合包含关系判断条件类型：对应是的充分条件，对应是的必要条件. 4. 会结合方程、不等式、几何图形基础题型，判定充分、必要、充要条件. 5. 能规范写出证明充要条件的两步逻辑：充分性证明、必要性证明. 难点目标： 1. 区分 “是的充分条件” 和 “是的必要条件” 逻辑语序，避免判断颠倒. 2. 处理含参数不等式、方程类条件判断，分类讨论参数取值，判断集合包含关系. 3. 理解 “充分不必要、必要不、充要、既不充分也不必要” 四类完整条件的划分标准. 4. 复杂几何命题（平行、垂直、图形判定）中推导双向推出关系，完整证明充要条件. 5. 逆向求解：已知是的充分 / 必要条件，反求参数取值范围. 1、 重点知识 （一）基础命题与推出关系 1. 命题形式：形如 “若，则”，为条件，为结论. 2. 推出符号： · 若命题为真：（可以推出）； · 若命题为假：（推不出）. （二）三大基础条件定义 设原命题：若，则 1. 充分条件：，是的充分条件（有就足够推出）； 2. 必要条件：，是的必要（没有就一定没有）； 3. 充要条件：且，记作，是充要条件，二者等价. （三）四类完整条件分类 · 充分不必要条件：，，对应集合； · 必要不充分条件：，，对应集合； · 充要条件：，对应集合； · 既不充分也不必要条件：且，集合互不包含. （四）集合判断法 设满足的元素集合为，满足的集合为 · 是的充分条件； · 是的必要条件； · 是的充要条件； · 是的充分不必要条件； · 是的必要不充分条件. 2、 难点知识 （一）逻辑语序易错难点 · 语序颠倒陷阱 “是的充分条件”；“是的必要条件”； 大量学生混淆二者推出方向，是选择第一易错点. · 同义转换 是充分条件 的充分条件是；是必要条件 的必要条件是. （二）含参数综合运算难点 1. 已知充分 / 必要条件，反求参数范围： 例：，，若是必要不充分，求取值； 解题核心：转化集合，数轴画区间，注意边界等号取舍. 2. 一元二次不等式结合条件，需讨论二次项系数、判别式. （三）充要条件证明规范难点 证明是充要条件，必须分两段：① 充分性：由推；② 必要性：由推； 只证单向会直接丢分，解答题高频扣分点. （四）几何综合推导难点 立体 / 平面几何判定定理双向推导： 例：“四边形是平行四边形” 充要条件是 “两组对边分别平行”； 几何命题单向成立、反向不成立，极易误判为充要. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 等价命题拓展 说明是等价命题，二者可以完全互相替换，化简大题条件. 1. 传递性拓展 若，则，连锁推出用于多层条件推导. 2. 否定形式拓展 是充分不必要，则是充分不必要； 等价转换：，复杂命题反向判断专用技巧. 4. 与集合、函数综合大题 高考压轴小问常结合函数单调性、零点存在、恒成立问题，用充分必要限定参数范围. 5. 生活逻辑拓展 结合实际语句判断充分 / 必要：如 “下雨” 是 “地面湿” 充分不必要条件. （六）易混对比表 条件类型 推出关系 集合关系 核心口诀 充分不必要 小范围推大范围 必要不充分 大范围不能推小范围 充要条件 范围完全相等，双向都能推 既不充分也不必要 双向都推不出 无包含 两个集合互不相交 / 交叉 题型01 四大条件的判断 【典例1】：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】首先，判断对的推出关系：若、至少一个是空集，则必为空集，即； 若为空集，未必有、至少一个是空集(如)，即. 所以：是的必要不充分条件. 【典例2】在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】在中，， 若为锐角三角形，则，解得， 因为， 所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件 【典例3】设，“是偶数”是“n是偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】是偶数等价于n是偶数，故为充要条件，故选:C． 【典例4】“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由，可得，再利用充分必要性的定义可得解. 【详解】由，可得， 故“”是“”的既不充分也不必要条件 故选：D 【变式1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场； 即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件 【变式2】如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充分不必要条件的定义，结合物理常识，逐一检验，可得答案. 【详解】对于A选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的充分不必要条件，A错误； 对于B选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L不一定亮，即， 所以是的既不充分也不必要条件，B错误； 对于C选项：灯泡L亮，开关不一定闭合；开关闭合，灯泡L亮，即， 所以是的必要不充分条件，C正确； 对于D选项：灯泡L亮，开关闭合；开关闭合，灯泡L一定亮，即， 所以是的充分必要条件，D错误 【变式3】是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】方程有一个负数根，若，此时，不成立，舍去； 若，则，此时方程在R上无解，舍去； 若，则，故，满足题意， 综上：是方程有一个负数根的充要条件. 【变式4】已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取，显然有与都是无理数，但是有理数， 即“与都是无理数”推不出“是无理数”， 取，则，显然有是无理数，但不满足与都是无理数， 即“是无理数”推不出“与都是无理数”， 所以“与都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件. 题型02 由条件关系求参数 角度1：已知充分条件求参数 【典例】已知集合或，.若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为“”是“”的充分条件，所以， 当时，有，解得，满足； 当时，则有或，解得或， 综上，实数的取值范围为 【变式】集合设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由题意，是的充分条件，则. 当时，此时，解得：； 当时， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若为双元素集，则，结合韦达定理， 则有，则不存在实数满足题意. 综上所述，实数的取值范围为． 角度2：已知必要条件求参数 【典例】已知全集，集合 ．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】 ∵“”是“”的必要条件，∴，∴B⊆A. 当，即 时，，满足 B⊆A． 当时，由 B⊆A，得，解得：. 综上所述，实数 m的取值范围是． 【变式】设全集，集合，.若是成立的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】 【详解】因为是成立的必要条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 角度3：已知充分不必要条件求参数 【典例】已知全集，集合，.若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】（1）当时，， 因为，所以；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 【变式】已知集合．已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，且不同时取等号，解得， 所以实数的取值范围是． 角度4：已知必要不充分条件求参数 【典例】已知集合．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因为， 由是的必要不充分条件，得⫋， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为. 【变式】已知集合，集合.设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】 【详解】命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 角度5：已知充要条件求参数 【典例】 是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在，理由见详解 【详解】若存在m的值满足是的充要条件，则， 得，解得，无解， 故不存在这样的m符合题意. 【变式】设集合，命题，命题 若是的充要条件，求正实数的取值范围； 【答案】 【详解】由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型03 探求充要条件 【典例】设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 【答案】B 【详解】因为即，即， 即等价于且， 故“”的充要条件是都不为1 【变式】已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 【答案】B 【详解】对于A选项，，解得：或， 所以，但， 故为的充分不必要条件，故A错误； B选项：根据全等三角形的性质及判定可知，，故是的充要条件，故B正确； C选项，由可得或，，则为的充分不必要条件，故C错误； D选项，两直角三角形全等，则两直角三角形的斜边相等， 但两直角三角形的斜边相等，但两直角三角形不一定全等， 例如：中，，斜边， 中，，则斜边， 故为的必要不充分条件． 题型04 充分、必要条件的证明 角度1：证明充分不必要条件 【典例】已知集合，集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； 【答案】证明见解析 【详解】证明：集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； 【变式】证明：“”是“”的充分不必要条件 【答案】证明见解析 【详解】充分性：当时，，充分性成立． 必要性：由，得，即，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． 角度2：证明必要不充分条件 【典例】若实数、、满足，则称比接近， 判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 【答案】必要不充分条件，证明见解析 【详解】必要不充分条件，证明如下： 若比接近，则， 由可得，即，可得， 若，则，即，此时，， 若，则，则，则，此时，， 所以，“比接近”“”， 另一方面，若，取，，则， 所以，“比接近” “”， 因此，“比接近”是“”的必要不充分条件. 【变式】已知集合，非空集合.是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 【答案】 【详解】若是的必要不充分条件，则且， 由得 结合，解得， 此时的右端点，所以，即成立， 因此存在实数，其取值范围为. 角度3：证明充要条件 【典例】已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：先证充分性： 若a＋b＝1 则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立． 必要性： 若a2＋b2－a－b＋2ab＝0 则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0 因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0 即a＋b＝1，成立 综上a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【变式】证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 【答案】证明: 充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下： 当时，， 所以方程有两个不相等的实根， 设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根， 故充分性成立， 必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下： 设方程一正一负根分别为，，则， 所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则， 故必要性成立， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 题型05 充分条件与必要条件综合题 【典例1】已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) （2）根据题意，转化为，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由集合， 因为，可得，解得， 若，可得，解得，则当，可得或， 又因为且，可得，所以实数的取值范围为. （2）解：因为成立的充分不必要条件是成立， 又因为，所以是的真子集， 因为， 所以或， ①当，即时，此时，则，满足题意； ②当时，则满足或， 解得或 综上，实数的取值范围为. 【典例2】已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【答案】(1)是“复活集”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以集合是 “复活集”. （2）由为“复活集”， 设， 因此是一元二次方程的两个不等正根， 于是，且，解得， 所以的取值范围是. （3）若是复活集时, 不妨设中元素满足，且， 显然，则，而，即有， 因此，则，解得， 所以，即； 当时， ，故是“复活集”，即. 综上可知，当时， 命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【变式1】在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 【变式2】当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【答案】(1)1；(2)证明见解析 【详解】（1）. （2）证明:先证充分性：当或时，则， 即或是的充分条件； 再证必要性：当时， 显然当时，，当时，， 即与均不合题意， 当时，由，则， 当时，由，则， 即“或”是“”的必要条件， 综上，命题得证． 【巩固训练】 1. 设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 2. “为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件. 3. 已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集， 当，即时，符合题意； 当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以， 综上，， 4. （多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若，则，， 故是“集合是集合的子集”的必要条件的是AC选项. 5. （多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 6. 已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 7. （多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【详解】对于A，若，显然有，但得不到，即推不出， 若，则，即，所以可以推出，故A正确， 对于B，若是方程的一个实数根，则，即， 若，由，得到，即， 当时，，当时，或， 所以可以推出是方程的一个实数根， 则“是方程的一个实数根”是“”的充要条件，故B正确， 对于C，若，则，又由，得到或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故C不正确， 对于D，若，时，，所以推不出，若，则必有且， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确， 故选：ABD. 8. 已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 9. 已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 10. 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【答案】(1)必要不充分 (2)充要，证明见解析 【详解】（1）当时，令，此时不成立， 当时，可得且， 所以， 所以是的必要不充分条件． （2）成立的充要条件是． 先证必要性： ； 再证充分性： ， 即： ，即． 综上所述：成立的充要条件是． 【强化训练】 1. 已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 2. 已知 ，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合 ，， 因为是的必要条件，则， 当时，此时集合为空集，满足； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得； 当时，由不等式，可得，即， 要使得，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 3. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 4. （多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为集合只有个真子集，所以集合中有个元素， 因为 ，则有： 当时，， 当时，， 当时，， 因集合中只有个元素，则， 所给选项中： ， ， 所以只有C和D中的范围符合充分不必要条件， 5. （多选）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AC 【详解】对于A，若，则，故充分性成立； 若，取，则，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，若，但时，，故充分性不成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，若， 等式变形为，所以，故充分性成立； 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件，故C正确； 对于D，若，例如，，则，“”不成立，故充分性不成立； 若，则当时，，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误. 6. 给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 【答案】③④ 【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误； ②由，可得或， 故“”是“”的充分不必要条件，故②错误； ③由开口向上且对称轴为， 只需即可保证原方程有一个正根和一个负根， 故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确； ④当，时，不成立；当时，且， 故“”是“”的必要不充分条件，故④正确. 故答案为：③④. 7. 已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以，所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：. 8. 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 【答案】 必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 【详解】（i）在本题的情境中，网络暴力是截图加上恶毒的语言辱骂共同作用的结果，因此q 是 s 的不充分条件； 网络暴力是在校园论坛上发生的，其起因是宋某将蔡宇杰的朋友圈内容截图和转发行为，如果没有宋某的这一行为，该事件就不会发生，故q 是 s 的必要条件， 故q 是 s 的必要不充分条件； （ii）宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰，这必然导致论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力，所以r 是 s 的充分条件， 但网络暴力的产生不一定是由宋某的这一行为发生的，可能是其他人的行为发生的，所以r 是 s 的不必要条件， 故r 是 s 的充分不必要条件； （iii）宋某不直接辱骂，他有其他违法行为仍需承担责任，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的不充分条件， 若宋某直接辱骂了，他显然是需承担责任的，所以“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要条件， 故“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的必要不充分条件. 9. 已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 10. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. 【答案】(1)见解析；(2)4950；(3)充分不必要条件，理由见解析 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对 ，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 充分条件与必要条件 重点目标： 1. 理解命题 “若，则” 的真假与推出符号的对应关系，能准确判断简单命题能否推出. 2. 熟记充分条件、必要条件、充要条件的定义，能根据、区分三类条件. 3. 掌握用集合包含关系判断条件类型：对应是的充分条件，对应是的必要条件. 4. 会结合方程、不等式、几何图形基础题型，判定充分、必要、充要条件. 5. 能规范写出证明充要条件的两步逻辑：充分性证明、必要性证明. 难点目标： 1. 区分 “是的充分条件” 和 “是的必要条件” 逻辑语序，避免判断颠倒. 2. 处理含参数不等式、方程类条件判断，分类讨论参数取值，判断集合包含关系. 3. 理解 “充分不必要、必要不、充要、既不充分也不必要” 四类完整条件的划分标准. 4. 复杂几何命题（平行、垂直、图形判定）中推导双向推出关系，完整证明充要条件. 5. 逆向求解：已知是的充分 / 必要条件，反求参数取值范围. 1、 重点知识 （一）基础命题与推出关系 1. 命题形式：形如 “若，则”，为条件，为结论. 2. 推出符号： · 若命题为真：（可以推出）； · 若命题为假：（推不出）. （二）三大基础条件定义 设原命题：若，则 1. 充分条件：，是的充分条件（有就足够推出）； 2. 必要条件：，是的必要（没有就一定没有）； 3. 充要条件：且，记作，是充要条件，二者等价. （三）四类完整条件分类 · 充分不必要条件：，，对应集合； · 必要不充分条件：，，对应集合； · 充要条件：，对应集合； · 既不充分也不必要条件：且，集合互不包含. （四）集合判断法 设满足的元素集合为，满足的集合为 · 是的充分条件； · 是的必要条件； · 是的充要条件； · 是的充分不必要条件； · 是的必要不充分条件. 2、 难点知识 （一）逻辑语序易错难点 · 语序颠倒陷阱 “是的充分条件”；“是的必要条件”； 大量学生混淆二者推出方向，是选择第一易错点. · 同义转换 是充分条件 的充分条件是；是必要条件 的必要条件是. （二）含参数综合运算难点 1. 已知充分 / 必要条件，反求参数范围： 例：，，若是必要不充分，求取值； 解题核心：转化集合，数轴画区间，注意边界等号取舍. 2. 一元二次不等式结合条件，需讨论二次项系数、判别式. （三）充要条件证明规范难点 证明是充要条件，必须分两段：① 充分性：由推；② 必要性：由推； 只证单向会直接丢分，解答题高频扣分点. （四）几何综合推导难点 立体 / 平面几何判定定理双向推导： 例：“四边形是平行四边形” 充要条件是 “两组对边分别平行”； 几何命题单向成立、反向不成立，极易误判为充要. （五）高考深度拓展拔高知识 1. 等价命题拓展 说明是等价命题，二者可以完全互相替换，化简大题条件. 1. 传递性拓展 若，则，连锁推出用于多层条件推导. 2. 否定形式拓展 是充分不必要，则是充分不必要； 等价转换：，复杂命题反向判断专用技巧. 4. 与集合、函数综合大题 高考压轴小问常结合函数单调性、零点存在、恒成立问题，用充分必要限定参数范围. 5. 生活逻辑拓展 结合实际语句判断充分 / 必要：如 “下雨” 是 “地面湿” 充分不必要条件. （六）易混对比表 条件类型 推出关系 集合关系 核心口诀 充分不必要 小范围推大范围 必要不充分 大范围不能推小范围 充要条件 范围完全相等，双向都能推 既不充分也不必要 双向都推不出 无包含 两个集合互不相交 / 交叉 题型01 四大条件的判断 【典例1】：为空集，：、至少一个是空集，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】在中，，则“”是“为锐角三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】设，“是偶数”是“n是偶数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】如图，现有四个电路图，已知：灯泡L亮，：开关闭合，则符合是的必要不充分条件的电路图是（   ） A． B． C． D． 【变式3】是方程有一个负数根的（    ） A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02 由条件关系求参数 角度1：已知充分条件求参数 【典例】已知集合或，.若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式】集合设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 角度2：已知必要条件求参数 【典例】已知全集，集合 ．若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【变式】设全集，集合，.若是成立的必要条件，求实数a的取值范围. 角度3：已知充分不必要条件求参数 【典例】已知全集，集合，.若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式】已知集合．已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 角度4：已知必要不充分条件求参数 【典例】已知集合．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式】已知集合，集合.设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 角度5：已知充要条件求参数 【典例】 是否存在m的值，使得是的充要条件，若存在求出m的值；若不存在，请说明理由． 【变式】设集合，命题，命题 若是的充要条件，求正实数的取值范围； 题型03 探求充要条件 【典例】设x，，则“”的充要条件是（    ） A．不都为1 B．都不为1 C．都不为0 D．中至多有一个是1 【变式】已知下列所给的各组，中，是的充要条件的为（    ） A．， B．：两个三角形全等，：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等 C．， D．：两直角三角形的斜边相等，：两直角三角形全等 题型04 充分、必要条件的证明 角度1：证明充分不必要条件 【典例】已知集合，集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； 【变式】证明：“”是“”的充分不必要条件 角度2：证明必要不充分条件 【典例】若实数、、满足，则称比接近， 判断：“比接近”是“”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明. 【变式】已知集合，非空集合.是否存在实数m，使得是的必要不充分条件，若存在，求出m取值范围，若不存在，说明理由. 角度3：证明充要条件 【典例】已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【变式】证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件. 题型05 充分条件与必要条件综合题 【典例1】已知集合，集合． (1)若且，求实数的取值范围； (2)设，若的充分不必要条件是，求实数的取值范围． 【典例2】已知有限集，若中元素满足，则称集合为“复活集” (1)判断集合是否为“复活集”，并说明理由； (2)若，均为正数，且为“复活集”，求的取值范围； (3)证明：当时，命题：“是复活集”与命题：“”互为充要条件. 【变式1】在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【变式2】当时，定义运算：当时，；当时，；当或时，；当时，；当时，． (1)计算； (2)证明，“或”是“”的充要条件． 【巩固训练】 1. 设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 2. “为整数” 是 “为整数” 的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4. （多选）下列是“集合是集合的子集”的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 5. （多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 6. 已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 7. （多选）下列说法正确的是（   ） A．已知，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“是方程的一个实数根”的充要条件是“” C．“”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 8. 已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 9. 已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 10. 请选择“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填入下面空格处．并完成第（2）问的证明． (1)是的___________条件： (2)已知，证明：成立的___________条件是． 提示： 【强化训练】 1. 已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 已知 ，，若是的必要条件，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 3. 设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4. （多选）“集合只有个真子集”的充分不必要条件有（ ） A． B． C． D． 5. （多选）下列命题为真命题的是（　　） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的充要条件 D．“”是“”的必要不充分条件 6. 给出下列命题： ①已知集合或，则集合A的真子集个数是4； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； ④设，则“”是“”的必要不充分条件. 其中所有正确命题的序号是______. 7. 已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是______. 8. 数学的一些概念我们往往可以用生活中发生的故事来理解： 近期，某校校园论坛发生了一起网暴事件，请根据下面五个事实来完成以下题目： p： 蔡宇杰在朋友圈发了“独来独往的生活也很舒服”. q： 宋某将该朋友圈截图发至校园论坛. r： 宋某在帖子中附带蔡宇杰的照片并用特别恶毒的语言辱骂蔡宇杰. s： 论坛出现针对蔡宇杰的网络暴力. t： 宋某称自己“只是转发内容，没有鼓励网暴”. 经警方调查，确认 p、q、r、s 均为事实，t 是宋某的单方面辩解.在对应空格中填上“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”： （i）q 是 s 的________. （ii）r 是 s 的________. （iii）“宋某未直接辱骂”是“宋某无需承担责任”的________. 9. 已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 10. 已知集合，其中，新定义1个性质G；若对任意的，必有，则称集合A具有性质G.由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件，请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $