专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册

本初中数学讲义聚焦线段垂直平分线与角平分线核心知识点，系统梳理定义、性质、判定及尺规作图，构建从基础概念到实际应用再到综合题型的递进学习支架，助力学生夯实基础并提升综合运用能力。 资料通过分层题型设计（基础+提高+自我检测），结合果园围栏、自动喷水装置等实际情境题培养数学眼光，以尺规作图和综合证明题发展推理意识，规范书写格式强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

专题1.4 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训 （4个知识点+5大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 5 【基础题型二 线段垂直平分线的判定】 5 【基础题型三 角平分线的性质定理】 8 【基础题型四 角平分线的判定定理】 10 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 12 第二部分·练提高题型 【提高题型一 垂直平分线的性质与判定综合应用】 15 【提高题型二 角平分线的性质与判定综合应用】 16 第三部分・自我检测 知识点01 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段，在平面上满足与点和点的距离相等的点有_____个． 知识点02 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段测试）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 知识点03 角的平分线的性质 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（2026八年级上 河北张家口·阶段测试）如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，有一块直角三角形地块，其中．工程队想从点引一条水管到边（点在上）上，使得平分．已知点到边的垂直距离为5米，那么到斜边的垂直距离是___________米． 知识点04 角平分线性质定理的逆定理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）小聪用两把宽度相同的长方形直尺摆成如下图，①号尺子落在②号尺子的边缘点，①号尺子上边缘所在直线与②号尺子下边缘所在直线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段测试）如图，已知，，，是的中点，只需添加_______，就可使，分别为和的平分线． 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段测试）折叠三角形纸片，使其两个顶点重合，折痕一定（   ） A．是该三角形的一条中线 B．是该三角形的一条角平分线 C．是该三角形的一条高线 D．垂直平分该三角形的一条边 【例2】（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北张家口·阶段测试）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【基础题型二 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级上·北京·周测）下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【例2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是__________（填序号） 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段测试）美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东济宁·阶段测试）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（    ） 结论①；结论②． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段测试）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【基础题型三 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）（1）如图（1）是的中线（即点D是的中点） ∴有 ， ， （2）∵如图（2）是的角平分线， ∴ ， ， （3）∵如图（3）是的高（） ∴ ． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·周测）如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 4．（25-26八年级上·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【基础题型四 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段测试）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（    ） A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点 B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点 D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）到角的两边距离相等的点，在_______，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是______． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段测试）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 4．（26-27八年级上·全国·周测）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段测试）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【例2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（    ） A． B． C． D．点M在BC边的垂直平分线上 3．（24-25八年级上·全国·周测）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 4．（25-26八年级上·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【提高题型一 垂直平分线的性质与判定综合应用】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，分别以点为圆心，以线段长为半径作弧，两弧分别交于两点，连接，再以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，若，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【例2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是__________． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，的外角、的平分线、交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 4．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【提高题型二 角平分线的性质与判定综合应用】 【例1】（2023八年级上 内蒙古锡林郭勒·阶段测试）如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【例2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 1．（25-26八年级上·北京·阶段测试）在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．（25-26八年级上·北京海淀·阶段测试）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数______________ 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段测试）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段测试）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建莆田·阶段测试）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 9．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段测试）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 10．（25-26八年级上·河北邢台·阶段测试）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 11．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为_________ ． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 14．（25-26八年级上·福建厦门·阶段测试）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 15．（23-24八年级上·黑龙江大庆·周测）三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 _______处． 16．（23-24八年级上·浙江温州）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 18．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 19．（24-25八年级上·福建福州·周测）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 20．（25-26八年级上·山东青岛·阶段测试）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训 （4个知识点+5大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 8 【基础题型二 线段垂直平分线的判定】 9 【基础题型三 角平分线的性质定理】 13 【基础题型四 角平分线的判定定理】 20 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 27 第二部分·练提高题型 【提高题型一 垂直平分线的性质与判定综合应用】 36 【提高题型二 角平分线的性质与判定综合应用】 38 第三部分・自我检测 知识点01 线段垂直平分线的定义及其性质 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 4. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图张阿姨有一块果园，她在边中点处拉了一条垂直于的细绳，另一端连在边的点，再用围栏连接，把围成苹果园．已知米，区域的围栏总长度为10米，则的长度为（   ） A．2米 B．4米 C．6米 D．8米 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，则可求，然后结合即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵区域的围栏总长度为10米， ∴， ∴， 即的长度为4米． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知线段，在平面上满足与点和点的距离相等的点有_____个． 【答案】无数 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，垂直平分线是直线，有无数个点． 【详解】解：根据线段垂直平分线的性质：到点距离相等的点，都在线段的垂直平分线上； 因为垂直平分线是一条直线，直线上有无数个点，所以满足条件的点有无数个． 故答案为：无数． 知识点02 作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． （3）画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东茂名·阶段测试）如图，在中，利用尺规作图作出了射线交于点P．根据作图痕迹，下列说法不一定正确的是（     ） A．是的平分线 B． C．点P到，的距离相等 D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图痕迹判断为的平分线，利用角平分线的性质及三角形面积公式逐项判断． 【详解】解：由作图痕迹可知为的平分线， 故A选项说法一定正确，不合题意； 为的平分线， 点P到，的距离相等， 故C选项说法一定正确，不合题意； 设点P到，的距离为h， 则， 故B选项说法一定正确，不合题意； 根据现有条件不能得出， 故D选项说法不一定正确，符合题意． 2．（24-25八年级上·广东深圳·阶段测试）如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，当平分时，点B到桌面的距离是，则点B到的距离是_______． 【答案】12 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质直接求出结论即可． 【详解】解：已知平分，点到的距离为， 根据角平分线的性质，点到的距离等于点到的距离， 所以点到的距离是． 故答案为：12． 知识点03 角的平分线的性质 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 2. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 3. 拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 【即时训练】 1．（2026八年级上 河北张家口·阶段测试）如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，证明，得到，利用三角形三边关系求解即可； 【详解】如图，在上截取， ，点是平分线上的点， ，， ， ∴． 在中，，即． 2．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，有一块直角三角形地块，其中．工程队想从点引一条水管到边（点在上）上，使得平分．已知点到边的垂直距离为5米，那么到斜边的垂直距离是___________米． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵平分． ∴到斜边的垂直距离等于到的距离 ∵点到边的垂直距离为5米， ∴到斜边的垂直距离等于， 故答案为：． 知识点04 角平分线性质定理的逆定理 1. 定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2. 拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段检测）小聪用两把宽度相同的长方形直尺摆成如下图，①号尺子落在②号尺子的边缘点，①号尺子上边缘所在直线与②号尺子下边缘所在直线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用角平分线的判定得到平分，再利用角的等量关系运算求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∵尺子的宽度一样， ∴， ∵，， ∴平分， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 2．（23-24八年级上·湖南娄底·阶段测试）如图，已知，，，是的中点，只需添加_______，就可使，分别为和的平分线． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：只需添加，就可使，分别为和的平分线． 理由：，，，且点在的内部， 点在的角平分线上，即为的平分线， 点是的中点， ， ， 又，点在的内部， 点在的角平分线上，即为的平分线， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键． 【基础题型一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段测试）折叠三角形纸片，使其两个顶点重合，折痕一定（   ） A．是该三角形的一条中线 B．是该三角形的一条角平分线 C．是该三角形的一条高线 D．垂直平分该三角形的一条边 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质与垂直平分线的判定，根据折叠后两点重合的性质推导折痕的特征，即可判断各选项． 【详解】解：折叠三角形纸片使两个顶点重合，折痕上任意一点到这两个顶点的距离相等，根据垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上， 折痕是这两个顶点连线的垂直平分线，即三角形的一条边的垂直平分线，即折痕一定垂直平分该三角形的一条边． 中线、角平分线、高线都要求折痕经过三角形第三个顶点，仅当第三个顶点在折痕上时才成立，不是一定成立， 故选：D． 【例2】（26-27八年级上·全国·周测）如图，在中，是的垂直平分线，，周长为，则的周长为____． 【答案】19 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，从而将周长为转化为，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 1．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 3．（25-26八年级上·河北张家口·阶段测试）如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 4．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 【基础题型二 线段垂直平分线的判定】 【例1】（25-26八年级上·北京·周测）下面是小彤设计的“作中边上的高”的尺规作图方法． ①如图，以点B为圆心，的长为半径作弧，以点C为圆心，的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D． 所以线段是中边上的高． 上述方法通过判定垂直平分线段，得到线段是中边上的高．其中，判定垂直平分线段的依据是（    ） A．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 B．经过线段中点并且垂直于这条线段的直线是这条线段的垂直平分线 C．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，掌握垂直平分线的判定是关键．  根据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可求解．   【详解】解：根据作图可得， 依据与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，得到点B、C在线段的垂直平分线上．   故选：D ． 【例2】（24-25八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是__________（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 1．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段测试）美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，推出垂直平分是解题的关键． 由折叠得点与点B关于直线对称，则垂直平分，而点在边上，所以，可判断A正确；由可得，因为与不一定相等，所以与不一定相等，可判断B错误；的条件是，与已知条件不符，可判断C错误；的条件是，与已知条件不符，可判断D错误． 【详解】解：∵将三角形纸片折叠，点正好落在边上的点处，折痕为， ∴与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵点与点C不一定重合， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故B错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故C错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故D错误． 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东济宁·阶段测试）如图，在△ABC中，，，BD平分∠ABC，，交AB于点E．关于下面两个结论，说法正确的是（    ） 结论①；结论②． A．结论①②都正确 B．结论①②都错误 C．只有结论①正确 D．只有结论②正确 【答案】A 【分析】由三角形内角和定理得，根据ASA可证明得出，，从而得到BD是CE的垂直平分线，得DC=DE，又可得，从而再由三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：如图， ∵在△ABC中，，， ∴ ∵BD是∠ABC的平分线， ∴ 又 ∴ 在和中， ∴ ∴BC=BE，CO=EO ∴ ∴ ∵CO=EO， ∴BD是CE的垂直平分线， ∴DC=DE， ∴ ∴ 故①②都正确， 故选A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作、和、，始终有，请大家考虑一下伞杆与B、C的连线的位置关系为________． 【答案】垂直 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上，点D在线段的垂直平分线上， ∴根据两点确定一条直线得出直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直． 【点睛】题考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，②两点确定一条直线． 4．（24-25八年级上·福建厦门·阶段测试）风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史．传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”． 风筝骨架模型图 数据说明                    制作时，骨架可根据实际情况等比例放大    (1)从图1所示的风筝中可以抽象出几何图形，如图2，在四边形中，，求证：； (2)李明根据图纸如表扎制风筝骨架．当他根据图纸要求截取6根竹条时发现：竹条、的长度之和恰好与竹条长度相等．请你用所学的数学知识解释说明． 【答案】(1) 证明：， 点A在的垂直平分线上， ， 点C在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ； (2) 在上截取，连接， ，， ， 同理可得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，， ， 是的外角， ， 即， ， ． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答即可； （2）在上截取，连接，利用证明和全等，进而解答即可． 此题考查全等三角形的应用，关键是利用证明和全等解答． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型三 角平分线的性质定理】 【例1】（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，，，点是外角平分线上的一点，连接，，若， ，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 在的延长线上取，连接，根据题意得出，可证，得到，根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】解：如图，在的延长线上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， ，，， ， 故选：A ． 【例2】（25-26八年级上·广东广州·阶段检测）（1）如图（1）是的中线（即点D是的中点） ∴有 ， ， （2）∵如图（2）是的角平分线， ∴ ， ， （3）∵如图（3）是的高（） ∴ ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高线的定义，正确理解三角形的中线、角平分线、三角形的高是解题的关键．根据三角形的中线、角平分线、高线的定义回答即可． 【详解】解：（1）是的中线， ； （2）是的角平分线， ； （3）∵是的高， ； 故答案为：（1）；（2）；（3）． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·周测）如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 2．（25-26八年级上·福建泉州·阶段检测）如图，平分，下列结论：①若，则；②若，，则；③若，垂足为，则；④若，则；其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． ①证明与全等，即可得；②由角平分线的性质即可得；③证明与全等，即可得；④证明与全等，即可得． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴，故①正确； ②∵平分，且，， ∴，故②正确； ③∵， ∴， 又， 在与中， ， ∴， ∴，故③正确； ④在与中， ∵， ， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的是①②③④． 故选：D ． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【答案】/140度 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线性质定理的逆定理与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连接，过作，利用角平分线性质定理的逆定理得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，，由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴，， ∴，， ∴， 是的一个外角，是的一个外角， ∴， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江西九江·期中）解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 【基础题型四 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段测试）要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，关于集贸市场的位置，下列说法正确的是（    ） A．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的角平分线的交点 B．直线公路和铁路的垂直平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 C．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点 D．直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 根据集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且到水路和电网的距离相等，则集贸市场为直线公路和铁路的角平分线与水路和电网的角平分线的交点． 【详解】解：∵集贸市场到公路、铁路的距离相等， ∴集贸市场在直线公路和铁路的角平分线上， ∵且到水路和电网的距离相等， ∴集贸市场在水路和电网的夹角平分线上， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·全国·课后作业）到角的两边距离相等的点，在_______，所以，如果点P到两边的距离相等，那么射线OP是______． 【答案】 这个角的平分线上 ∠AOB的平分线 【分析】根据角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，由此解答即可． 【详解】解：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．如果∠AOB内一点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是∠AOB的平分线． 故答案为：这个角的平分线上，∠AOB的平分线． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定，解决此题的关键是要熟练掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，的平分线交于点，，，则下列结论中正确的个数是（    ） 平分； ； ； ． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴点在的角平分线上，故①正确； ②∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，②正确； ③∵平分，平分， ∴， ∵， ∴ ∴，③正确； ④由②可知，， ∴，， ∴，故④正确， 综上可知，正确的结论有：①②③④，共有4个． 3．（25-26八年级上·贵州安顺·阶段测试）如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（26-27八年级上·全国·周测）如图，点D是外一点，连接，过点C作，垂足为E．，的面积为14． (1)求证：是的平分线； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：如图1，过点C作交的延长线于点F， ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，，点C在的内部， ∴点C在的平分线上， ∴是的平分线； (2)证明：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，垂足为E， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 由（1）可知：是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）过点C作交的延长线于点F，利用三角形面积公式求得，然后根据角平分线的判定定理，即可证明结论； （2）在上截取，连接，首先证明，易得是线段的垂直平分线，进而可得，再证明，进而利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【基础题型五 角平分线性质的实际应用】 【例1】（25-26八年级上·辽宁辽阳·阶段测试）如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 【例2】（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 1．（25-26八年级上·贵州毕节·阶段检测）如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（     ） A． 三条中线的交点处 B． 三条角平分线的交点处 C． 三条高所在直线的交点处 D． 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 2．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，两个完全一样的三角板摆放在内，它们的顶点重合于点M，连接则（    ） A． B． C． D．点M在BC边的垂直平分线上 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，通过作辅助线将“三角板完全一样”转化为“点到角两边的距离相等”，得到，即可推出C选项． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，于点． 由于两个三角板完全一样，且顶点重合于，因此三角板到、的垂直距离分别对应相等，即． 选项A：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故A错误； 选项B：缺少条件，无法推出是的平分线，即不一定等于，故B错误； 选项C：因为，且，所以点在的平分线上，即平分，所以，故C正确； 选项D：缺少条件，无法推出点M在边的垂直平分线上，故D错误． 故选C． 3．（24-25八年级上·全国·周测）如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·周测）在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 【提高题型一 垂直平分线的性质与判定综合应用】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，分别以点为圆心，以线段长为半径作弧，两弧分别交于两点，连接，再以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，若，则的面积为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据作图可知垂直平分，，故，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由作图可知垂直平分，， ∴， ∴． 【例2】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接、，，平分，则线段、、之间的等量关系是__________． 【答案】 【分析】连接，过点作交于点，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，根据角平分线的概念和性质得出，，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，结合三角形的外角性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作交于点，如图： ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的概念，三角形的外角性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 1．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形的顶点叫格点，点，，，均在格点上，是的中点，则点可能是的（    ） A．三条角平分线交点 B．重心 C．三边垂直平分线交点 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外心，解题的关键是掌握三角形外心的定义． 根据三角形外心的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 点分别是的中点，借助网格构成的长方形的对角线可得， ， ∴是边的垂直平分线， ∴点是三角形三边垂直平分线交点， 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆开州·期中）如图，的外角、的平分线、交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙添加辅助线构造全等三角形． 过点P作于点G，可证明，则有，；同理得，，则，，再利用证明，得，则可判定①②③；由三角形全等则面积相等可判定④；在上截取，连接，先由边角边证明，得，，再由边边边证明，得，即可判定⑤，最后确定结果． 【详解】解：如图，过点P作于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 同理得， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴周长为， 即①正确； ∵ ， 即②正确； ∵， ∴在线段的垂直平分线上， 即垂直平分线段，但不垂直平分线段， 即③错误； ∵，， ∴， ∴ ， 即④正确； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴， 即⑤正确； 综上，正确的有①②④⑤，即4个正确， 故选：D． 3．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，在中，为中点，，，交于，，，则的长为________ 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接、，过点E作交的延长线于点G，易证明是线段的垂直平分线，则，再证明是的平分线，根据角平分线的性质定理得到，利用“”的判定方法证明、，进而得到、，设、，利用和长列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接、，过点E作交的延长线于点G， 为中点，， 是线段的垂直平分线， ， 、， ， 是的平分线， 、， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设、， 、， ， 解得：， ． 4．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴即 又∵ ∴ ∴，即平分； (2) 证明：∵ ∴ 由（1）可得 ∴垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的判定； （1）证明得出，即可得证； （2）根据（1）可得，，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 【提高题型二 角平分线的性质与判定综合应用】 【例1】（2023八年级上 内蒙古锡林郭勒·阶段测试）如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 【例2】（25-26八年级上·湖北十堰·期中）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 先证明为的平分线，再根据垂线段最短，可知当时，的长度最小，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，，， ，即为的平分线， 为的平分线， 当时，的长度最小， 又∵， ， ，， ，即长的最小值为5． 故答案为：5． 1．（25-26八年级上·北京·阶段测试）在中，，，是边上的两点，且，有下列四个推断： ①若是的高，则可能是的中线； ②若是的中线，则不可能是的高； ③若是的角平分线，则可能是的中线； ④若是的高，则不可能是的角平分线． 上述推断中，所有正确结论的序号是（     ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查三角形高线、中线、角平分线的位置判断，利用可推得高线、角平分线都落在上距离端小于的位置，中线恰好落在处，结合的条件逐一判断即可． 【详解】解：如图，设中点为，则， ， 比更靠近点， 若是的高， ， ，， ， ，即， 取为中点，满足，此时是中线， 故①正确； ②若是中线，则，可得， 而由①知高的垂足一定满足， 不可能是高的垂足，即不可能是高， 故②正确； ③若是角平分线，过点作于点， 由角平分线的性质定理可得：的边上的高与的边上的高相等， ， ， 又，， ， ， 同①可得，取为中点，满足，此时是中线， 故③正确； ④若是高，取角平分线对应的点满足，符合条件， 可能是角平分线， 故④错误； 综上，正确结论为①②③． 2．（25-26八年级上·北京海淀·阶段测试）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理． 证明，得到，，，，则，即，作于点I，于点L，可知，即点O在的平分线上，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ∴， ，，，， ， ， ， 作于点I，于点L，则， ， ， 点O在的平分线上， 平分， ， 故选：C． 3．（23-24八年级上·福建南平·期中）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数______________ 【答案】3/3个 【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质一一判断即可． 【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O． ∵， ∴， 在与中， ， （）， ∴，，故①正确， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴，故④正确， 若③平分成立，则， ∵， ∴，推出，由题意知，不一定等于， ∴不一定平分，故③错误， 即正确的有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）证明，推出，，再利用三角形内角和定理求得，即可得到，； （2）同（1）证明，即可得到，； （3）①过点A作和的垂线，垂足分别为M和N，证明是的角平分线，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：设与交于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故，； （3）解：过点A作和的垂线，垂足分别为M和N， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26八年级上·广东梅州·阶段测试）如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 2．（25-26八年级上·福建福州·阶段测试）如图，是的角平分线，，分别是的高，连接，则下列结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定逐一判断即可，掌握角平分线的性质定理和三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，分别是，的高， ∴，， A．在和中， ， ∴， ∴，故原选项结论正确，不符合题意； B．∵，， ∴垂直平分，故原选项结论正确，不符合题意； C．∵，， ∴， 而题目没有给出， ∴不一定等于，故原选项错误，符合题意； D．由选项C知：，故原选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段测试）如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 点到的距离为，即， ∵平分交于点，， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·福建莆田·阶段测试）两个完全一样的直角三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（   ） A．的平分线上 B．外角的平分线上 C．边的垂直平分线上 D．外角的平分线上 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，掌握到角两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为，由题意得，且，，根据角平分线的判定定理可证平分，从而得到答案． 【详解】解：如图，作射线，设两直角三角板中落在延长线的直角顶点为，落在边上的直角顶点为， 由题意得，且，， ∴平分，即点在外角的平分线上． 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为，，，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】C 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工，可得三角形内角平分线的交点不满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有3个． 【详解】解： ∵内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，内部被河水填满无法施工， ∴内角平分线的交点不满足条件； 如图：点P是两条外角平分线的交点， 过点P作，，， ∴，， ∴， ∴点P到的三边的距离相等， ∴两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点有3个． ∴可供选择的地址有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心别漏解． 6．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，等腰三角形底边的长为，面积是，腰的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先连接，作底边上的高，再利用线段垂直平分线的性质得出，进一步得出，根据两点之间线段最短及垂线段最短可知，当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长，最后利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，连接，作底边上的高， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故当、、三点共线，且与重合时，的值最小，即的值最小，此时最小值为的长． ∵等腰三角形底边的长为，面积是， ∴， ∴， ∴的最小值是． 7．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键． 8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段测试）如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点，若满足，则的长度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】如图，过点作于点，由角平分线的性质得，，证明得，而，则，证明得，再分两种情况讨论，一是点在线段上，则，二是点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为上一点，点是线段上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 如图1，点在线段上， 此时； 如图2，点在线段的延长线上， ， 此时， 综上所述，的长度为或． 9．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段测试）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 10．（25-26八年级上·河北邢台·阶段测试）计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 11．（2026八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为_________ ． 【答案】5 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点， ∴，， ∵的周长为32， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 12．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，在四边形中，，，连接、，若，，则的面积为________． 【答案】5 【分析】设交点为，根据，易证垂直平分，得到，再根据即可求解． 【详解】解：设交点为， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段测试）如图，是的一条角平分线，是边上的中线，若的面积是18，的面积是6，，则的长为________． 【答案】6 【分析】先根据三角形中线的性质求出，即可求解，过点D作于F，过D作于G，然后根据角平分线的性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵的面积是6，是边上的中线， ∴， ∵的面积是18 ∴ 如图所示，过点D作于F，过D作于G， 是的角平分线， ， ， ， ∴． 14．（25-26八年级上·福建厦门·阶段测试）如图，在中，于点，，，将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的判定和性质，构造辅助线是解题的关键； 过点作，交于点，由题意可得，，从而推出是的平分线，得到，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， ∵将沿着折叠，若点恰好落在射线上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·黑龙江大庆·周测）三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 _______处． 【答案】4/四 【分析】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，    ∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处． 故答案为：4． 16．（23-24八年级上·浙江温州）如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点． (1)求证：． (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明：点是的中点， ， ， ， ． (2)6 【分析】（1）由平行线的性质可得，再根据“”证明即可； （2）由垂直平分线的性质可得，结合全等的性质可知，再根据进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：点是的中点，， ， 由（1）得：， ， ． 17．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点P，垂足分别为D，E．求证：边的垂直平分线经过点P． 【答案】证明：如图，连接， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理：， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴边的垂直平分线经过点P． 【分析】如图，连接，利用垂直平分线的性质以及等量代换可得，即点 P在线段的垂直平分线上，从而证明结论． 【详解】略 18．（25-26八年级上·福建泉州·阶段测试）如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【详解】（1）解：∵平分，于点，于点，且， ∴． （2）解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 19．（24-25八年级上·福建福州·周测）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； (2) 证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（25-26八年级上·山东青岛·阶段测试）校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $