1.4线段垂直平分线与角平分线 专题训练 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级数学上册三角形专题同步练，聚焦线段垂直平分线与角平分线，通过基础应用、综合推理到实际作图的分层设计，强化几何直观与推理意识，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|性质直接应用（求长度、角度）|选择填空为主，如线段垂直平分线求周长、角平分线求距离，夯实概念理解| |进阶层|性质综合应用（面积、最值、证明）|解答题为主，如结合垂直平分线与中线求面积、角平分线判定证明，培养推理能力| |拓展层|实际应用与尺规作图|情境题与作图题，如充电桩位置确定、角平分线作图，发展应用意识与空间观念|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形专题训练~1.4线段垂直平分线与角平分线 第一课时 线段垂直平分线 【题型1 根据垂直平分线的性质求长度】 1．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．18 D．16 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，，，进而求解即可． 【详解】∵垂直平分， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为． 故选：C． 2．如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点B与点A重合，已知的周长是18，的周长是26，则_________． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、折叠问题 【分析】本题考查了垂直平分线性质，由折叠的性质易得为的垂直平分线，根据垂直平分线性质得到，再结合，，即可解题． 【详解】解：由折叠的性质得， ∴为的垂直平分线， ， ，， ∴． 故答案为：． 3．如图在中，和分别垂直平分和，分别交、于、两点，分别交、于、两点，连接、，若之长为21，则的周长是（    ）    A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到，，即可求出的周长． 【详解】解：和分别垂直平分和， ，， ， 的周长， 故选：D． 4．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交边AB于点D，交边AC于点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm，22cm，则AD=____． 【答案】7cm 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到、AD=AB，然后再根据三角形的周长公式计算得到AB,最后代入计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ，AD=AB 的周长是22， ，即， 的周长是36， ， ． ∴AD=AB=7 故填7cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【题型2   根据垂直平分线的性质求角度】  5．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点，． (1)若，，则_______； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点，证明点在的垂直平分线上． 【答案】(1) (2) (3)点在的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得； （3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点，， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）证明：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 6．如图，在中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点． (1)若，求的度数． (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上，见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得，再由线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，，然后根据三角形外角的性质可得，即可求解； （2）连接、、，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：， 边、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， 又，， ， ， ． （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接、、， 边、的垂直平分线与分别交于点、，直线、交于点． ，， ， 点在的垂直平分线上 7．如图，在中，是的垂直平分线，分别交，于点D，E，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】首先根据线段垂直平分线的性质得到，从而得到，然后在中利用三角形内角和定理求出的度数，最后利用即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 在中，， ， ∴． 8．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型3   根据垂直平分线的性质求面积】  9．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连结，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．18 B．20 C．22 D．36 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积、线段垂直平分线的性质 【分析】根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 10．如图，直线是三角形的对称轴，点E，F是AD上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质，由是三角形的对称轴得到垂直平分，则，，根据三角形的面积公式得到，得到阴影部分的面积，然后把，，代入计算即可． 【详解】∵是三角形的对称轴 ∴垂直平分 即， ∴ ∴阴影部分的面积 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被对称轴垂直平分．也考查了三角形的面积公式． 11．如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______． 【答案】12 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 12．如图，在中，，长为6，面积是27，腰的垂直平分线分别交边于点E、F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为________． 【答案】12 【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形两边之和大于第三边，能将两线段的长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，利用线段垂直平分线性质，以及三角形两边之和大于第三边，推出周长的最小值为，再利用面积求出即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，点D为边的中点， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为， ∵，点D为边的中点， ∴， ∵中，长为6，面积是27， ∴， 解得， ∴周长的最小值为， 故答案为：12． 【题型4   根据垂直平分线的性质求最值】 13．如图，在中，，，面积是4，的垂直平分线分别交，边于点，．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质. 连接，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故选：C． 14．如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【知识点】最短路径问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 15．如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为（　　） A．12cm B．8cm C．6cm D．2cm 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】根据垂直平分线的性质和三角形两边之差小于第三边即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 如图：在上取点P，连接 ∵垂直平分， ∴ ∴ 在中， 当P、B、C共线时，即P运动到与重合时，有最大值，此时． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段之差的最大值、三角形的三边关系、垂直平分线的性质等知识点，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键． 16．在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】最短路径问题、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质得到，则有，分析可知当三点共线时，有最小值，最小值为的长，此时是的高，再利用等面积法即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，点是上一动点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵，三点共线， ∴此时是的高， ∴ ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型5   根据垂直平分线的性质求证明】  17．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 18．（1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，，垂足为点C，________，点P是直线MN上的任意一点． 求证：________． 证明： （2）如图2，是线段的垂直平分线，则与有何关系？请说明理由． 【答案】（1），证明见解析；（2），见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）根据题意证明，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）已知：如图1，，垂足为点C，，点P是直线上的任意一点． 求证：． 证明：， ， 在和中，， ， ； （2）， 理由：是线段的垂直平分线， ，， ，， ， 即． 19．如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，可，再根据，，得到是的垂直平分线，等量代换，即可； （2）根据题意，则，求出，再根据，得到，最后根据，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，，，垂足为D，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接、． (1)求证：； (2)若，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解线段垂直平分线的性质． （1）依据判定和全等得，进而得是线段的垂直平分线，则，再根据EF是线段AC的垂直平分线得，由此即可得出结论； （2）根据等腰三角形性质及三角形内角和定理求出，再根据和全等得，然后根据得，由此即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ； （2）解：在中，，， ， 由可知：，， ， ， ， ． 【题型6   判断是垂直平分线】  21．已知：如图，，垂足分别为E、D．    (1)求证：； (2)连接，判断直线与的关系． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：垂直平分，理由如下：如图，   ， ， ， ， ， ， 又， 垂直平分． 22．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 【答案】见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 23．从图1的风筝图形可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．具体定义如下：如图2，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请说明： (1)； (2)垂直平分线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）利用证明三角形全等即可． （2）利用垂直平分线的判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）， 点在线段的垂直平分线上， ， 点在线段的垂直平分线上， 垂直平分线段． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，掌握“证明两个三角形全等”是解本题的关键． 24．如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点． (1)如图1，连接，若平分，，试求的长度； (2)求证：； (3)如图2，连接，若，，，试求的面积． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)27 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据三角形中位线定义以及角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质可得即可； （2）利用三角形中位线定理可得，，再根据相似三角形的判定和性质，得出即可； （3）根据全等三角形、等腰三角形的性质以及直角三角形的边角关系判断是等腰直角三角形，再根据三角形面积的计算方法以及（2）的结论进行计算即可． 本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，掌握三角形中位线定理、三角形全等 的判定和性质以及等腰三角形的性质是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，连接， 、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ， 平分， ， ， ， 即的长度为3； （2）证明：、分别是边、边上的中线， 是的中位线， ，且， ，， ， ， ； （3）解：延长交于点， ，、分别是、边上的中线， ，， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ，，， ， ， 是等腰三角形的顶角平分线， ，， 即， ， ， 又，， ，， ， ． 【题型6   判断是垂直平分线】  25．如图所示，在中，点E是边上一点，且平分． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，且与边交于点D．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】内错角相等两直线平行、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等边对等角，平行线的判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由线段垂直平分线的性质可得，再由等边对等角和角平分线的定义可证明，则可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵线段的垂直平分线与边交于点D， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 26．如图，为锐角三角形． 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在的平分线上确定一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，点D即为所求： 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，两线的交点即为点D． 【详解】略 27．如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 28．如图，已知，点在射线上，请用尺规作图法在射线上找一点，使得点到点的距离等于的长．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：点即为所求作： 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】要满足，所求点就是线段的垂直平分线与射线的交点．连接，作出线段的垂直平分线，该垂直平分线和射线的交点就是所求的点． 【详解】略 【题型8   垂直平分线的判定与性质的综合】      29．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 30．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上 【知识点】线段垂直平分线的判定、作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证． 【详解】证明：连接，，，． 由作法可知，∵， ∴点在线段的垂直平分线上； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上） ∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线） ∴． 31．幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 32．如图，中，平分交于D，点E为边上一点，． (1)求证：； (2)根据要求画出图形并证明：连接，交于点，并证明． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵在和中， ， ∴． (2)所求图形如图所示． 证明：∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）由角平分线的定义得到，再运用“”证明即可． （2）根据垂直平分线的判定定理证明是的垂直平分线，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 · 第二课时 角平分线 【题型1   利用角平分线的性质求长度】   1．如图，在中，是的角平分线，是的中线，过点分别作，，垂足分别为点，，若的面积为，的长为，则的长为___________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积、角平分线的性质定理 【分析】根据是的中线，可得的面积是面积的两倍，再利用的面积求出，然后根据角平分线的性质得． 【详解】解：∵的面积为，是的中线， ∴的面积为4， ∴， ∵的长为， ∴， ∵是的角平分线，，， ∴． 2．如图，，平分，于点，于点，交于点，若，则的长为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的判定定理 【分析】先根据角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到的长． 【详解】解：，平分，于点，于点， ，， ， ，， ， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3．如图，平分交于点，于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质得到是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可得，根据三角形的面积计算方法，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 4．如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为______． 【答案】/1厘米 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 【题型2   利用角平分线的性质求面积】 5．如图，在中，平分交于点，于点，且，则的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵在中，平分交于点，于点， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，的平分线交于点D，于点E．若，则的面积为（   ） A．6 B．7 C．12 D．14 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：平分，，， ， 的面积， 故选：B． 7．如图，在三角形纸片中，，，，，平分，于F，则面积为（   ） A．15 B． C．27 D．42 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：平分，，， ， ， 故选：B． 8．如图，在中，，且，，为的角平分线，交于点E，交于点F，若的面积为7，则图中阴影部分四边形的面积为________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设，则有，，过点E作于点G，即可得到，然后根据可得，然后可得，则，根据，得到；同理可得，可证明，则，即可得到． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点G，过点F分别作的垂线，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型3   利用角平分线的性质求角度】  9．如图，点P是内一点，，垂足分别为E、F，若，，则的度数为__________． 【答案】/40度 【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质， 利用角平分线的性质的逆定理得到平分，再利用直角三角形中角的关系计算出，然后计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∴， ∴． 