专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型（一课一讲）2025-2026学年浙教版八年级上册数学同步讲练

专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型 （一课一讲） ①不等式的定义 像v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 ②不等式在数轴上表示 （1）x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（图3-4）；（2）x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应点A 右边的所有点，包括点A在内（图 3-5）；（3）b＜x＜a（b＜a）表示大于b而小于a的全体实数，数轴表示如图3-6所示。 题型一：判断是否是不等式 【例题1】下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-3】(23-24八下·四川成都锦江区·期中)下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·月考)老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1-5】(24-25八下·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：列不等式 【例题2】假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【变式训练2-1】(24-25八下·四川宣汉县红峰中学·期中)如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【变式训练2-2】(24-25七下·河北邢台威县县直中学·月考)如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ． 【变式训练2-3】(24-25七下·陕西西安新城区睿知教育培训中心·月考)用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【变式训练2-4】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)根据下列数量关系写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． ①不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：。这个性质也叫作不等式的传递性。 （2）不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 （3）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等号仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 题型三：根据不等式的性质判断选项 【例题3】如果：，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3-1】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练3-2】(24-25八下·江苏泰州白马中学·)如果，下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】(24-25七下·云南丽江·期末)若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 题型四：不等式的性质与数轴的关系 【例题4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】(25-26九上·广东深圳红岭教育集团·开学考)实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 【变式训练4-3】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-4】(2025·陕西省西安市·模拟)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-5】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型五：利用不等式的性质比较大小 【例题5】若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】已知，，，若，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西咸新区沣东新城第六初级中学·月考)已知三个实数，，满足，，，则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练5-3】(24-25七上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)若，则，a，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】实数满足：①；②；③．则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式训练5-5】(24-25九下·安徽宣城宣城中学·)5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 题型六：不等式解集相关求解 【例题6】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【变式训练6-1】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【变式训练6-2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【变式训练6-3】若不等式的解集是，则k的取值范围是 ． 【变式训练6-4】(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如果的解集为，则的取值范围是 ． 【变式训练6-5】(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为 题型七：不等式的综合证明 【例题7】如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆． (1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ； (2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ； (3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？ (4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想． 【变式训练7-1】阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【变式训练7-2】(24-25七下·福建泉州德化县·期末)已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【变式训练7-3】(24-25七下·福建泉州南安·期末)已知有理数a，b，c． (1)若，求的取值范围； (2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 【变式训练7-4】(24-25八下·福建宁德·期末)代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【变式训练7-5】(24-25七下·福建泉州永春县永春第一中学·月考)阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得 ** ，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填_______； (2)请尝试证明：若，则． 【变式训练7-6】(24-25八下·河南洛阳汝阳县·期中)有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是． (1)经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______． ①，②，③； (2)请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”； (3)设，求证：． 题型八：不等式的阅读题型 【例题8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知，，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【变式训练8-1】(24-25七下·新疆生产建设兵团第二师铁门关·期末)【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【变式训练8-2】(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【变式训练8-3】(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【变式训练8-4】(24-25七下·吉林长春净月高新区·期末)【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【变式训练8-5】(24-25七下·山东临沂沂南县·期末)阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 题型九：不等式中最值问题 【例题9】阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【变式训练9-1】(24-25七下·江苏扬州朱自清中学·)阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：其证明过程如下： ∵右边左边， ∴，即． 当，即当时，取得等号． 我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题． 如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18． (1)理解：证明“基本不等式”：． (2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值． (3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？ 【变式训练9-2】(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 【变式训练9-3】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②． （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论，求的最小值． 【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂莒南县·期末)发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【变式训练9-5】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是___，此时x的值是___； (2)求代数式的最小值． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1&3.2认识不等式及不等式的基本性质九大题型 （一课一讲） ①不等式的定义 像v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3这样，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 ②不等式在数轴上表示 （1）x＜a表示小于a的全体实数，在数轴上对应点A左边的所有点，不包括点A在内（图3-4）；（2）x≥a表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应点A 右边的所有点，包括点A在内（图 3-5）；（3）b＜x＜a（b＜a）表示大于b而小于a的全体实数，数轴表示如图3-6所示。 题型一：判断是否是不等式 【例题1】下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练1-1】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 【变式训练1-2】(24-25七下·黑龙江哈尔滨工业大学附属中学校·月考)以下式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析各个式子进行判断即可 【详解】解：①是等式，不符合题意； ②是不等式，符合题意； ③是不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是不等式，符合题意； ⑥是不等式，符合题意； ∴有4个不等式， 故选：C 【变式训练1-3】(23-24八下·四川成都锦江区·期中)下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 【变式训练1-4】(24-25八下·广东河源龙川第一实验学校·月考)老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 【变式训练1-5】(24-25八下·贵州毕节七星关区第三实验学校·月考)给出下面式子：①；②；③；④．其中不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】依据不等式的定义（用不等号表示不相等关系的式子），对每个式子逐一判断是否为不等式．本题主要考查不等式的定义，明确不等式是用不等号（、、、、 等）表示不等关系的式子，熟练掌握该定义是判断式子是否为不等式的关键． 【详解】解：判断①：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断②：，用“”表示相等关系，是等式，不是不等式． 判断③：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 判断④：，用“”表示不等关系，符合不等式定义，是不等式． 综上，①③④是不等式，共个， 故选 C ． 题型二：列不等式 【例题2】假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练2-1】(24-25八下·四川宣汉县红峰中学·期中)如图，天平右盘中每个砝码的重量都是，如图中显示出某药品A重量的范围是（    ） A．大于 B．小于 C．大于且小于 D．大于或小于 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的应用，解决问题的关键是读懂图意． 根据图形就可以得到药品A的质量的范围． 【详解】解： 由第一个图可知药品A质量大于2克，由第二个图可知药品A质量小于3克，故药品A质量范围是大于2克且小于3克． 故选：C． 【变式训练2-2】(24-25七下·河北邢台威县县直中学·月考)如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，若用表示汽车的速度，则与应满足的关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的概念，用不等号将两个整式连接起来所成的式子，叫做不等式．根据题意可知汽车的速度不超过，即汽车的速度小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意知速度不超过，即小于等于， 故用不等式表示为， 故答案为：． 【变式训练2-3】(24-25七下·陕西西安新城区睿知教育培训中心·月考)用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 【变式训练2-4】(24-25八下·陕西咸阳永寿县豆家中学·月考)根据下列数量关系写出不等式． (1)x与5的和的不大于； (2)m除以4的商加上3至多为5； (3)a与b两数和的平方不小于3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式．抓住题目中的“至多”、“不大于”、“非正数”等关键词是解题关键． （1）根据“不大于” 即可列出不等式； （2）根据“至多为5” 即可列出不等式； （3）根据“不小于3” 即可列出不等式． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： （3）解：由题意得：． ①不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：。这个性质也叫作不等式的传递性。 （2）不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。 （3）不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等号仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 题型三：根据不等式的性质判断选项 【例题3】如果：，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题关键． 根据不等式的性质以及反例法，逐项分析判断即可． 【详解】解：A.因为，所以，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 因为，即，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 因为，所以，故该选项正确，不符合题意； D.可令，则，因为，所以此时，即不一定正确，本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练3-1】下列不等式的变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：A、若，则，故不符合题意； B、若，则，故不符合题意； C、若，则，故不符合题意； D、若，则， 若，则，与矛盾， 故，所以，符合题意． 故选：D． 【变式训练3-2】(24-25八下·江苏泰州白马中学·)如果，下列各式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，正负数大小的比较，解题的关键是掌握不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质，正负数大小的比较，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据不等式的基本性质得，该选项正确，不符合题意； B. 根据不等式的基本性质得，该选项正确，不符合题意； C. 根据正负数大小比较，该选项正确，不符合题意； D. 根据正负数大小比较，该选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式训练3-3】(24-25七下·四川乐山夹江县·期末)已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误； B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误； C：当时，，则，则错误，因此，C错误； D：由得，，则，因此，D正确． 故选D． 【变式训练3-4】(24-25七下·云南丽江·期末)若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故本选项的结论正确； B、∵， ∴，故本选项的结论正确； C、∵， ∴， ∴，故本选项的结论正确； D、∵， ∴， ∴，故本选项的结论错误． 故选：D 【变式训练3-5】(24-25七下·黑龙江哈尔滨南岗区哈尔滨工业大学附属中学校·月考)若，则下列式子错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质2判断A（考虑情况），再根据不等式的基本性质3和性质1判断B，然后根据不等式的基本性质2，判断C，D即可. 【详解】解：不等式，不等式两边都乘以，可得，所以A正确，不符合题意； 不等式，不等式两边都乘以，得，两边加上3，得，所以B不正确，符合题意； 不等式，不等式两边都除以，可得，所以C正确，不符合题意； 不等式，不等式两边都除以2，可得，所以D正确，不符合题意. 故选：B. 题型四：不等式的性质与数轴的关系 【例题4】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．由数轴可知，，根据不等式的性质逐一推理即可． 【详解】A、由图可知，，，所以，，所以，故选项A错误，不符合题意； B、由图可知，，，所以，故选项B错误，不符合题意； C、由图可知，，所以，所以，故选项C错误，不符合题意； D、由图可知，，，所以，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式训练4-1】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴与实数，不等式的性质，由数轴知，，，，然后逐项排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，，原选项错误，不符合题意； 、由数轴知，， ∴，原选项正确，符合题意； 故选：． 【变式训练4-2】(25-26九上·广东深圳红岭教育集团·开学考)实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， 若，则， 即取值可能为1， 故选：D． 【变式训练4-3】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴的性质，有理数的加法，有理数的乘法，有理数的大小比较的原则，逐一判断即可． 本题考查了数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，有理数的加法，有理数的乘法，数轴的意义，熟练掌握数轴的意义，有理数的大小比较是解题的关键． 【详解】解：如图，根据题意，得，且，， 故，， A.  错误，不符合题意；     B.  正确，符合题意；     C.  错误，不符合题意     D.  错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练4-4】(2025·陕西省西安市·模拟)实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，观察数轴判断a，b的大小和绝对值的大小关系，然后根据有理数的乘法法则、加法法则、不等式的基本性质和绝对值的性质对各个选项进行判断即可． 【详解】解：观察数轴可知：，，，， ∴， ∴，，，， ∴A，B，C选项均错误，D选项正确， 故选：D． 【变式训练4-5】(24-25七下·江苏泰州泰兴·期末)如图，数轴上的点与点所表示的数分别为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．由数轴可得，利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得， 两边同时加上得，则A不符合题意， 两边同时减去得，则B符合题意， 两边同时乘以得，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 题型五：利用不等式的性质比较大小 【例题5】若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， 而， ， ， 故选：B． 【变式训练5-1】已知，，，若，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的减法，不等式的性质，根据，利用分式的减法确定，，即可得出结论．掌握分式的减法运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， 又∵ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴，，的大小关系为． 故选：D． 【变式训练5-2】(24-25八下·陕西西咸新区沣东新城第六初级中学·月考)已知三个实数，，满足，，，则（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，将各式进行正确的等量代换是解题的关键． 将代入中求得与0的大小关系，再将代入中求得与0的大小关系，然后将代入中解得的值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，，， ，， ，， ，， ，， ， ， 综上，，，， 故选：B． 【变式训练5-3】(24-25七上·江苏苏州苏州工业园区星湾学校·月考)若，则，a，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个整式，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．由题意，，根据不等式的性质比较，a，的大小关系． 【详解】解：， ， ， 三个式子同时加上， ， 故选：D． 【变式训练5-4】实数满足：①；②；③．则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，以及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键． 根据条件①变形可得到，将②变形可得到，两个条件可得到，再由③，可得，再由，可得，即，可得，由此可判断大小． 【详解】解：①，可得， ②，可得， ∴，即， 可得， ∵③， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A ． 【变式训练5-5】(24-25九下·安徽宣城宣城中学·)5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 题型六：不等式解集相关求解 【例题6】某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 【变式训练6-1】下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 【变式训练6-2】下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 【变式训练6-3】若不等式的解集是，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变，而不等式两边同时除以一个小于0的数，不等号方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：因为不等式的解集是， 所以不等式的两边同时除以k后，不等号方向发生了改变， 所以， 故答案为：． 【变式训练6-4】(24-25七下·上海外国语大学附属奉贤外国语学校·期末)如果的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的运算法则运算求解即可． 【详解】解：∵的解集为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练6-5】(24-25八下·陕西西安雁塔区第三初级中学·月考)不等式，两边同除以，得，则m的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式号的方向要改变，是解本题的关键． 运用不等式的性质解题即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：． 题型七：不等式的综合证明 【例题7】如图，用两根长度均为的绳子分别围成一个正方形和一个圆． (1)图中正方形的边长为 ；圆的半径为 ； (2)如果要使圆的面积不小于，那么绳长l应满足怎样的不等关系 ； (3)当时，正方形和圆的面积哪个大？呢？ (4)根据（3）得出结果，由此你能得到什么猜想？并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2) (3)当和时，都是圆的面积大 (4)不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积；证明见解析 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算的应用，列不等式，正确理解题意并列式计算是解题的关键． （1）根据题意可直接列出代数式； （2）根据题意可直接列出不等式并化简即可； （3）当和时，分别计算正方形和圆的面积，再比较大小即可； （4）根据（3）的结果可作出猜想；用作差法列式计算，即可证明猜想． 【详解】（1）解：因为正方形的周长为，所以其边长为； 因为圆周长为，所以圆的半径长为． 故答案为：；． （2）解：根据题意可列不等式为， 即． 故答案为：． （3）解：当时， 正方形的面积为（）， 圆面积为（）， ， 圆面积大； 当时， 正方形的面积为（）， 圆面积为（）， ， 圆面积大； （4）解：猜想，不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积． 证明：， ， ， 不管l取何值，圆面积都大于正方形的面积． 【变式训练7-1】阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 【详解】解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 【变式训练7-2】(24-25七下·福建泉州德化县·期末)已知：a、b、m、n四个数中，， (1)比较与的大小； (2)若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 【详解】（1）解：解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 【变式训练7-3】(24-25七下·福建泉州南安·期末)已知有理数a，b，c． (1)若，求的取值范围； (2)若a，b，c都是正整数，且是偶数，请说明：是偶数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了不等式的性质、整式的加减、数的奇偶性等知识点． （1）由已知可得，代入，可得，再由，得出的取值范围； （2）由都是整数，得出是偶数；再由已知条件可得，由此得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2）解：（方法一）都是正整数， 是偶数， ； 也是偶数，偶数偶数偶数， 是偶数． （方法二）都是正整数，且是偶数， 若为偶数，则也必是偶数， 为同奇同偶， 必是偶数．是偶数． 若为奇数，则也必是奇数， 为一奇一偶， 必是奇数， 是偶数， 综上所述：是偶数． 【变式训练7-4】(24-25八下·福建宁德·期末)代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【答案】(1)①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③ (2)见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据不等式的性质补全过程即可； （2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ． 又， ．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变） ． ， ， 故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③； （2）证明：， ． ． ①． ， ． 等式①的两边同时除以，得， ． 【变式训练7-5】(24-25七下·福建泉州永春县永春第一中学·月考)阅读材料： 小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下： 因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2， 可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2， 可得 ** ，② 由①②，可得． (1)在阅读材料中，**处应填_______； (2)请尝试证明：若，则． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时加上c得到，由此即可证明问题． 【详解】（1）解：∵， 将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，① 将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得，② 由①②，可得， 故答案为：； （2）证明：因为，将不等式两边都加上c，由不等式的性质1， 可得，① 因为，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1， 可得，， ② 由①②，得． 【变式训练7-6】(24-25八下·河南洛阳汝阳县·期中)有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；……第n个数是． (1)经过探究，我们发现：．设这列数的第5个数为a，你认为下列三个式子正确的是_______． ①，②，③； (2)请你观察第1个数，第2个数，第3个数，猜想这列数的第个数（即用正整数n表示第n个数），并且证明“第n个数与第个数的和等于”； (3)设，求证：． 【答案】(1)② (2)第个数为，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了分式的拆分规律、数列的规律探究以及不等式的放缩证明，熟练掌握分式拆分技巧和数列规律推导、放缩法的运用是解题的关键． （1）根据数列规律得出第5个数表达式，再结合已知的拆分形式判断． （2）先根据数列规律猜想第个数的表达式，再通过分式拆分、化简证明第个数与第个数的和的等式． （3）通过对进行放缩，利用相邻分式差的形式累加，推导的范围． 【详解】（1）解：第5个数，又已知，当时，，即， ∴②正确． 故答案为：②； （2）解：由题意猜想第个数为， 由(1)可知第n个数为， ， 即第n个数与第个数的和等于； （3）解：， ， ， …… ， ， ， 即． 题型八：不等式的阅读题型 【例题8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数，，满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ，，都是正数，即，，时，则； 当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则． 综上所述，值为或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)已知，是不为的有理数，当时，则的值是______； (2)已知，，是有理数，当时，求的值； (3)已知，，是有理数，，，求的值． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式，有理数的乘法，代数式求值，分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）仿照题目给出的思路和方法，解决即可； （2）根据， 分 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 为一负两正或三负两种情况讨论，再化简求值即可； （3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出中负数有1个，正数有2个，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可． 【详解】（1）解：是不为的有理数，当时，即， ∴ 或， 当时，； 当 时，． 故答案为：． （2）∵， 、、都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， 当、、都是负数，即时， 则：； 、、有一个为负数，另两个为正数时，设， 则； （3）为三个不为的有理数，且，， ∴， ∴a、、中一个为负数，另两个为正数，设， ． 【变式训练8-1】(24-25七下·新疆生产建设兵团第二师铁门关·期末)【阅读与思考】用求差法比较大小 两个数量的大小可以通过它们的差来判断． 如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【探究与实践】 (1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 如果，，那么（或）． (2)制作某产品有两种用料方案． 方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板； 方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板． 已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？ 【答案】(1)证明见解析 (2)从省料角度考虑，应选方案二 【分析】本题考查了整式的加减运算，因式分解的含义，熟练掌握作差法比较大小是解题的关键． （1）先作差可得，，再结合条件进一步证明即可． （2）设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 利用作差法进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴． （2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为， 方案一所用钢板的面积为， 方案二所用钢板的面积为， ， ， ∴， ， 从省料角度考虑，应选方案二． 【变式训练8-2】(24-25七下·山西阳泉矿区阳泉第十五中学校·期末)阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 【变式训练8-3】(24-25八下·河南项城第四初级中学·月考)【阅读材料】 我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化， “求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)，，若，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为任意实数，的取值范围为 【分析】本题考查整式的加减，不等式的基本性质，解题的关键是正确理解“求差法”． （1）求差、变形，结合已知条件确定差的符号，即可完成比较大小； （2）整体代入，进行整式加减运算，解不等式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的取值范围为任意实数，的取值范围为． 【变式训练8-4】(24-25七下·吉林长春净月高新区·期末)【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】 【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可； 性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； 拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 【详解】解：教材呈现： ，， ，即， ，， ，即， 故答案为：，； 性质应用： 由，得， 将代入得， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展提升： ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练8-5】(24-25七下·山东临沂沂南县·期末)阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：； 故答案为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型九：不等式中最值问题 【例题9】阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） (1)若，求证：； (2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 【变式训练9-1】(24-25七下·江苏扬州朱自清中学·)阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：其证明过程如下： ∵右边左边， ∴，即． 当，即当时，取得等号． 我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题． 如：若正数a、b满足，则利用可以得出：当且仅当时，取得最小值18． (1)理解：证明“基本不等式”：． (2)感悟：已知x、y满足，求的最大值，并求出此时m的值． (3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地．外部为长方形，中间用笆隔开，且．若篱笆的总长为20米，则边长为多少米时，基地的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)的最大值为25， (3)AB边长为时，基地的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查完全平方公式的变形和应用； （1）仿照例题方法证明即可； （2）根据题意求出，利用（1）中结论计算解题； （3）设，则，表示基地面积，利用（1）中结论求出最值即可解题． 【详解】（1）证明：∵右边左边 ∴，即． （2）解：由得 ∴，即的最大值为25． 解得， 代入求得． （3）设，则． 基地的面积 当且仅当，即时，基地的面积最大． 【变式训练9-2】(54-25八下·四川眉山仁寿县城区初中学校2·期中)阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，我们把这种处理方法叫分离常数（整式）法．如这样分式就拆分成整式和分式和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)分式用分离整式法可化为_____________形式． (2)已知，利用分离整式法求y的取值范围？ (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：，求代数式的最小值？ 【答案】(1) (2) (3)27 【分析】本题考查了分式的变形、运算，完全平方公式的应用，解题的关键是应用分离常数法，把所求分式变形． （1）按照阅读材料方法，把变形即可； （2）用分离常数法，把原式化为 ，由即可得答案； （3）用分离常数法，把原式化为，根据已知用a的代数式表示x、y，进而得出，即可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， ∵分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：， ∴， ∴， ∴， 而， ∵， ∴（， ∴当时，最小值是27． 【变式训练9-3】(24-25八上·吉林长春五十二中学赫行实验学校·期中)【提出问题】 利用“图形”能够证明“等式”，如“完全平方公式”“平方差公式”都可以用图形进行证明，那么“图形”能否证明“不等式”呢？请完成以下探究性学习内容． 【自主探究】 用直角边分别为a和b的两个等腰直角三角形进行拼图，由图①得到图②． （1）请你仔细观察图形变化，解决下列问题． （ⅰ）图①中两个三角形的面积分别为________和________，图②中长方形的面积为________．（用含a，b的字母表示） （ⅱ）当时，比较大小：________．（填“”或“”） （ⅲ）当a和b满足什么条件时，与相等？甲同学说：我可以通过计算进行说明．乙同学说：我可以通过画图进行说明．请你选择其中一人的方法，进行说明． 【知识应用】 （2）已知，，且，利用（1）发现的结论，求的最小值． 【答案】（1）（ⅰ），，；（ⅱ）（ⅲ），见详解；（2） 【分析】本题考查了利用图形面积证明不等式；理解图形面积与不等式之间的关系是解题的关键． （1）（ⅰ）根据图形即可求解； （ⅱ）由图②中的矩形面积及两个三角形的面积和即可求解； （ⅲ）甲同学：当时，分别计算即可求解；乙同学：画出图形即可求解； （2）由（1）得，即可求解； 【详解】解：（1）（ⅰ）由题意得 ①中两个三角形的面积分别为和，图②中长方形的面积为， （ⅱ）由图②得 当时，， （ⅲ）当时，， 甲同学：当时， ， ， 当时，； 乙同学： 当时，； （2） ， ∵，，结合（1）得： ， ∵， ， ， 的最小值为． 【变式训练9-4】(24-25八上·山东临沂莒南县·期末)发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【答案】(1)①   ② (2)①见解析   ②见解析， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． （1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； ②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：① ， 无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于， 则的最小值为； ②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8， 则的最大值为8， ， 无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28． 【变式训练9-5】(24-25八上·甘肃天水麦积区·期末)习题、试题解答不能盲目套用例题的解答方法，因为习题、试题与例题有时候看起来很像，但多少会发生一些变化．“不变”的地方说明解题方法或有相似之处，解答问题（1）（2）． 例如：，因为，所以，所以代数式有最小值，最小值是2． (1)代数式的最小值是___，此时x的值是___； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方的非负性，不等式的性质，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键． （1）仿照例题，利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可； （2）先把原式提公因式，再利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答即可． 【详解】（1）解：， 因为， 所以， 所以代数式有最小值，最小值是3，此时x的值是， 故答案为：，． （2）解：， 因为， 所以， 所以代数式的最小值是． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $