3.1.2 椭圆的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质这一核心知识点，从椭圆的范围、顶点、焦点、对称性等几何性质出发，系统梳理离心率的定义及与椭圆扁平程度的关系，进而延伸到点与椭圆、直线与椭圆的位置关系判定，构建起从基础性质到综合应用的完整知识支架。 该资料以九类考点为框架，涵盖基础性质应用、离心率计算、实际问题解决等题型，结合“天问一号”轨道等实例，引导学生用数学眼光观察现实世界。通过多样化例题培养逻辑推理的数学思维，以规范表达强化数学语言运用，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1：椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． 知识点2：求椭圆的离心率 【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 知识点3：直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况． 考点一　椭圆的简单几何性质 考点二　由椭圆的几何性质求标准方程 考点三　点和椭圆的位置关系 考点四　根据椭圆的有界性求范围或最值 考点五　椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 考点六　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点七　由椭圆的离心率求参数的取值范围 考点八　直线与椭圆的位置关系 考点九　椭圆实际应用 考点一　椭圆的简单几何性质 1．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的方程为． (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 【答案】(1)； (2)长轴长，短轴长，焦距，离心率. 【分析】（1）将椭圆的方程化为标准方程，求得，判定焦点所在坐标轴直接写出即可； （2）结合（1），根据椭圆性质直接写出即可. 【详解】（1）椭圆的方程为，即， 所以，，， 因为，所以椭圆的焦点在轴上，即焦点坐标为：； （2）由（1）可知，椭圆长轴长为，短轴长为， 焦距；离心率. 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 【答案】(1) (2)长轴长为，短轴长为，离心率为，顶点坐标为， 【分析】（1）设椭圆方程为，即可得到、、的方程组，解得即可； （2）由（1）可得，根据椭圆的性质计算可得. 【详解】（1）依题意设椭圆的标准方程为， 则，解得， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可得，所以长轴长为，短轴长为， 离心率，顶点坐标为，. 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 【答案】D 【详解】设椭圆的方程为， 因为椭圆过点，，代入得，解得，， 所以椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，故A和B错误； 因为，所以，所以椭圆的焦距为，故C错误； 椭圆的离心率，故D正确. 4．（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆上点到两个焦点的距离之和为和两个焦点的距离为，即可求解出短轴长. 【详解】 根据题意可知，在如图所示中， 对于椭圆上的点，有，代入，得半长轴， 椭圆的焦距为，代入，得半焦距， 由于椭圆中半长轴、半短轴与半焦距之间满足关系式， 代入，得半短轴长，因此短轴长为. 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 【答案】BD 【详解】由椭圆方程知，中，中， 的短轴长为，的短轴长为2，A错误； 都经过点，B正确； 的焦距为，的焦距为2，C错误； 的离心率都为，D正确． 6．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】BCD 【分析】根据椭圆方程判断其焦点位置，求出的值，即可逐一判断. 【详解】由可知椭圆的焦点在轴上，且长半轴长为，短半轴长为， 则半焦距为，离心率为. 故A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD. 考点二　由椭圆的几何性质求标准方程 7．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 【答案】(1)标准方程为，离心率为，准线方程 (2) 【分析】（1）设椭圆方程为：且，代入所过两点可得答案； （2）由（1）设椭圆方程为：，然后由离心率可得答案. 【详解】（1）设椭圆方程为：且， 代入，可得，则椭圆方程为：。 离心率为：。准线方程为：； （2）由（1）知，故可设与椭圆共焦点的椭圆的方程为：， 因离心率为：，则椭圆D的标准方程为：. 8．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 9．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 10．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】由长轴长为6得到，从而得到，由离心率为得到，从而得到，由计算出，继而得到椭圆的方程. 【详解】长轴长为6，，， 离心率为，，，， ，，椭圆的方程为. 故答案为：. 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件确定椭圆的焦点位置，设出其标准方程，列出关于的方程组，求解即得所求； （2）依题意，设所求圆的一般方程，代入三点坐标求解方程组即得所求； （3）依题意，设椭圆的方程为，代入两点坐标求解方程组即得所求. 【详解】（1）依题意，椭圆的焦点在轴上，且半焦距为， 设椭圆方程为， 由椭圆过点，则，又，建立解得， 故所求椭圆的标准方程为. （2）设所求圆的一般方程为， 将已知三点的坐标代入，即得方程组，解得， 故所求圆的方程为，即. （3）设所求椭圆的方程为， 将两点坐标代入，可得，解得， 故所求椭圆的标准方程为. 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 考点三　点和椭圆的位置关系 13．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 【答案】C 【分析】判断点与椭圆的位置关系是点在椭圆上，则可判断出过点 的直线与椭圆交点个数. 【详解】，在椭圆上， 过点 的直线与椭圆交点个数有1 个或 2 个. 故选：C. 14．（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B 15．（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点和椭圆位置关系的判断方法，分别把点的坐标代入椭圆方程的左侧部分，计算其数值大于的点即为答案. 【详解】由椭圆方程为， 因为，所以点在椭圆内部，A错误； 因为，所以点在椭圆内部，B错误； 因为，所以点在椭圆外部，C正确； 因为，所以点在椭圆内部，D错误. 故选：C. 16．（25-26高二上·四川乐山·期中）点P(2,1)在椭圆的内部______.（正确或错误） 【答案】错误 【分析】根据椭圆内部，外部的条件判断. 【详解】∵，∴点P(2,1)在椭圆的外部， 故答案为：错误. 考点四　根据椭圆的有界性求范围或最值 17．（25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先设，根据得到，根据P在椭圆内，得到，故，则，利用极化恒等式得到. 【详解】不妨设， 设，则，， 故， 化简得，因为P在椭圆内，故，即，解得， ， 因为，，两式平方相减可得 . 故答案为： 18．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 19．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据椭圆方程分析可知，，代入结合二次函数求最值即可. 【详解】由椭圆：可知，，， 即，为椭圆的左，右焦点， 则，即， 且，即， 则， 可知当时，取到最大值4； 当或时，取到最小值3； 所以的取值范围是. 故答案为：. 21．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 22．（2026·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 考点五　椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 23．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 24．（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对A，其离心率为， 对B，其离心率为， 对C，其离心率为， 对D，其离心率为， 根据离心率越小，其越接近于圆，则最小，其形状最接近于圆，则A选项符合题意. 25．（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】设三条曲线的方程为 （），其中 相同,离心率 由图可知，短半轴 ，因此 ， 即 . 两边同除以 ，得 ，即 . 故选：B 26．（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 考点六　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 27．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理和椭圆定义可得，求出答案 【详解】设． 在中，由三角形内角和得． 由正弦定理得，即． 由椭圆定义得，即，所以． 其中， ， 椭圆离心率，得． 28．（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意，点在椭圆上可得，则，求出的取值范围后即可得解. 【详解】P为椭圆的下顶点，四边形为平行四边形， 在y轴上，，且M，N关于x轴对称， 因为的倾斜角，所以点在第一象限， 可设点， 由点在椭圆上可得，解得， 直线的倾斜角， ，即， 但，，即. 29．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量的关系，可得椭圆的离心率. 【详解】如图， 设椭圆的左焦点为，根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形， 所以，， 所以，所以. 又，所以. 在中，由余弦定理得：， 即. 所以椭圆的离心率为. 30．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率之积为，得出，再由直线的斜率为4，结合椭圆的定义，得，从而，再由，建立关于的等式求解. 【详解】因为直线的斜率之积为， 所以， 由直线的斜率为4，可知，所以， 因为，所以， 又，所以， 所以，所以. 31．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 【答案】 【分析】设，，将A，B的坐标分别代入C的方程， 法一：消去，得出，由椭圆的性质得到，，进而得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法二：消去，得，根据，得到，最后根据椭圆的离心率求解； 法三：分直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，设直线，的方程分别为，，将直线与椭圆方程联立，求出，，得到，令，则，求出，由，得到，最后根据椭圆的离心率求解. 【详解】由题意，设，， 将A，B的坐标分别代入C的方程，得 法一：消去，可得，由椭圆的性质，得，，得， 整理得，即，又， 所以，故C的离心率的取值范围为. 法二：消去，可得，解得，考虑到，可得，即，下同法一. 法三：当直线斜率不存在，即，时，显然有； 当直线斜率存在时，设直线，的方程分别为，， 由与联立，解得，则， 所以，同理， 所以. 令，则，所以，解得， 由，解得， 所以，， 又，所以. 故的离心率的取值范围为. 32．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义表示，再结合直角三角形勾股定理建立与的关系，进而求得离心率. 【详解】设，则，， 根据椭圆定义，，， 又因为，所以在中， 即，解得，则，， 则在中，，即， 所以故离心率. 考点七　由椭圆的离心率求参数的取值范围 33．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 34．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，进而得到，，，再根据余弦定理建立方程求解即可. 【详解】由题意，，即， 由于，，则， 设，则， 在中，，，， 由余弦定理得， 则， 解得，即.    35．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据椭圆的方程和离心率公式可得到，结合椭圆的离心率的取值范围解不等式即可. 【详解】依题意，设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则，所以， 又椭圆的离心率为，所以， 即，即，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，求得，根据椭圆的离心率为，求得，再由斜率公式，化简得到，即可求解. 【详解】由椭圆，可得， 设，由，可得， 因为椭圆的离心率为，可得，解得， 又因为，可得. 故选：C. 37．（2025·陕西安康·模拟预测）设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则______． 【答案】 【分析】法一：连接OP，，过点P向x轴作垂线，垂足为B，确定点的坐标为，代入椭圆方程，化简进而可求解；法二：由离心率求导，进而可对椭圆方程进行变形，与圆联立可求出点的坐标，进而求出相应的边长，进而求角的余弦值. 【详解】解法一 不妨设点在第一象限，如图1， 连接OP，因为为以为直径的圆与C的一个交点，所以． 设，易知，所以，． 过点P向x轴作垂线，垂足为B，则，，所以， 所以点的坐标为． 因为离心率，所以，所以， 将点代入椭圆方程，得，即， 即，解得或，又α为锐角， 所以，即． 解法二  如图2，不妨设点在第一象限，因为离心率， 所以， 所以，，C的方程可化为， 以为直径的圆的方程为， 联立椭圆与圆的方程得， 化简得，解得或． 因为恰好是椭圆与圆的交点坐标，且为长轴端点， 所以时，，所以点P的坐标为． 连接，则， 所以，又， 所以． 故答案为： 38．（25-26高二下·湖南·阶段检测）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．的焦距为 C．的最小值为1 D．的最大值为5 【答案】AC 【分析】先利用椭圆的几何性质，求得，得到，由椭圆的定义，可判定A正确；由椭圆的焦距为，可判定B不正确；由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，设点，求得，得到，结合二次函数的性质和圆的性质，可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆：的离心率为，可得， 解得，所以，则， 对于A中，由椭圆的定义，可得，所以A正确； 对于B中，椭圆的焦距为，所以B不正确； 对于C中，如图所示，圆，则圆心为，半径， 设点，其中，则满足，可得， 则， 当时，取得最小值，，此时，所以C正确； 当时，取得最大值，，此时，所以D不正确. 故选：AC. 考点八　直线与椭圆的位置关系 39．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 40．（25-26高二上·全国·专题训练）已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为______. 【答案】或 【分析】首先判断点与椭圆的位置关系，分类讨论切线的斜率是否存在，设切线方程并联立圆的方程，根据所得方程求参数k，即可写出切线方程. 【详解】因为，P在外部， 1.当斜率不存在时，易知为椭圆一切线； 2.当斜率存在时，设切线斜率为，则切线方程为， 代入中并整理得， 因为直线与椭圆相切，则，解得， 此时切线方程为； 所以切线方程为或. 故答案为：或. 41．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率和焦距列出等式，求得即可； （2）由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题知得，， 所以椭圆的方程为． （2）椭圆的右焦点，所以直线的方程为：， 代入椭圆的方程，化简得，， 设，，由韦达定理知，，， 故． 由弦长公式，得， 即弦的长度为． 42．（25-26高一下·河北保定·期末）已知椭圆C：的短轴长为2，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C相交于A，B两点．O是坐标原点，的面积是，求实数m的值． 【答案】(1) (2)1或2． 【分析】（1）利用椭圆短轴长，可求得，利用点在椭圆上，进而可求，可得椭圆方程； （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理可求得，求解即可. 【详解】（1）由椭圆的短轴长为2，得，解得， 所以椭圆方程为，又点在椭圆上． 所以，解得，所以椭圆的标准方程为； （2）设点， 联立直线与椭圆方程，得， 则，即， 且， 又直线与轴的交点， 所以 ， 因为的面积是，所以，所以， 解得或，均符合题意. 故实数的值为或．    43．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求出斜率，进而求出所求直线方程. 【详解】显然直线的斜率存在，设为，直线的方程为， 由消去得， 由直线与椭圆相切，得， 整理得，解得， 所以过A点且与直线l垂直的直线方程为，即． 44．（25-26高二上·江苏淮安·期中）（多选）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 【答案】BC 【分析】求出椭圆的方程，利用点与椭圆的位置关系可判断A选项；利用椭圆的离心率公式可判断B选项；利用直线与椭圆的位置关系可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【详解】设椭圆的方程为，由题意可得，解得， 故椭圆的方程为， 对于A选项，因为，故点不在椭圆上，A错； 对于B选项，，，则， 所以椭圆的离心率为，B对； 对于C选项，直线的方程可化为，该直线过定点， 因为，则点在椭圆内，故直线与椭圆相交，C对； 对于D选项，若的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，设点、，由题意可得， 因为，两个等式作差得， 所以，故，D错. 故选：BC. 考点九　椭圆实际应用 45．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小. 【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 46．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【详解】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 47．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 48．（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用椭圆的标准方程及性质可判断各选项. 【详解】如图，以线段的中点为原点，所在直线为轴， 以的方向为轴正方向建立直角坐标系， 则可设轨道所在的椭圆的标准方程为， 则由已知，， 所以，，故离心率为，故A正确； 以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道，环绕周期为， 所以环绕的圆形轨道周长为，半径为，所以火星半径为， 故B正确，C错误， 因为近火星点与远火星点的距离为，故D正确. 故选：C． 1．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆方程知，故短轴长为. 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【详解】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为, 依题意，，因,则， 故. 故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求出的值，再由离心率公式求解即可. 【详解】因为椭圆的短轴的长为6， 所以，解得， 所以， 所以离心率. 5．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据离心率建立等量关系即可求出. 【详解】解：由题知椭圆焦点在轴上，所以， 因为，所以，即， 解得，所以. 6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，确定焦点的位置，求椭圆的离心率，从而可求实数的取值范围. 【详解】由椭圆方程， 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得； 当时，椭圆焦点在轴上，，，， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，依题意即得，借助于的关系求解不等式即得离心率的范围. 【详解】由可得，要使点M总在椭圆内部， 即需使以为直径的圆上的点总在椭圆的内部， 如图可得，即，得，则， 又，则得. 8．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得出，利用椭圆的定义结合勾股定理可得出与的等量关系，可得出的值，然后在中利用余弦定理可得出与的关系，即可得出椭圆的离心率的值. 【详解】不妨设，则，， 由椭圆定义可得，， 因为是以为斜边的直角三角形，由勾股定理可得， 即，整理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，，， ， 由余弦定理可得， 整理可得，故椭圆的离心率为. 9．（25-26高二下·云南玉溪·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 【答案】BCD 【分析】A选项：利用离心率公式计算即可；B选项：设，利用的符号判断夹角即可；C选项：结合椭圆定义和基本不等式求的最大值即可；D选项：分、、三类情况，分别计数符合条件的点的个数即可. 【详解】已知椭圆，其中，，， 对于A：离心率，故A错误； 对于B：设，则， 又因为，化简得：，代入得：， 所以两向量的夹角不可能为钝角，故B正确； 对于C：设，，则， 由均值不等式，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4，故C正确； 对于D：等腰三角形有三种情况， （1）当时，点P取短轴端点，共有2个点P符合要求； （2）当时， 设，由距离公式：，平方得：， 由点P在椭圆上，得， 代入：．化简得：， 解得：． 因为，所以，所以共有两个点P符合要求； （3）当时，同理共有两个点P符合要求； 综上：使得为等腰三角形的点P共有六个，故D正确． 10．（25-26高二下·山东东营·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 【答案】ABC 【详解】，则， 椭圆C的离心率为，故A正确； 周长为，故B正确； 点P到焦点的距离取值范围为，即，故C正确； 当点位于短轴顶点时最大，此时，则， 此时，故D错误. 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 【答案】 【分析】根据切点弦直线方程的求解过程求解，即可求得直线的方程，从而可得，再根据三角形面积公式和基本不等式求解即可. 【详解】设，， 则圆在处的切线方程分别为， 又切线过点，所以， 所以弦的方程为． 则直线与两坐标轴轴、轴的交点分别为． 因为是椭圆在第一象限上的动点，则，且， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以． 所以面积的最小值为． 13．（2026高三·全国·专题练习）从椭圆上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，B是椭圆上顶点，且（，O为坐标原点），若该椭圆的准线方程是，则椭圆方程为_______． 【答案】 【分析】根据题意，向量共线的性质，及椭圆的准线方程得到关于，，的方程组，求解即可得到椭圆方程． 【详解】由题意得，，，则，， 由，，则，即， 又该椭圆的准线方程是，即， 联立，解得， 所以椭圆方程为． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 【答案】/ 【分析】圆与相内切，切点分别为、、，由圆的切线的性质及椭圆的定义、结合三角形的面积公式和二倍角的正弦公式，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值. 【详解】 如图可得，圆与相内切，切点分别为、、， 由圆的切线的性质，可得，，， 由椭圆的定义可得， 即有，由，可得， 设圆的半径为，可得， 结合的面积公式可得，和， 即， 由于点是的内心，所以是的角平分线，即， 在直角中，， 则， 代入，可得， 由于，代入并化简可得，即， 所以椭圆的离心率. 15．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质和离心率分别求出，进而求出椭圆方程； （2）设直线方程，利用已知几何关系结合椭圆的性质求出点坐标，进而求出直线的方程． 【详解】（1）已知离心率，则，故， 椭圆过点，则，解得，故， 椭圆的方程为． （2）为椭圆的右焦点，由（1）知， 由已知直线斜率存在，设为，则直线的方程为， 若，则为轴，此时三点共线，不合题意，舍去； 设，且在之间， 已知与的面积相等，且等高，则， 故是中点，则， 由位于椭圆上，则， 整理得，联立椭圆方程得， 解得，代入椭圆方程得：，解得， 故或， 则直线的斜率为， 故直线方程为：． 16．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用椭圆上顶点和离心率，结合直接求出椭圆标准方程； （2）设直线方程，联立椭圆用韦达定理，表达三角形面积，解方程求出参数t即可. 【详解】（1）由题知，，而离心率为，故， 因为，故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，且过点， 故设直线，， 由，得， 故，即， 且， 故， 解得， 所以直线或 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1：椭圆的几何性质 1．椭圆的几何性质：范围、顶点、焦点、对称性． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准 方程 ＝1(a＞b＞0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且 －b≤y≤b －b≤x≤b且 －a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2－b2 2．椭圆的离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比． (2)记法：e＝∈(0，1)． 【注意】(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c． 知识点2：求椭圆的离心率 【注意】e＝＝．e越接近1，椭圆越扁平；e越接近0，椭圆越接近于圆．(可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆) 知识点3：直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法： 点P在椭圆上； 点P在椭圆内部； 点P在椭圆外部． 2．直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系及判断方法：联立消去y(或x)，得关于x(或y)的一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程没有实数根，直线与椭圆相离． 【注意】设直线方程时注意斜率不存在的情况． 考点一　椭圆的简单几何性质 考点二　由椭圆的几何性质求标准方程 考点三　点和椭圆的位置关系 考点四　根据椭圆的有界性求范围或最值 考点五　椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 考点六　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 考点七　由椭圆的离心率求参数的取值范围 考点八　直线与椭圆的位置关系 考点九　椭圆实际应用 考点一　椭圆的简单几何性质 1．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）已知椭圆的方程为． (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率． 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且经过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标． 3．（25-26高二下·贵州毕节·期中）焦点在x轴上的椭圆经过，，则下列说法正确的是（    ） A．长轴为4 B．短轴为2 C．焦距为 D．离心率 4．（25-26高二下·上海·期中）在中，，点在以为焦点的椭圆上，则该椭圆的短轴长为______. 5．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）（多选）已知椭圆与椭圆，则（    ） A．的短轴长相等 B．有公共点 C．的焦距相等 D．的离心率相等 6．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）（多选）关于椭圆，下列结论正确的有（   ） A．长轴长为4 B．短轴长为4 C．焦距为4 D．离心率为 考点二　由椭圆的几何性质求标准方程 7．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 8．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 9．（25-26高二上·天津河北·阶段检测）已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 10．（25-26高二上·广西·阶段检测）已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为__________. 11．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点坐标分别为，且经过点的椭圆； (2)过三点、、的圆； (3)过两点、的椭圆． 12．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 考点三　点和椭圆的位置关系 13．（25-26高二上·重庆·期末）过点的直线与椭圆交点个数有（    ） A．0 个 B．1 个 C．1 个或 2 个 D．2 个 14．（2026·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·吉林四平·阶段检测）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·四川乐山·期中）点P(2,1)在椭圆的内部______.（正确或错误） 考点四　根据椭圆的有界性求范围或最值 17．（25-26高二上·江苏南京·期末）椭圆的长轴的顶点为、，动点P在椭圆内，且，则的取值范围是______． 18．（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·河北保定·期中）已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为__________. 20．（25-26高二上·上海·期中）已知，，点为椭圆：上的动点，则的取值范围是________． 21．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 22．（2026·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 考点五　椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 23．（25-26高二下·浙江杭州·期中）下列椭圆中，形状最接近于圆的是（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高二下·重庆·阶段检测）下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（   ） A． B． C． D． 25．（25-26高二上·山东潍坊·期末）如图，直角坐标系中有3条圆锥曲线，其离心率分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 考点六　求椭圆的离心率或离心率的取值范围 27．（26-27高三上·湖北·开学考试）已知，是椭圆的左、右焦点，为上一点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高三上·全国·专题练习）设椭圆的下顶点为，M，N在椭圆上，若四边形为平行四边形，为的倾斜角，且，则椭圆的离心率的取值范围是______． 29．（2026·河北秦皇岛·二模）已知椭圆（）的右焦点为，过原点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是上一点，直线的斜率为4，直线的斜率为，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26高二下·江西·期末）在平面直角坐标系中，若椭圆：上存在两点A，B，使得，且，则的离心率的取值范围是_______. 32．（2026·山东济南·模拟预测）设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 考点七　由椭圆的离心率求参数的取值范围 33．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，，以为焦点的椭圆经过点，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是______. 34．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）设，分别是椭圆（）的左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（点在轴下方），交轴正半轴于点，已知椭圆的离心率，且，则（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二上·上海松江·阶段检测）椭圆的两焦点分别为，设椭圆的离心率，则实数的取值范围是_____. 36．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）设是椭圆上不同于左顶点,右顶点的任意一点，记直线，的斜率分别为，，若椭圆的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 37．（2025·陕西安康·模拟预测）设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则______． 38．（25-26高二下·湖南·阶段检测）（多选）已知椭圆的离心率为，是的焦点，是上一动点，是圆上一动点，则（    ） A． B．的焦距为 C．的最小值为1 D．的最大值为5 考点八　直线与椭圆的位置关系 39．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是___________. 40．（25-26高二上·全国·专题训练）已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为______. 41．（25-26高二下·陕西咸阳·期末）已知椭圆：的焦距为4，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于、两点，求弦的长度． 42．（25-26高一下·河北保定·期末）已知椭圆C：的短轴长为2，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：与椭圆C相交于A，B两点．O是坐标原点，的面积是，求实数m的值． 43．（26-27高三·全国·一轮复习）过椭圆上的点作椭圆的切线l，则过A点且与直线l垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·江苏淮安·期中）（多选）平面直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点、均在椭圆上，则（    ） A．点在椭圆上 B．椭圆的离心率为 C．直线与椭圆相交 D．若椭圆上弦的中点坐标为，则直线的斜率为 考点九　椭圆实际应用 45．（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 48．（25-26高二上·上海·期末）某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”，如图，探测器在环火星椭圆轨道近火星点处制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离火星表面的环火星圆形轨道（火星的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为．已知为火星的半径，远火星点到火星表面的最近距离为，则下列说法不正确的是（    ） A．椭圆轨道的离心率为 B．圆形轨道的周长为 C．火星半径为 D．近火星点与远火星点的距离为 1．（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西商洛·期末）椭圆的短轴长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 4．（25-26高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆的短轴的长为6，则该椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率，则（    ） A．4 B． C．2 D． 6．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）椭圆的离心率的范围为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖南怀化·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、．过的直线与椭圆交于、两点，且满足．若是以为斜边的直角三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·云南玉溪·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．不存在点，使得 C．的最大值为4 D．使得为等腰三角形的点共有六个 10．（25-26高二下·山东东营·期末）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆C的离心率为 B．周长为 C．点P到焦点的距离取值范围为 D．椭圆上不存在点P，使得 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 12．（2026高三上·全国·专题练习）已知点是椭圆在第一象限上的动点，过点引圆的两条切线、，切点分别是、，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 13．（2026高三·全国·专题练习）从椭圆上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，A为椭圆的右顶点，B是椭圆上顶点，且（，O为坐标原点），若该椭圆的准线方程是，则椭圆方程为_______． 14．（2026高三·全国·专题练习）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点（异于左、右顶点），点是的内心，若，则椭圆的离心率为______． 15．（2026高三上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的离心率为，且过点，为其右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求过点的直线与椭圆相交于，两点（点在，两点之间），若与的面积相等，试求直线的方程． 16．（26-27高三上·山西太原·阶段检测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为坐标原点.若的面积为，求直线的方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $