专题1.6 集合与常用逻辑用语 易错必刷题型讲义--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合与常用逻辑用语核心知识点，系统梳理元素构成集合、元素与集合关系、子集与真子集、空集、交并补运算、充分必要条件、全称与特称命题及其否定等16个考点，构建从概念理解到逻辑推理的完整学习支架。 资料以64道易错必刷题型为载体，通过选择、多选、填空、解答分层设计，强化抽象能力（如判断元素构成集合）、推理能力（如求参数范围）、精准表达（如命题否定），课中辅助教师突破难点，课后帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题1.6 集合与常用逻辑用语易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． 2．（多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【答案】BCD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对于A，美丽乡村不具有确定性，错误， 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点，是确定的，正确， 对于C，不小于3的自然数，是确定的，正确， 对于D，解方程， 平方可得：， 移项平方可得：，即，元素确定，正确， 故选：BCD 3．下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【分析】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【详解】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3） 4．思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【答案】(1)能 (2)不能，原因见解析 (3)能 【分析】运用集合的元素的互异性，无序性，确定性解题. 【详解】（1）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合. （2）运用集合的元素的互异性，无序性，确定性知道你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合,因为高个子比较模糊，元素不确定. （3）不等式的所有解能组成一个集合，就是不等式的解集. 【易错必刷二 判断元素与集合的关系】 5．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 6．（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 【答案】AC 【分析】分析，的特点，得到的值必为奇数，再对选项是奇数的进行验证. 【详解】，，则的值必为奇数， 又，，故AC正确． 故选：AC 7．用适当符号填空：1______ 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系即可求解. 【详解】当时，，故， 故答案为： 8．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 【答案】(1)A中其他所有元素为，，2 (2)0不是A的元素 【分析】（1）根据元素与集合的关系得出其他元素； （2）利用反证法结合元素与集合的关系求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以A中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是A的元素. 【易错必刷三 根据集合中元素的个数求参数】 9．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且， 则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 10．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 11．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 12．已知集合至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】 【分析】结合题意分和两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，集合至多有一个元素， 当时，方程为，解得，此时，满足题意； 当时，由，解得. 综上所述，a的取值范围为. 【易错必刷四 判断集合的子集(真子集)的个数】 13．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 14．（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 15．集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 16．若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分类讨论集合A的元素个数即可. 【详解】①当A无真子集时，即时， 则方程无实根， 所以，解之得. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或. 【易错必刷五 判断两个集合的包含关系】 17．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过证明和，来判断与的相等关系． 【详解】对任意，有且，从而有且，进一步，即，所以； 对任意，有，从而有且，进一步有且，即，所以． 综上所述，有． 故选：C． 18．（多选）若集合，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由集合中元素为奇数，逐项判断即可. 【详解】，，，不是的子集， 所以AD错误，BC正确， 故选：BC 19．已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 【答案】 【分析】根据，为奇数即可求解. 【详解】由于，为奇数， 而为任意整数， 所以，即. 故答案为： 20．观察下列每对集合，你能从元素的角度分析它们的关系吗？ (1)设某校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M. (2)用A表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合. (3)有理数集Q与实数集R. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据班级女同学为班级的一部分同学，结合子集概念可知. （2）根据所有的矩形为平行四边形，结合子集的概念可知. （3）根据所有的有理数都是实数，结合子集的概念可知. 【详解】（1）因为某校高一（1）班的女同学组成组成集合M的元素均为全体35位同学组成集合P的元素， 即若，则，所以. （2）由矩形的定义：有一个角为直角的平行四边形，可知所有的矩形都属于平行四边形， 即若，则，所以. （3）因为实数包含有理数和无理数，所以所有的有理数都是实数， 即若，则，所以. 【易错必刷六 空集的概念以及判断】 21．下列各式中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③； ④；  ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断. 【详解】根据空集的概念可知，①错误，②正确，③错误； 根据元素与集合的关系可知，④错误，⑤正确. 所以只有②⑤是正确的. 故选：D 22．（多选）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据一元二次方程的根，即可求解AB,根据一次方程的求解即可判断CD. 【详解】对于A项，一元二次方程无实根，解集为空集，A项正确； 对于B项，一元二次方程有两个相等的实数根或有两个不等的实数根，B项错误； 对于C项，，，，方程不成立，解集为空集，C项正确； 对于D项，，，，，D项错误. 故选:AC 23．若集合是空集，则的取值范围是______．（用区间表示） 【答案】 【分析】分和讨论方程解的情况，可得答案. 【详解】若，则方程无解，所以; 若，由方程无解，可得即，此时. 综上可知，实数的取值范围为：. 故答案为： 24．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 【易错必刷七 交集的概念及运算】 25．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的运算求解即可. 【详解】因为，， 所以. 26．（多选）中国古代有一道题：“今有物，不知其数，三三数之，剩一；五五数之，剩二；七七数之，剩三.问：物几何？”翻译成数学语言就是：已知，，则有，下列选项中符合题意的有（    ） A．52 B．73 C．122 D．262 【答案】AD 【分析】分别将选项中的数代入集合中验证，即可求解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 27．集合，，则________． 【答案】 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由，， 则. 28．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的概念求解. （2）根据集合的包含关系求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为，所以. 所以实数的取值范围为. 【易错必刷八 并集的概念及运算】 29．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 30．（多选）若集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】解析：因为，又，所以，所以，，故B，C正确，D不正确；，故A错误. 31．已知集合，，则_____________. 【答案】 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故. 故答案为：. 32．设集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的并集运算即可求解； （2）由题意得，列不等式组即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）若，则， 所以 解得， 故实数的取值范围为. 【易错必刷九 补集的概念及运算】 33．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集定义求解即可. 【详解】由题意得集合包含所有大于等于的实数，因此剩余实数范围为， 即. 34．（多选）已知集合，，若为非空集合，且，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】BD 【分析】利用集合的补集运算与包含关系即可得解. 【详解】因为，为非空集合，所以或，且， 而，，所以， 综上，，故BD正确，AC错误. 故选：BD. 35．已知全集，集合，则________． 【答案】 【分析】根据全集及补集的定义分析即可. 【详解】因为全集，集合， 所以. 36．已知集合，集合，求. 【答案】，，或. 【分析】根据交集、并集及补集的定义求解即可. 【详解】 ； 或. 【易错必刷十 交并补混合运算】 37．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， ． 38．（多选）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 【答案】CD 【分析】求出集合，根据集合的运算即可得到结论. 【详解】因为，所以，故A错误； 由，，得，所以，故B错误； ，故C正确； 由，得中的元素个数为5，故D正确. 故选：CD. 39．已知全集，集合，，则________． 【答案】 【详解】由全集，集合，， 可得，则. 40．已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得； （2）利用集合间包含关系运算即可得. 【详解】（1）由，，则或， 则，或； （2）由于，则有，解得. 【易错必刷十一 判断命题的充分不必要条件】 41．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，解得：或， 即时，成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 42．（多选）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由充分不必要条件的定义逐项验证求解即可. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误 由得，能推出，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 若不成立，故充分性不成立， 若不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误； ，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：BD. 43．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充要条件与命题间的推出关系的对应表示，易得结论. 【详解】由已知得，，，. 但由于推不出，所以推不出， 故是的充分不必要条件. 44．已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【答案】(1) (2)必要不充分条件 【分析】（1）解出集合 、，再由 得出不等式，求解即可； （2）结合（1）利用充分必要条件的定义即可判定. 【详解】（1）集合， 集合， 由，得，， 若，，故只需使， 所以，故实数的取值范围为， （2）由（1）可知的充要条件是， 由于， 则是的必要不充分条件 【易错必刷十二 既不充分也不必要条件】 45．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 46．（多选）给出的下列选项，其中错误的是（    ） A．圆O内两条弦相等是圆O内两条弦所对的圆周角相等的充要条件 B．四边形为正方形是四边形的对角线互相垂直且平分的充要条件 C．x，y为无理数是xy为无理数的充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 【答案】ABC 【分析】根据充要条件的定义可判断AB，充分条件的定义可判断C，根据既不充分又不必要条件定义可判断D. 【详解】对于A，同弦所对圆周角互补或相等，所以圆内两条弦相等他们所对的圆周角相等或互补，故错误； 对于B，若四边形的对角线互相垂直且平分，则四边形是菱形，不一定是正方形，故错误； 对于C，若，则是有理数，故错误； 对于D，若，则是无理数；若为有理数，则当时为无理数，所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故正确； 故选：ABC. 47．若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】既不充分也不必要 【分析】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【详解】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 48．判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一） (1)：xy>1；：x>1且y>1. (2)：x是整数；：x2是正整数. (3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值. 【答案】(1)必要不充分条件 (2)既不充分也不必要条件 (3)充分不必要条件 【分析】（1）、取判断充分性是否成立，再根据判断必要性是否成立，得出结论； （2）、取判断充分性是否成立，取判断必要性是否成立，得出结论； （3）、若则抛物线开口向上，判断函数是否存在最值判断充分性是否成立，若函数没有最大值，得出的范围判断必要性是否成立，得出结论； 【详解】（1）若，满足所以充分性不成立；若则所以必要性成立； 所以是的必要不充分条件； （2）取,满足是整数，但不是正整数，所以充分性不成立； 取，满足是正整数，但不是整数，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件； （3）若则抛物线开口向上，函数没有最大值，所以充分性成立； 若函数没有最大值，则所以必要性不成立；所以是的充分不必要条件； 【易错必刷十三 判断命题是否为全称命题】 49．下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 【答案】D 【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可. 【详解】对选项A，为存在量词命题， 对选项B，为存在量词命题， 对选项C，为存在量词命题， 对选项D，为全称量词命题. 故选： 50．（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 【答案】AC 【分析】根据全称量词命题的定义和全称量词命题真假的判断方法逐个分析判断即可. 【详解】对于，所以，故A选项是全称量词命题且为真命题； 对于B，当时，恒成立，故B选项是存在量词命题且为真命题； 对于C，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C选项是全称量词命题且为真命题； 对于D，当时，方程无解，故D选项是假命题. 故选：AC. 51．将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________． 【答案】 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可． 【详解】由已知，“方程无实根”是全称量词命题， 故可改写为：， 故答案为：． 52．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【答案】(1)全称量词命题，“所有”是全称量词 (2)全称量词命题，其中省略了全称量词“所有” (3)存在量词命题，“存在”是存在量词 (4)存在量词命题，“（即存在）”是存在量词 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的定义进行判断即可. 【详解】（1）“所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词； （2）“能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”， 它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”； （3）“存在一个无理数x，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词； （4）“使”是存在量词命题，“（即存在）”是存在量词. 【易错必刷十四 判断命题是否为特称(存在性)命题】 53．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 【答案】D 【分析】利用存在量词命题的定义求解即可. 【详解】存在量词命题指含有存在量词的命题， 故“一定存在没有最大值的二次函数”为存在量词命题，故D正确； 其他选项不含存在量词，故ABC错误. 故选：D. 54．（多选）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 【答案】BD 【分析】根据存在量词及全称量词的定义判断各个选项即可. 【详解】任意一个自然数都是整数中有全称量词是全称命题，A错误； 有的菱形是正方形有存在量词有的，B正确； 梯形有两边平行是全称命题，C错误； ,有存在量词，是存在量词命题，D正确. 故选：BD. 55．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 【答案】 ①②③ ④ 【分析】根据命题中所含量词，以及全称命题与特称命题的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】①可表述为“每一个菱形的四条边相等”，是全称量词命题； ②含有全称量词“所有”，是全称量词命题； ③可表述为“所有负数的立方根都不等于0”，是全称量词命题； ④含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题. 故答案为： ①②③，④ 56．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 【易错必刷十五 全称命题的否定及其真假判断】 57．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到全称量词命题的否定，分和两种情况，得到答案 【详解】命题“，都有”为假命题， 故命题“，都有”为真命题， 当时，，解得，满足要求； 当时，需满足，解得且， 综上，实数的取值范围为. 58．（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（   ） A．矩形有四条边 B．， C．，， D．“，”的否定 【答案】AB 【分析】根据命题真假依次判断选项即可. 【详解】A选项中的命题是全称量词命题，且为真命题，A符合题意. B选项中的命题是全称量词命题，由于恒成立，则原命题为真命题，B符合题意. C选项中的命题是存在量词命题，C不符合题意. “，”的否定为“，”，是存在量词命题，D不符合题意. 故选：AB 59．已知命题，则为_________________ 【答案】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 60．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)，方程没有实数根 (3)，，使方程的解不唯一或不存在 (4)存在被5整除的整数，末位不是0 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定. 【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在一个平行四边形，它的对边不都平行. （2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，方程没有实数根. （3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，，使方程的解不唯一或不存在。 （4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在被5整除的整数，末位不是0. 【易错必刷十六 特称命题的否定及其真假判断】 61．已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】原命题为，， 因此其否定为，. 62．（多选）下列说法正确的是（   ）． A．若，则 B．“”是“”的充要条件 C．命题，使得，则， D．函数的单调增区间为 【答案】AD 【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用集合的包含关系结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用存在量词命题的否定可判断C选项；利用二次函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，由可得， 因为是的真子集，故“”是“”充分不必要条件，B错； 对于C选项，命题为存在量词命题，该命题的否定为，，C错； 对于D选项，函数的单调增区间为，D对. 故选：AD. 63．命题“方程有实根”的否定形式是________，其为________命题． 【答案】 方程没有实根 真 【详解】命题“方程有实根”的否定形式是：方程没有实根， 因为，故方程没有实根，其为真命题. 64．已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 【答案】 【分析】先求得的最小值，依题可得a的范围，再命题q的否定为真，可得a的范围，综合即得答案. 【详解】当时，,当时取等号， 因为命题是真命题，所以， 命题的否定：， 因为命题的否定是真命题， 所以，解得. 综上，所求的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 集合与常用逻辑用语易错必刷题型专训（64题16个考点） 【易错必刷一 判断元素能否构成集合】 1．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 2．（多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 3．下列所给对象不能组成集合的是________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 4．思考下列问题： (1)你所在的班级中，身高不低于 175 cm的同学能组成一个集合吗? (2)你所在的班级中，高个子同学能组成一个集合吗?为什么? (3)不等式的所有解能组成一个集合吗? 【易错必刷二 判断元素与集合的关系】 5．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）设集合，则下列元素属于的是（    ） A．7 B．8 C．73 D．240 7．用适当符号填空：1______ 8．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出A中其他所有元素． (2)0是不是集合A中的元素？ 【易错必刷三 根据集合中元素的个数求参数】 9．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 11．已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 12．已知集合至多有一个元素，求a的取值范围. 【易错必刷四 判断集合的子集(真子集)的个数】 13．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 14．（多选）已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 15．集合的真子集的个数为______. 16．若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【易错必刷五 判断两个集合的包含关系】 17．已知非空集合，且，设，，，，则对于，的关系，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）若集合，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 19．已知集合，则__________．（请在横线上填写“”､“”或“”） 20．观察下列每对集合，你能从元素的角度分析它们的关系吗？ (1)设某校高一（1）班全体35位同学组成集合P，其中女同学组成集合M. (2)用A表示所有矩形组成的集合，B表示所有平行四边形组成的集合. (3)有理数集Q与实数集R. 【易错必刷六 空集的概念以及判断】 21．下列各式中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③； ④；  ⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 22．（多选）已知集合，则下列，，可以使的是（   ） A．， B．， C．，， D．，， 23．若集合是空集，则的取值范围是______．（用区间表示） 24．集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【易错必刷七 交集的概念及运算】 25．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 26．（多选）中国古代有一道题：“今有物，不知其数，三三数之，剩一；五五数之，剩二；七七数之，剩三.问：物几何？”翻译成数学语言就是：已知，，则有，下列选项中符合题意的有（    ） A．52 B．73 C．122 D．262 27．集合，，则________． 28．已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【易错必刷八 并集的概念及运算】 29．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 30．（多选）若集合，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 31．已知集合，，则_____________. 32．设集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【易错必刷九 补集的概念及运算】 33．已知全集，集合则（    ） A． B． C． D． 34．（多选）已知集合，，若为非空集合，且，则的可能取值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 35．已知全集，集合，则________． 36．已知集合，集合，求. 【易错必刷十 交并补混合运算】 37．若全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 38．（多选）已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D．中的元素个数为5 39．已知全集，集合，，则________． 40．已知集合，，． (1)求，； (2)若，求的取值范围． 【易错必刷十一 判断命题的充分不必要条件】 41．设，则“”是“”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 42．（多选）若，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 43．已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的充要条件，那么是的_________条件. 44．已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【易错必刷十二 既不充分也不必要条件】 45．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．（多选）给出的下列选项，其中错误的是（    ） A．圆O内两条弦相等是圆O内两条弦所对的圆周角相等的充要条件 B．四边形为正方形是四边形的对角线互相垂直且平分的充要条件 C．x，y为无理数是xy为无理数的充分条件 D．x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件 47．若，则是的_______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 48．判断下列是的什么条件.（写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”以及“既不充分也不必要”其中之一） (1)：xy>1；：x>1且y>1. (2)：x是整数；：x2是正整数. (3)：a>0；：函数y=ax2+x没有最大值. 【易错必刷十三 判断命题是否为全称命题】 49．下列命题为全称量词命题的是（    ） A．存在实数，使得 B．有的有理数的立方是无理数 C．有一个实数的绝对值是负数 D．任意三角形的内角和都是 50．（多选）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（    ） A． B． C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．对任意，方程恰有一解 51．将“方程无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________． 52．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并指出其中的全称量词或存在量词： (1)所有的正方形都是平行四边形； (2)能被5整除的整数末位数字为0； (3)存在一个无理数x，使也是无理数； (4)使. 【易错必刷十四 判断命题是否为特称(存在性)命题】 53．下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．任何一个实数乘以0都等于0 B．任意一个负数都比零小 C．每一个正方形都是矩形 D．一定存在没有最大值的二次函数 54．（多选）下列命题属于存在量词命题的是（    ） A．任意一个自然数都是整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．， 55．下列语句中，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______． ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0； ④至少有一个负整数是奇数． 56．判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【易错必刷十五 全称命题的否定及其真假判断】 57．若命题“，都有”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 58．（多选）下列命题是全称量词命题，且是真命题的为（   ） A．矩形有四条边 B．， C．，， D．“，”的否定 59．已知命题，则为_________________ 60．写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【易错必刷十六 特称命题的否定及其真假判断】 61．已知命题：，，则是（ ） A．， B．， C．， D．， 62．（多选）下列说法正确的是（   ）． A．若，则 B．“”是“”的充要条件 C．命题，使得，则， D．函数的单调增区间为 63．命题“方程有实根”的否定形式是________，其为________命题． 64．已知命题，其中，命题.命题是真命题，且命题的否定是真命题，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $