专题 1.8 全等三角形经典模型 一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测）讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

该初中数学讲义以“一线三等角”模型为核心，通过表格系统梳理同侧/异侧一线三直角、同侧/异侧一线三等角等4类基础模型，明确定义、基本图形与全等证明思路，构建“模型定义-图形特征-推理依据”的递进知识脉络，突出模型间的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“模型变式分层训练”，如题型1同侧一线三直角模型，例题以书架摆放等腰直角三角板为情境，引导学生通过几何直观抽象模型，变式题从基础证明到面积计算，培养推理意识与运算能力。同步检测设置选择、填空、解答三级梯度，助力不同层次学生提升，教师可实施精准教学，学生能自主深化模型理解，发展模型观念与创新意识。

专题 1.8 全等三角形经典模型——一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）一线三等角常见的模型及证法： 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 3 【题型3】同侧一线三等角模型 4 【题型4】异侧一线三等角模型 5 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 6 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 14 一.模型梳理与解读 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （二）一线三等角常见的模型及证法： 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（2026·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．    【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． （1）求证； （2）若，求的面积． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 【变式1】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式2】（26-27七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 【变式1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，如图在等边中，是的一点，，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D．． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）（1）【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：∵，， ∴___________， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的___________． （2）【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则___________； ②如图3，已知，且，当___________，； （3）【应用结论】 如图4，，请说明：． 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 【例题5】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． （1）特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． （2）探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； （3）如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； （4）若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 （1）如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； （2）如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁·期中）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 【例题6】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025·河北廊坊·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知，，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 7．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知点在同一条直线上，，则图中与相等的线段是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 11．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是______ 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为_______． 13．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则______． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为____． 15．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________．      16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为__________．      （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 18．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 19．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 （1）已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 全等三角形经典模型——一线三等角（模型梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.模型梳理与解读 1 （一）定义： 1 （二）一线三等角常见的模型及证法： 1 二.题型精析 2 【题型1】同侧一线三直角模型 2 【题型2】异侧一线三直角模型 5 【题型3】同侧一线三等角模型 8 【题型4】异侧一线三等角模型 10 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 14 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 20 三.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 40 一.模型梳理与解读 （一）定义： 三个相等的角的顶点在同一条直线上，角的两边分别与直线相交，构成两个三角形，若有一组对应边相等，则这两个三角形全等。这样的模型我们称为“一线三等角模型” （二）一线三等角常见的模型及证法： 类型 基本图形 结论 同侧一线三直角 结论： 证明思路： 异侧一线三直角 结论： 证明思路： 同侧一线三等角 结论： 证明思路; 异侧一线三等角 结论： 证明思路; 二.题型精析 【题型1】同侧一线三直角模型 【例题1】（2026·四川成都·二模）如图所示，中，．直线l经过点A，过点B作于点E，过点C作于点F．若，则__________．    【答案】7 【分析】根据全等三角形来实现相等线段之间的关系，从而进行计算，即可得到答案； 解：∵BE⊥l，CF⊥l， ∴∠AEB=∠CFA=90°． ∴∠EAB+∠EBA=90°． 又∵∠BAC=90°， ∴∠EAB+∠CAF=90°． ∴∠EBA=∠CAF． 在△AEB和△CFA中 ∵∠AEB=∠CFA，∠EBA=∠CAF，AB=AC， ∴△AEB≌△CFA． ∴AE=CF，BE=AF． ∴AE+AF=BE+CF． ∴EF=BE+CF． ∵， ∴； 故答案为：7． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的证明三角形全等． 【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点C在书架底部上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点 B 恰好落在左侧书籍的上方边沿．已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，结合即可求得答案． 解：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵每本书长，厚度为， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，等腰中，，，点A在线段上，． （1）求证； （2）若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据，，得出，再根据即可证明； （2）由（1）可知，，则，再根据的面积求解即可． 解：（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积． 【题型2】异侧一线三直角模型 【例题2】（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，，，，，垂足分别为，，，，则 ___． 【答案】4.1 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，证明，根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算即可，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 解：，，， ， ， ∵， ， ∵， ， ，， ， 故答案为：4.1． 【变式1】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，是内部的射线且，过点作于点，过点作于点．给出下面三个结论：①；②；③．其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用即可；②③证明得出对应线段相等即可. 解：于点，于， , ,故正确 在和中 故正确 （垂线段最短） 故错误 故选 【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，也是典型的“一线三直角”的几何模型，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键. 【变式2】（26-27七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 解：（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 【题型3】同侧一线三等角模型 【例题3】（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可． 解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式1】（23-24八年级上·上海奉贤·期中）已知，如图在等边中，是的一点，，下列结论不正确的是（      ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，根据平角的定义和三角形内角和定理证明，，进而证明，得到根据现有条件无法证明，据此可得答案． 解：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，则选项正确； 又∵， ∴，则选项正确； ∴，则选项正确； ∴四个选项中，只有D选项根据现有条件无法证明， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【答案】见分析 【分析】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出；再结合已知的边和角，证明与全等，从而得到． 解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定（AAS），掌握通过角的关系推导相等角，结合AAS判定三角形全等是解题的关键． 【题型4】异侧一线三等角模型 【例题4】（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，，点D在边上，，点在线段上，，若的面积为，的面积为21，则的面积为_______． 【答案】9 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，三角形的面积．掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．根据三角形外角的性质结合题意可证，得出．根据可求出，，最后根据，求解即可． 解：∵，，，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：9． 【变式1】（23-24七年级下·重庆·期中）如图，在与中，三点在一条直线上，，，，若，，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据三角形外角性质、邻补角定义及角的和差求出，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，则，据此求解即可，熟练运用全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 解： ∵，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）（1）【学习概念】 三角形一边的延长线与三角形另一边的夹角叫做三角形的外角．如图1中是的外角，那么与，之间有什么关系呢？ 分析：∵，， ∴___________， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的___________． （2）【问题探究】 ①如图2，已知：，且，则___________； ②如图3，已知，且，当___________，； （3）【应用结论】 如图4，，请说明：． 【答案】（1）；和；（2）①；②45；（3）证明见分析 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，全等的性质和（）综合（或者），全等三角形综合问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）①先利用三角形的外角的性质得出，再证得，从而可得； ②与①同样的方法求解； （3）先证明，从而可得，再证明，从而可得，，进而可证得． 解：（1）∵，， ∴， 结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 故答案为：；和： （2））①∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 又， ∴， 故答案为：； ②当时，与①同理可得，， 又， ∴， 故答案为：45； （3）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【题型5】同侧与异侧一线三直角模型 【例题5】（25-26七年级下·甘肃酒泉·期末）在中，，，直线经过点，过点，分别作的垂线，垂足分别为，． （1）特例体验 如图（1），若直线，，则线段的长为 ． （2）探究应用 如图（2），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时，试说明：； （3）如图（3），若直线从图（1）状态开始绕点顺时针旋转时与线段相交，探究线段，和的数量关系并说明理由； （4）若，（均为正数），当时，请你直接写出以点，，，为顶点的四边形的面积． 【答案】（1）2；（2）①在中，． ， ， ． 在和中， ， ②由可知，， ． （3）． 理由如下： 在中，． ， ， ． 在和中， ， ，， （4） 【分析】（1）先证和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出，再证明，得到，即可求出的长； （2）①先证，由即可得出，②根据全等三角形的性质进而解答即可； （3）先证，由即可得出，进而解答即可； （4）根据（2）和（3）中的图形列式求解即可． 解：（1）解：由题意得： 在中，，， ， ， ，， ，， ，， 在和中， ， ∴， ， ； （2）略 （3）略 （4）由（2）可得，当时，四边形的面积， 由（3）可得，当时， 四边形的面积． 综上，以点B、D、C、E为顶点的四边形的面积． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）解答以下问题 （1）如图，已知和，，，点，，在同一直线上，且点在点和之间．若，由，得．又，可以推理得到 ，进而得到 ， ； （2）如图，，，，连接，，过点作直线于点，与直线交于点．判断点是否是的中点，并说明理由． 【答案】（1），，；（2）点是的中点，理由如下： 证明：如图2：作于，于， 由（1）可得：△△，△△， ，， ， ，， △△， ，即点是的中点． 解：（1）证明：已知和，，， 点，，在同一直线上， ， 由，得． 又， ， ，； （2）略 【变式2】（25-26七年级下·辽宁·期中）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】 （1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则__________； 【类比】 （2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上，且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 即（该数量关系的变形也可）； （3） 【分析】（1）根据全等三角形求出，进而即可求出； （2）先证明，再结合全等三角形性质分析推理，即可得出线段，，的之间的数量关系； （3）过点作的延长线于点，由（2）同理可证，结合全等三角形性质，以及三角形面积公式求解，即可解题． 解：（1）解：过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， ； （2）略 （3）解：过点作的延长线于点， 由（2）同理可证：， ， ， 的面积为：． 【题型6】一线三直角与一线三等角模型 【例题6】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）【特例感知】 （1）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 （2）请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； （3） 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． （1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）略 （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】（1）理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． （2）理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 解：（1）略； （2）略． 【变式2】（26-27八年级·全国·暑假作业）综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）6 【分析】（1） 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． （2） 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． （3） 由（2）的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由（2）同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2025·河北廊坊·二模）为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南商丘·期中）如图，已知，，，，若，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质证出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 解：， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·广东深圳·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，中，，，直线经过点，，，垂足分别为，若，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，垂直定义，同角的余角相等，根据全等三角形的判定得出，再根据全等三角形的性质得出，，进而解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点，下列结论：①；②若，则；③当时，则为中点；④当为等腰三角形时，；其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和．通过等腰三角形的性质得到，利用角度的转换即可得到，故①正确；当时，可证明，即可得到，故②正确；当时，可得，利用等腰三角形三线合一的性质可得D为中点，故③正确；根据三角形外角的性质，可得，则可得到或，即可求出的度数为或，故可得④不正确． 解：∵， ， ，， ，故①正确； 若， 由①得， ， ，故②正确； 若，则可得， ∵， D为中点，故③正确； 根据三角形外角的性质，可得， 故， 当时， ； 当， ，故④不正确， 所以正确的为①②③， 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 7．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一般三角形全等的判定方法有、、，，直角三角形的判定方法还有，全等三角形对应边相等，对应角相等．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，可得，进而可得．又由可得，进而可得．再根据可得，则可得，，进而可求得的长． 解：，， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，， ． 故选：B． 8．（24-25八年级上·天津·期末）如图，已知点在同一条直线上，，则图中与相等的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解本题的关键．先证，再根据全等三角形的性质回答即可． 解：， ， ， ， ， 故选：B． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为____． 【答案】 【分析】过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，证明，，得到，，，，证明，得到，根据得到，进而得到，根据三角形面积公式计算即可． 解：如图，过点D作于P，过点E作交的延长线于Q， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可证 ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是______ 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 解：过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为_______． 【答案】16 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案． 解：作交的延长线于点F， 是的角平分线， ，， ， 是等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：16． 13．（24-25七年级下·重庆·阶段检测）如图，在中，于点，过点作，且，过点作交延长线于点，连接并延长交于点．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、平行线的性质、熟练掌握性质定理是解题的关键．根据垂直的定义及平行线的性质可得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，再次利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：，，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ，， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，则，先证明，可得、，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 解：如图：过E作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________．      【答案】3 【分析】证明，得到，即可得解． 解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，点是上一点，连接、，若，，则的长为__________．      【答案】10 【分析】先证明，再证明，即可作答． 解：， 又， ， ，， ， ，， ，， ， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）在学习全等三角形后，七年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如表： 课题 测量五星红旗旗杆的高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案示意图    测量步骤 （1）在距旗杆底部B点水平地面上，选定一点C； （2）测量的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D三点共线，）； （5）测量标杆顶部E视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 ，，，， 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆的高度． 【答案】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 【分析】证明即可得出结果． 解：略 18．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 （1）如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． （2）【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． （3）【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． （2）解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． （3）6 【分析】（1） 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． （2） 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． （3） 由（2）的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 解：（1）略 （2）略 （3）解：由（2）同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 19．（2026七年级下·上海·专题练习）解决问题 （1）如图1，为等边三角形，，，求证：； （2）如图2，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A，C作于点E，于点F．则线段，，的数量关系为________； （3）如图3所示，在中，，，于点E，于点D，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，再根据，得出，从而可得，利用证明； （2）先根据正方形的性质，得出，，再根据平角的意义得出，根据垂直的意义得出，再根据直角三角形两个锐角互余得出，从而可得，然后利用证明，根据全等三角形的性质可得出，，从而可得； （3）先证明，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得出，，从而可求出． 解：（1）解：是等边三角形， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：； 理由：四边形是正方形， ，． ，， ． ． 在和中， ， ． ，． ． （3）解：， ． ，， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． 20．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 （1）已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）①　　　②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 解：（1）略； （2）解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $