3.3.1 抛物线及其标准方程讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦抛物线及其标准方程核心知识点，先通过“一动三定”阐释抛物线定义，强调定点不在定直线上的条件，再系统梳理四种开口方向的标准方程及焦点、准线、p的几何意义，构建从定义到方程应用的学习支架。 该资料亮点在于考点覆盖全面，从定义辨析、轨迹方程到实际问题（如拱桥、卫星天线），题型多样且结合生活情境。通过分层练习培养数学眼光（观察现实）、数学思维（推理计算），课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

3.3.1 抛物线及其标准方程 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点2：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 考点一　抛物线的定义及辨析 考点二　利用抛物线定义求动点轨迹 考点三　根据抛物线方程求焦点或准线 考点四　根据抛物线的方程求参数 考点五　抛物线的焦半径公式 考点六　抛物线上的点到定点的距离及最值 考点七　抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点八　求抛物线的轨迹方程 考点九　求实际问题中的抛物线方程 考点一　抛物线的定义及辨析 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 2．（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 考点二　利用抛物线定义求动点轨迹 5．（25-26高二下·全国·专题训练）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 6．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 7．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 考点三　根据抛物线方程求焦点或准线 9．（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·山东聊城·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26高二下·上海·期末）抛物线 的焦点坐标为 ______ 12．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 13．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点到直线的距离为，则C的准线方程为_________． 14．（2026·山西晋城·三模）已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 考点四　根据抛物线的方程求参数 15．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 16．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 考点五　抛物线的焦半径公式 19．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 20．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 21．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则______． 22．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 23．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 24．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 考点六　抛物线上的点到定点的距离及最值 25．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 26．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 28．（2026高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 29．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 30．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 考点七　抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 31．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 32．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 34．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 35．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 36．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 考点八　求抛物线的轨迹方程 37．（25-26高二下·全国·专题训练）抛物线的对称轴为轴，顶点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点.求的方程. 38．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 39．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 40．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 41．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 42．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 考点九　求实际问题中的抛物线方程 43．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 45．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 46．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 1．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 5．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 9．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 11．（25-26高三下·甘肃武威·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 12．（2026·江苏·三模）（多选）若抛物线上仅存在两个点到直线的距离为，则实数的值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 15．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 16．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.1 抛物线及其标准方程 知识点1：抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 【注意】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线． 知识点2：抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 【注意】(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直，坐标原点与焦点的距离等于其到准线的距离． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项变量(x或y)及其系数的正负． (4)抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离为x0＋(焦半径公式)． 考点一　抛物线的定义及辨析 考点二　利用抛物线定义求动点轨迹 考点三　根据抛物线方程求焦点或准线 考点四　根据抛物线的方程求参数 考点五　抛物线的焦半径公式 考点六　抛物线上的点到定点的距离及最值 考点七　抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 考点八　求抛物线的轨迹方程 考点九　求实际问题中的抛物线方程 考点一　抛物线的定义及辨析 1．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线上的一点到其焦点的距离为3，则的值为______________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义转化已知距离求解. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离为，由抛物线定义可得点到直线的距离为， 即，解得. 2．（25-26高二下·四川乐山·期末）若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________． 【答案】6 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线为， 点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9， 所以，解得. 3．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 4．（25-26高二下·上海闵行·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则点到轴的距离为______． 【答案】 【分析】根据抛物线定义求出点A的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标的绝对值，即为点到轴的距离. 【详解】对于抛物线，由标准形式得，即，其准线方程为，焦点. 设点的坐标为，由抛物线的定义得，解得. 将代入抛物线方程，得，故. 因此点到轴的距离为. 考点二　利用抛物线定义求动点轨迹 5．（25-26高二下·全国·专题训练）若动圆M与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到到的距离与到直线 的距离相等，再利用抛物线的定义即可得解. 【详解】设动圆圆心为，半径为，由已知可得圆C的圆心为，半径. 因为两圆外切，所以. 又动圆M与已知直线相切， 所以圆心M到直线的距离. 所以. 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点M的轨迹是以C为焦点，为准线的抛物线， 且，， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 6．（2026高二·全国·专题练习）已知动点P(x，y)满足，则动点P的轨迹是（ ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】A 【详解】因为， 得， 即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 直线过点， 因为定点在定直线上，且动点到定点的距离等于到定直线的距离， 则轨迹为过点与直线垂直的直线. A正确. 7．（2026高三·全国·专题练习）坐标平面内到定点的距离和到定直线的距离相等的点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 平面内到定点与不经过该点的定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，其中定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线. ∴ 由题意可知，所求点的轨迹为抛物线，焦点为，准线为. ∴ 所求轨迹方程为. 8．（2026高二上·山西长治·专题练习）（1）求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程； （2）平面内一个动点到点的距离比它到直线的距离小个单位，求动点的轨迹方程． 【答案】（1） 或 ；（2）． 【分析】（1）根据题意分类讨论抛物线的对称轴为轴和轴时，分别设出抛物线方程，将点 的坐标代入，求出待定系数的值，即可得出答案； （2）根据题意分析出动点到点的距离等于它到直线的距离，由抛物线定义得出动点的轨迹是抛物线，再求出抛物线的方程即得解. 【详解】（1）由于点 在第四象限，所求抛物线以原点为顶点，且以坐标轴为对称轴， 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得 ，所以抛物线方程为 ； 当抛物线的对称轴为轴时，设抛物线方程为 ， 将点 的坐标代入，可得，解得，所以抛物线方程为 综上，所求的抛物线方程为 或 （2）由题意知，点 不可能在 轴左侧．设直线 ， 则轴右侧的点到直线的距离比它到直线的距离小个单位， 等价于动点到点的距离等于它到直线的距离， 根据抛物线的定义，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程为． 考点三　根据抛物线方程求焦点或准线 9．（25-26高二下·广西河池·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】抛物线的准线方程为. 10．（2026·山东聊城·一模）设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的横坐标为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程， 则，所以． 根据抛物线的定义可得，则， 解得． 即点的横坐标为. 11．（25-26高二下·上海·期末）抛物线 的焦点坐标为 ______ 【答案】 【分析】由抛物线的几何性质求解． 【详解】由，得，得抛物线的焦点坐标为． 12．（2026·北京·三模）已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 13．（2026·陕西西安·模拟预测）设抛物线的焦点到直线的距离为，则C的准线方程为_________． 【答案】 【详解】到直线的距离，解得， 所以的准线方程为． 14．（2026·山西晋城·三模）已知为抛物线上一点，若点到抛物线准线的距离为6，则点的横坐标为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【详解】设点的横坐标为，可知，准线为， 所以，解得． 考点四　根据抛物线的方程求参数 15．（25-26高二下·云南曲靖·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，点在的准线上，线段与交于点，且，，则________.（用，表示）. 【答案】 【分析】利用抛物线的定义及三角形相似得到比例关系，即可得. 【详解】如图，设准线与轴交于点，过点作于点， 由抛物线的定义得，且， ，即，得. 16．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，于.圆：的圆心为，若，则点的横坐标为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设点，利用抛物线焦半径公式可得，再结合列方程，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线：的焦点为，准线为， 设点，由于于，故， 的圆心为，由于，故， 结合点在上，则，即，即， 解得，即点的横坐标为. 17．（25-26高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 18．（25-26高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则______. 【答案】 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 考点五　抛物线的焦半径公式 19．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 20．（25-26高二下·陕西安康·期末）已知抛物线：的焦点为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，，则_____． 【答案】 【分析】根据题意，写出坐标，分别根据和列出两个等式，联立两个等式直接求出． 【详解】 设，则，， 由，得①， 由，得， 即②， 联立①②，解得，． 21．（2026·天津·模拟预测）已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则______． 【答案】 【分析】先根据抛物线的定义求出点的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后根据切线的性质，利用勾股定理求值. 【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得，    解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 22．（2026·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知两抛物线和，且为的焦点，为与的公共点，若，则（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，联立方程得，再结合距离公式得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】根据题意，联立方程得，整理得， 解得，，代入得，， 所以与的交点为，， 因为，所以，解得， 所以，，， 因为为的焦点， 所以，根据焦半径公式， 23．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】/ 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】 抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 24．（2026·陕西渭南·二模）若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（    ） A． B．8 C．10 D． 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 考点六　抛物线上的点到定点的距离及最值 25．（2026·四川广安·二模）已知点为抛物线上的动点，点为圆上的动点，点为抛物线的焦点，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】画出图形，利用抛物线的定义以及性质，转化求解最小值． 【详解】由题可知，抛物线焦点，准线方程为，圆心，半径为1， 过点作直线，垂足为，如图所示， 由抛物线定义可知，， 所以， 当点在同一直线时，可取到最小值， 因为点到直线的距离为6， 所以，即的最小值为5． 26．（25-26高二上·吉林延边·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为上一动点，点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据三角形三边关系可以判断A、C，根据抛物线的定义可以判断B，根据可以判断D. 【详解】A：根据题意可知的坐标为，因为，，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立， 而的方程为：，联立，得出，此时，故A正确； B：设在准线上的射影为，因为，故， 当且仅当，，共线且顺次排列时等号成立，此时，，故B正确； C：因，则，当且仅当共线且顺次排列时等号成立，故C错误； D：由，所以成立，故D正确. 故选：ABD. 27．（25-26高二上·河南周口·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，当取最小值时，点到直线的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】点在抛物线的内部，要求的最小值，利用抛物线的定义，过点直接作准线的垂线，求出与抛物线的交点，再利用点到直线距离求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 点在抛物线的内部，因为点是抛物线上一点， 所以等于点到准线的距离，过点向准线作垂线，交抛物线于点，即当点移动到时，取最小值，即， 则点到直线的距离， 故选：B． 28．（2026高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：。 29．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 30．（25-26高二下·重庆·期末）（多选）已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（    ） A． B．点B到D的准线的距离为2 C．直线AB与抛物线D相交 D．若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：定点到圆上点的距离的最值利用定点到圆心的距离加减半径可得，抛物线上的动点定点的距离与到焦点的距离之和的最小值可根据抛物线的定义转化为定点到准线的距离． 考点七　抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 31．（25-26高三下·江苏无锡·阶段检测）已知，M为抛物线上一动点，N是圆上一点，则的最小值是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】将转化为，再根据抛物线的定义考虑三点共线时的情况，由此求解出的最小值. 【详解】的焦点为，准线为， 即为， 所以圆心为即为焦点，半径，显然在抛物线内部， 过点作垂直准线，交准线于点，    所以，当且仅当三点共线时取等号， 又当且仅当三点共线时取最小值， 此时最小值为， 所以的最小值为5. 32．（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知为抛物线：的焦点，点，若为抛物线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线标准方程以及定义，结合两点之间线段最短，即可求得结果. 【详解】因为抛物线方程为，所以焦点，准线为， 设点到准线的垂线段为，垂足为， 根据抛物线定义得，所以， 根据两点之间线段最短得到，三点共线时等号成立， 且此时，所以，即的最小值为. 33．（2026高三·全国·专题练习）已知P为抛物线上任一动点，记点P到y轴的距离为d，对于给出定点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义，将d转化为，再由数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点是,准线是直线， 当时，，得， 因为，所以点在抛物线外，如图所示， 过P作准线，垂足为,交轴于,则,, 所以. 34．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 35．（2026·吉林长春·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】由题设得，作抛物线的准线于，结合抛物线的定义确定三角形周长的最小值. 【详解】由抛物线的焦点为，则，即， 作抛物线的准线于，则，且， 所以周长为， 结合图知，当且仅当共线，即时周长最小， 所以. 36．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线，点A在C上，圆，直线，点A到圆M上的点距离为，A到的距离为，则的最小值为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线定义将“点到准线的距离”转化为“点到焦点的距离”，再利用三点共线求最值的方法即可求解. 【详解】由题意得抛物线的准线为，焦点为，圆的圆心为，半径为1， 则，若求的最小值，则应三点共线， 且，则. 考点八　求抛物线的轨迹方程 37．（25-26高二下·全国·专题训练）抛物线的对称轴为轴，顶点为坐标系原点，焦点为直线与坐标轴的交点.求的方程. 【答案】 【分析】根据抛物线的焦点与系数的关系求解即可. 【详解】因为抛物线的对称轴为轴，所以的焦点在轴上， 又直线与轴的交点为，所以， 所以，解得， 所以抛物线的方程为：. 38．（26-27高三·全国·一轮复习）抛物线的焦点为直线与坐标轴的交点．其标准方程为_______. 【答案】或 【分析】利用直线与坐标轴交点求出抛物线的焦点，再利用焦点求出抛物线方程. 【详解】对于直线方程， 令，得；令，得， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为； 当焦点为时，，所以， 此时抛物线的标准方程为. 故所求抛物线的标准方程为或. 39．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知F是抛物线C：的焦点，P是第一象限内抛物线C上一点，P在抛物线C准线上的投影为Q，，，则抛物线C的标准方程为______． 【答案】 【分析】由图结合抛物线定义可得为正三角形，根据点的坐标建立方程求出的值即得抛物线的方程. 【详解】抛物线焦点为，准线为. 由抛物线定义可得，又，则为正三角形. 则，设，又过F作于点G， 则，则， 又，则，则有，解得. 故抛物线的方程为：，即. 故答案为：. 40．（25-26高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义结合已知条件可得的关系，再根据结合斜率的坐标表示可求解出的值. 【详解】如图所示，过作准线的垂线，垂足为，则， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 故答案为：. 41．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知抛物线：的焦点为F，点P在C上，P在C准线上的投影为Q，若，则________. 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意及抛物线定义可得，，则为等边三角形. 设，则.    因为，所以，则. 又，，则，即. 因为点P在C上，所以， 代入上式得，即，解得. 42．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】根据所求圆与直线相切、与已知圆外切及相对位置关系，列出方程化简即可. 【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即. 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与直线相切，得， 已知圆的圆心为，半径为1， 当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得. 平方后整理得， 故轨迹方程为，是抛物线． 故选：C． 考点九　求实际问题中的抛物线方程 43．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）如图为抛物线拱桥，当水面经过抛物线的焦点时，水面宽度为，若经过桥洞的一艘货船宽为，则其船体两侧的货物距离水面的最大高度不超过（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在平面直角坐标系中画出抛物线如下所示： 设抛物线的标准方程为，焦点坐标为， 当水面过抛物线焦点时，水面宽度为，因此抛物线经过点， 即有，所以，则 ，焦点坐标为， 所以水面距离轴距离为，因为船宽，所以船刚好通过时，点在抛物线上时， 此时代入抛物线方程得，此时两侧货物不能超过m. 44．（25-26高二下·河南·期中）彩凤穿花纹是中国传统瓷器经典装饰纹样．某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为1cm，曲线，均是焦点到准线的距离为5cm的抛物线的一部分，则该碗的高度为（    ） A．8cm B．10cm C．9cm D．11cm 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，利用方程求点的坐标即可得解. 【详解】如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为． 设，，易得，，则， 所以该碗的高度为． 45．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【分析】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 46．（25-26高二上·江西南昌·期末）图1所示的为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定信息，设出抛物线方程，并用给定点求出该方程即可. 【详解】设该抛物线的方程为，点的坐标为，则，解得， 因此该抛物线的方程为，其焦点，所以. 故选：A 1．（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 2．（25-26高二下·广东·期末）设为坐标原点，点在抛物线上，若点到的准线的距离为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用抛物线定义得出，进而得出抛物线方程得出点，再根据两点间距离公式计算. 【详解】由于，则， 于是，则，于是. 3．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 5．（25-26高二下·广东汕尾·期末）某隧道断面呈抛物线形，路面净宽，拱顶中心距路面垂直高度为，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为（冷藏货车可放宽至），最大车高限值为；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（     ）    A．无需限高 B．需限高，限高约 C．需限高，限高约 D．需限高，限高约 【答案】B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线方程，然后计算两车相邻行驶时，最左侧车身对应的抛物线上点的纵坐标，由此可得结论. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则是抛物线上的点，设抛物线方程为， 则，， 抛物线方程为， 是车宽，是两车相邻行驶时，车身水平安全间隙，由题意设，， 则点横坐标为，把代入抛物线方程得，， 因此车身高度至多为( )， 所以需限高，限高约    6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 7．（25-26高二下·浙江·期中）已知是抛物线：上的一个动点，是圆：上的一个动点，，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题先利用抛物线定义，将转化为点到准线的距离；再根据圆的性质，的最小值为（为圆心），故；当在抛物线上时，的最小值为到准线的距离，因此的最小值为． 【详解】 抛物线：的焦点是，准线方程为， 根据抛物线的定义，得（为到准线的距离）， 圆：的圆心为，半径， 因为在圆上，所以（当且仅当三点共线且在与之间时取等号）， 所以． 因为（ 与重合时取等号）， 所以． 8．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，设出切点，利用距离公式求出的表达式，利用勾股定理得出切线的表达式，借助二次函数即可求出切线长的最小值. 【详解】由题意， 在圆中，， 圆心，半径， 在抛物线中，点为抛物线上一点， ∴，连接， 设切点为，，分别与点连接，则切线, 由几何知识，，， ∵， ∴由勾股定理得，， 在中，对称轴，函数开口向上, ∴函数在上单调递增， ∴切线在处取最小值， .    9．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知P是抛物线上的一个动点，那么点P到直线的距离与到该抛物线准线距离之和的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离. 【详解】设过点分别向准线和作垂线，垂足分别为， 因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：， 所以只需要求最小即可. 当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即. 故选：B. 10．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】CD 【分析】根据的范围分类讨论，注意结合抛物线的定义判断． 【详解】表示动点到定点的距离，记为. 根据点到直线的距离公式，表示动点到定直线，记为. 因此. 当定点不在定直线上，即，也就是，根据抛物线的定义，轨迹是抛物线. 当定点在定直线上，即，此时满足条件的点的轨迹是过且垂直于的直线. 11．（25-26高三下·甘肃武威·期中）（多选）已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，则（    ） A． B．的方程为 C．原点到直线的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据抛物线的标准方程特点与几何性质求解. 【详解】将的坐标代入的方程，得，， 所以的方程为，，：， 由抛物线的定义，得，故A正确，BD错误； 直线的方程为， 故原点到直线的距离为，故C正确. 12．（2026·江苏·三模）（多选）若抛物线上仅存在两个点到直线的距离为，则实数的值可以是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】首先设出与已知直线平行的直线方程，根据直线与抛物线的交点个数分类讨论即可求解；或设出抛物线上的点的坐标，根据点到直线的距离公式得到两个一元二次方程，根据解的个数对判别式进行讨论，即可判断. 【详解】方法一：设与直线平行的直线方程为， 则两条平行线间的距离为，令，即， 所以或， 由方程组得， 所以， 当 ，即时，直线与抛物线有两个交点； 当 ，即时，直线与抛物线有一个交点； 当 ，即时，直线与抛物线无交点. 因为抛物线上仅存在两个点到直线的距离为， 所以两条平行线与抛物线的交点总数为2，即两条平行线与抛物线的交点个数分别为2，0或1，1， 当两条平行线与抛物线的交点个数分别为2，0时， 因为，所以，解得； 当两条平行线与抛物线的交点个数分别为1，1时，有，无解. 综上，实数a的取值范围是，结合选项可知选ABC. 方法二：设抛物线上的点为， 则点到直线，即的距离为， 令，即 ，所以 或 . 因为抛物线上仅存在两个点到直线的距离为， 所以这两个一元二次方程 与 的实数解的总数为2， ，. 所以有以下三种情况： （1），即，无解，不符合题意； （2），即，解得； （3），即，无解，不符合题意. 综上，实数a的取值范围是，结合选项可知选ABC. 方法三（排除法）：前同方法二， 对于A，当时， ，符合题意； 对于B，当时， ，符合题意； 对于C，当时， ，符合题意； 对于D，当时， ，两个一元二次方程实数解的总数为1，不符合题意. 13．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【分析】先分别求出双曲线与抛物线的焦点，再根据右焦点重合求解即可. 【详解】由题意得双曲线的方程为，则， 则，右焦点为， 抛物线的焦点为， 则有，解得. 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知点是抛物线上的动点，点是圆上的动点，则两点间的最短距离为_____． 【答案】/ 【分析】由题意转化为抛物线上动点到圆心的距离的最小值即可得解. 【详解】由圆，知圆心为，半径为， 设为抛物线上动点，则两点间的距离为， 所以当时，， 所以． 故答案为： 15．（25-26高二上·湖南株洲·期末）已知为抛物线的焦点，点是抛物线上一点，，且直线的倾斜角为，则抛物线的方程为________． 【答案】 【分析】设点在准线上的射影点为，连接，分析可知为等边三角形，求得，结合，可得出的值，即可得出的值，由此可得出抛物线的方程. 【详解】设点在准线上的射影点为，连接，如下图所示： 由抛物线的定义可得， 因为，易知轴，则， 故为等边三角形，则，所以，且， 设准线与轴的交点为，易知，，故， 易知，故抛物线的标准方程为. 16．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是抛物线：（）的焦点，点在上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若过点的直线交于，两点，且，求的值． 【答案】(1) (2)2或． 【分析】（1）代入点的坐标，结合抛物线定义，联立方程求出即可求出抛物线的方程； （2）设直线方程，联立抛物线方程，表示出韦达定理，利用弦长公式求出和，化简求解对应方程的根即可求出的值. 【详解】（1）解：因为点在上，所以①， 根据抛物线的定义可知，②，由①②解得， 所以抛物线的方程为； （2）设直线的方程，，， 联立方程组，化简整理得， 则，，， 由弦长公式可得， 代入，解得， 因为，又因为， 所以， 令，则，解得或，即或， 所以或， 因此的值为2或． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $