专题05 有理数的乘法与除法 重难点题型专训 -2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则、倒数概念、乘法运算律、多个有理数乘除符号法则及除法法则，构建从基础运算到综合应用的完整知识链，为后续有理数混合运算及代数式学习提供坚实支架。 该资料以12类基础题型与1类提高题型为载体，融入购物优惠、行程问题等实际情境，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。通过运算律简算、符号规律推理等设计，提升运算能力与推理意识，结合数轴翻折等几何直观题，助力学生用数学语言表达数量关系。课中辅助教师分层教学，课后通过自我检测帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+12大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 6 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 6 【基础题型三 多个有理数的乘法运算】 11 【基础题型四 倒数】 13 【基础题型五 有理数乘法运算律】 16 【基础题型六 有理数的除法运算】 19 【基础题型七 有理数除法的应用】 21 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 23 【基础题型九 有理数四则混合运算】 25 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 28 【基础题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 30 【基础题型十二 数轴上的翻折】 34 第二部分·练提高题型 【提高题型一 有理数乘除法综合应用】 38 第三部分・自我检测 知识点01 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）整数a、b满足：且，有以下判断：①a、b中没有正数；②a、b中没有负数；③a、b中至多一个正数；④a、b中至少一个正数，其中，正确判断的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的应用，有理数的加法运算，乘法法则，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据且，得出互为相反数，且，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵且， ∴互为相反数，且， 即在中，其中一个数为正数，一个数为负数， ∴①②的说法都是错误的； 则a、b中至多一个正数，故③的说法是正确的； 则a、b中至少一个正数，故④的说法是正确的； 故选：B 2．（24-25七年级上·四川泸州·课后作业）________；________；________． 【答案】 3 10 【分析】分别根据绝对值的性质，有理数减法法则，有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：； ； ． 知识点02 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山东烟台·课后作业）某AI智能系统在处理数据时，需对数据依次执行：①求绝对值；②求倒数，则依次得到的结果是（    ） A．3， B．3， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和倒数的定义，解题的关键是准确掌握绝对值和倒数的计算方法． 先对数据求绝对值，得到；再对求倒数，得到． 【详解】解：∵， ∴处理数据的两个结果依次为，． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）请你列举两个有理数，使它们的积为1．_____________． 【答案】2和（答案不唯一） 【分析】该题考查了有理数的乘法，倒数，寻找两个有理数，使它们的乘积为1，即两个数互为倒数． 【详解】解：设两个有理数为2和，则它们的积为，满足条件． 故答案为：2和（答案不唯一）． 知识点03 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（26-27七年级上·上海金山·开学考试）（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将101拆分为后，利用乘法分配律展开即可得到结果． 【详解】解：． 2．（26-27七年级上·全国·阶段测试）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 【答案】 【分析】（1）利用加法交换律、结合律，先凑整再进行计算即可； （2）提取公因数，括号内小数先合并得到31，约分后直接得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 知识点04 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 5.有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题利用有理数乘法的符号法则，即几个非零数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数时积为负，为偶数时积为正，逐步推导出和的符号即可． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 又∵ ，即， ∴ ， 综上，，，，． 2．（25-26七年级上·山东淄博·课后作业）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【答案】A 【详解】解：. 【例2】（26-27七年级上·全国）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 1．（24-25七年级上·四川广元·开学考试）如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、，不符合题意； 、，箭头所指的数可能是算式的积，符合题意； 、中里最小为，则，不符合题意； 、，若里为，则，不符合题意； 2．（2025七年级上·吉林松原）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算．根据有理数的乘法计算法则，即可得到答案． 【详解】解：∵的运算结果为正数， ∴内的数字为负数，故A选项符合题意； 故选：A 3．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要_______元． 【答案】400 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据学生人数，分租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车，3种方案，进行计算，判断即可． 【详解】解：∵学生人数为44人，每辆中巴车限坐21人，每辆小巴车限坐12人， ∴可以租用2辆中巴车，1辆小巴车或租用1辆中巴车，2辆小巴车或租用4辆小巴车， ∴租用2辆中巴车，1辆小巴车，需：（元）； 当租1辆中巴车，2辆小巴车时，需：（元）； 租4辆小巴车时，需：（元）； 故最低费用为：400； 故答案为：400 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【答案】(1)23 (2)与的值不相等． 理由：∵， ∴， 由（1）知， ∵， ∴与的值不相等． 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义计算出的值，然后结合（1）中计算结果判断即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴； （2）略 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 1．（24-25七年级上·广东韶关·期中）若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算，看懂新定义的规则是解答本题的关键． 先根据新定义算出，所以就变成了，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．（2024七年级上 河北·单元测试）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，逐个判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积，进而判断出哪个的值不满足“和谐数组”条件即可． 此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给的值，是否满足三个连续整数的和等于它们的积． 【详解】解：A、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； B、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； C、当时， ， ， ∵ ， ∴满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意； D、当时， ， ， ∵， ∴不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·北京·开学考试）___________．