2.2 基本不等式10题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学基本不等式核心知识点，系统梳理其定义、变形及“一正二定三相等”成立条件，通过概念理解、比较大小、证明不等式、求最值等10类题型构建从基础到应用的学习支架。 资料以几何背景题（如《几何原本》无字证明）和实际问题（如仓库选址）为特色，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算的能力，题型分层且例题丰富，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．【多选】（2026高一·江苏连云港·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项. 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 2．（2026高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 3．【多选】（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 4．（2026高二·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 5．（2026高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】因为，，所以，解得，同理可得， 由，可得，又，可得， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 6．（2026高一·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，，，然后利用基本不等式比较大小即可. 【详解】由题意可得，，，，且， 由基本不等式的关系可知，当且仅当时等号成立， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， ，所以， 所以. 故选：B 7．（2026高一·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 8．（2026高一·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 9．（2026高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 10．（2026高三·河南信阳·阶段检测）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解出的范围，结合二次函数的性质求解出的范围，由此可比较出大小. 【详解】因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号， 又， 所以， 故选：B. 题型3：利用基本不等式证明不等式 11．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 【答案】， ， ，当且仅当，即时取等号， 但，因此不能取等号， . 【详解】略 12．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 【答案】由题设均为正数，， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，得证. 【详解】略 13．（2026高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 【答案】(1) 因为，所以，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立． 故，当且仅当时，等号成立． (2) 因为，所以． ， 当且仅当时，等号成立． 【分析】（1）式子和直接利用基本不等式求解； （2）将整理为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 【答案】 因为，都是正实数， 所以，当且仅当即时等号成立； ，当且仅当即时等号成立； 所以，即，当且仅当时等号成立. 【分析】结合不等式的加法法则，利用基本不等式即可证明. 【详解】略 15．（2026高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 16．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 17．（2026高二·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 18．（2026高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 【答案】B 【详解】，当且仅当，即时取等. 19．（2026高二·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若，，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12. 题型5：配凑法求最值 20．（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为，所以， 则， s时，等号成立， 故函数的最小值为5. 21．（2026高一·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】首先将函数构造成能够利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】由题意，，故，根据基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立． 此时函数的最小值为7. 故选：D. 22．（2026高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是____． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 24．（2026高三·全国·三轮复习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 25．（2026高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 26．（2026高一·全国·专题练习）求函数的最小值． 【答案】9 【分析】将看作一个整体，化简得，再利用基本不等式即可求得函数的最小值. 【详解】， 因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最小值为. 27．（2026高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 题型6：常数代换法求最值 28．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 29．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为． 30．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 31．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把原等式化为，再利用代换法，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的代换求值即可. 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 33．（2026高三·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】通过基本不等式“1”妙用求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 题型7：消元法求最值 34．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 35．（2026高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 36．（2026高一·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【分析】由题设求得，从而将所求式化成，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 题型8：整体化求最值 37．（2026高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意可得，，进而，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，，得. 由，得， 又， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 38．（2026高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为，故， 又因为，，因此有， 因此，当且仅当时等号成立， 设，所以，解得或， 由和，解得， 因此当时，的最小值为6. 39．（2026高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为__． 【答案】2 【分析】由基本不等式结合题意可得答案. 【详解】，， 因为，所以意到，当且仅当时取等号. ，化为， ，当且仅当时取等号，的最大值为2． 故答案为：2． 40．（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式和题目条件得到，求出的最大值. 【详解】因为，，由基本不等式得， 故，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B 41．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 42．（2026高一·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【分析】化简可得恒成立，再根据基本不等式求解的最小值即可. 【详解】由题意恒成立，即恒成立. 又，当且仅当时取等号. 故实数的最大值为9. 故选：D 43．（2026高一·吉林延边·阶段检测）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 【答案】A 【分析】借助基本不等式中“1”的妙用计算即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 44．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或B．或C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由两个正实数满足， 即，， 所以， 当且仅当时等号成立， 又恒成立， 所以，解得． 故选：C． 45．（2026高一·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且，由， 可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以的最小值为，则，故实数的最大值为. 故答案为：. 46．【多选】（2026高一·云南昭通·阶段检测）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 47．（2026高一·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 48．（2026高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 49．（2026高一·新疆阿克苏·期末）学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 【答案】(1) (2)天，平均每天的利润最大百元 【分析】（1）解不等式，可得结论； （2）利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出对应的值，即可得出结论. 【详解】（1）为了保证累计总利润不为负，令，即，解得， 故最多销售的天数为天. （2）平均每天的利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，当销售天数为天时，能使平均每天的利润最大，且平均每天的利润最大百元. 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 2．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，，即； ，得，即，故A正确； 对于B，，由均值不等式得，即，，故B正确； 对于C、D ，，由均值不等式得，； ，即，故C错误，D正确. 3．（2026高一·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 【答案】D 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为25． 5．（2026高一·安徽亳州·期中）如果，那么的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为4， 故选：D 6．（2026高一·全国·课后作业）若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式可求出和的最小值，相加可得出结果. 【详解】由基本不等式得， 当且仅当，时等号成立，因此，的最小值为. 故选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求和式的最小值，利用基本不等式求最值时也要注意条件“一正、二定、三相等”的成立，考查计算能力，属于基础题. 7．（2026高一·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】正数a，b满足，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值4. 故选：C 8．（2026高一·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式可得，求得，由可求得最小值. 【详解】由于，即， 则，即，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为18， 所以有， 所以的最小值为，此时. 9．【多选】（2026高一·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 10．【多选】（2026高一·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】CD 【分析】对于选项A，举出反例，即可判断；对于选项B，用二次函数知识可以求出最大值；对于选项C、D，利用基本不等式即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，故A错误； 对于选项B，，所以的最大值为1，故B错误； 对于选项C，，当且仅当，即时，等号成立，故C正确. 对于选项D，， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：CD. 11．【多选】（2026高一·全国·单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】ACD 【分析】由基本不等式即可判断A；取特殊值验证可判断B；利用作差法可判断C，D. 【详解】由，则，得，A正确； 由，取，则，故B错误； 由于，则，则，故C正确； 由于，故D正确， 故选：ACD． 12．（2026高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 【答案】3 【分析】先分离变量，再用均值不等式 【详解】，， 由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立. 13．（2026高三·河北唐山·期末）已知，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用代换1法，结合均值不等式来求最小值. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当：，即时不等式取等号， 故答案为：. 14．（2026高一·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________ 台. 【答案】300 【分析】由总成本表示出平均成本，利用基本不等式求最小值和取最小值时的值. 【详解】购买台机器人的总成本为， 则平均成本， 当且仅当，即时，平均成本最低为2万元. 故答案为：300. 15．（2026·上海黄浦·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【详解】由，等式两边平方得：展开得. 由于对任意实数，有， 将其代入上式：，则. 当且仅当时取等号，代入,解得或，此时，满足取等条件,因此的最大值为1. 16．（2026高一·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【分析】由题意建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 17．（2026高一·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 18．（2026高一·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 19．（2026高一·浙江宁波·阶段检测）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 【答案】(1)7； (2)①36；②. 【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案； （2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】（1）由题. 当且仅当，即时取等号； （2）①由结合基本不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； ②由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. 20．（2026高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.2 基本不等式10题型分类 一、基本不等式 1．如果a>0，b>0， ，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．变形：ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 3.不等式2 ab与不等式≤成立的条件一样吗？ 不一样，2ab成立的条件时a，b∈R，≤成立的条件是a>0，b>0. 4. 不等式2 ab与不等式≤中“＝”成立的条件相同吗？ 相同.都是当且仅当a＝b时等号成立. 5.基本不等式成立的条件一正二定三相等. 二、基本不等式与最大值最小值 1.两个正数的和为常数时，它们的积有最大值；两个正数的积为常数时，它们的和有最小值. (1)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值. (2)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值. （一） 对基本不等式概念的理解 对基本不等式概念的理解 （1）基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． （2）对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面： ①定理成立的条件是a、b都是正数． ②“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型1：对基本不等式概念的理解 1．【多选】（2026高一·江苏连云港·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 2．（2026高一·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 3．【多选】（2026·辽宁锦州·模拟预测）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 4．（2026高二·海南·期末）下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． （二） 利用基本不等式比较大小 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型2：利用基本不等式比较大小 5．（2026高一·吉林长春·开学考试）已知，，则，b，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（2026高一·安徽合肥·阶段检测）如图所示为一个矩形和一个正方形，矩形的边长分别为a，b（），当正方形的周长与矩形周长相等时正方形的边长为x，当正方形面积与矩形面积相等时正方形的边长为y，当正方形对角线与矩形对角线相等时正方形的边长为z，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 9．（2026高一·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·河南信阳·阶段检测）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型3：利用基本不等式证明不等式 11．（2026高三·全国·专题练习）已知且为正数，求证：. 12．（2026高三·全国·专题练习）设均为正数，且，求证：. 13．（2026高一·河北保定·期中）已知证明： (1) (2) 14．（2026高一·上海·期中）已知，都是正实数，证明：. 15．（2026高一·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． （三） 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则． (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件：a>0，b>0. (2)二定：化不等式的一边为定值． (3)三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式． 3．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构.. 4.一般地，数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质联系，但不能定格于某种特殊形式，因此重要不等式的形式可以是，也可以是，还可以是，等．解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式以及公式的逆用等，以便应用． 题型4：基本不等式的直接应用求最值 16．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知、都是正数，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高二·河北张家口·期末）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 18．（2026高二·江西南昌·期末）的最小值为（    ） A． B．9 C．8 D． 19．（2026高二·福建福州·期末）若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 题型5：配凑法求最值 20．（2026高二·福建福州·期末）设实数x满足，则函数的最小值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 21．（2026高一·全国·周测）已知函数，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 22．（2026高一·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是____． 23．（2026高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 24．（2026高三·全国·三轮复习）已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026高三·全国·一轮复习）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（2026高一·全国·专题练习）求函数的最小值． 27．（2026高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 题型6：常数代换法求最值 28．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 29．（2026高二·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B．5 C．4 D．3 30．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 31．（2026高一·福建龙岩·阶段检测）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 32．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期末）两个正实数x，y满足，的最小值为（   ） A． B． C． D． 33．（2026高三·河南·阶段检测）设a，b为正数，且，则的最小值为______． 题型7：消元法求最值 34．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·重庆璧山·期末）若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 36．（2026高一·江苏·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 题型8：整体化求最值 37．（2026高一·湖北襄阳·期中）已知实数，满足，，则的最小值为______. 38．（2026高二·重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（   ） A．6 B．4 C． D．2 39．（2026高一·广东·期末）已知实数，满足，则的最大值为__． 40．（2026高一·河北保定·阶段检测）已知，，．求的最大值（    ） A． B． C．5 D．2 41．（2026高二·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （四） 基本不等式的恒成立问题 求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 题型9：基本不等式的恒成立问题 42．（2026高一·贵州安顺·期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 43．（2026高一·吉林延边·阶段检测）已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ） A．4 B．8 C．3 D．6 44．（2026高一·山东枣庄·阶段检测）若任意正实数x，y满足，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或B．或C． D． 45．（2026高一·江苏南京·期中）已知，，且，若恒成立，则实数的最大值为_____. 46．【多选】（2026高一·云南昭通·阶段检测）若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 47．（2026高一·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. （五） 利用基本不等式解决实际问题 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型10：利用基本不等式解决实际问题 48．（2026高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 49．（2026高一·新疆阿克苏·期末）学校将举办班级合唱比赛.高一某班为了筹集比赛所需的采购费用，决定销售同学们亲手制作的纪念品.考虑到制作成本、场地费用、销售单价等因素，根据相关数据分析，预计累计总利润（单位：百元）与销售天数满足. (1)为保证累计总利润不为负，求最多销售的天数； (2)当销售多少天时，能使平均每天的利润最大？平均每天的利润最大是多少？（平均每天的利润） 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 2．（2026高三·全国·专题练习）设，下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·河南信阳·期中）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知且，则的最小值是（   ） A．3 B．9 C．5 D．25 5．（2026高一·安徽亳州·期中）如果，那么的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D．4 6．（2026高一·全国·课后作业）若，，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 7．（2026高一·云南丽江·开学考试）已知a，b为正数，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 8．（2026高一·浙江杭州·期中）若，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．【多选】（2026高一·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 10．【多选】（2026高一·云南昆明·期中）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．最小值为 11．【多选】（2026高一·全国·单元测试）已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（    ） A． B． C．2 D． 12．（2026高二·云南玉溪·期中）函数的最小值为________. 13．（2026高三·河北唐山·期末）已知，则的最小值为__________． 14．（2026高一·北京·期中）某快递公司为提高效率，引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．若要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________ 台. 15．（2026·上海黄浦·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为________． 16．（2026高一·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 17．（2026高一·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 18．（2026高一·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 19．（2026高一·浙江宁波·阶段检测）解答下列各题. (1)若，求的最小值. (2)若正数满足， ①求的最小值. ②求的最小值. 20．（2026高一·四川乐山·期中）用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $