专题06 有理数的乘方9大题型（重难点讲义）数学新教材苏科版七年级上册

本讲义聚焦有理数的乘方核心知识点，系统梳理乘方的意义（底数、指数、幂的概念及(-a)ⁿ与-aⁿ的辨析）、运算（符号法则与基础计算）、科学记数法（表示与还原），构建从概念理解到运算技能再到实际应用的学习支架。 资料通过典例+变式+巩固训练的分层题型设计，以概念辨析题培养抽象能力（符号意识），规律探究题（如幂的个位数字循环）发展推理意识，实际应用题（二维码、结绳计数）强化数学眼光观察现实世界，助力教师课中分层教学，学生课后查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

专题06 有理数的乘方 1. 理解乘方相关概念，分清底数、指数，辨析(-a)n与-an的意义，准确进行乘方基础运算。 2. 掌握乘方符号法则，能快速判断幂的正负，熟练完成含乘方的基础计算题。 3. 理解科学记数法形式，明确a的取值范围，能把大数正确写成科学记数法。 4. 会还原科学记数法表示的数，区分原数位数与 10 的指数，避免指数书写出错。 5. 掌握含乘方与科学记数法的综合题型，规范步骤，能处理简单实际应用问题。 一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 题型01有理数幂的概念理解 【典例】表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方，相反数的意义解答即可． 本题考查了乘方，相反数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的相反数， 故选：A． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，分别根据乘方和乘法的意义求解．找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 【变式2】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 【变式3】大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了数字类规律探究，乘方的意义．根据乘方的意义可判断①②③，探究规律可判断④． 【详解】解：①2200就是200个2相乘，故①正确； ②，故②不正确； ③，故③不正确； ④，个数数字是2， ，个数数字是4， ，个数数字是8， ，个数数字是6， ，个数数字是2， ，个数数字是4， ……， 以此类推，可知，，， ⋯，这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现， ∵， ∴的个位数字是6，故④不正确． 故答案为：①④． 题型02有理数的乘方运算 【典例】若，，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、平方的定义，根据绝对值和平方的性质，确定和的可能值，再结合同号条件筛选，最后求和. 【详解】解：， 或， ， 或， ， 和同号， 当，时，； 当，时，. 【变式1】若与互为相反数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数，非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键．根据相反数的定义列式，再根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：1． 【变式2】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式3】计算并认真观察： (1)计算： ； ； ； ． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想： （是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】本题考查数与式的变化规律，有理数的乘方运算，根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． （1）通过计算得出结论；通过计算得出结论． （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论． （3）根据发现的规律与猜想进行计算． 【详解】（1）解：；； ；． 故答案为：；；；． （2）解：根据以上两组计算结果的规律，猜想：（是正整数）； 故答案为：． （3）解： ． 题型03有理数乘方运算的逆运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算以及有理数乘方逆运算，解题的关键是熟练运用运算律和乘方逆运算法则． （1）利用加法结合律，将同分母的分数结合起来进行计算； （2）利用有理数乘方逆运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 【变式2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 【变式3】根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2）解：由（1）的结论可得：． 题型04乘方运算的符号规律 【典例】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据乘方法则计算各数，根据有理数大小比较的法则比较即可． 本题考查的是有理数的大小比较、有理数的乘方，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ． 故选：B． 【变式2】有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数）______，______． 【答案】 （或） 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【详解】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 故答案为：；． 【变式3】先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 【答案】(1)相等 (2) (3)5 【分析】本题考查有理数的乘方， （1）根据乘方的定义分别计算可得； （2）根据（1）中计算结果可得； （3）根据所得结论计算可得． 【详解】（1）解：① ，，则； ② ，，则； 即每组两个算式的结果相等 （2）解：； （3）解：． 题型05乘方的应用 【典例】（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 【答案】（1）①，；②，，；（2）①两，②三；（3）①，② 【分析】本题考查的是有理数的乘方，通过观察底数与幂的小数点移动规律是解题的关键． （1）直接利用有理数的乘方运算法则计算即可； （2）观察 “底数的小数点移动位数” 与 “幂的小数点移动位数” 的对应关系，总结规律； （3）运用（2）中总结的规律计算即可． 【详解】解：（1）①已知，则，； ②已知，则，，； 故答案为：①，；②，，； （2）①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动两位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动三位； 故答案为：①两，②三； （3）①已知，则； ②已知，则． 故答案为：①，②． 【变式1】二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； (2)若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； (3)除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 【答案】(1)10101,21 (2) 小亮的准考证号为：2921051510， 根据图3可知二进制数分别为： ； ；； ； ， 补充完整如图所示： (3)①1423 ②570 【分析】本题主要考查了代数式表示，数字变化规律， 对于（1），根据二进制的表示方法“黑色代表1，白色代表0”解答，再根据转化十进制的例子解答； 对于（2），分别将二进制写成十进制，再根据不符合情况推理得出答案； 对于（3），①由题意得，再计算可得答案； ②分别用376除以8根据余数得出答案． 【详解】（1）解：第四行代表二进制的数字是； 故答案为：； （2）解：略； （3）解：①； ②余0 余7， 余5， 从下向上写出答案570． 故答案为：570． 【变式2】综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； （，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转换十进制数为：． 素材2 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：         解决问题 任务1 （1）利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换： ①把二进制数转换成十进制数； ②把十进制数15转换成二进制数； （2）现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明． 任务2 （3）受任务1的启发，你认为如何将一个二进制数转换为五进制数呢？请尝试解决． 任务3 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，你能帮忙计算孩子自出生后的天数吗？    【答案】任务1：（1）①6；②；（2）；任务2：（3）；任务3：42 【分析】本题考查了进制转换和有理数的乘方运算，理解题意是解决本题的关键． 任务1：（1）①根据素材1即可求解；②根据素材2即可求解； （2）将a和b都转换为十进制即可判断； 任务2：先转化为十进制，再转化为五进制即可求解； 任务3：根据题意和图可得，从右到左绳子的结数对应五进制的个位、位、位，结数为个位、个位、个个位，进而即可求解． 【详解】解：任务1：（1）①根据素材1可得， ； ②根据素材2可得，余， 余， 余， 余， ∴逆序排列余数得：； （2）由题意得， ， ， ∵， ∴； 任务2：先将二进制转化为十进制： ， 再将十进制转五进制：余， 余， 余， ∴逆序排列余数得： 任务3：由题意可得，从右到左绳子的结数对应五进制的个位、位、位， 由图可得，结数为个位、个位、个个位， ∴五进制数为， 则转换为十进制为： （天）． 【变式3】阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘方的应用，掌握“错位相减法”是解题关键． （1）仿造例题，设，则，作差求解即可； （2）仿造例题，设，则，作差求解即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② 得，则． （2）解：设，① 则，② 得， 则． 题型06用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 【变式1】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【分析】用全国互联网业务总收入乘以京津冀地区收入占比，再将结果整理为标准科学记数法形式即可得到答案． 【详解】解：∵全国总收入为 亿元，京津冀地区收入占比为 ， ∴京津冀地区收入为：（亿元）． 【变式2】2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法．将的结果用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，亿， 则 即这个数据用科学记数法可以表示约为． 【变式3】目前，我国森林总面积约为亩，其中数据用科学记数法表示为___________． 【答案】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为原数的位数减一． 【详解】解：． 题型07将用科学记数法表示的数变回原数 【典例】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【答案】C 【分析】先根据路程公式计算总路程的取值范围，再结合科学记数法的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：首先单位换算，1小时=3600秒， ∴总路程， 又∵， ∴， 用科学记数法表示为， 选项A：科学记数法表示为“”时，，，不符合科学记数法对的要求，A错误； 选项B：若，则，科学记数法为，不是正整数，B错误； 选项C：，因此只能为4或5，C正确； 选项D：取，得，原数中0的个数为0，D错误， 故选：C． 【变式1】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【答案】C 【分析】根据科学记数法的意义解答即可． 本题考查了科学记数法，熟练掌握意义是解题的关键． 【详解】解：A． 航天器速度原数是（米/秒），故选项错误，不符合题意； B． 的原数为末尾有6个0，故选项错误，不符合题意； C． 根据题意，千米=米，航天器飞完这段距离需秒，故选项正确，符合题意； D． 小数点左移2位，结果为，不是向右，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【答案】7 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，把写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得． 【详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【变式3】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 【答案】5280 【分析】科学记数法的标准形式为a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），本题数据“”中的a=5.28，指数n等于3，所以，需要把5.28的小数点向右移动3位，就得到原数了． 【详解】=， 故答案为：5280． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 题型08有理数乘方运算的规律题 【典例】观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【答案】 11 15 【分析】此题主要考查了含乘方的数字变化规律，得出数字之间的运算规律是解题关键． （1）根据所给等式两边数字变化规律可得答案； （2）根据所给等式两边数字变化规律列出等式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … 故，， 故答案为：11，15； （2）第n个等式为； 故答案为：． 【变式1】观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是________． 【答案】1. 【分析】根据题意可得出尾数每4个一循环，进而求出答案. 【详解】，，，，，,… 尾数每4个一循环，3，9，7，1， ， 的个位数字是：1. 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出数字变化规律是解题关键. 【变式2】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【答案】(1)4，2、4、8、6，8 (2)7 (3)6 【分析】本题考查了数字型规律，有理数的乘方，解题的关键是： （1）根据已知算式的结果，直接归纳即可，再根据所得规律，计算2023除以4的余数，得到结果； （2）仿照（1）中找到规律，再计算2023除以4的余数，得到结果； （3）分别求出，，，，，找到规律，同法求出结果． 【详解】（1）解：发现的个位数字是由4种数字组成， 分别是2，4，8，6，共4个为一循环， ， ∴的个位数字是8， 故答案为：4，2、4、8、6，8； （2） 可得：个位数字分别是3，9，7，1，共4个为一循环， 而， ∴的个位数字是7； （3），，，，，…， 个位数字分别是2，2，6，0，共4个为一循环， ， ∴的结果的个位数字是6． 故答案为：6． 【变式3】阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)55 (2) (3)780 【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）原式利用得出的规律计算即可求出值． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型09有理数乘方运算的新定义问题 【典例】对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 【答案】81 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，循环体，解题的关键是通过计算前面几项，发现出循环体，利用规律进行求解． 【详解】解：由定义得：， ∴，， ，， ，， ，…… ∴每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：81． 【变式1】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方的应用；根据对方运算的定义，分别求和的值，再计算它们的和． 【详解】解：因为，所以； 因为，所以； 因此． 故答案为：6． 【变式2】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2)2 (3)或4或7或8或10 【分析】本题考查新定义的运算，有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，可得与不可能异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 【变式3】定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【答案】(1)得正，得负，相加，绝对值 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算以及化简绝对值，乘方运算，有理数的加法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据新定义的内容，即可作答． （2）结合新定义的运算法则，即可作答． （3）先由，，得，因为，所以或，再代入，然后结合新定义运算法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的绝对值； 故答案为：得正，得负，相加，绝对值； （2）解：依题意，：， ； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴或， 则或． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先化简每个给出的数，再将化简后的数按从大到小排序，即可得到正确选项． 【详解】解：，，，， 将所有数从大到小排序得：， 即． 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平方根和绝对值的性质，得到和的所有可能取值，再结合确定和异号，分情况计算的值即可． 【详解】解：∵，∴或， ∵，∴或， 又∵， ∴与异号， 分两种情况计算： ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； ∴的值为或． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则与积的乘方逆运算，将高次幂拆分为同指数幂，进行凑整计算是解题关键． 先把拆成，再把和合并为，最后算出结果． 【详解】解：原式 ， ． 故选：． 4．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 【答案】B 【分析】本题考查进位制的转换，解题的关键在于理解满七进一的计数规则． 将结绳计数的结果转换为十进制数，进行求解即可． 【详解】解：从右到左，第一位的权重是1，第二位的权重是，第三位的权重是，第四位的权重是， 最右边第一位有5个结，其对应的数值为， 第二位有个结，其对应的数值为， 第三位有0个结，其对应的数值为0， 第四位有个结，其对应的数值为， 将每一位对应的数值相加，可得孩子自出生后的天数为． 故选：B． 5．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了代数式求值，乘方的规律，熟练计算是解题的关键． 根据题意可得和互为相反数，再利用有理数的乘方法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 即， 则， ∴， 故答案为：0． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，，，的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值、平方根、整式的运算，掌握相关知识是解题的关键． 由绝对值和平方根的定义求出x和y的可能值，再根据乘积为负确定符号关系，最后分情况求和即可． 【详解】解：由，得或， 由，得或， 因为，所以x与y异号， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏南通·期中）进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 【答案】 【分析】本题考查了将十进制数转换为二进制数． 将十进制数转换为二进制数，采用除2取余法，即将十进制数连续除以2，记录每次的余数，直到商为0，然后将余数逆序排列，得到二进制表示． 【详解】解： 将余数从下往上排列，得到二进制数． 故答案为：． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正整数a和b中，设个位数字记作，则__________． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的乘方，数的乘方的个位数规律，找到个位数的周期是解题的关键． 通过7的乘方计算，发现个位数为7的数的乘方，个位数字回到7的周期为4，即可解答． 【详解】解：∵的个位数字为7， 的个位数字为9， 的个位数字为3， 的个位数字为1， 的个位数字为7， ∴个位数为7的数的乘方，个位数字回到7的周期为4． ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，为3， 即． 故答案为：3． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【分析】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法表示方法是解题的关键； 指把一个大于(或者小于1)的整数记为“”的形式，其中，为整数； 根据科学记数法的表示方法即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）是最小的正整数，是最大的负整数．的相反数仍然为是倒数等于本身的数． (1)填空：_______，_______，_______，_______； (2)试求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的分类，相反数，绝对值的定义，代数式的求值，熟练掌握有理数的分类和绝对值的性质是解题的关键． （1）首先依据实数的分类以及绝对值的性质求得的值； （2）接下来，将的值代入求解即可． 【详解】（1）解：是最小的正整数，是最大的负整数，的相反数仍然为是倒数等于本身的数， ． 故答案为：，，，； （2）当时， ； 当时， ． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 【答案】(1)答案不唯一，合理即可， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算规律的探究，理解乘方运算的含义是解本题的关键； （1）举例，结合乘方运算的含义可化为，即可得到答案； （2）根据题干的提示与（1）的示例总结归纳，再模仿证明即可； （3）把化为，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：（其中为正整数）； 证明： （3）解： ； 13．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 【答案】(1)①，；②， (2) (3) 【分析】本题考查的是乘方运算的含义，理解题意，归纳总结规律是解本题的关键． （1）①第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； ②第1个先计算括号内的运算，再计算乘方运算，第2个先计算乘方运算，再计算乘法运算； （2）由（1）归纳规律即可； （3）由（2）中规律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：①，； ②，． 故答案为：①，；②，． （2）解：观察（1）可得，当n为正整数时，， 故答案为： （3）解： ． 14．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）填空： ； ； ； （填“”或“”或“”）． （2）对于有理数a，b，请比较和的大小． 【答案】（1）；；；；（2）时，；当，时，，当；时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时， 【分析】本题考查了有理数的乘方运算、有理数的乘法运算以及有理数的大小比较，准确计算为解题关键． （1）先分别计算出乘方和乘法运算的结果，再比较大小即可； （2）对于比较和的大小，需要分情况讨论，根据a、b的取值范围来确定大小关系即可． 【详解】解：（1）， ； ，， ； ，， ； ，， ， 故答案为：；；；； （2）当时，，， ； 当时， 若，即，则，所以， 若，即，则，所以， 若，即，则，所以； 当时， 若，即，则，所以， 若，即，则，所以， 若，即，则，所以； 综上所述：时，；当，时，，当；时，；当，时，；当，时，；当，时，；当，时，． 15．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【答案】(1)23 (2)1111 【分析】（1）根据题意得出求出即可； （2）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：，即二进制中的相当于十进制中的． （2）解：,即二进制中的相当于十进制中的． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，主要考查学生的理解能力，阅读能力和计算能力，是一道较好的综合题． 【强化训练】 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 17．（2026·山西大同·模拟预测）被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出6根国产巨型钢丝绳的总质量，再将单位由转化为，然后用科学记数法表示出来即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：6根国产巨型钢丝绳的总质量为， ， 即这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为． 18．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意列式计算后逐项判断即可． 【详解】解：①，那么二进制数1110可转化为十进制数14，则①正确； ②，那么十进制数17可转化为二进制数10001，则②正确； ③，那么图1的七进制数转化为十进制数为111，则③正确； ④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，图3表示二进制数110， ，那么图3表示的二进制数转化为十进制数是6，则④不正确． 综上所述，正确的有3个． 19．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律探索，有理数的乘方，掌握相关知识是解题的关键．第一次捏合后可拉出2根面条，第二次捏合后可拉出根面条，第三次捏合后可拉出根面条，依此类推找到规律，据此解决即可． 【详解】解：根据题意，第一次捏合后可拉出2根面条， 第二次捏合后可拉出根面条， 第三次捏合后可拉出根面条， 第次捏合后可拉出根面条， 设第次后可拉出根面条， 则， 解得． 故选：C． 20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 【答案】C 【分析】先找出个位数字的规律，再根据结果的个位数字是，确定结果的个位数字，最后据此找出可能的值．本题主要考查了尾数特征问题，熟练掌握通过找规律的方法确定幂次的个位数字是解题的关键． 【详解】解：个位数字是， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 个位数字是（）， 可以发现当为奇数时，个位数字是；当为偶数时，个位数字是． 个位数字是． 结果的个位数字是， 结果的个位数字是． 个位数字是（的幂次个位数字以、、、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）， 个位数字是（的任何正整数次幂个位数字都是）， 个位数字是（的幂次个位数字以、循环，，余数为时个位是）． 的值可能是． 故选：C． 21．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是_______（用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，本题需先分别求出a、b、c的值，再进行比较，即可求出答案． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果，则______． 【答案】 【分析】此题考查了非负数的性质、乘方运算、求代数式的值等知识，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 23．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索，由题中可以看出，以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的，利用即可知的个位数字，即可得出结论．解题的关键是找到为底的幂的末位数字的循环规律． 【详解】解：∵以为底的幂的末位数字是以，，，依次循环的， 又∵， ∴的个位数字是， ∴的末位数字是：， 即的末位数字是． 故答案为：． 24．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数）______，______． 【答案】 （或） 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【详解】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 故答案为：；． 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知表示3个互不相等的整数，这3个数的绝对值都大于1，且满足则的最大值是_________． 【答案】590 【分析】本题主要考查有理数的乘方及绝对值的意义，解题的关键是理解题意；根据题意，得出，然后可得，的最大值需使a、b、c尽可能大且互异，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由，且，得，故， 代入方程得，由且为整数，同理可得， ∴的最大值需使a、b、c尽可能大且互异， ∴当时，，由于，不满足互异，故取， 此时，，，， 时，，， 发现当值增大时，的值会逐渐变小，故时，取到最大值； 故最大值为590； 故答案为590． 26．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，代数式求值． （1）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可； （2）先根据已知条件求出、的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴或； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， ∴或． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 【答案】（1）①；②；③；（2）当时，；当时，；（3） 【分析】本题考查了有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题关键． （1）先计算有理数的乘方，再比较有理数的大小即可得； （2）根据（1）的结果，进行归纳即可得； （3）根据（2）的结果，取即可得． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴； ②∵，，， ∴； ③∵，，， ∴； 故答案为：①；②；③． （2）根据（1）的结果，经过归纳得：当时，；当时，． （3）∵， ∴，即， 故答案为：． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题考查了图形的变化规律，有理数的乘方，读懂题意，得出图形的变化规律是解本题的关键． （1）①根据题目规律进行计算即可；②根据①的结论即可求解； （2）分别计算图形中阴影部分的面积以及空白部分的面积，得出第次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是，由此可得答案； （3）根据（2）的方法进行计算即可求解． 【详解】解：（1）①观察图形可知：部分①的面积为：，部分②的面积为，部分③的面积为，部分④的面积为，部分⑤的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； ②观察图形可知： ； （2）根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割， 把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为， 空白部分面积为……， 则第次分割阴影部分的面积和为， 两边同除以2，得， ． 29．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算，绝对值与偶次的非负性； （1）根据非负数的性质得到，，即可解得，； （2）利用（为正整数）进行计算． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为2，1； （2）原式 30．（25-26七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，，；① ，，，，，；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，整式的化简求值，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）从前面几个数中发现变化规律，可得第个数和第个数． （2）将第①行各项的数即得第②行的数，第③行数等于第①行数相应的数除以，设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为，； （3）设第一个数为，则第二个数为，第三个数为，依题意，，得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，…… ∴第个数是，第个数是． （2）依题意， 第②行数等于第①行数相应的数减去， 第③行数等于第①行数相应的数除以， 设第②行中某个位置对应的数为，则第①③行中相应的数分别为， ∴ （3）解：设第一个数为，则第二个数为，第三个数为， 依题意，， ∴ 即 ∴ ∵，， ∴不存在整数满足题意，故不存在连续三个数的和等于． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 有理数的乘方 1. 理解乘方相关概念，分清底数、指数，辨析(-a)n与-an的意义，准确进行乘方基础运算。 2. 掌握乘方符号法则，能快速判断幂的正负，熟练完成含乘方的基础计算题。 3. 理解科学记数法形式，明确a的取值范围，能把大数正确写成科学记数法。 4. 会还原科学记数法表示的数，区分原数位数与 10 的指数，避免指数书写出错。 5. 掌握含乘方与科学记数法的综合题型，规范步骤，能处理简单实际应用问题。 一、有理数乘方的意义 求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂. 一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”. 1. 乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果； 2. 一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写； 3. 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来； 4. 当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来； 5. 一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方. 二、有理数乘方的运算 1. 有理数乘方运算的符号法则 （1） 正数的任何次幂都是正数； （2） 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； （3） 0的任何正整数次幂都是0； （4） 任何一个数的偶数次幂都是非负数. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 3. 拓展： （1）1的任何次幂都是1； （2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1； （3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1. 三、科学记数法 1. 科学计数法的定义：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法. 2. 如何确定科学记数法中的a和n （1） a是一个整数数位只有一位的数，即； （2） 确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几. a) 用科学记数法表示的数只是改变数的形式，而没有改变数的性质和大小； b) 用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后要一致； c) 用科学记数法表示负数的方法和正数一样，就是要在前面多一个“－”号； d) 对用科学记数法表示的数进行还原时，只需将小数点向右移动n位（不足的数位用0补齐），并把乘号和去掉. 题型01有理数幂的概念理解 【典例】表示的意义是（ ） A．5个2相乘的相反数 B．与5相乘 C．2个相乘 D．2个5相乘的相反数 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【变式3】大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，被广泛应用于人们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中约80%的小方格用做纠错码和其他用途的编码，只有约200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码．现有对的说法如下：①就是200个2相乘；②；③；④的个位数字是6．其中正确的是______（填写序号）． 题型02有理数的乘方运算 【典例】若，，且，则______． 【变式1】若与互为相反数，则______． 【变式2】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【变式3】计算并认真观察： (1)计算： ； ； ； ． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想： （是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 题型03有理数乘方运算的逆运算 【典例】计算： (1)； (2)． 【变式1】阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【变式2】计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【变式3】根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 题型04乘方运算的符号规律 【典例】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式1】将，，从小到大排列正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数）______，______． 【变式3】先用数学的眼光观察下列两组算式，然后解答提出的问题． ① 与；② 与   (1)通过计算说明每组两个算式的结果是否相等； (2)根据（1）的结果猜想等于什么？ (3)用（2）的结论计算： 题型05乘方的应用 【典例】（1）根据已知条件填空： ①已知，那么______，______； ②已知，那么______，______，______． （2）观察上述计算结果，我们可以得出： ①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位； ②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位． （3）已知，，．填空： ①______； ②______． 【变式1】二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色小正方形代表1，白色小正方形代表0）．二进制是逢2进1的计数制，有别于我们常用的逢10进1的十进制，如十进制数，二进制数11000转化成十进制数为：．（注：任意不为0的有理数，） 图是某次考试中三位同学的准考证二维码．图1是小亮的准考证二维码，其中第一行至第五行代表的二进制数分别为11000、1100、111、11100、1101，转化成十进制分别为24、12、07、28、13，将五行编码组合到一起就是小亮的准考证号2412072813． (1)若图2是本次考试小莹的准考证二维码，其中第四行表示考场号，那么其代表的二进制数字是________，转化成十进制后可得到她的考场号是________； (2)若本次考试中，小刚的准考证号是2921051510，图3是小刚自己绘制的二维码，但少涂黑了几个小正方形．请你通过计算或推理说明第几行漏涂了小正方形，并帮他在图中补充完整； (3)除了二进制，在计算机系统中，八进制表示法也很常见，比如系统中“文件权限”（读、写、执行）常用八进制数字表示，八进制是逢8进1的计数制． ①参考二进制的计算方法，请你将八进制数字2617转化成十进制数字； ②将十进制数字376转化为八进制为________． 【变式2】综合实践 活动目标 理解不同进位制的数之间的转换及应用 素材1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； （，且为整数）进制数转换成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转换十进制数为：． 素材2 将十进制数转换为与其相等的进制数，用十进制的数除以，然后将商继续除以，直到商为0，将各步所得的余数按照逆序排列即可．例如：         解决问题 任务1 （1）利用材料中的方法，按要求把不同进位制的数之间进行转换： ①把二进制数转换成十进制数； ②把十进制数15转换成二进制数； （2）现有三进制数，二进制数，试比较，的大小，通过运算说明． 任务2 （3）受任务1的启发，你认为如何将一个二进制数转换为五进制数呢？请尝试解决． 任务3 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，你能帮忙计算孩子自出生后的天数吗？    【变式3】阅读材料： 计算：． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② 得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 题型06用科学记数法表示绝对值大于1的数 【典例】地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【变式1】年，我国规模以上互联网企业（上年互联网企业收入达到两千万元及以上）完成互联网业务收入约为亿元，其中京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入占全国收入的，则年京津冀地区规模以上互联网企业完成互联网业务收入约为（     ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【变式2】2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（   ） A． B． C． D． 【变式3】目前，我国森林总面积约为亩，其中数据用科学记数法表示为___________． 题型07将用科学记数法表示的数变回原数 【典例】神舟十八号飞船是我国神舟载人飞船系列之一，神舟十八号飞船在航行轨道的速度大约是每秒7.9公里，飞船t小时飞行的距离用科学记数法表示为“”公里，则下列说法正确的是（    ） A．a的值为28.44 B．a为正整数 C．n的值为4或5 D．将“”还原为原数，则原数中“0”的个数不可能为0 【变式1】已知航天器速度为米/秒，行星与地球距离为千米，下列正确的是（    ） A．航天器速度原数是79000米/秒 B．的原数末尾有8个0 C．航天器飞完这段距离需秒 D．小数点右移2位，结果为 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为________个． 【变式3】一个数用科学记数法表示为，则这个数是______． 题型08有理数乘方运算的规律题 【典例】观察下列等式： ；；；；… （1）根据上面规律，若，，则____，____． （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为_______________． 【变式1】观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是________． 【变式2】与幂有关的规律探究，一般是研究幂的个位数字的规律探究问题．常用的方法是先求出前几个数的个位数字，从中发现循环的规律，然后判断需要探求的数的个位数字处于循环规律中的第几个，最终得到答案． (1)先观察，后计算： 观察算式：你能发现的个位数字是由 种数字组成，分别是 ；直接写出的个位数字是 ； (2)探究：的个位数字是多少？试着写出推导过程； (3)直接写出的结果的个位数字是 ． 【变式3】阅读探究：；；；；… (1)根据上述规律，求的值； (2)你能用一个含有（为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 题型09有理数乘方运算的新定义问题 【典例】对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：，．规定，（k为正整数），例如，，．按此定义，则______． 【变式1】对于等式，定义已知，求的运算为对方运算，记为，例如已知，求，因为，所以，则的值为__________． 【变式2】对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【变式3】定义☆运算，观察下列运算： ， ， ， ， ， ． (1)两数进行☆运算时，同号______，异号______，并把它们的绝对值______．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，结果都等于这个数的______． (2)计算：______；______． (3)若，，且，求的值． 【巩固训练】 1．（25-26七年级上·四川泸州·期末）比较这组数，0，，，，大小正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）若，，且，则的值等于（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（25-26八年级上·江西上饶·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数为（    ） A．1035 B．369 C．365 D．75 5．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 6．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）已知，则______． 7．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，，，的值是______． 8．（25-26七年级上·江苏南通·期中）进位制是人们为了方便记数和运算而约定的记数系统．十进制使用十个数字，逢十进一；二进制使用0和1两个数字，逢二进一，一个数可以表示为其各数位上的数字与基数的幂的乘积之和．约定：（）．例如：十进制数可以表示为，即；二进制数可以表示为，即．请将十进制数89转换为二进制数为______． 9．（25-26八年级下·江苏泰州·期末）正整数a和b中，设个位数字记作，则__________． 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）数据用科学记数法表示为______． 11．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）是最小的正整数，是最大的负整数．的相反数仍然为是倒数等于本身的数． (1)填空：_______，_______，_______，_______； (2)试求的值． 12．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）根据乘方的定义，可得： (1)请你写出一个类似上述特点的式子； (2)猜想并根据乘方的定义证明：________（其中为正整数）； (3)根据上述探索的结论，计算：． 13．（25-26七年级上·江苏镇江·阶段检测）回答下列问题： (1)填空：① ， ； ② ， ． (2)观察（1）结果可得，当n为正整数时， ． (3)计算：． 14．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）（1）填空： ； ； ； （填“”或“”或“”）． （2）对于有理数a，b，请比较和的大小． 15．（25-26七年级上·江苏·期中）我们平常用的是十进制，如．表示十进制的数要用10个数码：．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：．如二进制中，，相当于十进制中的7；二进制中，，相当于十进制中的27． 请你计算： (1)二进制中的10111相当于十进制中的哪个数？ (2)二进制中的什么数相当于十进制中的15？ 【强化训练】 16．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 17．（2026·山西大同·模拟预测）被誉为“中国天眼”的口径球面射电望远镜（）的馈源舱由6根馈源驱动钢丝绳通过索驱动系统，在巨大的反射面上进行超高精度的定位和跟踪．新华社记者2026年5月7日从运行和发展中心获悉，“中国天眼”这6根国外进口的馈源驱动钢丝绳将更换为6根国产巨型钢丝绳，其单根重达．由此估计，这6根国产巨型钢丝绳可达的总质量用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·江苏·期中）数的进制是一种计数方式．如十进制数用0至9这十个数字表示，满十进一，如；计算机中使用0和1这两个数字表示二进制数，满二进一，如二进制数1101可用式子转换为十进制数13．下列说法中：①二进制数1110可转化为十进制数14；②十进制数17可转化为二进制数10001；③古代用结绳计数，满七进一，则图1的七进制数转化为十进制数为111；④用黑白小正方形分别表示数码1和0，图2表示二进制数1010，则图3表示的二进制数转化为十进制数是7；正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如图所示，这样捏合到第几次后可拉出根面条（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）若结果的个位数字是1，则的值可能是（   ） A．13 B．24 C．35 D．49 21．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若，，，则a、b、c的大小关系是_______（用“＜”连接）． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果，则______． 23．（24-25六年级上·山东济宁·期中）观察下列等式：，，，，，，，，根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是______． 24．（24-25七年级上·江苏南京·期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数）______，______． 25．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）已知表示3个互不相等的整数，这3个数的绝对值都大于1，且满足则的最大值是_________． 26．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 27．（24-25七年级上·江苏常州·期中）【提出问题】怎样比较与的大小？ 【分析问题】为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较与的大小（n是正整数），然后我们从分析……中发现规律，经归纳、猜想，得出结论． 【探究过程】 （1）从简单的开始，比较下列各组中两数的大小（在横线上填写“”“”或“”）： ①_______；②_______；③_______；…… （2）根据上面的结果，经过归纳，猜想与有怎样的大小关系？ 【解决问题】 （3）根据以上探究，我们可得结论（在横线上填写“”“”或“”）：_______． 28．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）【探索发现】 如图1，将一张边长为1的正方形纸片分割成7部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． （1）阴影部分的面积是______； ②请根据①的结论计算． 【问题解决】 如图2，第1次分割，把正方形的面积三等分；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…根据以上信息解决问题： （2）计算； 29．（24-25七年级上·江苏常州·阶段检测）阅读下列内容： ，，，…，请完成下面的问题： 如果有理数，满足．试求： (1)______，______； (2)的值． 30．（25-26七年级上·江苏南通·期中）观察下面三行数，请你发现规律，并据此回答问题： ，，，，，；① ，，，，，；② ，，，，，；③ (1)第①行中的第7个数是________，第个数是________； (2)设第②行中某个位置对应的数为，取第①③行中相应的数，计算这三个数的和； (3)第②行中存在连续三个数的和等于吗？若存在，请求出它们；否则，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $