第三章 函数的概念与性质（举一反三讲义·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过十三大基础题型系统构建函数概念与性质的知识体系，从函数关系判断、定义域值域求解等基础概念，到单调性、奇偶性等性质应用，再到幂函数、二次函数及分式型函数模型的实际问题，形成递进式知识脉络，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如二次函数模型中“定价与利润”问题、分式型函数“造价最低”问题，培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。基础题巩固概念，综合题提升应用，助力不同层次学生掌握方法，为教师实施精准复习教学提供支持。

第三章 函数的概念与性质全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 函数关系的判断 1．（25-26高三上·广东揭阳·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【解题思路】根据函数的定义逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 2．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 【答案】C 【解题思路】由函数的定义逐项判断即可. 【解答过程】由题意知，函数的定义域为，值域为， 对于①中，函数的定义域不是集合，所以①不正确； 对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，能表示集合到集合且以集合为值域的函数关系，所以②正确； 对于③中，集合的每个元素在集合N中都有唯一函数值对应，所以③正确； 对于④中，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确. 故选：C. 3．（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C. 【解答过程】对于A：，，则，故A错误； 对于B：，，则，故B错误； 对于C：，，则，故C错误； 对于D：，当时，，即， 又， 所以为从到的函数，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式____________. 【答案】，（答案不唯一） 【解题思路】利用函数的定义求解； 【解答过程】由函数的定义得：，（答案不唯一） 故答案为：，（答案不唯一）. 5．（25-26高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)不是集合A到集合B的函数 (2)是集合A到集合B的函数 (3)不是集合A到集合B的函数 (4)是集合A到集合B的函数． 【解题思路】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【解答过程】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 题型2 函数的定义域的求解 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【解答过程】由 . 所以函数的定义域为. 故选：C. 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）函数的定义域为（   ） A．且 B．且 C． D．且 【答案】D 【解题思路】由题意列出不等式，即可求解. 【解答过程】由题意得，解得且，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据抽象函数的定义域先求得函数的定义域为，进而求解即可. 【解答过程】因为的定义域为，则，可得， 所以函数的定义域为， 由，解得且， 故的定义域为. 故选：D. 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【解题思路】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【解答过程】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【解答过程】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 题型3 函数的值域的求解 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数后求其值域即可. 【解答过程】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 2．（25-26高一上·浙江·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离参数后，利用二次函数的性质求解最值，即可结合不等式的性质求解. 【解答过程】由可得， 由于函数，所以， 故， 故选：B. 3．（25-26高一上·山西·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【解答过程】设，则，且， 则函数可化为， 所以函数的值域为. 故选：A. 4．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为____________. 【答案】 【解题思路】令，转换成二次函数即可求解. 【解答过程】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【解题思路】（1）利用观察法求值域； （2）利用配方法求值域； （3）利用换元法求值域； （4）利用分离常数法求值域； （5）利用基本不等式法求值域； 【解答过程】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 题型4 求函数值或由函数值求参 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，代入计算即可得解. 【解答过程】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据题意，再用计算即可. 【解答过程】令，解得，则，则． 故选：D. 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【解答过程】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D. 4．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则____________． 【答案】2 【解题思路】取特殊值，取，代入题干关系式即可得结果. 【解答过程】由，取可得，又，所以． 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 【答案】(1)且 (2)， (3) 【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案. （2）根据函数的解析式求得正确答案. （3）根据已知条件解方程来求得. 【解答过程】（1）由解析式知：，可得且， 故定义域为且， （2）， . （3）由，， 所以，显然在定义域内， 所以. 题型5 判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【解答过程】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B. 2．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】根据函数的三要素判断即可. 【解答过程】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解题思路】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐个分析判断，即可求解. 【解答过程】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为， 函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 4．（25-26高一·全国·课后作业）下列各组函数是同一函数的是___________．（填序号） ①与；    ②与； ③与；    ④与． 【答案】③④ 【解题思路】根据两个函数的定义域、值域相同，对应关系也相同，判断它们是同一个函数即可得出结果. 【解答过程】①的定义域为，值域为，的定义域为，值域为，两函数对应关系不同，故不是同一函数； ②的定义域为，的定义域为，故不是同一函数； ③函数与自变量的表示符号无关，故与是同一函数； ④由根式的性质，两函数定义域、值域、对应关系都相同，故是同一函数； 综上③④表示同一函数， 故选：③④. 5．（25-26高一上·陕西西安·期中）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． (1)与； (2)与； (3)与 ； (4)，与，． 【答案】(1)不是； (2)不是； (3)是； (4)不是 【解题思路】（1）求两个函数的定义域即可求解； （2）根据两个函数的对应关系即可求解； （3）求两个函数的定义域和对应关系即可求解； （4）根据两个函数的对应关系即可求解． 【解答过程】（1）函数，定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以它们不是同一个函数． （2）因为，，对应关系不同，所以它们不是同一个函数． （3）因为定义域为，，两个函数的对应关系、定义域均相同，所以它们是同一个函数． （4）因为，，，，两个函数的对应关系不同，所以它们不是同一个函数． 题型6 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案. 【解答过程】由题意知函数满足，解得或， 即函数定义域为， 令，则的图象开口向上，且对称轴为直线， 则在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 故的单调递减区间是. 故选：B. 2．（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据一次函数，二次函数，反比例函数，绝对值函数及单调性定义判断． 【解答过程】在上，是增函数，是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 时，是减函数， 故选：D． 3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用复合函数的单调性求解判断即可. 【解答过程】令，因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 对于， 由解得：， 令，当时， 随增大而减小， 当时，随增大而增大， 因为在上单调递减， 所以的单调递增区间是函数的单调递减区间， 所以的单调递增区间是， 故选：C. 4．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是__________． 【答案】 【解题思路】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递减区间. 【解答过程】由题意得，所以，所以， 解得，所以函数的定义域为， 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可知的单调递减区间是. 故答案为：. 5．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析. 【解题思路】（1）由题意可知，函数的图象经过点，代入求解即可. （2）由函数单调性的定义求解即可. 【解答过程】（1）因为函数的图象过点，所以， 解得， 所以的解析式为 （2）在上的单调递减， 设，所以，， 所以， 所以，即， 所以在上的单调递减. 题型7 函数的最值问题 1．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二次函数的性质，可得的单调性，进而可得的单调性，代入数据，分析计算，即可得答案. 【解答过程】因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在上的最小值为. 故选：A. 2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【解题思路】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【解答过程】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A. 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式可得选项A、B错误；利用函数的单调性可得选项C正确、选项D错误. 【解答过程】A．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； B．， 取等号时，即，所以函数的最小值为，故不符合题意； C．根据对勾函数的单调性可知：在上单调递增， 所以函数最小值为：，故符合题意； D．因为在为单调增函数，所以函数的最小值为，故不符合题意. 故选：C． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则__________. 【答案】 【解题思路】按照和分类判断出函数在上的单调性，即可得出函数的最值，利用最值列式求解即可. 【解答过程】易知，是由向左平移1个单位得到， 当时，即在上单调递减， 所以在上单调递减， 所以，解得，与矛盾； 当时，即在上单调递增， 所以在上单调递增，所以，解得. 故答案为：. 5．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）根据给定条件，列出方程组求解即得. （2）利用减函数的定义推理得证. （3）利用（2）的结论，求出函数在指定区间上的最值. 【解答过程】（1）函数，由，得，解得， 所以. （2）证明：由（1）得，任取， 则， 由，得，，， 则，即， 所以函数在区间上是减函数. （3）由（2）得函数在区间上是减函数， 则当时，，当时，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 题型8 函数奇偶性的判断 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数的定义判断即可． 【解答过程】对于A，函数，定义域关于原点对称， 且，则函数是偶函数； 对于B，函数，定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于C，函数定义域为，关于原点对称， 而与不恒等，则函数不是偶函数； 对于D，函数的定义域不关于原点对称，则函数不是偶函数. 故选：A. 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【解答过程】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在为减函数，故D错误. 故选：C. 3．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 【答案】B 【解题思路】根据函数的奇偶性定义和对称性进行判断即可. 【解答过程】，所以的图像关于直线对称， 设，则是将的图像向左平移1个单位长度得到的， 因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称， 所以为偶函数． 因为，记， 因，而 即且，故为非奇非偶函数，即C、D错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为___________. ①； ②； ③；      ④. 【答案】①②④ 【解题思路】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【解答过程】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④. 5．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)是奇函数，证明见解析 【解题思路】（1） 根据，，求出的值，即可求出函数解析式； （2） 根据奇偶性的定义证明即可. 【解答过程】（1）由题意得：，解得， 即； （2）函数是奇函数. ∵的定义域是，定义域关于原点对称， 且， ∴函数是奇函数. 题型9 函数图象的判断与应用 1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】易得为奇函数，结合即可判断． 【解答过程】，定义域为， ，则为奇函数，排除BD； 又，排除C，A符合； 故选：A． 2．（25-26高一上·北京丰台·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】判断函数的奇偶性排除AC，利用单调性排除B，得解. 【解答过程】由，定义域为， 又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误. 故选：D. 3．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【解答过程】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据奇偶性排除BC；根据时，排除D. 【解答过程】由得， 又函数的定义域为，则为奇函数，排除B，C项； 当时，恒成立，排除D项. 故选：A. 5．（25-26高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 【答案】(1)图象： (2)在上单调递增，在上单调递减. 【解题思路】（1）分析得到时，，为二次函数，开口向下，时，为一次函数，结合特殊点函数值，画出图象； （2）数形结合得到函数单调区间和函数单调性. 【解答过程】（1）当时，，为二次函数，开口向下，顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，，为一次函数，当时，， 当时，， 画出图象如下： （2）由图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 故在上单调递增，在上单调递减. 题型10 求幂函数的函数值、解析式 1．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【解答过程】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 2．（25-26高一上·江西·期中）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数的定义，知，解得：，再解出，求解即可. 【解答过程】由幂函数的定义，知，解得：， 所以，. 故选：A. 3．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【解题思路】先设幂函数，代入已知点求出，再计算指定的函数值. 【解答过程】设幂函数，因为其图象过点，所以. 将表示为，表示为，则，即， 可得，解得. 所以，则. 故选：B. 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数是幂函数，若，则___________. 【答案】 【解题思路】先设幂函数，再根据解出，确定，再代入求解即可. 【解答过程】设，故，解得， 故，则. 故答案为：. 5．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义和性质即可求解， （2）由幂函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）因为幂函数，所以，解得或． 当时，，此时的图象经过第三象限，符合题意； 当时，，此时的图象不经过第三象限，不符合题意． 故． （2）因为，所以不等式等价于， 又为增函数，所以，解得， 所以原不等式的解集为． 题型11 幂函数的定义域、值域问题 1．（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C. 2．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 3．（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【解答过程】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A. 4．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为___________. 【答案】 【解题思路】根据题意可得，然后根据幂函数单调性求解值域. 【解答过程】令， 由有意义可得， 所以， 则， 所以，即函数的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 【答案】， 【解题思路】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域. 【解答过程】因为在上为增函数，所以，解得， 又，所以，或． 又因为，所以是偶函数，所以为偶数． 当时，满足题意；当时，不满足题意， 所以， 又因为在上递增，所以，， 故时，的值域是． 题型12 二次函数模型的应用 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【解题思路】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 【解答过程】依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【解答过程】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【解题思路】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【解答过程】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B. 4．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【解题思路】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可. 【解答过程】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【解答过程】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 题型13 分式型函数模型的应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 【答案】B 【解题思路】设正面边长为xm，地面宽为ym，易得，设总造价为，由求解. 【解答过程】解：设正面边长为xm，则地面宽为ym，则， 所以， 设总造价为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为___________元. 【答案】 【解题思路】设房屋的长为，由题可得总造价，再利用基本不等式即得； 【解答过程】设房屋的长为，则宽为，则总造价 ，当且仅当，即时取等号， 故当长等于，宽等于时，房屋的最低总造价为元. 故答案为：. 4．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1) ； (2)，且时元. 【解题思路】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【解答过程】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以 . （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 5．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 【答案】(1) (2) (3)万元 【解题思路】（1）根据题中所给的条件直接可得； （2）分别计算生产投入费用、维护投入费用、广告费用即可得年总成本； （3）根据基本不等式可得利润最高值. 【解答过程】（1）由题意，当时，，解得. （2）由题意，设生产（万件）产品的广告费用x（万元），维护投入费用万元，生产投入费用万元. 所以该厂家的年总成本y（万元）与广告费用x（万元）之间的函数关系式为： ，； （3）设年利润为万元， 则 ， 因为，所以， 当且仅当即时，取最大值， 所以广告费用为万元时，厂家的年利润最高. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质全章十三大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 函数关系的判断 1．（25-26高三上·广东揭阳·阶段检测）下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 2．（25-26高一上·江西抚州·期中）设集合，，那么下面的个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 3．（25-26高一上·山东烟台·期中）设集合，，则从到的函数可能为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济宁·期末）给定集合，，若是从集合到集合的函数，请写出一个符合条件的函数的解析式____________. 5．（25-26高一·全国·课后作业）判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 题型2 函数的定义域的求解 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西贺州·期中）函数的定义域为（   ） A．且 B．且 C． D．且 3．（25-26高一上·福建南平·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则的定义域为__________. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 题型3 函数的值域的求解 1．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·浙江·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·山西·阶段检测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为____________. 5．（25-26高一上·全国·期中）求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 题型4 求函数值或由函数值求参 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，则（    ） A．或3 B．1或3 C． D．3 3．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．（25-26高一上·山东淄博·阶段检测）已知函数的定义域为，且，，则____________． 5．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知数. (1)求函数的定义域 (2)求； (3)已知，求的值. 题型5 判断两个函数是否相等 1．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·期末）下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高一·全国·课后作业）下列各组函数是同一函数的是___________．（填序号） ①与；    ②与； ③与；    ④与． 5．（25-26高一上·陕西西安·期中）试判断下列各组函数是否表示同一个函数． (1)与； (2)与； (3)与 ； (4)，与，． 题型6 函数单调性的判断及单调区间的求解 1．（25-26高一上·青海·期中）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京丰台·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·重庆·期中）函数的单调递减区间是__________． 5．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的图象经过点. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义加以证明. 题型7 函数的最值问题 1．（25-26高一上·浙江湖州·期末）已知函数，则在上的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．（25-26高一上·福建泉州·期中）当时，下列函数的最小值不为4的有（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）函数在上的最大值为，则__________. 5．（25-26高一上·广东江门·期中）已知函数，其中a，b为常数，且，． (1)求a，b的值； (2)利用单调性的定义证明函数在区间上是减函数； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 题型8 函数奇偶性的判断 1．（25-26高一上·湖南长沙·期末）下列函数中是偶函数的是 （   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数 4．（25-26高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为___________. ①； ②； ③；      ④. 5．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段检测）已知是定义在上的函数，且，. (1)求函数的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并用定义证明. 题型9 函数图象的判断与应用 1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·北京丰台·期中）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学的学习中，既常用函数图象来研究函数的基本性质，也常用函数的基本性质来研究函数图象的特征.则函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·四川德阳·期中）已知函数. (1)在如图给定的直角坐标系内画出的图象； (2)根据图象写出的单调区间，并指出相应的单调性. 题型10 求幂函数的函数值、解析式 1．（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江西·期中）已知幂函数，则（    ） A．8 B．4 C． D． 3．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数是幂函数，若，则___________. 5．（25-26高一上·陕西榆林·期中）已知幂函数的图象经过第三象限． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 题型11 幂函数的定义域、值域问题 1．（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 2．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26高一上·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·福建·期中）函数的值域为___________. 5．（25-26高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数满足： ①在上为增函数， ②对，都有， 求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域. 题型12 二次函数模型的应用 1．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（    ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 2．（25-26高一上·江西·阶段检测）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 3．（25-26高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 4．（25-26高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 5．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 题型13 分式型函数模型的应用 1．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么设计房屋的正面边长为（   ）m时，能使总造价最低． A．6 B．4 C． D．3 2．（25-26高一上·江苏扬州·阶段检测）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 3．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）如图，安工大附中欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室.房屋地面面积为，高度为3m.若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1000元，屋顶的造价为6000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为___________元. 4．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 5．（25-26高一上·北京·期中）某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整.经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为.已知当广告费用投入为6万元时，产品订购量为万件.该厂家每生产1万件该产品，需投入万元.另外，厂家每年还需投入万元用于生产线的维护.规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和. (1)求的值； (2)试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，厂家的年利润（万元）满足，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润（万元）最高？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $