1.1 集合的概念（知识精讲+9大题型+巩固提高综合训练）-2026-2027学年高一上学期数学同步讲义（人教A版必修第一册）

本讲义聚焦高中数学集合的概念与表示核心知识点，系统梳理元素与集合的概念及特征，元素与集合的关系及常用数集记法，集合的列举法、描述法、图示法等表示方法，形成递进式学习支架。 资料以知识梳理为基础，题型导航涵盖9类典型问题，结合各地月考期中试题实例，通过辨析集合构成、元素关系等培养数学抽象能力与推理意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识查漏补缺。

1.1集合的概念 巩固提高综合练习（原卷版） 一、单选题 1．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．若集合，集合，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 5．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 6．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 9．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 12．已知，，若集合，则的值为_______． 13．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 14．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 15．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 三、解答题 16．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 17．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 18．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 19．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 20．对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 21．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念与表示（原卷版） 知识梳理 一、元素与集合的概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意点： 二、元素和集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 三、集合的表示 1.列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 2. 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的. 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 题型导航 题型1 集合的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．（25-26高一上·天津和平·月考）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 题型2 判断是否为同一集合 5．（25-26高一上·江苏泰州·月考）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·湖南永州·月考）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 题型3 判断元素与集合的关系 9．（25-26高一上·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 11．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·贵州遵义·月考）“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型4 根据元素与集合的关系求参数 13．（25-26高一上·广东河源·期中）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 14．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 15．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 题型5 自然语言表示集合 17．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称________，记作_____； 全体正整数组成的集合简称________，记作_____或_____； 全体整数组成的集合简称________，记作_____； 全体有理数组成的集合简称________，记作_____； 全体实数组成的集合简称________，记作_____； 全体正实数组成的集合简称________，记作_____； 19．（24-25高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是________．（用符号表示） 题型6 描述法表示集合 21．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一上·北京·月考）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·湖南岳阳·月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 24．（25-26高一上·安徽六安·月考）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 题型7 列举法表示集合 25．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 26．（25-26高二上·湖南·月考）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 题型8 根据集合性质求个数问题 29．（25-26高一上·河南焦作·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 30．（25-26高一上·山东德州·月考）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·四川·月考）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 32．（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 题型9 根据集合相等关系进行计算 33．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 34．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 35．（14-15高一上·广东东莞·期中）设三元集合=，则___________ ． 36．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，则不等式的解集为______. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $null 1.1 集合的概念与表示（解析版） 知识梳理 一、元素与集合的概念 1.元素：一般地，我们把研究对象统称为元素.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示. 2.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示. 3.集合中元素的特征：确定的，互异性，无序的. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 注意点： 二、元素和集合之间的关系 1.元素和集合之间的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素 a∈A a属于集合A 不属于 如果a不是集合A的元素 a∉A a不属于集合A 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 注意点： (1)元素与集合之间是属于或不属于的关系，注意符号的书写. (2)0属于自然数集. 三、集合的表示 1.列举法——把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　 }”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意点： (1)元素间用“，”隔开. (2)当元素个数较少时，把元素一一列举出来并用“{　 }”括起来即可，不必考虑元素间的顺序. (3)当元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号，比如正整数集可表示为{1，2，3，4，5，…}. (4)这里，集合的“{　 }”已包含所有的意思，比如{整数}，即代表整数集Z，而不能用{全体整数}，即不能出现“全体”“所有”等字眼. 2. 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)描述法表示集合，要先看代表元素，再看代表元素的共性. (2)元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}. (3)“{　}”有“所有”“全体”的含义，如所有实数组成的集合可以用描述法表示为{x|x是实数}，但写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是实数集}是错误的. 3．图示法 图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法. 题型导航 题型1 集合的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆·月考）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津和平·月考）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 4．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列给出的对象能构成集合的有（　　） ①某校2023年入学的全体高一年级新生； ②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生； ④不等式的所有正整数解. A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据题意结合集合的三要素逐项分析判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式，即的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B. 题型2 判断是否为同一集合 5．（25-26高一上·江苏泰州·月考）下列各项中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否为同一集合 【分析】根据集合的概念及分类对选项一一判断，得到答案. 【详解】A选项，是坐标系内不同的两个点，故不表示同一集合，A错误； B选项，是同一个集合，B正确； C选项，是点集，是数集，不是同一集合，C错误； D选项，为点集，为数集，D错误. 故选：B 6．（25-26高一上·河北·月考）已知集合，则下列与相等的集合个数为（    ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究n为奇数、n为偶数可计算③，由定义可得④，依次判断即可求得结果. 【详解】对于①，； 对于②，中解得，故； 对于③，当n为奇数时，；当n为偶数时，， 所以； 对于④，. 所以与M相等的集合个数有2个. 故选：C. 7．（2025高一上·上海·专题练习）下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合、判断是否为同一集合 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 8．（24-25高一上·湖南永州·月考）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 题型3 判断元素与集合的关系 9．（25-26高一上·广西河池·期末）以下选项中，是集合的元素的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】判断是否是方程的解，即可得解. 【详解】对于方程，显然，，均不是方程的解， 是方程的解， 所以是集合的元素，故C正确； ，，均不是集合的元素，故A、B、D错误. 故选：C 10．（25-26高一上·上海·期末）用符号或填空：设集合D是由满足的有序实数对组成的，则______D． 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】利用元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】是有序实数对，且满足，故． 故答案为： 11．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，则与集合的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】化简集合，由集合与元素之间的关系即可求解. 【详解】，所以与集合的关系为， 故选项B正确，其他选项都错误. 故选：B. 12．（25-26高一上·贵州遵义·月考）“设自然数集为”，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】求出集合，再逐个选项进行判断. 【详解】， 所以，A错误；，B错误；，C错误；，D正确； 故选：D 题型4 根据元素与集合的关系求参数 13．（25-26高一上·广东河源·期中）设集合A是方程的解集，且，则实数a的值为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系求出参数即可. 【详解】因为，所以，解得． 故选：C. 14．（25-26高一上·天津河北·月考）已知集合，若，则实数的所有可能取值组成的集合为____． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】由题意得，或，或，进而分别求解，结合集合元素的互异性可得结论. 【详解】因为，， 所以，或，或， 若，则，所以，解得或， 当时，，符合题意，当时，，不符合题意； 若，则，又，方程无解； 若，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，，符合题意； 综上所述，实数的所有可能取值组成的集合为. 故答案为：. 15．（25-26高一上·云南普洱·期中）已知集合，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】借助集合与元素关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 16．（25-26高一上·四川·期中）设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据，得到，求解即可. 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 题型5 自然语言表示集合 17．（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）在平面内，到点的距离等于8的点的集合是__________. 【答案】以点为圆心，以8为半径的圆 【知识点】自然语言表示集合 【分析】根据圆的定义求解. 【详解】在平面内到点的距离等于8的点的集合是：以点为圆心，以8为半径的圆. 故答案为：以点为圆心，以8为半径的圆. 18．（24-25高一上·全国·课前预习）常用数集及其记法 全体自然数组成的集合简称________，记作_____； 全体正整数组成的集合简称________，记作_____或_____； 全体整数组成的集合简称________，记作_____； 全体有理数组成的集合简称________，记作_____； 全体实数组成的集合简称________，记作_____； 全体正实数组成的集合简称________，记作_____； 【答案】 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 【知识点】自然语言表示集合 【分析】略 【详解】略 19．（24-25高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【知识点】自然语言表示集合 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）两条平行直线的交点组成的集合是________．（用符号表示） 【答案】 【知识点】自然语言表示集合 【分析】直接根据平行线的定义及空集的符号得到答案. 【详解】两条平行直线没有交点，所以它们交点组成的集合是空集. 故答案为：. 题型6 描述法表示集合 21．（25-26高一上·甘肃酒泉·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】描述法表示集合 【分析】由题设可得，进而求解即可. 【详解】由，得，解得， 则不等式的解集为. 故选：B 22．（25-26高一上·北京·月考）以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】分析可知集合的元素为点的坐标，结合选项分析判断. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合， 即集合的元素为点的坐标，所以“函数的图象”的集合表示. 故选：C. 23．（25-26高一上·湖南岳阳·月考）下列用描述法表示的集合，正确的是（    ） A．奇数集可以表示为 B．“小于10的整数”构成的集合可以表示为 C．表示大于2的全体实数 D．不等式的解集表示为或 【答案】AC 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合的描述法逐一分析判断即可得解. 【详解】对A，时，表示所有的奇数，A正确； 对B，表示小于10的实数集，B错；同理可得C正确； 对D，不是不等式的解，D错. 故选：AC. 24．（25-26高一上·安徽六安·月考）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】描述法表示集合 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 题型7 列举法表示集合 25．（25-26高一上·上海静安·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】列举法表示集合 【分析】解一元二次方程化简集合，再根据集合的概念和表示方法求解即可. 【详解】由可得，解得或， 所以， 故答案为： 26．（25-26高二上·湖南·月考）将集合用列举法表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合的表示方法求解. 【详解】因为，且， 所以符合要求的的所有取值为， 所以集合用列举法表示是. 故选：C. 27．（25-26高一上·四川·月考）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列举法表示集合 【分析】分，和三种情况讨论，结合定义即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 28．（25-26高一上·山东济南·期中）已知集合，则集合的所有元素之和为______. 【答案】5 【知识点】列举法表示集合 【分析】解方程确定集合中的元素，再求它们的和. 【详解】由或. 所以. 则集合中的元素之和为. 故答案为：5 题型8 根据集合性质求个数问题 29．（25-26高一上·河南焦作·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】根据集合中元素的个数求参数 【分析】由进行求解. 【详解】由条件知，解得. 故选：B 30．（25-26高一上·山东德州·月考）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】集合新定义、利用集合中元素的性质求集合元素个数 【分析】根据新定义运算求得，进而确定正确答案. 【详解】由，得时的值恒为1. 当时，；当时，. 所以，元素个数为2. 故选：B 31．（25-26高一上·四川·月考）由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】集合元素互异性的应用、列举法求集合中元素的个数 【分析】根据集合中元素的互异性可得出答案. 【详解】根据集合中元素的互异性，. 即A中的元素个数为6， 故选：C 32．（25-26高一上·北京·期中）定义某种运算“”如下：，则集合中的元素个数是______ 【答案】9 【知识点】集合新定义、列举法求集合中元素的个数 【分析】分类讨论的奇偶性是否相同，结合运算“”的定义分析求解即可. 【详解】因为，且， 若的奇偶性相同，则， 满足条件的有，，，，； 若的奇偶性不相同，则， 满足条件的有，，，； 综上所述：集合中的元素个数是9. 故答案为：9. 题型9 根据集合相等关系进行计算 33．（24-25高一上·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 34．（24-25高一上·上海奉贤·期中），则______． 【答案】0 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 35．（14-15高一上·广东东莞·期中）设三元集合=，则___________ ． 【答案】 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【详解】试题分析：集合,且,,则必有,即,此时两集合为,集合,,，当时,集合为,集合,不满足集合元素的互异性.当时, ,集合,满足条件,故,因此，本题正确答案是:. 考点：集合相等的定义. 36．（24-25高一上·四川成都·月考）已知集合，则不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】根据集合相等关系进行计算、利用集合元素的互异性求参数 【分析】集合，由集合相等及集合的互异性可得的值，代入即可得解集． 【详解】解： 若，则无意义， 故有 此时有， 或（舍去，因为中不满足集合的互异性） 代入得 ，解得此不等式解集为R， 故答案为R． 【点睛】本题考查集合相的条件，要特别注意求得的值不能使集合中的元素相同，本题难度不大． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1集合的概念 巩固提高综合练习（解析版） 一、单选题 1．集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【分析】根据集合中的元素所具有性质判断可得. 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 2．已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由集合中有且仅有一个元素可知一元二次方程有两个相等的根，利用判别式求解即可. 【详解】因为集合中有且仅有一个元素， 所以一元二次方程有两个相等的根， 所以，解得. 故选：B 3．已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 4．若集合，集合，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由集合得到且，再由，列出方程组，求得，结合指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】， ，即， ，由元素的互异性可知, ，∴或（舍去）， 当时，，，满足，故. 综上，， . 故选：A. 5．已知实数集满足条件：若，则，则集合A中所有元素的乘积为（   ） A．1 B． C． D．与a的取值有关 【答案】A 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 易知为四个各不相同的实数，所以集合. 因此集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 6．设集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据且，建立不等式求解即可. 【详解】因为集合，而且 且，解得. 故选：B 7．已知集合，则集合等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的取值分情况讨论，代入计算即可. 【详解】，时，， 时，， 或或或时，， 或或或时，， 故. 故选：D. 8．已知集合，若，则（   ） A． B． C． D．不属于M，Q，P中的任意一个 【答案】A 【分析】根据条件可得到集合中元素的特征，分析的特征后即可得到答案． 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴. 故选：A. 9．若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用特例说明①③④的真假，根据概念判断②的真假. 【详解】若，，而，故整数集不是“紧密集合”，所以①错； 根据“紧密集合”的定义，实数集是“紧密集合”，所以②正确； 因为集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，所以③正确； 因为集合是“紧密集合”，但，故④错. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是“紧密集合”的概念.正确理解概念是解决问题的关键. 10．若，则下列结论中正确结论的个数为（    ） ①；②；③若，则；④若，且，则；⑤存在且，满足. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用集合的特征性质对选项进行判断. 【详解】若， 对于①，，①正确； 对于②，当中时，，所以，②正确； 对于③，若，不妨设， 则，，所以，③正确； 对于④，若且，不正确， 例如，，④不正确； 对于⑤，存在且，满足， 例如，， 若， 则，故，⑤正确. 综上，①②③⑤正确. 故选：C. 二、填空题 11．定义，已知，则集合中所有元素乘积为__________． 【答案】 【分析】根据定义得到，所以所有元素乘积为. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以集合中所有元素乘积为， 故答案为： 12．已知，，若集合，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据集合相等的定义判断的取值进行计算. 【详解】因为，所以，， 此时两个集合即，所以，解得或， 若，则两个集合都是不满足互异性， 所以此时两个集合都是，满足条件. 所以， 故答案为：. 13．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”. （1）且； （2）若、，则，且当时，有.给出以下命题： ①集合是“好集合”； ②是“好集合”； ③是“好集合”； ④设集合是“好集合”，若、，则； ⑤设集合是“好集合”，若、，则； 其中真命题的序号是_____. 【答案】③④⑤ 【分析】根据题意，结合集合的新定义中性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于①，由集合，若，可得， 所以集合不满足性质（2），所以集合不是个“好集合”，所以①是假命题； 对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题； 对于③，对于实数集，其中且，且任意，则， 且当时，有，所以实数集是“好集合”，所以③是真命题； 对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义， 可得， 因为，可得，所以④是真命题； 对于⑤，若集合是“好集合”，任取， 若中有和时，显然； 设均不含和，由“好集合”的定义知， 所以，所以， 由④可得，同理可得， 若或，显然； 若或，则， 所以，所以， 由，则，所以⑤是真命题. 故答案为：③④⑤ 14．如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为________. 【答案】4 【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可. 【详解】当时，只有1个解，符合题意； 当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得. 综上实数的所有可能值的和为， 故答案为：4. 15．非空数集满足：，都有.若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为_____. 【答案】1 【分析】根据题意，利用数量关系研究数集的元素，可得答案. 【详解】因为非空数集满足：，都有， 又集合T中含有4个元素， 则，，，， 可得，所以. 故答案为：1. 三、解答题 16．已知集合是由、、三个元素组成的，且，求实数的值. 【答案】 【分析】分、两种情况进行讨论，结合集合中的元素满足互异性可求得实数的值. 【详解】因为，且， 若，可得，则，此时集合中的元素不满足互异性，舍去； 若，即，即，解得或（舍）， 当时，，集合中的元素满足互异性，合乎题意. 综上所述，. 17．已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【详解】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 18．设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 19．已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【分析】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【详解】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 20．对于集合，集合. (1)若把集合，且称为集合与的差集，记作，求和； (2)若把集合称为集合与的积，记作. （i）求； （ii）若集合，集合，问中有多少个元素？请写出这些元素. 【答案】(1)； (2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析. 【分析】（1）根据差集的定义求解； （2）（i）（ii）根据的定义求解. 【详解】（1）因为，，，所以； 因为，，，所以. （2）（i）已知， 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 当时，，构成有序对； 所以. （ii）若集合有个元素，集合有个元素， 则中的每一个元素是由中的一个元素和中的一个元素组成的有序数对， （其中，）. 因此，中元素的个数为，所有元素为. 21．已知数集具有性质：对任意的，，使得成立. (1)分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； (2)求证：. 【答案】(1)具有性质，不具有性质，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）明确每个数集对应的的范围，用列举法验证对任意的，是否存在，使得成立；（2）根据题意得到，，进而得到关于的不等关系，对不等式累加即可求证. 【详解】（1）对于数集，若具有性质，则，， 因为，即， ，即， ，即， 所以具有性质； 对于数集，若具有性质，则，， 因为，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， ，即，，即， 所以不具有性质. （2）因为集合具有性质： 即对任意的，使得成立， 又因为，，所以，， 所以， 即， 将上述不等式相加得：， 所以， 因为，所以， 故． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $