第一章 集合与常用逻辑用语（举一反三讲义·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学第一章“集合与常用逻辑用语”复习讲义，通过十二大基础题型系统构建知识体系，涵盖集合概念、元素关系、子集运算、逻辑命题等核心内容，按基础认知到综合应用递进呈现，清晰梳理知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，每题选自多地阶段检测真题，如集合概念理解题通过具体实例培养抽象能力，充分必要条件判定结合现实情境发展推理思维，助力不同层次学生巩固基础或提升能力，为教师精准教学与学生自主复习提供有效支持。

第一章 集合与常用逻辑用语全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 对集合概念的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【解题思路】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【解答过程】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【解题思路】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【解答过程】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【解题思路】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【解答过程】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是__________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 【答案】（1）（3） 【解题思路】结合集合中元素的“确定性”、“互异性”逐一分析即可. 【解答过程】“难题”没有判断标准，无法判断一道题是否属于难题，不满足集合中元素的“确定性”，故（1）不能组成集合； 某班16岁以下的学生可以组成一个集合，16及16岁以上的学生则不在集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（2）可以组成集合； “大个子”没有判断标准，不知身高多少才能称为大个子，不满足集合中元素的“确定性”，故（3）不能组成集合； 某学校身高超过1.80米的学生可以组成一个集合，身高等于或低于1.80米的学生则不再集合内，满足集合中元素的“确定性”，且每个学生都不一样，满足集合中元素的“互异性”，故（4）可以组成集合； 故答案为：（1）（3）. 5．（25-26高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 【答案】(1)能组成集合，为有限集 (2)能组成集合，为无限集 (3)能组成集合，为 (4)不能组成集合，理由见解析 【解题思路】根据对象是否确定判断能否构成集合，由元素的个数判断集合类型. 【解答过程】（1）所给对象确定，能组成集合，为有限集. （2）所给对象确定，能组成集合，为无限集. （3）所给对象确定，能组成集合，为空集. （4）所给对象不确定，不能组成集合. 题型2 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据元素与集合的关系逐一判断即可. 【解答过程】因为是实数，所以，①正确； 因为是整数，所以，②正确； 因为是正整数，所以，③错误； 因为是无理数，所以，所以④错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解方程求得集合，由此确定正确答案. 【解答过程】由得，解得或， 故，故，，. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】利用常用数集的范围和元素与集合的关系即可判断. 【解答过程】因为，，，分别表示正整数集，整数集，有理数集，实数集； 是正整数，即，故①错误；是整数，即，故②错误； 是无理数，故③错误；是实数，故④正确；是有理数，故⑤正确. 故选：B. 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为__________. 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，结合常用数集的意义判断元素与集合的关系即可. 【解答过程】依题意，，，，，，， 因此①④正确，②③⑤⑥错误， 所以正确命题的个数是2. 故答案为：2. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 【答案】(1)和； (2)证明见解析． 【解题思路】（1）根据集合的定义验证； （2）由，证明且即可． 【解答过程】（1）由已知,,0,均是集合中元素， 又 ，，无意义， ， 所以和属于； （2）因为，则， 设， 则， 而，，所以， 又，所以, 所以． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【解题思路】先求出集合中的元素，进而求得子集个数. 【解答过程】因为集合，则， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 2．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出集合的真子集，即可判断. 【解答过程】根据题意，集合的真子集为： 所以不是集合A的真子集的是. 故选：C. 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解题思路】结合集合子集的个数和方程根的情况可得. 【解答过程】方程的判别式， 因为集合仅有一个子集，所以集合为空集， 故. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为_________． 【答案】14 【解题思路】解不等式并应用列举法确定集合中元素的个数，进而求非空真子集个数. 【解答过程】由，得， 由得，其元素个数为4， 故非空真子集个数为. 故答案为：14. 5．（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【解题思路】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【解答过程】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 题型4 集合相等问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据集合相等的定义分两种情况解方程组，再结合元素具有互异性判断可得结果. 【解答过程】因为，且，， ①当，解得或，由集合中元素具有互异性，故不符合题意； ②当时，解得（舍去）或.即，符合题意. 所以. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】根据集合相等，对应元素相等，即可求解. 【解答过程】由于，且不能为0，故， 此时，因此，故， 此时， 故， 故选：B. 3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据集合相等的定义，以及集合中元素的互异性，求得的值，代入计算，即可求解. 【解答过程】由集合，可得，即，所以， 若，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得或（舍去）， 综上可得，，， 所以 故选：C. 4．（25-26高一上·广东广州·期中）设，若，则=__________. 【答案】 【解题思路】根据集合相等，直接计算参数即可. 【解答过程】， 根据集合相等条件可得，. . 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 【答案】(1)且 (2) 【解题思路】（1）利用集合中元素的互异性解方程即可得出结果； （2）由集合相等构造方程组即可求得. 【解答过程】（1）由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数的取值范围为且； （2）当时，可得或； 当时，解得，当时，无解； 所以. 题型5 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 【答案】A 【解题思路】根据集合的子集的定义即可求解. 【解答过程】由，因为，所以， 又，所以， 故选：A. 2．（25-26高二下·全国·期末）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 【答案】B 【解题思路】根据集合中元素的特征分析做出判断． 【解答过程】集合A中的元素为的整数倍． 因为集合B中的元素为，所以集合B中的元素为的奇数倍， 所以，且，即， 故选：B． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把限制条件进行通分，比较式子的含义可得答案. 【解答过程】，， ， 因为，所以表示被6除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 因为，所以表示被3除余数为1的数； 所以, 被3除余1的整数，当其为奇数时，被6除余1；当其为偶数时，被6除余4. 集合中元素的分子均为被6除余1的数，而集合、中元素的分子为所有被3除余1的数， 所以是的真子集，所以， 故选：B 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】①③⑤ 【解题思路】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可. 【解答过程】因为空集是任何集合的子集，所以①，⑤正确， 由元素和集合的关系得，故②错误， 一个集合是自身的子集，故③正确， 由集合和集合的关系得，故④错误. 故答案为：①③⑤. 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据子集和真子集的定义，结合已知中给定集合，逐一分析，可得结论． 【解答过程】（1）中唯一元素， 又， 所以； （2）， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， 所以； （3）是等腰三角形}，是等边三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； 所以. 题型6 交集、并集、补集运算 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出集合，再由交集的概念求即可. 【解答过程】依题意，，而，所以． 故选：B. 2．（25-26高一上·云南文山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用集合并集运算求解即可. 【解答过程】集合. 是由所有属于或属于的元素组成的集合， 故. 故选：B. 3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据补集的定义即可得结果. 【解答过程】. 故选：C. 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据分类讨论，分别列不等式求得的取值范围，最后根据补集思想即得. 【解答过程】，. 由，可分为和两种情况讨论： 当时，得. 当时，或，解得：或. 综上所述：当时，实数的取值范围为，故当时，实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求得集合，结合集合并集的定义与运算，即可求解； （2）由，得到，分类讨论，列出方程组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，集合， 因为，所以. （2）解：由集合，， 因为，可得， 当时，解得；当时，此时方程组无解， 综上可得，实数的值为. 题型7 Venn图表达集合的关系和运算 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求得全集，利用补集与交集的意义求得即可. 【解答过程】，，， 由图可知阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【解答过程】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据交集、并集、补集的概念求出. 【解答过程】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D. 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    【答案】 【解题思路】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解． 【解答过程】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 5．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2)或 【解题思路】（1）根据题意可得集合，结合集合间的运算求解即可； （2）分和两种情况讨论，结合交集运算列式求解即可. 【解答过程】（1）若，则集合， 且集合或，所以集合或； 又因为全集为，则集合， 所以图中阴影部分表示的集合. （2）因为集合或，，且， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数m的取值范围为或. 题型8 命题的概念及真假判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【答案】D 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题. 故选：D. 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 【答案】D 【解题思路】对于选项A，将集合的子集一一列出，即可判断A错误；对于选项B，根据梯形的性质即可判断B错误；对于选项C，取特值，即可判断C错误；对于选项D，取特值，即可判断D正确. 【解答过程】对于A选项，集合的子集包括，，和，共个，故A错误； 对于B选项，仅等腰梯形的对角线相等，一般梯形的对角线并不相等，故B错误； 对于C选项，令，为无理数，则，为有理数，故C错误； 对于D选项，令，为无理数，则，为有理数，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【答案】C 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有___________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 【答案】①③④ 【解题思路】根据命题的定义进行判断. 【解答过程】②是疑问句，不是命题；⑤中未知数的值未知，无法判断真假，故不是命题； ⑥是祈使句，不是命题，其他均为可以判断真假的陈述句，为命题. 故答案为：①③④. 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 题型9 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【解答过程】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解题思路】由得，从而可得成立；由，取，则不成立，即可得答案． 【解答过程】由得，即， 故“”是“”的充分条件； 而由，取，则不成立， 故“”不是“”的必要条件． 故选：A. 3．（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】C 【解题思路】由充分、必要条件概念即可判断. 【解答过程】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​， 这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”. 也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件. 条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分. 因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​ 故选：C.​ 4．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）＂＂是＂＂的_________条件．（填＂充分不必要＂或＂必要不充分＂或＂充要＂或＂既不充分也不必要＂） 【答案】充分不必要 【解题思路】根据充分不必要条件的定义即可判断. 【解答过程】因为是的真子集，所以＂＂是＂＂的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 5．（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 【答案】(1)p是q的充分非必要条件； (2)p是q的必要非充分条件； (3)p是q的充要条件． 【解题思路】（1）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （2）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. （3）根据充分条件和必要条件的定义，对题中的逻辑关系进行分析，并通过例证判断即可. 【解答过程】（1）因为“”能推出“”，即，但当“”时，如，推不出“”，即，所以是的充分非必要条件； （2）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，即，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以是的必要非充分条件； （3）若“”，则“”，即；若“”，则“”，即，故，所以p是q的充要条件． 题型10 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 【答案】A 【解题思路】根据存在量词命题的概念判断即可. 【解答过程】有些自然数是13的约数，“有些”是存在量词，故A符合题意； 正方形是菱形即所有正方形是菱形，是全称量词命题，故B不符合题意； 能被6整除的数也能被3整除即一切能被6整除的数也能被3整除， 是全称量词命题，故C不符合题意； ，，是全称量词命题，故D不符合题意； 故选：A. 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词的特征即可求解. 【解答过程】对于A，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于B，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意； 对于C，命题为：所有偶数的平方是偶数，此命题为全称命题，符题意； 对于D，命题含有存在量词，此命题为特称命题，不符题意. 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 【答案】D 【解题思路】利用全程量词和存在量词的定义，找出命题中对应的量词即可得出ABC为全称量词命题，D选项为存在量词命题. 【解答过程】根据全称量词和存在量词的定义可知， A选项，“平行四边形的对边相等”是所有的平行四边形性质，是全称量词命题； B选项，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全称量词命题； C选项，“任何实数都存在相反数”中的“任意”是全称量词，故其为全称量词命题； D选项，“存在实数没有倒数”中的“存在”为存在量词，其为存在量词命题. 故选：D. 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】利用全称量词、存在量词的定义与全称命题与特称命题的定义即可得出结果． 【解答过程】（1）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，； （2）“所有”是全称量词，该命题可表示为：，方程恰有一个实数解； （3）“有”是存在量词，该命题可表示为：； （4）“存在”是存在量词，该命题可表示为：． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【解答过程】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 题型11 全称量词命题与存在量词命题的真假 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】由真命题概念逐个判断即可. 【解答过程】对于A，任意两个等腰三角形不一定相似，比如一个等边三角形和一个等腰直角三角形，故A错误； 对于B，所有的梯形都是等腰梯形是假命题，故B错误； 对于C，因为，，即，故C正确； 对于D，因为，，故D错误． 故选：C. 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 【答案】C 【解题思路】根据全称量词命题的定义以及命题的真假判断，一一判断各选项，即得答案. 【解答过程】对于A，是全称量词命题，但当时，，故是假命题； 对于B，若为偶数，为真命题，但不是全称量词命题； 对于C，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题； 对于D，是无理数，是真命题，但不是全称量词命题； 故选：C. 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【解题思路】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【解答过程】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为_________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【解题思路】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【解答过程】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0. 5．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题 (2)存在量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，假命题 【解题思路】利用全称，存在量词命题的定义进行判断，并判断命题的真假. 【解答过程】（1）（3）是全称量词命题，（2）（4）是存在量词命题． （1）菱形对角线所在直线为其对称轴，所以该命题是真命题． （2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． （3）存在，但，所以该命题是假命题． （4）由于，则，由此使得的实数x不存在，所以该命题是假命题． 题型12 命题的否定 1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【解答过程】命题“”的否定是“”． 故选：． 2．（2026高一上·四川·专题练习）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可解答. 【解答过程】由于命题是存在量词命题， 所以，改量词、否定结论后可得是全称命题. 故选：B. 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题求解即可. 【解答过程】由存在量词命题的否定方法可知， 命题，的否定是，. 故选：C. 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）命题“”的否定是__________. 【答案】 【解题思路】根据全称命题的否定式特称命题即可得结果. 【解答过程】命题“”的否定是“”. 故答案为：. 5．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【解题思路】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定，结合常识及特例判断即可. 【解答过程】（1）否定为：正方形不都是菱形. 正方形都是菱形，故为假命题； （2）否定为：. 当时，，故为假命题； （3）否定为：. 当时，，故为真命题. （4）否定为：存在能被2整除的数不是偶数. 能被2整除的数都是偶数，故为假命题. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语全章十二大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版】 题型1 对集合概念的理解 1．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 2．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 4．（25-26高一上·上海·课前预习）下列所给对象不能组成集合的是__________． （1）高一数学课本中所有的难题； （2）某班16岁以下的学生； （3）某中学的大个子； （4）某学校身高超过1.80米的学生． 5．（25-26高一上·上海·课后作业）判断下列各组对象是否能组成集合．若能组成集合，判断组成的集合是有限集、无限集还是空集；若不能组成集合，请说明理由． (1)所有大于0且小于25的偶数； (2)不等式的解集； (3)两条平行直线的交点； (4)古今中外的所有伟大的人． 题型2 判断元素与集合的关系 1．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）给出下列关系：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津武清·期中）给出下列关系：①；②；③；④；⑤.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为__________. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合，集合且． (1)判断,,0,中的哪些元素属于； (2)证明：若，则． 题型3 有限集合子集、真子集的确定 1．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 2．（25-26高一上·新疆和田·阶段检测）已知集合，下列不是集合A的真子集的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合有且仅有1个子集，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D．或 4．（25-26高一上·全国·阶段检测）集合的非空真子集个数为_________． 5．（25-26高一上·四川眉山·期末）已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 题型4 集合相等问题 1．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知，，若，则（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）若集合，集合，且，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知，若集合，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．（25-26高一上·广东广州·期中）设，若，则=__________. 5．（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）已知，. (1)求实数的取值范围； (2)当时，求实数的值. 题型5 集合间关系的判断 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D．与没有包含关系 2．（25-26高二下·全国·期末）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（   ） A． B． C． D．A，B的关系不确定 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段检测）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）给出下列关系式，其中正确的是__________（填序号）． ①；②；③；④；⑤． 5．（25-26高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等腰三角形}，是等边三角形}. 题型6 交集、并集、补集运算 1．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南文山·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，，若，则实数m的取值范围是___________． 5．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若，求的值． 题型7 Venn图表达集合的关系和运算 1．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为____________．    5．（2026高一上·广东清远·专题练习）设全集为，已知集合或，. (1)若，求和及图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数m的取值范围． 题型8 命题的概念及真假判断 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（ ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．集合的所有子集个数为个 B．梯形的对角线相等 C．对任意一个无理数，也是无理数 D．存在一个无理数，它的立方为有理数 3．（25-26高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 4．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列语句是命题的有___________． ①地球是太阳的一个行星；②今天下雨吗；③、都是无理数，则是无理数；④若，则；⑤；⑥求证是无理数． 5．（25-26高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 题型9 充分条件、必要条件及充要条件的判定 1．（25-26高一上·河南·期中）不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（25-26高一上·上海闵行·期中）”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（　　）条件． A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 4．（25-26高一上·上海闵行·阶段检测）＂＂是＂＂的_________条件．（填＂充分不必要＂或＂必要不充分＂或＂充要＂或＂既不充分也不必要＂） 5．（25-26高一上·上海·随堂练习）判断下列命题中p是q的什么条件． (1)p：，q：； (2)p：有两个角相等，q：是正三角形； (3)若，，p：，q：． 题型10 全称量词命题与存在量词命题的判断 1．（2026高一·全国·专题练习）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．有些自然数是13的约数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．， 2．（25-26高一上·江苏常州·阶段检测）下列命题是全称量词命题的是（    ） A． B．存在一个菱形的四条边不相等 C．偶数的平方是偶数 D．有一个数不能做除数 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题中是存在量词命题的是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．同位角相等 C．任何实数都存在相反数 D．存在实数没有倒数 4．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“”或“”表示下列命题． (1)所有实数都能使成立； (2)对所有有理数，方程恰有一个实数解； (3)有整数解； (4)存在自然数，使得与的倒数之和等于1． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 题型11 全称量词命题与存在量词命题的真假 1．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题为真命题的是（    ） A．任意两个等腰三角形都相似 B．所有的梯形都是等腰梯形 C．， D．， 2．（2026高一上·全国·专题练习）下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是（   ） A． B．若为偶数，则 C．菱形的四条边都相等 D．是无理数 3．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 4．（25-26高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为_________． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 5．（2026高一上·全国·专题练习）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)菱形都是轴对称图形； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 题型12 命题的否定 1．（25-26高一上·黑龙江·阶段检测）命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 2．（2026高一上·四川·专题练习）已知命题，则是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江西南昌·期中）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高一上·内蒙古赤峰·阶段检测）命题“”的否定是__________. 5．（25-26高一上·甘肃白银·期中）写出下列命题的否定，并判断真假. (1)正方形都是菱形； (2)； (3)； (4)所有能被2整除的数都是偶数. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $