专题03 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 线段垂直平分线的判定 题型二 角平分线的性质定理 题型三 角平分线的判定定理 题型四 根据垂直平分线的性质求长度 题型五 根据垂直平分线的性质求周长 题型六 根据垂直平分线的性质求角度 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 利用垂直平分线的性质求最值 拓展训练一 垂直平分线常见辅助线添加 拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合问题 拓展训练三 角平分线性质的实际应用 知识点一： 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 知识点二：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 知识点三：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（24-25八年级上·江苏徐州·开学考试）如图，若作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是 ． 【经典例题一 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是 ．     3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为 ．    4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________ （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） 【经典例题二 角平分线的性质定理】 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在中，的平分线交于点D，已知，若，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，，垂足分别是E和F． ，， __________ 平分， __________， 在和中， ， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 【经典例题三 角平分线的判定定理】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，M是边上一点，且，若点M到的距离为3，则下关于点M的位置描述正确的是（   ） A．点M是的中点 B．点M到点A的距离为5 C．点M是的垂直平分线与的交点 D．点M是的平分线与的交点 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 2．（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，分别是 和的平分线，连接，，    3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，M是的中点，平分，，则等于 ．    4．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，于，于，，. (1)求证：平分； (2)若，，求的长. 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求长度】 【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【经典例题五 根据垂直平分线的性质求周长】 【例5】（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，，，则的周长是 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接．则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长． 【经典例题六 根据垂直平分线的性质求角度】 【例6】（25-26八年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，为等边三角形，点D、E分别是和上的中点，点F是上的一个动点，当取到最小值时，的度数是 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为 ． 4．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【经典例题八 利用垂直平分线的性质求最值】 【例8】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图， 中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D为平面内一点． (1)如图1，若点D在边上，延长到点E，使得，连接，，垂足为点F，，，求的长． (2)如图2，若点D在内，连接，，延长到点E，使，连接，，垂足为点H．猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点D为边上一动点，点E为边上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值． 【拓展训练一 垂直平分线常见辅助线添加】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN． 证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝①　 　（②　 　） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③　 　（④　 　） 在⑤　 　和⑥　 　中 ∴⑦　 　≌⑧　 　（⑨　 　） ∴BM＝CN（⑩　 　） 3．（24-25八年级上·宿迁·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 【拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合问题】 1．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 【拓展训练三 角平分线性质的实际应用】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 5．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：      嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的平分线，于点M，于点N，若，则长为 ． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 9．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，，于点，于点，若，则 ． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    11．（25-26八年级上·江苏南京·课前预习）证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 12．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 14．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 线段垂直平分线的判定 题型二 角平分线的性质定理 题型三 角平分线的判定定理 题型四 根据垂直平分线的性质求长度 题型五 根据垂直平分线的性质求周长 题型六 根据垂直平分线的性质求角度 题型七 作已知线段的垂直平分线 题型八 利用垂直平分线的性质求最值 拓展训练一 垂直平分线常见辅助线添加 拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合问题 拓展训练三 角平分线性质的实际应用 知识点一： 线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据垂线的性质可得出结论．根据尺规作图的痕迹可知：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质即可解答． 【详解】解：∵由作图可知：是的垂直平分线， ∴，，， ∴，故D选项符合题意； 根据已知无法确定A、B、C项； 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，垂直平分线段于点，垂直平分线段于点．若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题关键是掌握垂直平分线的性质．利用垂直平分线的性质即可求得待求线段的长． 【详解】解：∵垂直平分线段于点，， ∴， ∵垂直平分线段于点， ∴， 故答案为：6． 知识点二：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）到的三个顶点距离相等的点是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三边中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解决此题的关键． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 知识点三：角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，平分，于C，于D，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的一点到两边的距离相等的性质，得出结论一定要与选项进行比对． 【详解】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·开学考试）如图，若作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是 ． 【答案】角平分线上的点到角的两边距离相等 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：作出和的角平分线，交点为，则点到、、的距离相等，理由是角平分线上的点到角的两边距离相等， 故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等． 【经典例题一 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）游戏时，3名同学分别站在三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（ ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，游戏的公平性，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键． 为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，根据线段的垂直平分线的判定可得，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：为使游戏公平，则凳子应该放在到的三个顶点的距离相等的位置， 根据线段的垂直平分线的判定可得，最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】A 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在等边中，边上的中线，F是边上的一个动点，E是边的中点，在点F运动过程中，存在的最小值，这个最小值是 ．     【答案】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质是解题的关键． 依据由题，先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：由题意，连接， ∵等边中，是边上的高， ∴是边上的中线，即垂直平分． ∴． ∴当B、F、E三点共线时，为最小值． ∵等边中，E是边的中点， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，．射线平分． 射线上有一点N，N到点B，C的距离相等．连接，则四边形的面积为 ．    【答案】81 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．如图作于，于，可证明，则，，，同理可证明：，则，故，则，根据即可求解． 【详解】 解：∵N到点B，C的距离相等， ∴， 如图作于，于．    是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， 同理可证明：， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：81． 4．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________ （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） 【答案】，，垂直平分，证明见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，根据，，得到点均在线段的垂直平分线上，即可证明结论成立． 【详解】已知：在四边形（筝形）中，，， 求证：垂直平分 证明：∵，， ∴点均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； 故答案为：，，垂直平分 【经典例题二 角平分线的性质定理】 【例2】（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在中，的平分线交于点D，已知，若，则的面积为（   ） A．12 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵中，，的角平分线交于点D，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为：， 故答案为：18． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键． 连接，，，由角平分线的性质得到，再根据等面积法进行作答，即可求解． 【详解】解：连接，，，如图： ， ∴， 即， 解得：， 即， 即点到三边、和的距离分别等于，，， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，点P在内部，于点于点，当 时，点P在的平分线上． 【答案】5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，于点于点， ∴． 故答案为5． 3．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）如图，在中，，是上一点，过点D作于点，，连接．若，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】此题考查角平分线的判定和性质，根据，，，得到，由此得到，再根据角平分线的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为10． 4．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整． 试题：如图，在四边形中，平分，． 求证： 证明：延长，过点C作，，垂足分别是E和F． ，， __________ 平分， __________， 在和中， ， （__________，写出判定依据，用字母表示）， __________． __________（平角的性质） __________ 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质，由垂线的定义可得，由角平分线的性质定理可得，再证明得出，由平角的性质得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：延长，过点C作，，垂足分别是E和F． ，， ， 平分， ， 在和中， ， ， ． （平角的性质） ． 【经典例题三 角平分线的判定定理】 【例3】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，M是边上一点，且，若点M到的距离为3，则下关于点M的位置描述正确的是（   ） A．点M是的中点 B．点M到点A的距离为5 C．点M是的垂直平分线与的交点 D．点M是的平分线与的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明是的角平分线，是解答本题的关键．作于E，连接，利用角平分线的判定定理可证明是的角平分线，即可作答． 【详解】解：过点M作于N，连接， ∵，点M到的距离为3， ∴， ∵，， ∴点M在的平分线上， ∴是的平分线， 即点M是的平分线与的交点， 故选项D正确，根据已知条件无法得出其它选项， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列所作平分的方案，说法正确的是（   ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由甲的作法可知，点到的距离相等， ∴点在的角平分线上， 即平分，故甲对； 由乙的作法可知，，， ， ∴， ∴即平分，故乙对； 综上，甲、乙都对， 故选：． 2．（24-25八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，分别是 和的平分线，连接，，    【答案】 【分析】如图，过点D作，交的延长线于点F，过点D作于点H，过点D作，交的延长线于点G，证明平分，求解；证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点F，过点D作于点H，过点D作，交的延长线于点G，    ∵，分别是 和的平分线， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴； ∵，分别是 和的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是角平分线的定义与性质，角平分线的判定，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，M是的中点，平分，，则等于 ．    【答案】/35度 【分析】过点作于，根据角平分线的性质得到，进而得出，根据角平分线的判定定理解答即可． 【详解】解：过点作于，   平分，，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质和判定，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，于，于，，. (1)求证：平分； (2)若，，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，根据角平分线判定定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，由线段的和差关系求出答案即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2）解：由（1）知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 【经典例题四 根据垂直平分线的性质求长度】 【例4】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，点、在直线上，点、在直线上，于点，连接、、、，，若，则的长为（　　） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明垂直平分，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，，，则的长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．由线段垂直平分线的性质可得，根据求出的长即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 4．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，已知，请按下列要求解答问题： (1)用尺规作线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若的周长是，的周长是，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的画法和性质． （1）分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过两个交点作直线即可； （2）由线段垂直平分线的性质，可得，等量代换，两个三角形的周长作差，即可得的长． 【详解】（1）解：分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点和点，过点和点作直线，直线即为线段的垂直平分线，垂足是，交于点，连接，如下图： （2）解：∵的周长是， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， 答：的长为． 【经典例题五 根据垂直平分线的性质求周长】 【例5】（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，点在线段的垂直平分线上．若，则四边形的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，由性质定理得到线段相等是解题的关键．由垂直平分线性质得线段相等，根据周长公式求解． 【详解】解：∵点在线段的垂直平分线上, ， ∴． ∴四边形的周长是 故选：B． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，D为上一点，连接，过点D作于点E．若E为的中点，，的周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理解三角形、垂直平分线的判定与性质和线段中点的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据为线段的垂直平分线，得到，在通过等量代换可得，然后根据勾股定理和中点的知识即可求解； 【详解】解：∵于点E，E为的中点， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 即， ∴， ∵E为的中点， ∴； 故选：C 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点、，，，则的周长是 ． 【答案】8 【分析】本题考查垂直平分线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据垂直平分线的性质，可知，从而得到，最后计算出答案． 【详解】解：垂直平分 ， 的周长是． 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于D，交于E，连接．则的周长为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，由此推出的周长，即可求得的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，交于E， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为. 故答案为：10． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，进而由的周长为可得，据此即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长． 【经典例题六 根据垂直平分线的性质求角度】 【例6】（25-26八年级上·江苏泰州·开学考试）如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证，可得，列出方程可求解． 【详解】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形，的中垂线交对角线于点F， ，，． ， 垂直平分， ． ， . ，，， ． ． ． ． 故选：D． 1．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，已知，是的角平分线，垂直平分，分别交于点E，M，F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．先根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，为等边三角形，点D、E分别是和上的中点，点F是上的一个动点，当取到最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质得到，推出垂直平分，得到，连接交于，则此时的值最小，根据等腰三角形的性质得到，，求得，即可得出答案． 【详解】解：连接，连接交于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点D、E分别是和上的中点， ，，，， 垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴当，，共线时最小，此时与重合， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点P，连接，若，，则的度数为 ． 【答案】/31度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 4．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，在中，，垂足为，的垂直平分线交于点，交于点，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)20° (2)18 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）先利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等量代换可得，最后利用线段的和差关系以及三角形的周长公式进行计算，即可解答． 【详解】（1） 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （2） 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长， 即的周长为． 【经典例题七 作已知线段的垂直平分线】 【例7】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，中，边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的垂直平分线，可得，，结合的周长为，即可得到答案； 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴ ∴的周长为：， 故选B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是根据垂直平分线性质及三角形的周长得到． 1．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，，分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F两点作直线交于点D，连接，的周长是10，则长为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，已知线段，分别以点为圆心，5为半径作弧相交于点．连接，点E在上，连接．若与的周长之差为4，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的尺规作图，正确理解作图的意义，并灵活计算是解题的关键．根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线，与的周长之差为4，就是，即可求解． 【详解】解：根据作图的意义，可得是线段的垂直平分线， ， ∴与的周长之差为4，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，若的周长为24，，则的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，则．由题意可得，，则的周长为求解． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． ∵的周长为24，， ∴． ∴的周长为． 故答案为：15． 4．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，已知中，于点D． (1)请作出的垂直平分线，分别交于点E，F； (2)若点D为线段的中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键． （1）如图，作出线段的垂直平分线即可； （2）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，为的垂直平分线， （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ． 【经典例题八 利用垂直平分线的性质求最值】 【例8】（2025·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键． 先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E， ∴， ∵的周长是18，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点． 故选：B． 1．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，尺规作垂直平分线，三角形的面积公式，解题关键是利用三角形的面积公式求解． 先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，垂直平分，点为直线上一动点，则周长的最小值是 ．    【答案】11 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 如图：连接，由垂直平分线的性质可得，则周长的为，所以当点和点重合时，此时的周长最小为． 【详解】解：如图：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴周长的为， ∴当点和点重合时，此时的周长最小为． 故答案为：11． 3．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图， 中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 过点F作于H，若要使最大，则需要最小， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴最小值为，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，D为平面内一点． (1)如图1，若点D在边上，延长到点E，使得，连接，，垂足为点F，，，求的长． (2)如图2，若点D在内，连接，，延长到点E，使，连接，，垂足为点H．猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，若点D为边上一动点，点E为边上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明为的垂直平分线，得，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解； （2）由“”可证得出，，从而推出，结合题意得出，最后由勾股定理即可得解； （3）作于B，且，连接交于E，证明，得出，从而得到，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小，由勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴三角形的面积， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，延长到F，使，连接，， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵ ∴， 由勾股定理可得：， ∴； （3）解：如图3，作于B，且，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小， 过点F作直线于点H，得四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的最小值是． 【拓展训练一 垂直平分线常见辅助线添加】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，在中，、分别在、上，，是中点，试比较与的大小： （提示：可添加辅助线）    【答案】 【分析】延长至，使，连接、，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质可得，根据三角形的三边关系解答即可． 【详解】延长至，使，连接、， 在和中， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ， 在中，， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的三边关系，正确的做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，点E为垂足，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN． 证明：连接DB，DC ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN ∴DM＝①　 　（②　 　） ∵DE是BC的垂直平分线 ∴DB＝③　 　（④　 　） 在⑤　 　和⑥　 　中 ∴⑦　 　≌⑧　 　（⑨　 　） ∴BM＝CN（⑩　 　） 【答案】①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL；⑩全等三角形的对应边相等． 【分析】连接BD，DC，利用线段垂直平分线的性质得出BD＝CD，利用角平分线的性质得出DM＝DN，进而证明△BMD与△CDN全等即可． 【详解】证明：（1）连接BD，如图： 证明：连接DB，DC， ∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AN， ∴DM＝DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵DE是BC的垂直平分线， ∴DB＝CD（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， 在Rt△BDM和Rt△CDN中， ∴Rt△BDM≌Rt△BDM（HL）， ∴BM＝CN（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：①DN；②角平分线上的点到角两边的距离相等； ③DC；④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； ⑤Rt△BDM；⑥Rt△CDN；⑦Rt△BDM；⑧Rt△BDM；⑨HL； ⑩全等三角形的对应边相等． 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明△BDM与△CDN全等． 3．（24-25八年级上·宿迁·期末）如图，中，在上取，使，延长至，使得． （1）求证：． （2）判断与的位置关系，并说明理由． （3）若的延长线过的中点，求的度数． 迁移应用：如图，中，，，点在线段上，，，垂足为E，与相交于．直接写出线段与的数量关系，并在图中画出探究时所需要的辅助线． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；迁移应用： ，辅助线见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定及性质． （1）通过“”证明即可得证结论； （2）由得到，从而得到，即可得证结论； （3）连接，在等腰直角中，可求得．又由垂直平分得到，从而，根据三角形的内角和定理即可求解； 迁移应用：过D作交延长线于H，交于点G．可证得是等腰直角三角形，从而，，又得到，从而，因此．根据， ，，证得，因此． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 在和中， ， ， ． （2） 理由： 延长，交于点F， ， ， ∵ ， ∴， ∴． （3）连接， ， ∴， ∵，                  过中点 垂直平分 ， ∴， ∵， ． 迁移应用： 理由：过D作交延长线于H，交于点G． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 垂直平分线的判定与性质综合问题】 1．（24-25八年级上·广东珠海·阶段练习）如图，在四边形中，E为边上的一点，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)与交于点F，若，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质．掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，得出．再证明，得到．然后根据根据平角的定义，可得答案； （2）证明， 得到，再根据，则可由，得出结论． 【详解】（1）解∶∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵ ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ． 2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点M、N． (1)如图1，若，，则的度数； (2)如图1，若，求的度数； (3)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)44 (2)36° (3)24° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）、三角形内角和定理，等边对等角． （1）根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质分别求出、，计算即可； （2）仿照（2）的方法计算； （3）仿照（1）的方法计算． 【详解】（1）解：，， ， 垂直平分， ， ， 同理可得：， ； （2）解：， ， ，， ； （3）解：， ， ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，中，，将沿着一条直线折叠后，使点A 与点C重合（如图②） (1)在图①中画出折痕所在的直线 l（尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）； (2)设直线 l与分别相交于点 M， N， 连接，若的周长是，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；根据翻折变换的性质准确找出图形中隐含的数量关系是解题的关键． （1）如图，分别以点A、点C为圆心，以大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线即可解决问题． （2）由题意得：，进而得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作． （2）解：由题意得：， ∴， ∵的周长是， ∴． 【拓展训练三 角平分线性质的实际应用】 1．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知的周长是21，，分别平分，，于点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理及三角形面积的求解是解题的关键．过点O分别作于点E，于点F，根据角平分线性质定理，可证明，根据，可列出算式，并结合的周长求出面积． 【详解】如图，过点O分别作于点E，于点F， 分别平分，， ， 同理， 的周长是21， ， ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连结，若，求证：是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据证明即可； （2）由得到，根据垂直平分得到，推出，由此证得，即可得到是的角平分线． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵垂直， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）探索新知：如图①，是的角平分线，与之间有怎样的关系呢？过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H． 平分 ， 即． 新知应用： (1)如图②，是的角平分线，若，则_________； (2)如图②，是的角平分线，若，则_________； (3)如图③，平分，平分，若，，则_________（用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角平分线性质（角平分线分对边的比等于邻边比、角平分线关联三角形面积比与邻边比），解题关键是运用探索新知得出的角平分线性质，建立边与面积的比例关系． （1）依据探索新知结论，代入、得；设、，由，推出． （2）根据探索新知中，结合已知，直接得． （3）用平分的性质，结合，及，算；同理，由平分，结合，算．连接，因点到三边距离相等，结合，得，算出 由，代入计算得结果． 【详解】（1）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知，是的角平分线时， ， ∵，， ∴． 设，， ∴， ∴． （2）解：过点D作，垂足分别为E，F，过点A作，垂足为H 由探索新知可知，对于，是角平分线时： ， ， ∵ ∴． ∵， ∴． 故答案为； （3）∵平分， ∴点D到，的距离相等， ∴， ∵， ∴，， 同理平分， ∴， ∴，， 连接，过点F作,，分别垂直于，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ∴平分， ∴点F到，，三边的距离相等， ∴， ∵ ∴，，， ∴ ． 故答案为． 1．（25-26八年级上·江苏南京·课后作业）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（    ） A．， B．， C．， D．，平分 【答案】C 【分析】本题主要考查垂直平分线，根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可． 【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意； C、如图， ，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意； D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，，是某景区临近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台．要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是（ ） A．各边垂直平分线的交点 B．中线的交点 C．高的交点 D．内角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故选：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，点N，过这两个点作直线，交于点D，连接．若，，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及尺规作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是 A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F， 、分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）嘉嘉和琪琪两位同学给出两种画角平分线的方法：      嘉嘉：如图：两把相同的直尺，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线 琪琪：按如图所示做个仪器，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线 对于两人的画法，下列说法正确的是（   ） A．两人都对 B．两人都不对 C．嘉嘉对，琪琪不对 D．嘉嘉不对，琪琪对 【答案】A 【分析】根据角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上）判断嘉嘉的画法是否正确．由，，为公共边，证，得，即平分．进而判断琪琪的画法是否正确．本题主要考查角平分线判定及全等三角形判定与性质，熟练掌握角平分线判定（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上 ）和全等三角形判定（ ）是解题关键． 【详解】解：嘉嘉的画法： 直尺宽度相等，即点到、的距离等于直尺宽度，即点到、距离相等， ∴射线是角平分线，故嘉嘉画法正确 ． 琪琪的画法： ，， 即是平分线，琪琪画法正确 ． 综上，两人都对， 故选： ． 6．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，是的平分线，于点M，于点N，若，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等，是解题的关键．根据角平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，，于点，于点，若，则 ． 【答案】/35度 【分析】根据条件证明是的角平分线，即可求得． 【详解】∵，，， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，，P是上一动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，根据垂线段最短得出时，的值最小，根据角平分线的性质得出，再求出答案即可，能熟记垂线段最短和角平分线上的点到这个角两边的距离相等是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交于点，    当时，有最小值， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏南京·课前预习）证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，结合于点C，于点D，得出，再证明，即可作答． 【详解】证明：∵于点C，于点D， ∴ 在和中， ． 12．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据进行计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴ ． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，． (1)作的平分线交于点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积的计算，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于．只要证明，根据三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：即为的平分线，如图所示． （2）解：如图，作于点H． 因为平分， 所以， 所以 ． 14．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，为锐角三角形． (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接；保留作图痕迹 (2)在（1）的条件下，若的周长为10，，则的周长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键． （1）根据题中步骤作图； （2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由作图得：垂直平分， ， 的周长为10，即：， 的周长为：， 所以的周长为． 15．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，平分．在线段上有一动点，连接，为直线上异于的一点，连接、． (1)如图，当点在射线上时，若，直接写出：______； (2)如图，当点在射线的反向延长线上时， 若（1）中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系，请证明； 若，且，，求的值． 【答案】(1) (2)①，证明见解析 ② 【分析】在上取一点，使得，连接，证≌，得，再证≌，得，进而得出结论； 在的延长线上取一点，使得，连接，先证≌，得，，再证明≌，得，即可得出结论； 由可知，，，则，设，则，得，，则，再由三角形面积关系即可得出结论． 【详解】（1）解：在上取一点，使得，连接，如图所示： ， ． 平分， ， ， ≌， ，． ，， ． ， ≌， ． ，， ， 故答案为：； （2）解：①若中的结论仍成立，则、、应满足怎样的数量关系为：，理由如下： 在的延长线上取一点，使得，连接，如图所示： ，． ， ． ， ． ， ， ， ≌， ，． ，， ≌， ， ； 由可知：，， ， ， ． ，， 设，则，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积、等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $