专题1.3 集合的基本运算 知识解读•题型专练 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、补集的概念（含自然语言、符号语言、图形语言）及运算规则，构建从基础概念到单一运算、混合运算及参数问题的学习支架。 资料以8类题型（如并集运算、根据交集结果求参数等）为主线，通过例题与变式训练培养数学思维（推理能力、运算能力），结合Venn图强化数学眼光（几何直观）。课中辅助教师分层教学，课后练习助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

专题1.3 集合的基本运算【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 3 【题型3 交集的概念及运算】 4 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 5 【题型5 补集的概念及运算】 7 【题型6 交、并、补集的混合运算】 8 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 9 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 12 【课后练习】 14 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合并集的运算，合并两个集合的元素取值范围即可得答案. 【详解】集合，， 所以. 【变式1-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的概念求解即可. 【详解】集合，， 则． 【变式1-2】（25-26高二下·天津红桥·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，所以. 【变式1-3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】由题意，进而有或求参数，注意验证元素的互异性. 【详解】由，即，则或，可得或， 当，在集合中，不满足集合元素的互异性， 当，则，满足题设. 故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合并集运算的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以必有，因此集合可以是， 因此集合的个数为4， 故选：D 【变式2-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知集合，，且，则m等于（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．或0 【答案】C 【分析】依题意可得，求解即可. 【详解】因为集合，，且， 所以，解得. 故选：C. 【变式2-3】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可得出答案． 【详解】∵集合， 故选：A． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·贵州遵义·期末）若集合，集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 【变式3-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合的交集运算即可求解. 【详解】由题意得：. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）设集合 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入，解出或，再分类讨论. 【详解】因为，则，解得或， 当时，，此时，满足题意； 当时，，此时，不合题意，舍去. 故. 故选：A. 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，讨论和，解方程并验证得到答案． 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用交集的结果按和分类求解. 【详解】当时，； 当时，，由，得，则或，解得或， 所以实数的值组成的集合为. 故选：C 【变式4-2】（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，可得到，进行计算即可. 【详解】由题意可知，，所以，对于任意的，有，故需要满足， 若，则存在但，不符合条件， 综上，实数a的取值范围是. 故选：C. 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】已知全集，集合，则， 故选：B. 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）若全集，集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用补集的意义可求解. 【详解】因为全集，集合，所以. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合补集运算即可求解. 【详解】，又， 所以 ， 故选：B 【变式5-3】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集（自然数包含0），集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出全集中所有的元素，再求A的补集即可. 【详解】因为全集，所以, 又因为集合，所以. 故选C. 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义以及补集的定义即可求解. 【详解】全集，集合，， 又集合，则. 故选：A. 【变式6-1】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集与交集的概念计算即可. 【详解】因为集合，， 易知， 所以. 故选：D 【变式6-2】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）若全集，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集的运算求出和，根据交集的运算求出. 【详解】， ，， . 故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据补集的定义即可得结果. 【详解】. 故选：C. 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】38．（24-25高一上·湖南怀化·阶段检测）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据并集和补集的概念计算； （2）根据，可以知道两个集合数轴上表示，要有公共部分，比较端点即可. 【详解】（1）因为 所以，所以或 （2）因为，且，即集合数轴表示要有公共部分， 所以，即的取值范围是. 【变式7-1】39．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式7-2】40．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集与并集运算即可； （2）根据全集计算补集，再根据交集运算即可得答案. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）由可得， 可得， 所以. 【变式7-3】41．（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据交集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即a的取值范围为． 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求出集合B，根据韦恩图，结合交集的概念与性质即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：B. 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从图中可知，阴影部分为集合中的元素去掉中的元素. 【详解】，，，选项C正确. 故选：C. 【变式8-3】（25-26高一上·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据韦恩图直接得出结果. 【详解】由图可知，图中阴影的部分表示集合. 故选：A 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】由可知. 故选：B 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用补集和交集的运算求解. 【详解】，， ，. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用集合的交、补运算求结果． 【详解】由题设，则． 故选：B 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，求得，结合子集个数的计算方法，即可求解. 【详解】由集合，可得， 所以集合的子集的个数为. 故选：B. 5．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的基本运算即可得解. 【详解】由题意知，故，， 图中阴影部分表示的是中去掉中的元素所剩下的元素，即. 故选：A. 6．（25-26高一上·广西桂林·期中）多选题已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意，讨论参数列方程求参数值，即可得. 【详解】因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，，令，得，令，得， 故的值可以为. 故选：ABD 7.（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）多选题某班共人，人喜爱篮球运动，部分学生喜爱乒乓球运动，有人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动的人数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据集合中元素个数的关系可推导得到，由此可依次分析各个选项得到结果. 【详解】设全集为全班学生，集合为喜爱篮球运动的学生，集合为喜爱乒乓球运动的学生， 表示集合中元素的个数， 由题意知：，，，求； ， ； 对于A，若，则，不合题意，A错误； 对于B，若，则，满足题意，B正确； 对于C，若，则，满足题意，C正确； 对于D，若，则，不合题意，D错误. 故选：BC. 8．多选题（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据交集、并集、补集的含义求解. 【详解】对于选项A：阴影部分的元素属于集合，但不属于集合， 阴影部分的元素组成的集合不是，A选项错误； 对于选项B：阴影部分的元素属于集合，但不属于， 根据补集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为，B选项正确； 对于选项C和D：阴影部分的元素不属于集合， 根据补集的含义可知阴影部分的元素属于， 又阴影部分的元素属于集合， 根据交集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为， C选项正确，D选项错误. 故选：BC. 9．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 10．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 集合的基本运算【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型1 并集的概念及运算】 2 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 2 【题型3 交集的概念及运算】 3 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 3 【题型5 补集的概念及运算】 4 【题型6 交、并、补集的混合运算】 4 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 5 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 6 【课后练习】 7 知识点1 并集与交集 1．并集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B} 2.交集的概念及表示 自然语言 符号语言 图形语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B") A∩B={x|x∈ A,且x∈ B} 【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合． (2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素． (3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成． 【题型1 并集的概念及运算】 【例1】（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二下·天津红桥·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·贵州六盘水·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据并集结果求集合或参数】 【例2】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）已知集合，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．2 D．2或 【变式2-1】（24-25高一上·广东珠海·期中）已知集合满，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（23-24高二上·广东广州·期中）已知集合，，且，则m等于（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．或0 【变式2-3】（25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 交集的概念及运算】 【例3】（24-25高一上·贵州遵义·期末）若集合，集合，则为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·河北保定·期中）设集合 若，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 根据交集结果求集合或参数】 【例4】（25-26高三上·河南郑州·期中）已知集合，若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁朝阳·期中）已知集合，若，则符合条件的实数m的值组成的集合为（  ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·浙江台州·阶段检测）设集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点2 补集与全集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作U. 2．补集 定义 文字 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合A相 对全集U的补集，简称为集合A的补集， 记作∁UA 符号 语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形 语言 性质 (1) (2) 【注】∁UA的三层含义： (1)∁UA表示一个集合； (2)A是U的子集，即A⊆U； (3)∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合． 【题型5 补集的概念及运算】 【例5】（25-26高一上·山东济南·期中）已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·山东济南·期中）若全集，集合，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合， ，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集（自然数包含0），集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型6 交、并、补集的混合运算】 【例6】（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ）． A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高一上·河北张家口·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）若全集，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【题型7 集合混合运算中的求参问题】 【例7】38．（24-25高一上·湖南怀化·阶段检测）已知集合，，. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【变式7-1】39．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式7-2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知全集，集合，集合. (1)求； (2)求． 【变式7-3】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知集合或． (1)当时，求 (2)若，求的取值范围． 知识点3 Venn图表达集合的关系和运算 如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示. 【题型8 Venn图表达集合的关系和运算】 【例8】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）如图所示，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·陕西·期中）设为全集，集合是的真子集，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一上·江苏淮安·阶段检测）集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·江西吉安·阶段检测）已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广西桂林·期中）多选题已知集合，且，则的值可以为（　　） A．0 B．1 C． D． 7.（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）多选题某班共人，人喜爱篮球运动，部分学生喜爱乒乓球运动，有人对这两项运动都不喜爱，则喜爱乒乓球运动的人数可能是（    ） A． B． C． D． 8．多选题（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·甘肃·期中）设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 10．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $