第一章 三角形重难点检测卷 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册重

**基本信息** 三角形单元重难点检测卷，覆盖全等判定、角平分线、中线等全章核心知识，通过选择、填空、解答题梯度设计，适配八年级单元复习，强化几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形距离相等点、全等判定、三边关系|第1题公路选址考角平分线性质，体现数学眼光的几何直观| |填空题|8/24|中线性质、等边三角形计算、尺规作图|第16题尺规作垂线，融合作图与推理，培养数学思维| |解答题|10/66|全等证明、折叠问题、探究性问题|第23题四边形线段关系探究需构造全等，发展推理能力与创新意识|

第一章 三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·安徽安庆·单元测试）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023八年级上 广东揭阳·单元测试）如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 10．（2025八年级上 山东临沂）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·单元测试）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 12．（26-27八年级上·全国）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 13．（25-26八年级上·全国·暑假作业）如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 15．（25-26八年级上·四川成都·单元测试）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     16．（25-26八年级上·吉林长春·单元测试）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． 17．（24-25八年级上·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 18．（25-26八年级上·广东佛山·单元测试）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·重庆大足·单元测试）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 20．（2023八年级上 浙江衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 21．（25-26八年级上·上海·单元测试）如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 22．（25-26八年级上·上海普陀·单元测试）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务： 任务一：尺规作图 如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)求作边上的中线； 任务二：无刻度直尺作图 已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中作边上的中线； (3)在图3中作边上的高． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 24．（2026八年级上 云南曲靖·单元测试）如图所示，在中，，点在边上．若点在边上，且，求证：． 25．（25-26八年级上·四川成都·单元测试）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 27．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点O在上，过点O作，、分别是的内外角平分线，与分别交于E、F，求证：． 28．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）已知点在的内部，经过点的直线与，分别交于点，，且．分别在下列情形中，求作直线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，点在的平分线上； (2)如图②，点不在的平分线上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形重难点检测卷 （满分120分，考试时间120分钟，共28题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级上·安徽安庆·单元测试）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 2．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）如图，点A和点C是边上的点，点D是内的一点，连接，，和，和相交于点O，下列说法不正确的是（     ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质（三线合一）以及线段垂直平分线的判定定理，对各个选项进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、， 是等腰三角形 ， 是底边上的中线 ，即，故A正确； B、， 点在线段的垂直平分线上 ， 点在线段的垂直平分线上 直线是线段的垂直平分线， ，故B正确； C 、， 是等腰三角形 ， 是顶角的平分线 ，即，故C正确； D、在和 中，已知 ，，， 这是“边边角”关系，无法判定，也就无法推出或， 因此无法得出，故D不正确． 3．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，已知在中，平分垂直平分交的延长线于，连接，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，连接，过D作于G，利用角平分线的性质得出，进而证明与全等，进而解答即可． 【详解】解：连接，过D作于G， ∵平分，交的延长线于F， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）两根木棒的长度分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求出第三根木棒的取值范围，再根据第三边长度为偶数的条件，找出符合条件的取值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得， ∴， 又∵第三根木棒的长为偶数， ∴满足条件的为，，，，共4种取值． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，在中，，点，，分别是边、、上的点，且，，相交于点，若点是的重心．则以下结论：①线段、、是的三条角平分线；②的面积是面积的一半；③图中与面积相等的三角形有2个；④；⑤．其中一定正确的结论有（    ） A．1 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由重心是三条中线的交点，可知线段，，是的三条中线，可判断①错误，继而得出，，进一步推出，然后逐个分析即可． 【详解】解：①，，相交于点，点是的重心，重心是三条中线的交点， 线段，，是的三条中线，故①错误； 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ， ∵， ∴， 同理可求：，故④正确； ∴的面积是面积的一半，故②正确； 图中与面积相等的三角形有共2个，故③正确； ∵，与等高， ∴，     ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有②③④，共3个． 7．（2023八年级上 广东揭阳·单元测试）如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 10．（2025八年级上 山东临沂）如图在中，，平分，为中点，为上一点，将沿折叠，使点落到点处，连接．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据三角形内角和定理可求，根据角平分线的定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余可以得到，根据三角形内角和定理可得：，折叠的性质可得：，，根据三角形外角的性质可得：，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可知，根据等腰三角形的性质可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示，连接， 在中，， ， 平分， ， 又， ， ， 在中，， 根据折叠的性质可知，， ， 为中点， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质、直角三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造等边三角形，利用图形的性质找角之间的关系． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题3分，共24分） 11．（25-26八年级上·福建泉州·单元测试）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 12．（26-27八年级上·全国）如图，为等边三角形，，，相交于点P，于Q．已知，，则的长是________． 【答案】11 【分析】先证出，则，，进而可得，再根据含角的直角三角形的性质求出的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·全国·暑假作业）如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】由两个三角形全等的判定定理，结合已知条件添加一个条件即可． 【详解】解：添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，已知是的中线，点E为线段的中点，，． （1）若的周长为，则的周长为_______； （2）若的面积为，则的面积为_______． 【答案】 【分析】（1）根据题意可得，结合是的中线，可得，再求周长即可； （2）根据三角形中线平分三角形的面积求解． 【详解】解：（1）的周长为， ，即， 解得， 又是的中线， 是的中点，， 的周长； （2）， ， 又点E为线段的中点， ． 15．（25-26八年级上·四川成都·单元测试）已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______     【答案】 【分析】过点P作，交的延长线于点E，设，则，，证明为等边三角形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，交的延长线于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴可设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·吉林长春·单元测试）如图，经过已知直线外一点，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线的垂线． （1）以点为圆心、适当长（大于点到直线的距离）为半径作弧，交直线于、两点； （2）分别以点、为圆心，相同长（大于线段长的一半）为半径作弧，两弧相交于点； （3）作直线，交于点，顺次连结、、、． 直线就是所要求作的垂线． 给出以下四个结论：①；②点与点关于直线对称；③若，则四边形的周长为；④四边形的面积为． 以上结论正确的序号为______． 【答案】①②③ 【分析】根据作图可得是的垂直平分线，进而逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：根据作图可得，，， ∴是的垂直平分线 ∴，故①正确， ，， ∴点与点关于直线对称；故②正确， ∵， 若，则四边形的周长为，故③正确， ∵， ∴四边形的面积为，故④不正确． 综上所述，正确的序号为①②③． 17．（24-25八年级上·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 18．（25-26八年级上·广东佛山·单元测试）如图，四边形的面积是15．边、、、的中点分别为、、、．若与相交于点，则图中阴影部分的总面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分，通过等量代换证明阴影部分面积等于四边形面积的一半即可求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，，，分别为边、、、的中点， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 三、解答题（10小题，共66分） 19．（24-25八年级上·重庆大足·单元测试）如图，在中，，在中，． (1)求证：； (2)连接，连接交于点，若点恰好是的中点，求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， 在和中， ， ； (2) 证明：过点作交于点，如图所示， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用全等三角形的性质和判定解决问题． （1）运用全等三角形的性质和判定，证明和全等，即可求得； （2）作辅助线构建全等三角形，运用全等三角形的性质和判定，证明， ，进而求得． 【详解】（1）略 （2）略 20．（2023八年级上 浙江衢州）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2) 证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 21．（25-26八年级上·上海·单元测试）如图，已知在中，是的平分线，，垂足为，是的中点，求证：． 【答案】证明：如图，延长交于点，连接、， 是的平分线，， ，， 又， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 和是同底三角形， 和在底边上的高相等，即点、到的距离相等， ， ． 【分析】延长交于点，连接、，证明，再根据三角形中线平分三角形面积，得出，则，即可得证． 【详解】略 22．（25-26八年级上·上海普陀·单元测试）已知，请根据不同条件与要求完成以下作图任务： 任务一：尺规作图 如图1，已知，请用直尺和圆规完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)求作边上的中线； 任务二：无刻度直尺作图 已知的顶点均在正方形网格的格点上，请仅用无刻度的直尺完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中作边上的中线； (3)在图3中作边上的高． 【答案】(1)解：边上的中线如图所示； (2)解：边上的中线如图所示； (3)解：边上的高如图所示． 【分析】（1）用尺规作线段的垂直平分线即可； （2）作出的边上的中线，两条中线交于点O，连接并延长即可； （3）作出的边上的高，两条高交于点G，连接并延长即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略； （3）解：略． 23．（2025八年级上·全国·专题练习）【问题背景】 如图①，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，试探究，之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为延长FD到点G，使，连接AG，先说明，再说明，则可得到，之间的数量关系是________________________． 【探索延伸】 （2）如图②，在四边形ABCD中，，，点E，F分别是BC，CD上的点．若，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图所示，延长到点，使得． ，， ． 在和中， ， ，， ． ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）延长到点，使得，连接．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，根据角的和差计算即可求解； （2）延长到点，使得．通过可证，根据全等三角形的性质得到，，再通过证明，根据全等三角形的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：（1） 【提示】如图所示，延长到点，使得，连接． ， ． 在和中， ， ，． ，， ． 在和中， ， ． ， ． （2） 略 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线是解题的关键． 24．（2026八年级上 云南曲靖·单元测试）如图所示，在中，，点在边上．若点在边上，且，求证：． 【答案】 证明：作交的延长线于点，作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 【分析】作交的延长线于点，作交的延长线于点，利用证明，得到，再利用证明，得到，最后根据即可证明结论成立． 【详解】略 25．（25-26八年级上·四川成都·单元测试）如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边上的点，，连接，交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作等边，连接， ①求证：； ②若G为的中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵在与中， ∴ ． (2)证明：①∵ 是等边三角形， ∴，， 延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即，，即， ②由①可知． 在与中， ， ， ， ． (3)． 【分析】（1）利用等边三角形的性质进一步证明即可得出结论； （2）①延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．即可证明， ②证明，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，进而得到答案． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：①略； ②略； （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图：在中，，M是斜边的中点，将沿折叠，点A落在点D处，若恰好与垂直，求的度数． 【答案】 【分析】因为中M是斜边中点，所以根据直角三角形斜边中线性质，可得，进而得到．因为沿折叠得到，所以根据折叠的性质，可得，进而确定与的等量关系．因为，所以在对应的直角三角形中，可得与互余，结合前面得到的和的倍数关系，即可建立关于的方程求解． 【详解】 解：在中，，是斜边的中点， ∴， ∴ ． ∵沿折叠得到， ∴， ∴． ∵， 设交于点，则， 在中， ， 代入， 得， 解得． 27．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）如图，在中，点O在上，过点O作，、分别是的内外角平分线，与分别交于E、F，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线的定义并结合平行线的性质可得，，从而得出，，即可得证． 【详解】证明：设点为延长线上的点， ∵、分别是的内外角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 28．（25-26八年级上·江苏南京·单元测试）已知点在的内部，经过点的直线与，分别交于点，，且．分别在下列情形中，求作直线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)如图①，点在的平分线上； (2)如图②，点不在的平分线上． 【答案】(1) 如图，即为所求，直线即为所求. (2) 如图，即为所求，直线即为所求. 【分析】（1）作射线，再过作射线的垂线，交于，交于，则可得，可得. （2）作，与交于点，则，连接并延长至，使，在上截取，连接交于，可得，可得，可得，连接，交于，可得，可得，可得，可得，可得，再证明，可得，可得. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是复杂作图，作垂线，作一个角等于已知角，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练的作图是解本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $