1.1 三角形中的线段和角 重难点讲解 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦三角形中的线段与角重难点，涵盖三边关系、中线与面积、等面积法、格点作图、角度边长计算及双角平分线模型，通过知识梳理与题型分类，搭建从基础概念到综合应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料以题型为单元，每个模块包含原理讲解、方法技巧、例题及分层练习，注重从具体问题抽象数学模型，如双角平分线模型推导培养抽象能力与推理意识，等面积法应用提升应用意识，助力学生用数学思维解决实际问题，适合课堂教学与自主学习。

三角形中的线段和角重难点讲解 一、知识梳理 二、目录 题型一： 三角形三边关系 题型二： 中线与面积 题型三： 等面积 题型四： 格点作图 题型五： 角度、边长计算 题型六： 双角平分线模型 【题型一： 三角形三边关系】 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 应用：求边长范围；绝对值化简；求线段和，线段差的最值。 例1.用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 例2.若a，b，c为△ABC的三边长，化简：|﹣a﹣b+c|+2|a﹣b+c|﹣|b﹣a﹣c|． 例3.如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 方法技巧：求线段和最小，异侧共线；线段差最大，同侧共线。 练习： 1.以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.已知a、b、c是一个三角形的三边长． （1）若a＝3，b＝5，则c的取值范围是 　 　 ． （2）试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|． 3.如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【题型二： 中线与面积】 1.三角形的中线将三角形面积分为面积相等的两个部分。（原理：等底等高的两个三角形面积相等） 2.三条中线交与同一个点，这个点叫重心。重心将每条中线都分成1:2两个部分。（重心到顶点占2份，重心到底边中点占1份） 推论：从三角形的顶点引一条线段，与底边的交点将底边分为a:b，则这条线段将这个三角形分成两个面积比为a:b的两个小三角形。（原理：两个三角形等高，则底边之比就是面积之比；反之，两个三角形等底，那高之比就是面积之比。） 例1.如图，在△ABD中，C是BD上一点，且BC＝2CD，若E、F分别是AC、AB的中点，△ABD的面积为24，则△DEF的面积为 　 　 ． 练习： 1.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分三角形的面积为　 ． 2.如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为 　 ． 3.如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　 　 ． 【题型三： 等面积法的应用】 等面积法就是用不同的表示方法去表示同一个图形的面积，并用等于号相连，以此求出线段长或线段与线段之间的数量关系。 例1.如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　 　 倍． 练习： 1.如图，在△ABC中，F是AB上一点，过点A、B分别作直线CF的垂线段，垂足为D、E，若△ABC的面积为5，CF的长度为2，则BE+AD的长为 　 ． 2.如图，三角形ABC的面积为27，AB＝AC＝6，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DE长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 3.如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四： 格点作图】 格点作图关键在于找个点，常见方法：平行、垂直、找中点。 例1.（1）请在网格图中画一个三角形ABE，使得三角形ABE中的一个角等于∠α． （2）若每个小正方形边长为1个单位，则三角形ABE的面积＝ 　 　 ． 练习： 1.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 2.如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【题型五： 角度、边长的综合计算】 常用理论：三角形内角和180度。 直角三角形的两个锐角互余。 角平分线将角分为相等的两个部分。 三角形的外角等于不相邻的两个内角和。 两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。 例1.在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）如图1，若AD是边BC上的中线，，AE＝3cm，DE＝0.8cm，求CE的长． （2）如图2，若AD是△ABC的角平分线，∠C＝66°，∠B＝38°时，求∠DAE的度数． 练习： 1.如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10． （1）求AD的长． （2）求△ACE的面积． 2.如图，在△ABC中，AD、AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小． 【题型六： 双角平分线模型】 模型推导： （1）如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB、∠A与∠D有什么数量关系为：__________． （2）如图2，BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，∠A与∠D数量关系为：　 　 ． （3）如图3，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，∠A与∠P数量关系为：　 　 ． 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线． （1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　 　 °； ②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由． 练习： 1.综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝38°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．已知∠A＝150°，∠D＝70°，求∠E+∠F的度数和是多少？ 巩固练习： 1.如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（　　） A．36 B．18 C．48 D．24 2.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2 3.如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，连接BE，CE．若阴影部分的面积之和是10，则△ABC的面积是　 　 ． 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD：CD＝1：2，连接AD，点E为AD上一点，点F、G分别为AC、CD的中点，连接EF，EG．若△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 　 　 ． 5.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 6.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝240°，则∠P＝　 　 °． 7.如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　　 ． 8.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为 　 　 ． 9.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 10.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 11.如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°． （1）求BC的长度； （2）求∠B的度数． 12.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 13.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，CD＝5，求△ABC的面积． （2）当AD为△ABC的角平分线时，若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数． 14．如图1，直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都不与点A重合）． （1）若∠A＝64°， ①求∠1+∠2的度数； ②如图2，直线m与边AB，AC相交得到∠3和∠4，直接写出∠3+∠4的度数． （2）如图3，EO，DO分别平分∠BED和∠CDE，写出∠EOD和∠A的数量关系，并说明理由； （3）如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分∠BNM和∠CMN，直接写出∠NGM与∠E，∠D的关系． 15．图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由； 探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由． 16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上． （1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D； （2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积． 17.如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）若网格上的最小正方形边长为1，△ABC的面积为　 　 ． （2）在网格中以BC为一边作格点△BCD（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形），使它的面积是△ABC的2倍．备注：画出一个即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形中的线段和角重难点讲解 一、知识梳理 二、目录 题型一： 三角形三边关系 题型二： 中线与面积 题型三： 等面积 题型四： 格点作图 题型五： 角度、边长计算 题型六： 双角平分线模型 【题型一： 三角形三边关系】 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 应用：求边长范围；绝对值化简；求线段和，线段差的最值。 例1.用三根木棒首尾相接围成，若，，设，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【解答】由三角形三边关系定理得：， 则，即；故选：C 例2.若a，b，c为△ABC的三边长，化简：|﹣a﹣b+c|+2|a﹣b+c|﹣|b﹣a﹣c|． 【解答】由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， |﹣a﹣b+c|+2|a﹣b+c|﹣|b﹣a﹣c| ＝|c﹣（a+b）|+2|a+c﹣b|﹣|b﹣（a+c）| ＝a+b﹣c+2（a+c﹣b）﹣（a+c﹣b） ＝a+b﹣c+2a+2c﹣2b﹣a﹣c+b＝2a． 例3.如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【解答】如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 方法技巧：求线段和最小，异侧共线；线段差最大，同侧共线。 练习： 1.以下列线段为边能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解答】、，长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、，长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C、，长度为，，的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、，长度为，，的三条线段能组成三角形，符合题意； 故选：D． 2.已知a、b、c是一个三角形的三边长． （1）若a＝3，b＝5，则c的取值范围是 　2＜c＜8　 ． （2）试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得：5﹣3＜c＜3+5， ∴2＜c＜8． （2）∵b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， ∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b| ＝b+c﹣a+a+c﹣b+a+b﹣c ＝a+b+c． 3.如图，是的边的垂直平分线，为垂足，是上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（   ） A．6 B．8 C．11 D．13 【解答】如图，连接， 是的边的垂直平分线，为垂足，， 的周长为：， 故选：D． 【题型二： 中线与面积】 1.三角形的中线将三角形面积分为面积相等的两个部分。（原理：等底等高的两个三角形面积相等） 2.三条中线交与同一个点，这个点叫重心。重心将每条中线都分成1:2两个部分。（重心到顶点占2份，重心到底边中点占1份） 推论：从三角形的顶点引一条线段，与底边的交点将底边分为a:b，则这条线段将这个三角形分成两个面积比为a:b的两个小三角形。（原理：两个三角形等高，则底边之比就是面积之比；反之，两个三角形等底，那高之比就是面积之比。） 例1.如图，在△ABD中，C是BD上一点，且BC＝2CD，若E、F分别是AC、AB的中点，△ABD的面积为24，则△DEF的面积为 　 　 ． 【解答】∵BC＝2CD，S△ABD ∴S△ABCS△ABD，S△ACDS△ABD8 ∵E、F分别是AC、AB的中点， ∴S△AEDS△ACD4，S△DBFS△ABD12，S△AEFS△ACFS△ABC4 ∴S△EFDS△ABDS△DBFS△AEDS△AEF24-12-4-4=4 故答案为：4． 练习： 1.如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分三角形的面积为　 ． 【解答】∵E是AD的中点，∴S△ACE＝S△CDE，S△ABE＝S△BDE， ∴S△BDE+S△CDES△ABC4＝2（cm2），即S△BCE＝2cm2， ∵F是CE的中点， ∴阴影部分的面积：S△△BEF＝S△BCFS△BCE2＝1（cm2）， ∴阴影部分三角形的面积为1cm2 2.如图，已知△ABC的面积为36，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝CD，CE＝2AE，AD与BE相交于点F，若△AEF的面积为3，则图中阴影部分的面积为 　 ． 【解答】连接CF，如图所示． ∵△AEF与△CEF等高，CE＝2AE， ∴S△CEF＝2S△AEF＝2×3＝6， 又∵S△ABC＝36，BD＝CD， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC＝18， ∴S△CFD＝18﹣3﹣6＝9， 又∵△BFD与△CFD同底等高， 故S△BFD＝S△CFD＝9， 即阴影部分面积为9 3.如图，在三角形ABC中，D是BC边上靠近C的三等分点，E是AD的中点，已知三角形ABC的面积为3，那么图中两个阴影三角形面积之和是 　 　 ． 【解答】解：如图，连接DF， ∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BED，S△AEF＝S△DEF， ∴S△ABE+S△AEF＝S△BED+S△DEF，即S△ABF＝S△BDF， ∵D是BC边上靠近C的三等分点，∴S△BDF＝2S△DFC， ∴S△DCFS△ABC， ∴S阴影＝S△DBE+S△AEF＝S△BDE+S△DEF＝S△BDF＝（3）÷2． 【题型三： 等面积法的应用】 等面积法就是用不同的表示方法去表示同一个图形的面积，并用等于号相连，以此求出线段长或线段与线段之间的数量关系。 例1.如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　 　 倍． 【解答】∵AD是△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AB•DEAC•DF， ∵DF＝2DE，∴AB＝2AC，∴AB是AC的2倍， 练习： 1.如图，在△ABC中，F是AB上一点，过点A、B分别作直线CF的垂线段，垂足为D、E，若△ABC的面积为5，CF的长度为2，则BE+AD的长为　5　 ． 【解答】∵△ABC的面积为5，CF的长度为2， ∴S△ABC＝S△AFC+S△BFC＝5， ∴FC（AD+BE）＝5， ∴AD+BE＝5， 2.如图，三角形ABC的面积为27，AB＝AC＝6，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DE长为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【解答】连接AD， ∵DF⊥AC，DF＝2DE，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，DE⊥AB， ∴， ∴DE＝3， 故选：C． 3.如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】如图所示，连接， ∵， ∴， ， ∴， 故选：A ． 【题型四： 格点作图】 格点作图关键在于找个点，常见方法：平行、垂直、找中点。 例1.（1）请在网格图中画一个三角形ABE，使得三角形ABE中的一个角等于∠α． （2）若每个小正方形边长为1个单位，则三角形ABE的面积＝ 　 　 ． 【解答】（1）如图，△ABE即为所求，其中∠BAE＝∠α． 作角相等即作平行，两直线平行，内错角相等。 （2）如图， ∵每个小正方形边长为1个单位， ∴S矩形CGEF＝3×4＝12， 1，3，S4， ∴S△ABE＝S矩形CGEF﹣S△ABC﹣S△AEF﹣S△BGE＝12﹣1﹣3﹣4＝4， 故答案为：4． 练习： 1.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹． 我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点． 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图． ①如图2，在▱ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F． ②如图3，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH． 【解答】①如图2，连接AC，BD交于点O，连接EB交AC于点G，连接DG并延长交CB于点F，F即为所求 ②如图3所示，AH即为所求． 2.如图，已知点A，B，C是图示网格纸中的三个格点（小正方形的顶点），若点D是图示网格纸中的除点A外的一个格点，且的面积等于的面积，满足条件的点D的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】如图， 根据题意得：满足条件的点D有，共4个． 故选：A 【题型五： 角度、边长的综合计算】 常用理论：三角形内角和180度。 直角三角形的两个锐角互余。 角平分线将角分为相等的两个部分。 三角形的外角等于不相邻的两个内角和。 两直线平行，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。 例1.在△ABC中，AE是边BC上的高． （1）如图1，若AD是边BC上的中线，，AE＝3cm，DE＝0.8cm，求CE的长． （2）如图2，若AD是△ABC的角平分线，∠C＝66°，∠B＝38°时，求∠DAE的度数． 【解答】（1）设CE＝xcm， ∵AD是边BC上的中线，DE＝0.8cm，∴CD＝DE+CE＝（0.8+x）cm， ∵，AE＝3cm， ∴S△ABCBC•AE2CD•AE＝3（0.8+x）＝7.5，∴x＝1.7， ∴CE的长是1.7cm． （2）∵∠C＝66°，∠B＝38°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣38°﹣66°＝76°， ∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD∠BAC76°＝38°， ∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝38°+38°＝76°， ∵AE是边BC上的高，∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°． 练习： 1.如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10． （1）求AD的长． （2）求△ACE的面积． 【解答】（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是Rt△ABC的高， ∴S△ABC，∴6×8＝10AD， ∴AD＝4.8； （2）∵，AE是Rt△ABC的中线， ∴． 2.如图，在△ABC中，AD、AF分别为△ABC的中线和高，BE为△ABD的角平分线．若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小． 【解答】∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，∠BED＝40°，∠BAD＝25°， ∴∠ABE＝40°﹣25°＝15°， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝30°， ∵AF为高，∴∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣30°＝60°． 【题型六： 双角平分线模型】 模型推导： （1）如图1，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB、∠A与∠D有什么数量关系为：__________． （2）如图2，BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，∠A与∠D数量关系为：　 　 ． （3）如图3，点P为△ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，∠A与∠P数量关系为：　 　 ． （1）因为 BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 所以∠DBC＝½∠ABC，∠DCB＝½∠ACB 在△ABC 中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180° 在△BDC 中，∠D＋∠DBC＋∠DCB＝180° ∠D＝180°－（∠DBC＋∠DCB） ＝180°－½（∠ACB＋∠ABC） ＝180°－½（180°－∠A） ＝90°＋½∠A 故 ∠D＝90°＋½∠A （2）在△ABC 中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180° 在△BDC 中，∠D＋∠DBC＋∠DCB＝180° ∵ ∠CBP 是△ABC 的外角 ∴ ∠CBP＝∠A＋∠ACB 同理 ∠BCQ＝∠A＋∠ABC ∵ BD 平分∠CBP，CD 平分∠BCQ ∴ ∠DBC＝½∠CBP，∠DCB＝½∠BCQ ∠D＝180°－（∠DBC＋∠DCB） ＝180°－½（∠CBP＋∠BCQ） ＝180°－½（∠A＋∠ACB＋∠ABC＋∠A） ＝180°－½（180°＋∠A） ＝90°－½∠A 故 ∠D＝90°－½∠A （3）∵ BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACD ∴ ∠PBC＝½∠ABC，∠PCD＝½∠ACD ∵ ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴ ∠ACD＝∠A＋∠ABC 同理 ∠PCD＝∠P＋∠PBC ∠P＝∠PCD－∠PBC ＝½（∠ACD－∠ABC） ＝½∠A 故 ∠P＝½∠A 例1.如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线． （1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　 　 °； ②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）①∵AB⊥CD，∴∠POQ＝90°，∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∵∠PQB＝60°，∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°， 故答案为：45； （将PQ延长，可得PH、QH为角平分线，根据模型3可得∠H＝∠AOC＝45°） ②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下： ∵AB⊥CD，∴∠POQ＝90°，∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°； （2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下： 如图2所示，连接EE'， ∵AB⊥CD，∴∠POQ＝90°，∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°， ∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°，∴∠CPQ+∠PQA＝270°， ∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ， ∴， ∴， ∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°， 由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°， ∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G， ∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°， ∴∠EFE'+∠EFE'＝270°， ∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'， ∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°． 练习： 1.综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在△ABC中，点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝38°．延长BA至G，延长AC至H，已知∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F，求∠F的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形ABCD的内角∠BCD与外角∠ABG的平分线形成如图所示形状．已知∠A＝150°，∠D＝70°，求∠E+∠F的度数和是多少？ 【解答】（1）如图， ∵点E是△ABC内角∠ACB平分线CE与外角∠ABD的平分线BE的交点， ∴∠ACE＝∠ECB，∠ABE＝∠EBD， ∵∠ABD＝180°﹣∠ABC＝∠A+∠ACB＝∠A+2∠ECD，∠EBD＝∠E+∠ECD，∠ABD＝2∠EBD， ∴2∠E+2∠ECD＝∠A+2∠ECD，∴∠A＝2∠E； （2）如图， ∵∠ABC＝38°，∠BAC、∠CAG的角平分线与∠BCH的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴∠F＝180°﹣90°﹣19°＝71°； （3）延长BA，CD交于点M，延长CE、BF交于点N， 如图所示， ∵BF、CE平分∠ABG，∠DCB， ∴， ∵∠BAD＝150°，∠ADC＝70°， ∴∠M＝180°﹣（180°﹣150°）﹣（180°﹣70°）＝40°， ∴∠N＝20°， ∵∠NFE+∠NEF＝180°﹣∠N， ∴∠AEF+∠BFE＝360°﹣（180°﹣∠N）＝200°． 巩固练习： 1.如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于（　　） A．36 B．18 C．48 D．24 【解答】∵F是BE的中点，△BFD的面积是6， ∴S△BDE＝2S△BDF＝12，同理：S△BDA＝2S△BDE＝24，S△ABC＝2S△BDA＝48． 故选：C． 2.如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若，则图中阴影部分面积为（　　） A．6cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2 【解答】∵三边的中线AD，BE，CF的公共点G， ∴S△BFG＝S△AFG，S△AEG＝S△CEG，， S△BDG＝S△CDG，∴S△BCF＝S△BCE，∴S△BCF﹣S△BCG＝S△BCE﹣S△BCG， ∴S△BFG＝S△CEG，∴S△BFG＝S△AFG＝S△AEG＝S△CEG， 设S△BFG＝S△AFG＝S△AEG＝S△CEG＝x， ∴S△CDG＝S△ACD﹣S△AEG﹣S△CEG＝18﹣2x， S△CDG＝S△BCF﹣S△BFG﹣S△BDG＝18﹣x﹣S△CDG， ∴，∴，解得x＝6， ∴若，则阴影部分面积为2x＝2×6＝12（cm2）， 故选：C． 3.如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD的中点，连接BE，CE．若阴影部分的面积之和是10，则△ABC的面积是　 　 ． 【解答】∵点E是AD的中点，阴影部分的面积之和是10， ∴S△ABES△ABD，S△DCES△ACD， ∴S△ABE+S△DCES△ABDS△ACD（S△ABD+S△ACD）S△ABC＝10， ∴S△ABC＝20． 4.如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD：CD＝1：2，连接AD，点E为AD上一点，点F、G分别为AC、CD的中点，连接EF，EG．若△ABC的面积为9，则阴影部分的面积为 　 　 ． 【解答】∵BD：CD＝1：2，∴DC：BC＝2：3，∴S△ACDS△ABC9＝6， ∵点F、G分别为AC、CD的中点，∴S△ECGS△ECD，S△ECFS△ECA， ∴S△ECG+S△ECF（S△ECD+S△ECA）， 即阴影部分的面积S△ACD6＝3． 5.已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 【解答】如图，连接AD． ∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵E是AD的中点，∴S△BDES△ABDS△ABC，S△CDES△ACDS△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDES△ABC， ∵F是CE的中点， ∴S阴影S△BCES△ABC＝1（cm2）． 6.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝240°，则∠P＝　 　 °． 【解答】如图，∵∠D+∠C＝240°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°， ∴∠DAB+∠ABC＝120°． 又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， ∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC（180°﹣∠ABC）＝90°（∠DAB+∠ABC）＝150°， ∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝30°． 7.如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　　 ． 【解答】∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴以CE为底时，△AEC的高为AB，， ∵∠D＝90°，即CD⊥AD， ∴以AE为底时，△AEC的高为CD，， ∴，∴CE•AB＝AE•CD， 把AE＝3，CE＝2，AB＝2.5，代入得：2×2.5＝3•CD， ∴， 8.如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，点D是边AB上一动点，作直线MN经过点C、点D，分别过点A，B作AF与MN垂直，BE与MN垂直，垂足分别为点F，E．设线段BE，AF的长度分别为d1，d2，则d1+d2的最大值为 　 　 ． 【解答】由题意可得：S△ABC＝S△ACD+S△BCD，即， 化简可得：CD×（d1+d2）＝AC×BC，解得， 则d1+d2取最大值时，CD取最小值， 由垂线段最短可得当CD⊥AB时，CD最小， 由可得，， ∴d1+d2的最大值为． 9.已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为奇数，求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c|． 【解答】（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣2＜c＜5+2，∴3＜c＜7， ∵c为奇数，∴c＝5，∴△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+5＝12． （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a﹣c+b＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴|a﹣c+b|﹣|b﹣c﹣a|﹣|a+b+c| ＝a﹣c+b﹣[﹣（b﹣c﹣a）]﹣（a+b+c） ＝a﹣c+b+b﹣c﹣a﹣a﹣b﹣c ＝b﹣a﹣3c． 10.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，其中a＝6，b＝7． （1）求边长c的取值范围． （2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|． 【解答】（1）由三角形三边关系定理得到：b﹣a＜c＜b+a， ∵a＝6，b＝7，∴7﹣6＜c＜7+6，∴1＜c＜13． （2）由三角形三边关系定理得到：b+c＞a，a+b＞c， ∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0， ∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（a+b﹣c） ＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝2c﹣2a． 11.如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°． （1）求BC的长度； （2）求∠B的度数． 【解答】（1）∵AF是△ABC的中线，∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF， ∴△ABF和△ACF的面积相等， ∵△AFC的面积为10，∴∠ABF的面积为10， ∵AD＝4，∴10，∴BF＝5，∴BC＝2BF＝10； （2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∵∠DAE＝20°，∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°， ∵∠C＝30°，∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°， ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠CAE＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°． 12.如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），CD与BE交于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，则△BCD与△ACD的周长差为 　 　 ； （2）若∠ABC＝62°，CD是高，求∠BOC的度数； （3）若∠A＝78°，CD是角平分线，求∠BOC的度数． 【解答】（1）∵CD是中线，∴BD＝AD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴△BCD的周长P1＝BC+BD+AD＝3+AD+CD，△ACD的周长为P2＝AD+CD+AC＝2+AD+CD， ∴P1﹣P2＝3+AD+CD﹣（2+AD+CD）＝1． （2）CD是△ABC的高，∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝62°，BE是△ABC的角平分线， ∴∠ABE＝1/2∠ABC＝1/2×62°＝31°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝90°+31°＝121°， （3）∵∠A＝78°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣78°＝102°， ∵BE，CD是△ABC的角平分线，∴∠OBC＝1/2∠ABC，∠OCB＝1/2∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝1/2（∠ABC+∠ACB）＝1/2×102°＝51°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣51°＝129°． 13.如图，在△ABC中，AE是△ABC的高，点D为边BC上的一点，连接AD． （1）当AD为边BC上的中线时，若AE＝6，CD＝5，求△ABC的面积． （2）当AD为△ABC的角平分线时，若∠B＝35°，∠C＝75°，求∠DAE的度数． 【解答】（1）∵AD为边BC上的中线，∴BC＝2CD＝10， ∴S△ABCAE×BC6×10＝30； （2）∵∠B＝35°，∠C＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD∠BAC＝35°， ∵AE是△ABC的高，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠C＝15°， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝35°﹣15°＝20°． 14．如图1，直线l与△ABC的边AC，AB分别相交于点D，E（都不与点A重合）． （1）若∠A＝64°， ①求∠1+∠2的度数； ②如图2，直线m与边AB，AC相交得到∠3和∠4，直接写出∠3+∠4的度数． （2）如图3，EO，DO分别平分∠BED和∠CDE，写出∠EOD和∠A的数量关系，并说明理由； （3）如图4，在四边形BCDE中，点M，N分别是线段DC、线段BE上的点，NG，MG分别平分∠BNM和∠CMN，直接写出∠NGM与∠E，∠D的关系． 【解答】（1）①如图1，∵∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED， ∴∠1+∠2＝∠A+∠ADE+∠AED+∠A， ∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝64°， ∴∠1+∠2＝∠A+180°＝64°+180°＝244°； ②由①方法可得，∠3+∠4＝∠1+∠2＝244°； （2），理由： 由（1）可得∠BED+∠CDE＝180°+∠A． ∵EO，DO分别平分∠BED和∠CDE， ∴，， ∴∠OED+∠EDO（∠BED+∠CDE）（180°+∠A）＝90°∠A， ∴∠EOD＝180°﹣（∠OED+∠EDO）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A； （3）∠E+∠D+2∠NGM＝360°，理由：由图2可得， ∠BNM+∠CMN＝∠D+∠E， ∵NG、MG分别是∠BNM、∠CMN的平分线， ∴∠BNG＝∠MNG∠BNM，∠CMG＝∠NMG∠CMN， ∴∠MGN＝180°﹣（∠MNG+∠NMG）＝180°（∠BNM+∠CMN） ＝180°（∠D+∠E）， ∴2∠MGN+∠D+∠E＝360°． 15．图形从特殊到一般 探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系． 如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由； 探究二：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？ 如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由． 【解答】，理由： 由角平分线可知，， ∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A， ∴∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD） ； 探究二：∠A+∠B＝2∠P，理由： 由角平分线可知，， ∵∠ADC+∠ACD＝360°﹣∠A﹣∠B， ∴∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD） ， 即∠A+∠B＝2∠P． 16.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都在格点上． （1）利用网格画直线CD，使CD⊥AB，且点D在格点上，并标出所有符合条件的格点D； （2）在（1）的条件下，连接AD、BD，求△ABD的面积． 【解答】（1）如图，点D和点D′为所作； （2）S△ABD2×3＝3， S△ABD′＝5×33×15×12×4＝7， 综上所述，△ABD的面积为3或7． 17.如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）若网格上的最小正方形边长为1，△ABC的面积为　2.5　 ． （2）在网格中以BC为一边作格点△BCD（顶点在小正方形的顶点处的三角形称为格点三角形），使它的面积是△ABC的2倍．备注：画出一个即可． 【解答】（1）△ABC的面积为：3×2﹣1×2÷2×2﹣1×3÷2＝2.5； （2）作图如下： 1 学科网（北京）股份有限公司 $