___________． 【答案】 / 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的乘法运算．分别根据绝对值的性质和有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 4．（专题03有理数的乘法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可． 【详解】解： ． 【基础题型三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 【答案】5250 【分析】用运动员总数量乘以女运动员所占的比例，即可求出女运动员的人数． 【详解】解：由题意可得女运动员人数为 （名）． 1．（25-26七年级上·山西长治·课后作业）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算山顶与山脚的海拔差，再根据气温垂直递减规律计算山顶相对山脚的气温下降量，最后根据山顶气温求出山脚气温即可． 【详解】解：∵山脚海拔为，山顶海拔为 ∴山顶与山脚的海拔差为 根据题意，海拔每升高气温下降 ∴山顶相对山脚的气温下降量为 ∵山顶海拔高于山脚，气温比山脚低，且山顶气温为 ∴山脚气温为 ． 2．（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买个足球，选择（   ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买个送个 全场八折 每满元，返还现金元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买个足球的实际支付金额，然后比较即可选择费用最低的商店，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：甲商店：优惠为“买个送个”，购买个需支付元，但实际得到个，因李老师只需个，需按原价支付元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满元返元现金，总金额元中含个完整的元，返现（元），实际支付（元）； ∵， ∴乙商店实际支付金额最少，为元， 故选：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 【答案】200 【分析】列车通过隧道行驶的总路程等于隧道长度与列车车身长度之和，先根据路程等于速度乘时间求出总路程，再减去隧道长度即可得到列车车身长度 【详解】解：列车通过隧道行驶的总路程为（米） 因为列车通过隧道的总路程隧道长度列车车身长度 所以列车车身长为（米） 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． (1)计算说明最终车辆停在哪一站； (2)相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【答案】(1)最终停在老虎滩站 (2)公交车全程行驶的总路程为 【分析】（1）将题干中的数据相加后判断即可； （2）将题干中的数据的绝对值相加，然后乘以即可． 【详解】（1）解：， 答：最终停在老虎滩站； （2）解：行驶的总站数为 ∴总路程为． 【基础题型四 倒数】 【例1】（2026七年级上 四川成都·周测）2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是. 【例2】（2026七年级上 河北唐山·周测）若，则“”表示的数为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列说法正确的有（   ） ①2025的倒数是；②一个有理数，如果不是整数，那么它一定是分数； ③有理数是可以写成分数形式的数；④若有理数的绝对值等于，则是正数； ⑤若，则互为相反数． A．③⑤ B．②③④ C．②③ D．②③⑤ 【答案】C 【分析】本题考查有理数的概念、绝对值、倒数与相反数，属于基础题，掌握这些基础知识是关键；根据这些基础知识判断即可． 【详解】解：①2025的倒数是，原说法错误； ②一个有理数，如果不是整数，那么它一定是分数，说法正确； ③有理数是可以写成分数形式的数，说法正确； ④若有理数的绝对值等于，则是正数或0，原说法错误； ⑤若，则互为相反数；两个数的和为0，则这两个数互为相反数，原说法错误．即正确的有②③两个． 故选：C． 2．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．若为正数，则 B．若，则为正数 C．与在原点左右两侧且关于原点对称 D．若是非正数，则是非负数 【答案】D 【分析】此题考查有理数的倒数、绝对值的性质、互为相反数的几何意义和性质等知识．根据相关知识进行判断即可． 【详解】A、 若为正数，则不一定成立，例如，，则，故选项错误，不符合题意； B、若，则为非负数，故选项错误，不符合题意； C、当时，与在原点左右两侧且关于原点对称，故选项错误，不符合题意； D、若是非正数，则是非负数，故选项正确，符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的加法，根据倒数的定义，先从最小的正整数倒数开始，利用有理数的加法，一次求出正整数的个数即可，熟记倒数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．” 求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．直接利用相反数、绝对值的定义分别得出，，的值，代入原式计算即可． 【详解】解：的相反数是2， ； ，且的绝对值是5， ； 的倒数是， ． 原式 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 【例2】（24-25七年级上·广东潮州·阶段检测）计算：_______ ；_______ ；_______ 【答案】 1 【分析】本题主要考查有理数的运算，运用有理数加减法法则和乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：； ； ． 故答案为：；；1． 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 【答案】B 【分析】本题考查了乘法分配律；公式表示一个数乘以多个数的和，等于这个数分别乘以每个数再相加，这符合乘法分配律的定义． 【详解】解：是乘法分配律的直接应用． 故选：B． 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 利用乘法分配律将36分别与括号内的数相乘，再进行加减运算即可． 【详解】解： ， 故选：． 3．（2023七年级上·浙江·单元测试）计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2)20 (3)10 (4)19 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，，， 故是． 【例2】（25-26七年级上·上海青浦·开学考试）计算：___________． 【答案】 【分析】先将带分数化为假分数，再根据分数除法法则计算，约分后得到结果． 【详解】解：原式 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：， ，均为负数，且， 分子相同的两个负分数，分母的绝对值越大，分数值越大， ∴， 故A选项错误； ， ，均为负数， ∵两个负数相乘结果为正，可得，故B错误； ， ，均为负数，且， ∴，故C错误，D正确． 2．（2026七年级上 江苏徐州·单元测试）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据有理数的除法法则计算即可． 【详解】解：． 3．（26-27七年级上·全国·暑假作业）计算：________． 【答案】6 【详解】解： ． 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【答案】D 【分析】先计算出兑换1支钢笔所需的奖章数，再计算100个奖章可兑换的钢笔数量． 【详解】解：支， 故可以换20支钢笔． 【例2】（2026七年级上 黑龙江佳木斯·周测）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 【答案】6 【详解】解：设工作总量为1，甲队效率为，乙队效率为，则两队合作效率为， 故合作需天． 1．（2026七年级上 江苏淮安·单元测试）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】先假设500只玻璃杯都没有损坏时应得的运费，进而求得损坏的玻璃杯数量． 【详解】解：2角元，8角元， 假设500只玻璃杯都没有损坏，此时应得运费：（元）， （元）， 每损坏一只玻璃杯，少得的费用为运费损失0.2元加上赔偿的0.8元，即：（元）， 损坏的玻璃杯数量：（只）， 故快递公司损坏13只玻璃杯． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】要求准考证号是218号应该在第几考场，就用，如果能整除商是几就在几考场，如果不能整除就在商加1的考场，据此解答即可． 【详解】解：（人）， （考场）． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 【答案】亿元 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据题意列出算式计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：（亿元）， 答：株洲市年地方财政收入约为亿元． 4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一辆汽车经过某山，上山速度为30.5千米/小时，下山速度为50.8千米/小时．已知这辆汽车上山用6小时，下山用4小时，求它上山、下山的平均速度？ 【答案】 38.62千米/小时 【分析】根据路程=速度乘以时间分别算出上山路程和下山路程，再用总路程除以总时间即可得平均速度 【详解】解：由题意知上山路程为：（千米）， 下山路程为：（千米）， 则平均速度为：（千米/时） 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（26-27七年级上·全国·阶段测试）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【详解】解：． 【例2】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）_______． 【答案】 【分析】根据有理数除法法则将除法转化为乘法，再按照从左到右的同级运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（行程问题）一列快车和一列慢车相对而行． 其中快车车长200米，慢车车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是（     ）秒 A．6 B．6.5 C．1 D．7.5 【答案】D 【分析】本题考查行程问题，根据看见哪辆车驶过，就以哪辆车的车长为路程，两车速度之和为速度，利用两车的速度之和不变解题即可． 【详解】两车速度之和：(米/秒)， 坐在快车上看慢车驶过的时间：(秒)， 故选D 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据倒数以及有理数的乘除法法则分别进行分析即可得出答案． 【详解】解：①一个数和它的倒数相等，则这个数是1和-1，共2个，故这个结论错误； ②若，设，则，，所以，故这个结论错误； ③若a＋b＜0，且，则|，，所以|4a＋3b|＝－4a－3b，故这个结论正确； ④若是有理数，当时，；当时，，所以一定是非负数，故这个结论正确； ⑤若c＜0＜a＜b，则，，，所以，(a－b)(b－c)(c－a)＞0，故这个结论正确； 所以，一定正确的有③④⑤，共3个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘除法，倒数，关键是根据它们的性质和法则分别进行解答，注意分类讨论思想的运用． 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘除法的应用，先根据题意得出现在每本读物获利的金额，进而算出每本书售价降价的金额，即可解题． 【详解】解：假设原销售量为本，则降价后销售量为本， 则根据题意可得现在每本书获利（元）， 每本书售价降价（元）； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·重庆·开学考试）． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【基础题型九 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把甲数代入“乙数甲数”中，得： 乙数 乙数 乙数 乙数 乙数． 【例2】（23-24七年级上·湖南张家界·单元测试）若表示，则________． 【答案】312 【分析】根据新定义运算规则，将，代入表达式，再按照有理数混合运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：当，时 ． 1．（24-25七年级上·云南德宏·课后作业）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数混合运算法则计算每个选项的结果，再比较大小，即可得到结果最小的选项． 【详解】解：A、. B、. C、. D、. 又∵ ∴结果最小的是A． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算法则． 根据有理数的运算法则逐一计算后判断即可． 【详解】解：①，①错误； ②，②错误； ③，③错误； ④，④正确； ⑤，⑤正确； 正确的算式是④和⑤， 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北沧州·课后作业）计算：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、乘法分配律的应用以及分数的通分与计算，熟练掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．先利用乘法分配律展开计算，或先计算括号内的加减运算，再与括号外的数相乘，最后根据有理数乘法法则得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（2026七年级上 江苏镇江·周测）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【答案】C 【详解】解：∵ 由题意可知：盈为3不足为4，两次每人出钱数分别为8和7， ∴根据题中给出的算法人数为， ∴物价为． 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·课后作业）2025年4月月，某校七年级举行第八届“校长杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），该校七年级8个班共进行了________场比赛？ 【答案】28 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，在单循环赛制下，比赛总场次等于队伍数n与的乘积除以2是解题的关键． 根据单循环赛制列式计算即可． 【详解】解：∵共有8个班，每两队之间比赛一场， ∴比赛总场次为． 故答案为：28． 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个筑路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米．余下的任务要求3 天完成，平均每天要修多少米？算式是（   ） A． B． C． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，先求出修5天后剩余的公路长度，再除以3即可． 【详解】解：由题意得，． 故选：C． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，推出8年前小明还未出生，进而求出小明的年龄，再根据小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，进行求解即可． 【详解】解：因为岁，， 所以8年前小明未出生， 所以小明的年龄为：岁， 所以爸爸和妈妈的总年龄为岁， 因为爸爸比妈妈大3岁， 所以爸爸的年龄为：岁； 故选B． 3．（25-26七年级上·江苏南通·课后作业）小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为_____厘米． 【答案】26 【分析】本题主要考查的是有理数的运算，熟练掌握长方形的周长公式是解题的关键； 经过平移楼梯模型可变为长方形； 根据长方形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据平移性质，楼梯模型周长等于矩形周长， ∴模型总共用的铁丝长为（）． 故答案为：26． 4．（23-24七年级上·四川泸州·单元测试）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【答案】全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 【详解】解：， （分）， （分）， 答：全班总分是3976分，全班平均分是79.52分． 【基础题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（24-25七年级上·广西柳州·开学考试）由下图可知，下面选项正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的特点进行解答即可． 【详解】解：根据数轴可知，，，故A正确，BCD错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴上点的特点，解题的关键是熟练掌握数轴上的点越向右越大． 【例2】（2026七年级上 陕西西安·周测）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知的大小关系，判断各因式的正负，再利用同号得正，异号得负判断乘积的符号，即可选出正确选项. 【详解】解：∵， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，， 逐个分析选项： 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C成立； 选项D：，D错误. 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数轴上点的位置确定、的正负号及绝对值的大小关系，结合有理数的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∴，故①正确； ，故②正确； ，故③正确； ，故④错误． 综上所述，一定成立的有①②③，共3个． 3．（2026七年级上 山东潍坊·周测）如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【分析】根据数轴中点的定义，由是线段的中点，则点表示的数满足，再结合数轴上数的正负性判断与的大小关系． 【详解】解：， 点是线段的中点， 根据中点公式：， 等式两边同时乘以，得：， 由数轴可知：， ，即． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【答案】(1)， (2) 的相反数是3， 在数轴上表示如下； ； (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，数轴的知识和相反数． （1）利用有理数的大小比较解答； （2）利用数轴知识，相反数的定义解答； （3）利用数轴知识解答． 【详解】（1）解：由数轴知：，， ∴，； 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴点D在数轴上表示的数是． 故答案为：． 【基础题型十二 数轴上的翻折】 【例1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，数轴上两点距离计算，分点A落在线段上和点A落在线段的延长线上，根据折叠后点A到点B的距离为8，求出折叠后点A表示的数，再根据折叠前点A表示的数为，即可求出点C表示的数． 【详解】解：当点A落在线段上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点A落在线段的延长线上时， ∵折叠后点A到点B的距离为8， ∴折叠后点A表示的数为， ∵折叠前点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为5或， 故选：C． 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数，折叠的性质， 先根据点的移动可得点A，B，C，D表示的数，再根据折叠的性质得出答案． 【详解】解；一个点从数轴上的原点开始，向左平移1个单位长度得到点A表示的数是，再向左平移3个单位长度得到点B表示的数是，然后向右平移9个单位长度得到点C表示的数是． 将数轴折叠，使得点A与点C重合，则折痕处的点为线段的中点，为， 所以折痕处的点到点B和点D的距离相等，点D表示的数是． 故答案为：8． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 【答案】C 【分析】点和点4重合的中点是1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到1的距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：折叠后数轴上表示的点与表示4的点重合， 折叠点为和4的中点为1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到1的距离都是4， 当点在中点右侧时，对应的数为， 当点在中点左侧时，对应的数是． 2．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】先确定折叠处（对称中心）表示的数，再根据对称点到对称中心的距离相等计算对应点表示的数． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示的点重合， ∴折叠处（对称中心）表示的数为， ∵表示的点与所求点关于对称， ∴所求点表示的数为． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 【答案】或3/3或 【分析】本题考查数轴对折问题，设点A的对应点为，分点在点B左侧与右侧两种情况，先求出点表示的数，再根据中点公式求出点表示的数． 【详解】解：设点A的对应点为，分两种情况： 当点在点B左侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 当点在点B右侧时，点表示的数为：， 点A表示的数为8， 点表示的数为：； 综上可知，点表示的数为或3， 故答案为：或3． 4．（25-26七年级上·甘肃兰州·课后作业）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【答案】(1)，1 (2)①p的值为1.5；②p的值为0.75或2或3.5 【分析】本题考查了数轴上数的表示，数轴折叠后，折点到对应点的距离相等．关键是分类讨论要全面． （1）最大的负整数是，的相反数是1，据此解答即可； （2）①对折后点A与点C重合，即点到，的距离相等，据此求解即可； ②分三种情况进行分析计算． 【详解】（1）解：a是最大的负整数，b是a的相反数， ∴，； （2）解：①点表示，点表示4，经点对折后点与点重合， 点表示的数为：． ②当对折后点A到B，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点C到A，B距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：； 当对折后点B到A，C距离相等时， 对折后对应的数：， 点表示的数为：． 综上，p的值为或2或． 【提高题型一 有理数乘除法综合应用】 【例1】（2026七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【答案】B 【分析】此题考查用图象表示变量之间的关系，首先根据速度路程时间，分别求出斑马和长颈鹿的奔跑的速度，然后计算即可． 【详解】解：根据题意得：斑马的速度为：（千米/分），长颈鹿的速度为（千米/分）， 故15分钟时斑马和长颈鹿相距：（千米）． 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）一次聚会上有25个人，如果每两个人要握一次手，那么25个人共握手__________次． 【答案】300 【分析】此题考查了握手问题，计算25个人中每两人握一次手的次数，相当于求从25个元素中取2个的组合数，每个人需要与其他24个人握手，但每对握手被计算了两次，因此总握手次数为次． 【详解】解：每个人需要与其他24个人握手， 但每对握手被计算了两次， 因此总握手次数为次． 故答案为：300 1．（25-26七年级上·湖南株洲·课后作业）一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，理解并掌握题干“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，然后即可求解； 本题可逐步计算每次用空瓶换得的汽水数量，再将所有喝到的汽水数量相加，核心是利用“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，逐步兑换直到无法再换为止，然后即可求解； 【详解】解：∵ 初始购买瓶汽水，喝完后有个空瓶， 又∵ 每3个空瓶换1瓶汽水， ∴ 个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完7瓶后有7个空瓶， ∴ 7个空瓶可换汽水：（瓶）（个）空瓶，此时共喝了（瓶），喝完2瓶后有（个）空瓶， ∴ 3个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完1瓶后剩1个空瓶，无法再兑换， ∴ 一共喝了31瓶汽水； 故选：D； 2．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店． 【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）； ， 乙商店实际支付金额最少，为640元， 故选：B． 3．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除运算，熟练掌握运算顺序和运算原则是解题的关键． 先将小数化为分数，带分数化为假分数，再根据有理数乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 4．（26-27七年级上·全国·阶段测试）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可； 根据乘法运算律进行简便运算即可； 先把除法转化为乘法，再根据乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 1．（2026七年级上 浙江温州·周测）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干给出的“同号相乘为正，异号相乘为负”，结合乘任何数都得的性质，判断各选项结果的符号，即可得出答案． 【详解】解：选项A：，0不是负数，不符合要求； 选项B：，结果为正数，不符合要求； 选项C：，同号相乘得正，结果为正数，不符合要求； 选项D： ，异号相乘得负，结果为负数，符合要求． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西晋城·期中）4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘法，正确的推理是解题的关键． 根据有理数乘法法则，多个非零有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定：若负因数个数为奇数，则积为负数；若负因数个数为偶数，则积为正数。本题中积为负数，故负因数个数必为奇数． 【详解】∵ 4个非零有理数相乘，积为负数， ∴ 负因数的个数为奇数（即1或3）， 选项A：2个负数，负因数个数为偶数（2），积应为正数，不符合； 选项B：3个负数，负因数个数为奇数（3），积为负数，符合； 选项C：4个负数，负因数个数为偶数（4），积应为正数，不符合； 选项D：0个负数，负因数个数为偶数（0），积应为正数，不符合． 故选：B． 3．（25-26七年级上·北京海淀·课后作业）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 【答案】A 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，用总人数乘以少数民族学生所占的比例即可求出人数． 【详解】∵总人数为320名，少数民族学生人数占总人数的， ∴少数民族学生人数为=120（名）． ∴故选：A． 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 【答案】C 【分析】根据负数的定义，倒数的性质，有理数的性质判断解答即可． 本题考查了负数，倒数，有理数，正确理解定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A. 不一定是负数，错误，不符合题意； B. 每一个有理数都可以在数轴上表示出来，错误，不符合题意； C. 小于的数的倒数一定大于其本身，正确，符合题意， D. 一个数的倒数可能等于它本身，如1的倒数是1，的倒数为，错误，不符合题意 故选：C． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分数与小数的四则运算及数的大小比较，依次计算各选项的运算结果，将结果与1比较大小即可得到答案． 【详解】解：选项A：，， A不符合要求， 选项B：，， B不符合要求， 选项C：， ，， C符合要求， 选项D：，， D不符合要求． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙都要给丙24元，每千克苹果（   ）元． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查有理数混合运算的应用． 假设每个人的苹果同样多，可得丙少拿的苹果重量，用钱数除以对应的重量即可得每千克苹果的价格． 【详解】解： 丙比平均应得份数少拿的重量为：（千克）， 丙得到的总钱数为：（元）， 每千克苹果的价格为：（元）， 故选：B． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）等式中，表示的数为（    ） A．1 B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设方框内的数为，根据有理数混合运算即可求解． 【详解】解：设方框内的数为，则原等式为： 整理得， 所以 解得： 因此，方框内的数为， 故选：D. 8．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用数轴比较大小，有理数的运算等知识， 根据数轴及有理数的运算法则判断式子的正负即可． 【详解】解：由数轴可知：， ，，，， 故选：A． 9．（25-26七年级上·广东汕头·课后作业）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的数．先根据两点间的距离公式求出点的对应点表示的数，再利用中点公式求出点表示的数即可解答． 【详解】解：设点表示的数为，点对折后的落点为， 点、表示的数分别是，，点落在点的右侧且到点的距离为， 点落在的位置表示的数为， 点表示的数为， ， ， 解得， 点表示的数是， 故选：． 10．（24-25七年级上·贵州安顺·课后作业）下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵一个数和它的倒数相等，则这个数是， ∴①错误； ∵， ∴， ∴②错误； ∵，且， ∴，同号，且都为负数，即，， ∴， ∴， ∴③正确； 当时，， 当时，， ∴一定是非负数， ∴④正确； ∵， ∴，，， ∴， ∴⑤正确； 综上，正确的结论共有个． 11．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉有5张写着不同数的卡片，从中抽出3张卡片，将卡片上的数相乘，使所得到的积最大，最大的积是_____． 【答案】105 【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘的法则计算即可． 本题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：105． 12．（25-26七年级上·福建福州·期中）若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为_____ 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数的定义，解题的关键是利用“互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1”的性质代入计算． 根据相反数定义得，根据倒数定义得，将其代入式子计算即可． 【详解】解：根据题意，和互为相反数， ；和互为倒数， ． ． 故答案为：． 13．（23-24七年级上·福建宁德·单元测试）______． 【答案】 【分析】令，，则，将所求式子进行变形，计算即可得出结果． 【详解】解：令，，则， ∴ ． 14．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 【答案】 【分析】题主要考查了九宫格和有理数的运算，求出每行、每列、每条斜对角线上的个数和为是关键．设左下角的数字为，右下角的数字为，先求出每行、每列、每条斜对角线上的3个数和为-3，再根据和不变依次求出、、即可． 【详解】解：如图，设左下角的数字为，右下角的数字为， 由条件可知每行、每列、每条斜对角线上的个数和， ， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 16．（26-27七年级上·全国·阶段测试）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将分数化为小数，再逆用乘法的分配律即可； （2）将小数统一化为分数，再将同分母结合即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； 17．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 18．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可求解； 根据题意列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解； 分点在点左侧时和点在点右侧时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为表示的数为，表示的数为， 所以、两点间的距离是， 故答案为：； （2）解：因为把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位， 所以此时点表示的数是， 故答案为：； （3）解：当点在点左侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 当点在点右侧时，则对折后点表示为， 所以折点表示的数为， 故答案为：或． 19．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 【答案】(1)， (2) (3)①，，，，②139 【分析】（1）根据绝对值的定义求出各数的绝对值再求和； （2）①依据倒数和相反数的定义求出a，b，c，d的值； ②可按照先算括号内再算乘法的顺序，也可利用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：， ． ∴卡片A与卡片B的差为，卡片B与卡片D的商为． （2）解：， ∴四张卡片上数的绝对值的和为． （3）解：①∵卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片A为，卡片B为15， ∴，， 又∵卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d，卡片C为，卡片D为， ∴，． ② ； ． 20．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 【答案】(1)；； (2) 前五天这个盲盒的售价总计不足元 (3) 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元 【分析】（1）根据以每个25元为标准价格，通过表格直接计算每天的商品售价，并比较确定单价最高的天数； （2）计算每天售价偏差带来的总金额变化：每天偏差当天销量，将5天的金额变化相加，结果为负表示不足标准总价； （3）计算总进价：进价总销量，计算总售价：标准价总销量偏差总和，总利润：总售价总进价． 【详解】（1）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， ，， 单价最高的是第天，最高单价为元/个，最高单价比最低单价多元/个； （2）解：第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， 第天：（元）， （元）， 前五天这个盲盒的售价总计不足元． （3）解：总进价：（元）， 总售价：（元）， 总利润：（元）， 前五天该店出售这批盲盒的总利润为元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘法与除法重难点题型专训 （4个知识点+12大基础题型+1大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 4 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 4 【基础题型三 多个有理数的乘法运算】 6 【基础题型四 倒数】 7 【基础题型五 有理数乘法运算律】 8 【基础题型六 有理数的除法运算】 9 【基础题型七 有理数除法的应用】 9 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 10 【基础题型九 有理数四则混合运算】 11 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 12 【基础题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 13 【基础题型十二 数轴上的翻折】 15 第二部分·练提高题型 【提高题型一 有理数乘除法综合应用】 16 第三部分・自我检测 知识点01 有理数乘法法则 1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积． 2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0． 3. 有理数乘法法则也可以表示如下： 设a，b为正有理数，c为任意有理数，则 ； ，； ，． 【即时训练】 1．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段检测）整数a、b满足：且，有以下判断：①a、b中没有正数；②a、b中没有负数；③a、b中至多一个正数；④a、b中至少一个正数，其中，正确判断的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·四川泸州·课后作业）________；________；________． 知识点02 倒数的概念与求法 1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则． 2. 倒数的求法 类型 方法 真、假分数的倒数 将分子分母交换位置 非0整数的倒数 整数作分母，1作分子 小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数 对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行 带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置 【即时训练】 1．（25-26七年级上·山东烟台·课后作业）某AI智能系统在处理数据时，需对数据依次执行：①求绝对值；②求倒数，则依次得到的结果是（    ） A．3， B．3， C．， D．， 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）请你列举两个有理数，使它们的积为1．_____________． 知识点03 有理数的乘法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 【即时训练】 1．（26-27七年级上·上海金山·开学考试）（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·全国·阶段测试）用简便方法计算： （1）____． （2）_______． 知识点04 多个有理数相乘的符号法则 1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是 2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0． 3. 有理数除法法则 （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即． （2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则． （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0． 4. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用 （1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便． （2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算． 有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果． 5.有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算． 【即时训练】 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）已知，，，，则（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．（25-26七年级上·山东淄博·课后作业）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【基础题型一 两个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·浙江温州）计算：的结果是（     ） A． B．12 C． D．1 【例2】（26-27七年级上·全国）计算： ______． 1．（24-25七年级上·四川广元·开学考试）如图中箭头所指的数，可能是算式（   ）的积 A． B． C． D． 2．（2025七年级上·吉林松原）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级上·湖北武汉·开学考试）有44名学生要租车去春游，每辆中巴车限坐21人，租金160元；每辆小巴车限坐12人，租金120元，租车最便宜需要_______元． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）规定一种新运算“※”如下：．如：．根据此规定解答下列两题： (1)求的值； (2)与的值相等吗？请计算说明． 【基础题型二 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【例2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）________； 1．（24-25七年级上·广东韶关·期中）若定义新运算：，请利用此定义计算：___________． A． B． C． D． 2．（2024七年级上 河北·单元测试）如果三个连续整数n、、的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（    ） A． B． C．1 D．3 3．（25-26七年级上·北京·开学考试）___________．___________． 4．（专题03有理数的乘法（计算题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册）计算：． 【基础题型三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·课后作业）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段检测）2024年巴黎奥运会，真正体现了性别平等在体育领域的深入推进，共有运动员名，女运动员数量占运动员总数量的，女运动员有( )名． 1．（25-26七年级上·山西长治·课后作业）地理课上，我们学习了对流层气温垂直递减率：在海拔以下，海拔每升高，气温约下降．长治市太行山大峡谷八泉峡景区山脚海拔，山顶海拔．若某天景区山顶的气温为，则当天山脚的气温为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买个足球，选择（   ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买个送个 全场八折 每满元，返还现金元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 3．（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）一列特快列车以每分钟500米的速度通过800米的隧道，用了2分钟，特快列车的车身长______米． 4．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连市内一趟观光环线公交，从老虎滩站出发，规定向东为正，向西为负，乘车站数记录如下： ，，，，，，，． (1)计算说明最终车辆停在哪一站； (2)相邻两站平均距离，求公交车全程行驶的总路程． 【基础题型四 倒数】 【例1】（2026七年级上 四川成都·周测）2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（   ） A．12 B． C． D． 【例2】（2026七年级上 河北唐山·周测）若，则“”表示的数为________． 1．（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）下列说法正确的有（   ） ①2025的倒数是；②一个有理数，如果不是整数，那么它一定是分数； ③有理数是可以写成分数形式的数；④若有理数的绝对值等于，则是正数； ⑤若，则互为相反数． A．③⑤ B．②③④ C．②③ D．②③⑤ 2．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）下列关于有理数的说法正确的是（   ） A．若为正数，则 B．若，则为正数 C．与在原点左右两侧且关于原点对称 D．若是非正数，则是非负数 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若个互不相等的正整数的倒数和等于，那么的最小值为______． 4．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）请根据对话，解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是． 我告诉你：“的相反数是2，，且的绝对值是5，的倒数是．” 求式子的值． 【基础题型五 有理数乘法运算律】 【例1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·广东潮州·阶段检测）计算：_______ ；_______ ；_______ 1．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）公式的运算依据是（） A．乘法结合律 B．乘法分配律 C．积的乘方法则 D．同底数幂的乘法法则 2．（25-26七年级上·广东湛江·期中）计算：的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2023七年级上·浙江·单元测试）计算的结果是________． 4．（25-26七年级上·上海嘉定·开学考试）怎样算简便就怎样算． (1) (2) (3) (4) 【基础题型六 有理数的除法运算】 【例1】（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）计算得，则是（     ） A．2 B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·上海青浦·开学考试）计算：___________． 1．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）如果，那么下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026七年级上 江苏徐州·单元测试）计算的结果等于（     ） A．7 B． C． D．6 3．（26-27七年级上·全国·暑假作业）计算：________． 4．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）用简便方法计算：． 【基础题型七 有理数除法的应用】 【例1】（25-26七年级上·黑龙江大庆·期中）先锋小学开展奖章兑换活动，20个奖章可以换4支钢笔，笑笑有100个奖章，可以换（   ）支钢笔 A．40 B．5 C．10 D．20 【例2】（2026七年级上 黑龙江佳木斯·周测）龙东地区推进老旧小区改造，某小区计划铺设健身步道，若甲工程队单独铺设需10天完成，乙工程队单独铺设需15天完成，两队合作铺设需________天完成． 1．（2026七年级上 江苏淮安·单元测试）快递公司为客户运送500只玻璃杯．为保护客户权益，双方商定运送协议：每只玻璃杯运费是2角钱，如果快递公司损坏一只玻璃杯，不但得不到运费，还要给客户赔偿一只玻璃杯8角钱．如果快递公司共得运费87元，请问快递公司损坏（     ）只玻璃杯． A．10 B．11 C．12 D．13 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）毕业考试的考场按学生的准考证号码编排．每30人一个考场，即号在第1考场，号在第2考场，依次类推，奇思同学的准考证号是218号，他应该在第（    ）考场． A．6 B．7 C．8 D．9 3．（24-25七年级上·湖南株洲·开学考试）据有关资料统计，株洲市年地方财政收入约亿元，在湖南省的财政收入增速排名中排第六位，株洲市年地方财政收入相比年地方财政收入约增长了，请你计算一下株洲市年地方财政收入约为多少亿元？ 4．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）一辆汽车经过某山，上山速度为30.5千米/小时，下山速度为50.8千米/小时．已知这辆汽车上山用6小时，下山用4小时，求它上山、下山的平均速度？ 【基础题型八 有理数乘除混合运算】 【例1】（26-27七年级上·全国·阶段测试）（     ） A．2 B． C．1 D．4 【例2】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）_______． 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（行程问题）一列快车和一列慢车相对而行． 其中快车车长200米，慢车车长250米，坐在慢车上的旅客看到快车驶过其所在窗口的时间是6秒，坐在快车上的旅客看到慢车驶过其所在窗口的时间是（     ）秒 A．6 B．6.5 C．1 D．7.5 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若，则；③若a＋b＜0，且，则|4a＋3b|＝－4a－3b；④若是有理数，则一定是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则(a－b)(b－c)(c－a)＞0；其中一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）某种少年读物，如果按照原价格销售，每销售一本获利元，现在降价销售，结果销售量增加一倍，获利增加倍，则每本书售价降价_______元． 4．（25-26七年级上·重庆·开学考试）． 【基础题型九 有理数四则混合运算】 【例1】（26-27七年级上·浙江·开学考试）甲数是a，比乙数的3倍多b，求乙数，正确的列式是（     ）． A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·湖南张家界·单元测试）若表示，则________． 1．（24-25七年级上·云南德宏·课后作业）下列运算，结果最小的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东东营·期中）有下列四个算式：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A．①②⑤ B．①②③ C．④⑤ D．③④ 3．（25-26七年级上·河北沧州·课后作业）计算：_____． 4．（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）简便运算： (1)． (2)； (3)． 【基础题型十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（2026七年级上 江苏镇江·周测）《九章算术》中对于“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何?”给出了“盈不足”的算法：将盈和不足的数值相加作为被除数，人出钱数的差作为除数，所得结果就是人数．则该问题中，物价是（   ） A．41 B．45 C．53 D．59 【例2】（25-26七年级上·四川绵阳·课后作业）2025年4月月，某校七年级举行第八届“校长杯”篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），该校七年级8个班共进行了________场比赛？ 1．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）一个筑路队要筑一条长2100米的公路，前5天平均每天修240米．余下的任务要求3 天完成，平均每天要修多少米？算式是（   ） A． B． C． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·开学考试）小明一家共有三口人，小明的爸爸比妈妈大3岁，今年小明全家人的年龄总和为71岁，8年前全家人的年龄总和为49岁．小明的爸爸今年（　　）岁 A．33 B．34 C．36 D．40 3．（25-26七年级上·江苏南通·课后作业）小明用铁丝制作了如图所示的楼梯模型，则模型总共用的铁丝长为_____厘米． 4．（23-24七年级上·四川泸州·单元测试）某班50人在一次考试后进行成绩统计：每人以80分为准，超过的分数记作正数，不足的分数记为负数（记录如下）．问全班总分是多少？全班平均分是多少分？ 记录的分数 人数 15 14 6 1 12 2 【基础题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（24-25七年级上·广西柳州·开学考试）由下图可知，下面选项正确的是（ ）． A． B． C． D． 【例2】（2026七年级上 陕西西安·周测）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上三点对应的数为，满足，下列式子成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东东莞·期中）有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（     ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2026七年级上 山东潍坊·周测）如图，数轴上点，，表示的数分别是，，，且，则________（填“，或”）． 4．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）已知A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，它们表示的数分别是a，b，c，且． (1)比较：　　0，　　0；（填“”或“”） (2)在数轴上标出的相反数和； (3)点D从点A出发，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，此时点D在数轴上表示的数是　　 ． 【基础题型十二 数轴上的翻折】 【例1】（25-26七年级上·广东广州·期中）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，20，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是（   ） A．3 B．5 C．5或 D．或3 【例2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1个单位长度到达点，再向左移动3个单位长度到达点，然后再向右移动9个单位长度到达点．已知数轴上一点，当将数轴折叠，使得点与点重合时，点恰好与点重合，则点表示的数为_______． 1．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）小张在纸上画了一条数轴，如图，折叠纸面，使数轴上表示与表示4的点重合，若该数轴上A、B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则A点表示的数是（     ） A． B． C．或5 D．或3 2．（25-26七年级上·山东日照·阶段检测）小亮在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示的点重合，则表示的点与表示（    ）的点重合 A．10 B． C．0 D． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上、两点表示的数分别为8、，在、之间取一点，将数轴沿点向左对折，点的对应点落在射线上，该对应点与点的距离是4，则点表示的数为_____． 4．（25-26七年级上·甘肃兰州·课后作业）如图1，在数轴上点A，B，C从左到右依次排列，有理数a，b，c所对应的点分别为点A，B，C．已知a是最大的负整数，b是a的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________； (2)如图2，P为数轴上一动点，点P表示的数为p，现以P为折点，将数轴向右对折．（点P在点A的右侧，与点B，C的相对位置不固定） ①若对折后点A与点C重合，求此时p的值； ②若对折后A，B，C三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时p的值． 【提高题型一 有理数乘除法综合应用】 【例1】（2026七年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）斑马和长颈鹿的奔跑情况如图所示，15分钟时斑马和长颈鹿相距（   ）千米． A．6.6 B．6 C．6.5 D．6.8 【例2】（25-26七年级上·山东青岛·阶段检测）一次聚会上有25个人，如果每两个人要握一次手，那么25个人共握手__________次． 1．（25-26七年级上·湖南株洲·课后作业）一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（  ）瓶汽水． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． 商店 甲 乙 丙 优惠方式 买10个送1个 全场八折 每满100元，返还现金15元 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 3．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）计算：______． 4．（26-27七年级上·全国·阶段测试）运用你学过的运算律、规律、性质等使计算简便，写出主要过程． (1)； (2)； (3)． 1．（2026七年级上 浙江温州·周测）元代《算学启蒙》中记载：“同号相乘为正，异号相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋城·期中）4个均不为0的有理数相乘，积为负数．下列关于这4个有理数的描述，可能正确的是（　　） A．2个正数，2个负数 B．1个正数，3个负数 C．都是负数 D．都是正数 3．（25-26七年级上·北京海淀·课后作业）中央民族大学附属中学开展民族团结主题活动，七年级共有320名学生参与，其中少数民族学生人数占总人数的，则少数民族学生人数为（   ） A．120 B．160 C．200 D．240 4．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．不是每一个有理数都可以在数轴上表示出来 C．小于的数的倒数一定大于其本身 D．一个数的倒数不可能等于它本身 5．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）运算结果大于1的选项是（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲乙都比丙多拿24千克，甲和乙都要给丙24元，每千克苹果（   ）元． A．4 B．3 C．2 D．1 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）等式中，表示的数为（    ） A．1 B． C．3 D．0 8．（25-26七年级上·福建厦门·阶段检测）数轴上A，B，C，D，E五个点所对应的数分别为a，b，c，d，e，则下列代数式为负数的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·广东汕头·课后作业）如图，数轴上有点、、，点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在点的右侧且到点的距离为，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 10．（24-25七年级上·贵州安顺·课后作业）下列结论： ①一个数和它的倒数相等，则这个数是和；②若，则；③若，且，则；④若是有理数，则是非负数；⑤若，则；其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．（25-26七年级上·河北廊坊·期中）如图，嘉嘉有5张写着不同数的卡片，从中抽出3张卡片，将卡片上的数相乘，使所得到的积最大，最大的积是_____． 12．（25-26七年级上·福建福州·期中）若m和n互为相反数，p和q互为倒数，则的值为_____ 13．（23-24七年级上·福建宁德·单元测试）______． 14．（24-25七年级上·全国·期中）将，，，，，，，填入九宫格内，如图所示的处应填_____． 15．（24-25七年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 16．（26-27七年级上·全国·阶段测试）用简便方法计算： (1) (2) 17．（24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测）计算． (1) (2) (3) (4) 18．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）如图，、两点在数轴上，表示的数为，表示的数为． (1)、两点间的距离是______． (2)若把点先向右移动个单位，再向左移动个单位，然后又向左移动个单位，此时点表示的数是______； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，若点和点之间的距离是，则点表示的数是______． 19．（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）综合与实践 问题情境：下列A、B、C、D四张卡片上各写有一个数（每张卡片除正面数字不同外其余均相同，下列问题中出现的计算均默认为卡片上的数字）： (1)求卡片A与卡片B的差，卡片B与卡片D的商． (2)求四张卡片上数的绝对值的和． (3)聪明的小涵提出了这样一个问题： 已知卡片A和卡片B的倒数分别是a和b，卡片C的相反数是c，卡片D相反数的倒数为d． ①求a，b，c，d的值； ②在计算时有两种方法：一是先算括号里，再算乘法；二是利用乘法分配律求原式的结果． 请你选择其中一种方法求式子的值． 20．（25-26七年级上·陕西商洛·阶段检测）盲盒是指消费者无法提前得知具体产品款式的包装商品，受到年轻消费者的青睐．某商店购进一批盲盒，进价为每个元；为合理定价，前五天试行机动价格，售出时以每个元为标准价格，超出元的部分记为正，不足元的部分记为负，该店记录的前五天盲盒的售价与标准价的差值和售出数量（共计个）如下表所示： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价相对于标准价（元/个） 售出数量（个） 20 35 10 15 5 (1)该店前五天出售的这批盲盒中，单价最高的是第________天，最高单价为________元/个，最高单价比最低单价多________元/个； (2)以标准价格为准，前五天这个盲盒的售价总计超过或不足多少元？ (3)不考虑其他成本，求出前五天该店出售这批盲盒的总利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $