专题3.1 认识不等式（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“认识不等式”核心知识点，从不等关系（相等与不相等）切入，通过常见不等号（＜、＞、≤、≥、≠）建立概念，衔接等式知识，延伸至列不等式及用数轴表示解集（空心/实心圆圈、方向），构建完整学习支架。 资料亮点在于题型分层（6类题型含例题与变式），结合生活实例（如限速标志、饮料脂肪含量），培养数学眼光（几何直观：数轴表示解集）、数学思维（推理意识：判断不等式成立）、数学语言（模型意识：实际问题列不等式）。课中辅助教师系统授课，课后供学生强化练习，有效查漏补缺。

专题3.1 认识不等式（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 判断不等式】 2 【题型2 文字语言转化为不等式】 2 【题型3 在数轴上表示不等式】 3 【题型4 判断不等式是否成立】 3 【题型5 选择合适不等号填空】 4 【题型6 实际问题列不等式】 4 考点1 认识不等式 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点2 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点3 用数轴表示不等式 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 【题型1 判断不等式】 【例1】下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若是不等式，则符号“”不能是（　    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 文字语言转化为不等式】 【例2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为_______． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6”列不等式：___________． 【题型3 在数轴上表示不等式】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为______． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段检测）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的最大整数解是________． 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期末）某不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的负整数解为_________． 【题型4 判断不等式是否成立】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有________个． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A．x＋3＞5 B．x＋3＞6 C．x＋3＞7 D．x＋3＞8 【变式4-3】下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型5 选择合适不等号填空】 【例5】用不等号填空： （1）若为非负数，则_____； （2）_____． 【变式5-1】如图，身高为的1号同学与身高为的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成________．（用“”或“”填空） 【变式5-2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26七年级下·北京·课后作业）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0． 【题型6 实际问题列不等式】 【例6】（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为__________． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课前预习）饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是________________． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 【变式6-3】北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是________． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 认识不等式（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 判断不等式】 2 【题型2 文字语言转化为不等式】 3 【题型3 在数轴上表示不等式】 4 【题型4 判断不等式是否成立】 6 【题型5 选择合适不等号填空】 7 【题型6 实际问题列不等式】 9 考点1 认识不等式 知识点1 不等式概念 不等关系： （1）在日常生活中，数量之间的关系有两种：相等与不相等． （2）常见的不等号 种类 符号 表示意义 读法 举例 小于号 ＜ 小于、不足 小于 大于号 ＞ 大于、高出 大于 小于或等于号 ≤ 不大于、不超过、至多 小于或等于（不大于） 大于或等于号 ≥ 不小于、不低于、至少 大于或等于（不小于） 不等于号 ≠ 不等 不等于 （3）不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式． 如，，，都是不等式． 知识点2 列不等式 用不等式表示不等关系叫做列不等式． 例如：“x与3的和小于5”用不等式表示为． 知识点3 用数轴表示不等式 1. 用不等式的表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解为某个范围，而这个范围可以用一个具体、简单的不等式来表示． 2. 用数轴表示 不等式的解集在数轴上表示可用下表说明． 不等式 图示 说明 界点用空心圆圈，方向向右 界点用空心圆圈，方向向左 界点用实心圆点，方向向右 界点用实心圆点，方向向左 【题型1 判断不等式】 【例1】下列各式中，是不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：用不等号连接的式子是不等式． A选项，是等式，不符合题意； B选项，含不等号，是不等式，符合题意； C选项，是代数式，不符合题意； D选项，是等式，不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·青海玉树·期末）若是不等式，则符号“”不能是（　    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵、、均为不等号，可用于连接不等式，是等号，用于连接等式． ∴符号“”不能是． 【变式1-2】（25-26七年级下·重庆江津·期末）下列各式中，不是不等式的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的概念判断各选项即可得到答案． 【详解】首先明确不等式的定义：用不等号（包括，，，，等）连接，表示不等关系的式子叫做不等式． ∵ 选项A、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项B、，只是一个代数式，没有用不等号连接，不表示不等关系，不是不等式； 选项C、，使用不等号表示不等关系，是不等式； 选项D、，使用不等号表示不等关系，是不等式． 【变式1-3】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）下列式子：①；②；③，④．其中不等式的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】用不等号连接，表示不等关系的式子叫做不等式，据此逐一判断即可． 【详解】解：①用不等号连接，是不等式； ②用等号连接，是等式，不是不等式； ③用不等号连接，是不等式； ④用不等号连接，是不等式； ∴不等式有①③④，共有个． 【题型2 文字语言转化为不等式】 【例2】（25-26八年级下·广东佛山·期中）若x的3倍不大于5，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的3倍不大于5，不大于5的含义是小于或等于5， ∴根据题意可得不等式． 【变式2-1】（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 【变式2-2】将“a与b的差是非正数”用不等式表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式及非正数的概念，解题的关键是准确理解“a与b的差”的数学表达式，以及明确“非正数”所对应的不等关系． 先确定“a与b的差”对应的数学表达式为；再明确“非正数”指的是小于或等于0的数，即满足“”的关系；最后将两者结合，写出对应的不等式． 【详解】解：“a与b的差”表示为； “非正数”是指小于或等于0的数，即满足关系“”； 因此“a与b的差是非正数”用不等式表示为． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）“x减去y的差的2倍不大于x的一半减去6”列不等式：___________． 【答案】 【分析】先将题目中的文字语言转化为数学语言，分别表示出对应代数式，再根据“不大于”的含义确定不等号，即可列出不等式． 【详解】解：∵减去的差为， ∴减去的差的倍为， 又∵x的一半减去6为， 因此列出不等式为． 【题型3 在数轴上表示不等式】 【例3】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了在数轴上表示范围，熟练掌握在数轴上表示解集的方法是解题的关键； 分析哪个选项的范围与题目所给解集的范围相符，即为正确答案． 【详解】解：由题可知，的范围应该在数轴上的处，折线方向向左， 与各选项比较，只有D选项符合； 故选：D． 【变式3-1】如图，若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．熟练掌握不等式的解集在数轴上表示的方法是解题关键．用数轴表示不等式的解集时要“两定”：一定边界点，二定方向．在定边界点时，若符号是“”或“”，边界点为实心点；若符号是“”或“”，边界点为空心圆点．在定方向时，相对于边界点，“小于向左，大于向右”． 【详解】解：若未知数为，则数轴上所表示的不等式解集为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·河南信阳·阶段检测）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式的最大整数解是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键．由数轴可知，不等式的解为，则这个不等式的最大整数解是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解为， 这个不等式的最大整数解是， 故答案为： 【变式3-3】（25-26八年级下·四川成都·期末）某不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的负整数解为_________． 【答案】、、、 【分析】根据数轴上表示不等式解集的方法：实心点表示包含该点，向右画表示大于，从而确定不等式的解集，再结合负整数的定义即可求解． 【详解】解：由数轴可知，处为实心点，且折线向右延伸， 所以该不等式的解集为； 因为负整数是小于的整数， 所以满足的负整数有、、、． 【题型4 判断不等式是否成立】 【例4】（24-25七年级下·全国·单元测试）在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有________个． 【答案】3 【分析】本题考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解． 【详解】解：， 不等式两边同时减去得，， 不等式两边同时乘以得，， ∴在，，，，0，1，2这些整数中，能使不等式成立的有，共3个， 故答案为：3． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·随堂练习）下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考了不等式的定义，熟知不等式成立的条件是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时不成立，故本选项不符合题意； B、当时不成立，故本选项不符合题意； C、不论x为何值，不等式均不成立，故本选项不符合题意； D、不论x为何值，不等式均成立，故本选项符合题意． 故选：C． 【变式4-2】当x = 3时，下列不等式成立的是 （ ） A．x＋3＞5 B．x＋3＞6 C．x＋3＞7 D．x＋3＞8 【答案】A 【分析】根据不等式的定义求解即可． 【详解】A、x+3=6＞5，故A符合题意； B、x+3=6，故B不符合题意； C、x+3=6＜7，故C不符合题意； D、x+3=6＜8，故D不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了不等式，利用不等式的定义是解题关键． 【变式4-3】下列选项中，能使不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集，将求解，得出解集，再比较即可，解题的关键是求出不等式的解集． 【详解】解：∵， ∴， 、由，符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 、由，不符合题意； 故选：． 【题型5 选择合适不等号填空】 【例5】用不等号填空： （1）若为非负数，则_____； （2）_____． 【答案】 【详解】试题解析：(1)若m为非负数，则 (2)   故答案为 【变式5-1】如图，身高为的1号同学与身高为的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成________．（用“”或“”填空） 【答案】> 【分析】观察图形，根据不等式的定义即可求解 【详解】解：由图形可得：1号同学的身高比2号同学的身高高， 如果用一个不等式来表示他们的身高关系 则这个式子可以表示成x>y 故答案为：> 【点睛】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解题的关键 【变式5-2】（24-25七年级下·河北唐山·阶段检测）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是列不等式，理解语言表示不等关系的含义是关键，由不超过表示小于或等于可得答案． 【详解】解：不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：， 故选：C． 【变式5-3】（25-26七年级下·北京·课后作业）实数a，b在数轴上的位置如图所示，选择适当的不等号填空． (1)a___________b． (2)___________． (3)___________0． (4)___________0． (5)ab___________0． 【答案】(1)＞； (2)＜； (3)＜； (4)＞； (5)＜ 【分析】（1）根据数轴上a，b对应点在数轴上的位置，即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义，即可求解； （3）根据实数的加法法则即可求解； （4）根据实数的减法法则即可求解； （5）根据实数的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知：， 故答案为：＞； （2）解：由数轴可知：＜， 故答案为：＜； （3）解：∵，＜， ∴， 故答案为：＜； （4）解：∵， ∴， 故答案为：＞； （5）解：∵ ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查数轴，绝对值，实数的加减法和乘法，掌握绝对值的几何意义，实数的加减法法则是关键． 【题型6 实际问题列不等式】 【例6】（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于， 故用不等式表示为， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·课前预习）饮料标签上标有“脂肪含量”，该式表示的含义是________________． 【答案】脂肪含量不超过 【分析】本题考查了不等式在生活中的应用；根据不等式的含义即可完成． 【详解】解：“脂肪含量”表示：脂肪含量不超过； 故答案为：脂肪含量不超过． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）小明中午在订餐软件下单订餐，得到如图所示的反馈，若送餐员在预计时间范围内送达，则小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为______． 立即送出 送达 【答案】 【分析】此题考查了不等式的应用，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：∵小明中午在订餐软件下单订餐，立即送出，在送达， ∴小明接到餐的时长（分钟）用不等式表示为， 故答案为； 【变式6-3】北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查的是路程、速度、时间之间关系及用不等式表示范围，先求出要在内通过时的速度，再根据按照当前时速行驶能通过下一路口求出此时速度，即可解决． 【详解】解：， 当距离下一路口时，以速度通过需要的时间为：， 要在内通过， 小车的速度至少为， 因为导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口， 则小车当前行驶速度的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $