3.3.1 抛物线及其标准方程(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

3．3　抛物线 3．3.1　抛物线及其标准方程 [对应学生用书P83] 学习目标 1．掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念． 2．会求简单的抛物线方程． 知识点一　抛物线的定义 如图，点F是定点，l是不经过点F的定直线. H是直线l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 抛物线的定义 定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 焦点 点F叫做抛物线的焦点 准线 直线l叫做抛物线的准线 集合 表示 P＝{M||MF|＝d，d为点M到准线l的距离} (1)定义条件：点F不在直线l上，否则若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线而不是抛物线． (2)一动三定：一动即动点；三定：定点即焦点；定直线即准线；定值即动点到定点的距离与到定直线的距离之比为1． [练1] 若动点P到定点F(4，0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　) A．抛物线 B． 线段 C．直线 D．射线 C　解析：因为直线经过点F，所以点P的轨迹为直线． [练2] 到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．椭圆 B． 圆 C．抛物线 D．直线 C　解析：因为动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线．故选C． 知识点二　抛物线的标准方程 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为应如何选择坐标系，建立的抛物线方程才能更简单？ 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px (p＞0) (，0) x＝－ y2＝－2px (p＞0) (－，0) x＝ x2＝2py (p＞0) (0，) y＝－ x2＝－2py (p＞0) (0，－) y＝ p永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数决定开口方向，系数为正(负)时开口方向与坐标轴的正(负)方向相同. [例1] 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点M(－6，6)； (2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上． 解：(1)由于点M(－6，6)在第二象限，所以过M的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，则焦点在x轴上，设其方程为y2＝－2p1x(p1>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝－2p1×(－6)，所以p1＝3. 所以抛物线的方程为y2＝－6x. 若抛物线开口向上，则焦点在y轴上，设其方程为x2＝2p2y (p2>0)，将点M(－6，6)代入，可得36＝2p2×6，所以p2＝3， 所以抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y. (2)①因为直线l与x轴的交点为(2，0)，所以抛物线的焦点是F(2，0)，所以＝2，所以p＝4， 所以抛物线的标准方程是y2＝8x. ②因为直线l与y轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F(0，－3)，所以＝3，所以p＝6， 所以抛物线的标准方程是x2＝－12y. 综上，抛物线的标准方程是y2＝8x或x2＝－12y. 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的次数． [练3] 若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1，0)，则p＝ ，准线方程为 ． 答案：2　x＝－1　解析：因为抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1． [练4] 求焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为 ． 答案：x2＝10y和x2＝－10y　解析：由题意可设抛物线方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，则m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 综合应用：抛物线的简单综合 考法1　抛物线定义的应用 [例2] (1)抛物线y＝上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为 ． (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 答案：(1)4　解析：抛物线的方程y＝可化为x2＝8y. 由抛物线的定义可知，点P到准线y＝－2的距离为6， 所以点P到x轴的距离为4. (2)解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离． 由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F(，0)三点共线时距离之和最小，所以最小距离d＝＝. 抛物线定义的应用 实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题． [练5] 已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F1，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为 ． 答案：4　解析：把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2，0).故点A到焦点的距离为4. 考法2　抛物线的实际应用 [例3] 某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后本船露在水面上的部分高为 m，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 由题意知，点A(4，－5)在抛物线上(设AA′为水面宽且AA′＝8 m)， 所以16＝－2p×(－5)，2p＝， 所以抛物线方程为x2＝－y(－4≤x≤4). 设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B，B′(B′与B关于y轴对称)时，船开始不能通航， 设B点坐标为(2，y)，由22＝－y，得y＝－， 此时水面与抛物线拱顶相距|y|＋＝＋＝2(m).故水面上涨到与拱顶相距2 m时，木船开始不能通航． 求解抛物线实际应用题的五个步骤 (1)建系：建立适当的坐标系； (2)假设：设出合适的抛物线标准方程； (3)计算：通过计算求出抛物线标准方程； (4)求解：求出所要求出的量； (5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题． [练6] 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，求管柱OA的长． 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则B点坐标为(0，0)，设水流所形成的抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)， 因为点C(5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p·(－5)， 所以2p＝5，所以抛物线的方程为x2＝－5y， 因为点A(－4，y0)在抛物线上， 所以16＝－5y0，即y0＝－， 所以OA的长为5－＝1．8(m). 所以管柱OA的长为1．8 m． 1．知识清单 (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程的四种形式． (3)抛物线定义的应用． 2．方法归纳：待定系数法、定义法、转化化归． 3．常见误区：混淆抛物线的焦点位置和方程形式． ◎随堂演练 1．抛物线y2＝4px(p＞0)上一点M到焦点的距离为a，则M到y轴的距离为(　　) A．a－p B． a＋p C．a－ D．a＋2p A　解析：由题可得点M到准线的距离为a，又准线方程为x＝－p，所以M到y轴的距离为a－p. 2．(多选)已知抛物线C的焦点在直线x－2y＋3＝0上，则抛物线C的标准方程为(　　) A．y2＝12x B． y2＝－12x C．x2＝－6y D．x2＝6y BD　解析：易知直线x－2y＋3＝0与坐标轴的交点分别为(－3，0)，， 当焦点为(－3，0)时，可知抛物线方程为y2＝－12x； 当焦点为时，可知抛物线方程为x2＝6y.故选BD． 3．(2024·北京卷)抛物线y2＝16x的焦点坐标为 ． 答案：(4，0)　解析：由题意，知p＝8，则＝4，所以抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4，0). 4．根据下列条件求抛物线的标准方程． (1)已知抛物线的焦点是F(3，0)； (2)已知抛物线的焦点在y轴的正半轴上，焦点到准线的距离为3； (3)准线方程是4y＋1＝0. 解：(1)由题意，设抛物线方程为y2＝2px(p>0). ∵＝3，∴p＝6. 故抛物线的标准方程为y2＝12x. (2)由题意，设抛物线方程为x2＝2py(p>0). ∵p＝3，∴抛物线的标准方程为x2＝6y. (3)因为抛物线的准线方程为y＝－，所以抛物线开口向上，且＝，解得p＝，所以所求抛物线方程为x2＝y. 学科网（北京）股份有限公司 $$