故答案为：40°． 10．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是______． 【答案】/52度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理． 过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解． 【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F， ∵点、是与三等分线的交点， ∴平分，平分， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴． 故答案为：． 11．如图，在的内部取一点O，过点O作于点M，于点N，若，且，则___________°． 【答案】15°/15度 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角平分线的判定可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴平分， ∴， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 12．如图，在中，，三角形的外角和的平分线交于点E，则______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和角平分线的定义，解题的关键是能正确作出辅助线，证明平分； 过点E作，根据角平分线的性质可得，则有，再根据，即可得出平分即可解答． 【详解】解：过点E作，如图所示： 三角形的外角和的平分线交于点E， ， ， ， 平分， ， 故答案为：． 【题型4   利用角平分线的性质求最值】 13．如图，在中，，的平分线交于点，，，点为上一动点，则的最小值为______． 【答案】2 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，构造辅助线是解题的关键．过点作于点．此时是点到直线的垂线段，根据“垂线段最短”， 的最小值等于的长度． 【详解】解：过点作于点．如图， ， 的平分线交于点，， ， 点为上一动点， 的最小值为的长，即的最小值是2， 故答案为：2． 14．如图，点P是的平分线上一点，于点E，点F为射线上一点．若，则长的最小值是_____． 【答案】5 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质及垂线段最短的知识点，能够熟练运用定理及性质是解题关键．运用垂线段最短，再结合角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：过P作于， ∵点F为射线上一点， ∴根据垂线段最短，时，长有最小值，最小值为的长， ∵点P是的平分线上一点，于点E，，， ∴， ∴长的最小值是5， 故答案为：5． 15．如图，在中，，平分，其中E是上的动点，F是上的动点，则的最小值为_____ ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． 过点C作交于点G，作交于点H，连接，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】解：过点C作交于点G，作交于点H，连接，如图： ∵平分交于点， ∴点与点H关于对称， ∴， ∴， ∵在中，，，，， ∴， ∴， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 16．如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线． 作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可． 【详解】解：如图，作于点， ∵平分， 作点关于的对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【题型5   利用角平分线的性质证明】 17．已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【答案】证明：过点P分别作，，， 是的角平分线， （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）． 同理，． ． 点P在的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即的平分线经过点P． 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】过点P分别作，，，根据角平分线的性质得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】略 18．如图，平分，，P为延长线上一点，于点M，于点N，求证：． 【答案】证明：平分， ， ，， ， ， ，即平分， ，， ． 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明，得到，即平分，因为，，根据角平分线的性质，可得． 【详解】略 19．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． (2)2 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 20．图1是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图2，将该仪器放置在上，使点与顶点重合，点，分别在边，上，连接并延长，交于点．求证：平分． (2)如图3，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）通过证明 ，得到角相等，从而证明平分，核心为全等判定； （2）由角平分线的性质得点到的距离等于，再利用三角形面积分割法，求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ，即平分． （2）解：过点作于， 平分，，， ， ， ， 代入已知条件：， 解得． 【题型6   角平分线的判定】  21．如图，是的平分线，点P在上，，，垂足分别为D，E．点F，G分别在，上，，连接，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ∵是的平分线，点P在上，， ， 在和中， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】先根据角平分线的性质证，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 22．如图，平分，平分，求证：平分． 【答案】过点O作 ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴平分． 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【详解】解：略 23．已知：如图，的外角和的平分线相交于点F．求证：点F在的平分线上． 【答案】见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】作于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，同理得到，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：作于，于，于， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上． 24．电信部门要修建一个电视信号发射塔．如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置． 【答案】修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处，作图见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用 【分析】连接，作线段的垂直平分线交公路夹角的角平分线于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求发射塔的位置. ∴发射塔应该修建在线段的垂直平分线与公路夹角的角平分线的交点处. 【题型7   角平分线的应用】  25．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站，要求加油站的位置到三条公路的距离都相等． (1)符合要求的位置有__________个； (2)请你找出所有加油站的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (3)你的作图依据是__________． 【答案】(1)4 (2)见解析 (3)角平分线的判定定理 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线性质的实际应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质，尺规作图-作角平分线等知识，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）利用角平分线的性质即可得出结论； （2）利用角平分线的性质作出图形即可； （3）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）解：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，三角形相邻两个外角（共三组）的平分线交点到三角形三边的距离相等， 故符合要求的位置有4个， 故答案为：4； （2）解：如图所示，、、、即为加油站的位置， （3）解：作图的依据是角平分线的判定定理， 故答案为：角平分线的判定定理． 26．请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹． 如图，求作四边形内部的点P，使得，并且点P到两边的距离相等． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的判定定理及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图．由可得点P在的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等可得点P在的角平分线上，因此作出的垂直平分线，的角平分线，交点即为点P． 【详解】解：如图，点P为所求． 27．如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A．三条角平分线的交点位置 B．三条高的交点位置 C．三边的中垂线的交点位置 D．三条中线的交点位置 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选：A 28．电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两条高速公路、的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置，并说明理由． 【答案】见解析 【知识点】角平分线性质的实际应用、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查线段垂直平分线性质的应用、角平分线性质的应用，分别作出线段的垂直平分线，的角平分线交于点D即可求解，掌握相关尺规作图方法是关键． 【详解】解：∵发射塔离村庄A、B的距离必须相等， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线上， 又∵发射塔到两条高速公路、的距离也必须相等， ∴发射塔应建在的角平分线上， ∴发射塔应建在线段的垂直平分线和的角平分线的交点上， ∴连接，作的垂直平分线，作的角平分线交于点， 则点即为发射塔修建位置，如图所示： 试卷第2页，共56页 试卷第1页，共56页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形专题训练1.4线段垂直平分线与角平分 线 第一课时线段垂直平分线 【题型1根据垂直平分线的性质求长度】 1.如图，在△ABC中，AD垂直平分BC,在△ACF中，CE垂直平分AF,若CF=5, CD=4,则△ABC的周长为() D A.24 B.20 C.18 D.16 2.如图，将三角形纸片ABC的一角沿AB的垂直平分线翻折，折痕为DE,点B与点A重 合，已知△ACD的周长是18，△ABC的周长是26，则AB= B. 3.如图在△ABC中，MP和NO分别垂直平分AB和AC,MP分别交AB、BC于M、P 两点，N№分别交AC、BC于N、Q两点，连接AP、A0,若BC之长为21，则△AP№ 的周长是() A.18 B.19 C.20 D.21 试卷第1页，共56页 4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线DE交边AB于点D,交边AC于点E,若 △ABC与△BCE的周长分别是36cm,22cm,则AD=一. D E B 【题型2.根据垂直平分线的性质求角度】 5.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E. (1)若BC=15,DE=4,则AD+AE=一： (2)若∠BAC=100°，求∠DAE的度数： (3)设直线DM,EN交于点O,证明点O在BC的垂直平分线上. 6.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E,直线DM、EN 交于点0 (1)若∠DAE=60°，求∠BAC的度数. (2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由 T.如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，分别交AC,AB于点D,E,连接BD, 若∠A=24°，∠C=92°，则∠CBD的度数为() 试卷第2页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.24° B.40° C.64° D.92 8.如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE的 中点，BE=AC. E D (I)求证：AD⊥BC: (2)若LB=35°，求∠C的度数. 【题型3根据垂直平分线的性质求面积】 9.如图，在△ABC中，BD是△ABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点 G,连结AG,CG,若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面 积为() ☆ D G B E A.18 B.20 C.22 D.36 10.如图，直线AD是三角形ABC的对称轴，点E,F是AD上的两点，若BD=2,AD=3, 则图中阴影部分的面积是() 试卷第3页，共56页 A.1 B.3 C.6 D.9 11.如图，在△ABC中AB=AC,BC=4,面积是20，AC的垂直平分线EF分别交 ACAB边于EF点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长 的最小值为 B D M E 12.如图，在△ABC中，AB=AC,BC长为6，面积是27，腰AC的垂直平分线EF分别 交AC、AB边于点E、F,若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周 长的最小值为 D 【题型4根据垂直平分线的性质求最值】 13.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=2,面积是4，AC的垂直平分线EF分别交AB, AC边于点E,F.若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最 小值是() 试卷第4页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B A.3 B.4 C.5 D.6 14.如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点. 若AB=7,AC=4,BC=5,则△APC周长的最小值是() m A.12 B.11 C.9 D.7 15.如图，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分线交AC于点N,交AB于点M, AB=12cm,△BMC的周长是20cm,若点P在直线MN上，则PA-PB的最大值为 () M A.12cm B.8cm C.6cm D.2cm 16.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5,AC=12,BC=13,EF垂直平分AB,点P是 EF上一动点，过P作PH⊥BC,垂足为点H,连接BP,则BP+PH的最小值为， 试卷第5页，共56页 【题型5根据垂直平分线的性质求证明】 17.如图，在△M6C中，MB边的垂直平分线交BC于点D,4C边的垂直平分线交BC 于点五，1与相交于点0，连接01,0B,0C 0 (1)若△ADE的周长为I0cm,线段BC的长为一； (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由： (3)若∠BAC=130°，求∠DAE的度数. 18.(I)如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB, 将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. M 图1 图2 请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程. 已知：如图1，MN⊥AB,垂足为点C, 点P是直线N上的任意一点. 求证： 试卷第6页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 证明： (2)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD与∠CBD有何关系？请说明理由. 19.如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,且 BD=DE,连接AE. D E (1)求证：AB=EC: (2)若△ABC的周长为42cm,AC=16cm,求DC的长. 20.如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,AC的垂直平分线EF交AC于 点E,交AD于点F,连接BE、CE E B D (I)求证：AF=BF; (2)若∠BAC=50°，求∠FBD度数. 【题型6判断是垂直平分线】 21,己知：如图，AB=AC,BE⊥AC,CD上AB,垂足分别为E、D. 0 试卷第7页，共56页 (I)求证：AD=AE; (2)连接AO、BC,判断直线AO与BC的关系. 22.如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=AC,DE∥BC,DC平分LEDF,求 证：AF垂直平分CD D 23.从图1的风筝图形可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”·具体定 义如下：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC,AD=DC,我们把这种两组邻边分别相 等的四边形叫做“筝形”.请说明： D B 图1 图2 (1)△ABD=ACBD: (2)BD垂直平分线段AC, 24.如图，在△ABC中，CD,BE分别是边AB,AC上的中线，BE与CD相交于点O. D 图1 图2 (I)如图1，连接ED,若CD平分∠ACB,BC=6,试求EC的长度： (2)求证：OC=2OD: 试卷第8页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (3)如图2，连接OA,若AB=AC,OA=BC,CD=9,试求△CBE的面积. 【题型6判断是垂直平分线】 25.如图所示，在△ABC中，点E是边AC上一点，且BE平分∠ABC, B (I)请用无刻度的直尺和圆规作出线段BE的垂直平分线，且与边BC交于点D.(要求：不 写作法，保留作图痕迹) (2)连接ED,求证：ED∥AB. 26.如图，△ABC为锐角三角形. B 请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：在∠A的平分线上确定一点D,使得BD=CD； (不写作法，保留作图痕迹) 27.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交边AB于点D,交边BC于点E. (I)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点E(要求：不写作法，保留作 图痕迹)： (2)连接AE,如果BC=12,AC=10,求△AEC的周长. 试卷第9页，共56页 28.如图，己知∠PBO,点C在射线BP上，请用尺规作图法在射线BO上找一点A,使得 点A到点C的距离等于AB的长.（不写作法，保留作图痕迹） ○ B —P 【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】 29.如图，四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD,则称四边形ABCD为筝形.筝形一定 具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.两组对边分别平行 D.两组对边分别相等 30.请结合图形阅读作法，并将证明“PQ11”的过程补充完整。 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的 P 垂线”的作法： 作法：①在直线上取点A,B: ②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线I下方交于点Q; ③作直线P? 结论：PO⊥I,且P№经过点P. 试卷第10页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 证明：连接AP,AQ,BP,BQ 由作法可知， :AP=,∴点A在线段P的垂直平分线上： :BP=_,点B在线段PO的垂直平分线上；（依据：） 直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） .PQ11 31.幸福小区的三个出口A,B,C的位置如图所示.物业公司计划在不妨碍小区规划的前 提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充 电桩应建在△ABC的() B A.3条高的交点处 B.3条中线的交点处 C.3条边的垂直平分线的交点处 D.3个角的平分线的交点处 32.如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D,点E为AB边上一点，AE=AC E (I)求证：△ADE≌△ADC: (2)根据要求画出图形并证明：连接CE,交AD于点O,并证明CE⊥AD. 第二课时角平分线 【题型1利用角平分线的性质求长度】 1.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，BE是△ABD的中线，过点D分别作 试卷第11页，共56页 DF⊥AB,DH⊥AC,垂足分别为点F,H,若△BED的面积为2，AB的长为4，则 DH的长为 D 2.如图，∠AOB=150°，OP平分∠AOB,PD⊥OB于点D,PE⊥OA于点E,PCIOB 交OA于点C,若PD=3,则PC的长为() 8 A.6 B.5 C.4 D.3 3.如图，BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥BC于点E,若AB=4,BC=5, S.ABC= ,则DE的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm,0是∠CAB与∠CBA 平分线的交点，则点O到AB的距离为一 试卷第12页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A B 【题型2利用角平分线的性质求面积】 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E,且 BD=2,AC=8,则△ACD的面积为() 、E D Bh C A.4 B.8 C.12 D.16 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE⊥AB于点E.若 CD=2,AB=7,则△ABD的面积为() D B A.6 B.7 C.12 D.14 乙如图，在三角形纸片BC中，∠C=90,C=4:CE=31B=10 7，BE平分 ∠ABC,EF⊥AB于F,则△ABC面积为() E 192 A.15 B.7 C.27 D.42 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC,且CD=2BD,4BC=3AC,CF为∠ACB的角平分线， 试卷第13页，共56页 交AD于点E,交AB于点F,若△CDE的面积为T,则图中阴影部分四边形BDEF的面积 为 A B D C 【题型3利用角平分线的性质求角度】 9.如图，点P是∠AOB内一点，PE⊥OA,PF⊥OB垂足分别为E、F,若PE=PF, ∠OPF=70°，则∠AOB的度数为 B 10.如图，△ABC中∠A=66°，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，则∠BMN的 度数是 11.如图，在△ABC的内部取一点O,过点O作OM1AB于点M,O⊥BC于点N,若 ∠ABC=30°，且OM=ON,则∠ABO= C A M B 12.如图，在△ABC中，∠ABC=48°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E, 试卷第14页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 则∠EBF= A E B 【题型4利用角平分线的性质求最值】 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,CD=2,BD=3, 点为AB上一动点，则D的最小值为一 B D 14.如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E,点F为射线AB上一点. 若PE=5,则PF长的最小值是 D B 15.如图，在△MCB中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,BC=5,AC=12,AB=13,其中E是 AC上的动点，F是AD上的动点，则EF+FC的最小值为一· 试卷第15页，共56页 E 16.如图，在△ABC中，AB=6,∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分 别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 D 【题型5利用角平分线的性质证明】 17.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平 分线经过点P B 18.如图，BD平分∠ABC,AB=BC,P为BD延长线上一点，PM⊥AD于点M, PW⊥CD于点N,求证：PM=PN. 19.如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于点P,PD⊥AB于点D, PE⊥AC于点E. 试卷第16页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B (I)求证：BD=CE: (2)若BD=8,AC=10,求AE的长 20.图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE,DF=EF. A8(O) A(O) D必 D D O B B 图1 图2 图3 (I)如图2，将该仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，点D,E分别在边AB,AC 上，连接AF并延长，交BC于点P.求证：AP平分∠BAC (2)如图3，在(1)的条件下，过点P作PO⊥AB于点，若PO=6,AC=8,△ABC的 面积为60，求AB的长. 【题型6角平分线的判定】 2L.如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为 D,E.点F,G分别在OA,OB上，DF=EG,连接PF,PG.求证：∠DPF=∠EPG D E GB 22.如图，A0平分∠DAC,CO平分∠ACE,求证：B0平分∠EBD 试卷第17页，共56页 23.己知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在 ∠DAE的平分线上. A 24.电信部门要修建一个电视信号发射塔.如图所示，按照要求，发射塔到两个城镇A、B 的距离必须相等，到两条高速公路m和的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置？ 在图上标出它的位置 m B. A, n 【题型7角平分线的应用】 25.如图，三条公路两两相交于点A、B、C,现在要在公路边建一所加油站P,要求加油 站P的位置到三条公路的距离都相等. B (1)符合要求的位置有 个： (②)请你找出所有加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）： (3)你的作图依据是 试卷第18页，共56页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 26.请利用直尺和圆规作图，不写作法，但保留作图痕迹 如图，求作四边形ABED内部的点卫，使得PA=PB,并且点P到∠BCD两边的距离相等。 D B 27.如图，AB,AC,BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内 修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在() A.△ABC三条角平分线的交点位置 B.△ABC三条高的交点位置 C.△ABC三边的中垂线的交点位置 D.△ABC三条中线的交点位置 28.电信部门要修建一座信号发射塔，要求发射塔离村庄A、B的距离必须相等，且到两 条高速公路MN、P吧的距离也必须相等，发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位 置，并说明理由 9 ●B M N 试卷第19页，共56页