3.1.2 椭圆方程的几何性质（一）（8个题型归纳）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册暑假预习讲义

2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.2 椭圆方程的几何性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 性质 范围 _________ ________________ _______ ________________________________ 对称性 对称轴：_坐标轴_______ 对称中心：___原点 _____ 顶点 ________，________ ________，________ ________，________ ________，________ 轴 长轴的长为__ ______ 短轴的长为________ 焦距 离心率 _ _______ 的关系 __ ______ 2．点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系：点P在椭圆上⇔__ ____；点P在椭圆内部⇔______；点P在椭圆外部⇔______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆上的点到焦点的距离及最值】 【练方法】 公式结论 设为椭圆上任意一点.焦点在轴时焦半径公式 椭圆自变量范围： 焦半径取值区间：a+c 距离最小值出现在近侧顶点.距离最大值出现在远侧顶点 方法技巧 1已知点坐标优先使用焦半径公式直接计算线段长度 2无坐标条件时依靠椭圆顶点几何位置直接判定最值 3利用椭圆定义完成焦半径的等量替换简化计算式子 （26-27高三·全国·一轮复习）已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ）经典例题1例题 A．8 B．4 C．2 D． （25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________．小试牛刀1 （25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________．小试牛刀2 （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若 ，则到轴的距离为___________．小试牛刀3 【题型2：椭圆上的点到定点或圆上的点的距离最值与范围】 【练方法】 公式结论 设椭圆动点.平面定点.两点距离公式 距离平方形式 由椭圆方程变形可得 将上式代入距离平方式消去.整理得到只含的一元二次函数 椭圆动点到定圆上点的距离最值=动点到圆心距离最值定圆半径 方法技巧 1用椭圆解析式替换.将距离平方转化为单变量二次函数.结合求解最值 2定点位于坐标轴时.借助椭圆图像数形结合快速定位最值点位 3求解椭圆点到圆周动点最值时严格遵循圆心距加减半径的运算规则 （2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C．5 D． （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直.小试牛刀2 (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. （23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【题型3：椭圆上的点到焦点和定点的距离和差问题】 【练方法】 公式结论 由椭圆定义做等量代换 距离和变形： 距离差值最值满足三角不等式： 方法技巧 1依托椭圆定义替换焦半径.把双焦点距离式子转化为普通定点动点距离模型 2利用两点之间线段最短三角形三边不等式求解距离和差的最值 3绘制平面点位图.依靠几何特征确定取最值时点的具体位置 （25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________．经典例题1例题 （2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．小试牛刀1 （2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.小试牛刀2 （25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：椭圆焦点三角形的周长问题】 【练方法】 公式结论 焦点三角形周长公式 2a+2c 方法技巧 1直接套用固定周长公式完成数值计算 2图形存在折线段结构时.拆分各段线段再结合椭圆定义化简总周长表达式 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________.经典例题1例题 （25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______.小试牛刀2 （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）小试牛刀3 A．4 B．8 C．12 D． 【题型5：椭圆焦点三角形的面积问题】 【练方法】 公式结论 设 顶角对应面积公式 坐标对应面积公式 方法技巧 1题干给出顶角时.选用求解三角形面积 2已知动点坐标时.优先使用快速计算面积 3联立椭圆定义式与余弦定理求解顶角大小.反向推导焦点三角形面积数值 （2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D．1 （2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D．2 （2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____.小试牛刀3 【题型6：椭圆焦点三角形的综合问题】 【练方法】 内心坐标关系式 焦点三角形半周长a+c 方法技巧 1已知点坐标.直接代入内心坐标公式即可快速求解内心坐标 2题干给出顶角条件时.优先通过面积法计算内切圆半径.再分析内心几何特征 3综合题型联立焦半径公式、面积公式、余弦定理、内心坐标公式联立求解参数 （25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2026·山东泰安·三模）已知是椭圆上异于顶点的任意点，为椭圆的左，右焦点，的内切圆圆心为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ）小试牛刀3 A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【题型7：求共焦点的椭圆方程】 【练方法】 公式结论 共焦点椭圆通用含参方程 共焦点椭圆恒定等量关系.同一组共焦点椭圆的半焦距数值固定不变 方法技巧 1依据已知椭圆方程计算公共半焦距.列出带参数的通用椭圆方程 2将椭圆经过的定点坐标代入通用方程求解参数.整理化简得到标准椭圆解析式 3焦点在轴的场景.互换方程内部分式与分式的位置 （24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______.经典例题1例题 （24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程：小试牛刀1 (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． （23-24高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ．小试牛刀2 （23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型8：判断点和椭圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 设定点.椭圆标准方程 .点在椭圆内部 .点落在椭圆曲线上 .点在椭圆外部 方法技巧 1直接将点坐标代入椭圆左侧代数式.对比计算结果与数字1的大小即可判定点位位置 2求解恒成立、参数取值范围类题目时.依托点在椭圆内部的不等式约束求解参数范围 （2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______．小试牛刀2 （23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ）小试牛刀3 A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 3．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 6．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 二、多选题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 8．（2026·河北保定·二模）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·四川达州·二模）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 三、填空题 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 11．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 12．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 13．（23-24高三上·广东·阶段检测）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 14．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 15．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 16．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高二数学上学期暑假常考题型归纳 【3.1.2 椭圆方程的几何性质（一）】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．椭圆的标准方程和几何性质 图形 标准方程 性质 范围 _________ ________________ _______ ________________________________ 对称性 对称轴：_坐标轴_______ 对称中心：___原点 _____ 顶点 ________，________ ________，________ ________，________ ________，________ 轴 长轴的长为__ ______ 短轴的长为________ 焦距 离心率 _ _______ 的关系 __ ______ 2．点与椭圆的位置关系 点P（x0，y0）与椭圆（a>b>0）的位置关系：点P在椭圆上⇔__ ____；点P在椭圆内部⇔______；点P在椭圆外部⇔______ 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：椭圆上的点到焦点的距离及最值】 【练方法】 公式结论 设为椭圆上任意一点.焦点在轴时焦半径公式 椭圆自变量范围： 焦半径取值区间：a+c 距离最小值出现在近侧顶点.距离最大值出现在远侧顶点 方法技巧 1已知点坐标优先使用焦半径公式直接计算线段长度 2无坐标条件时依靠椭圆顶点几何位置直接判定最值 3利用椭圆定义完成焦半径的等量替换简化计算式子 （26-27高三·全国·一轮复习）已知集合，其中为定点且＝8，若且到的距离为2，是的中点，则点到中点的距离是（    ）经典例题1例题 A．8 B．4 C．2 D． 【答案】B 【详解】由，知点M的轨迹为椭圆． 又，∴， 又为三角形的中位线，∴. （25-26高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若点在椭圆上运动，则的取值范围为____________．小试牛刀1 【答案】 【分析】通过椭圆标准方程和定义得到，通过，转化为一元二次函数的值域求解. 【详解】由题可知，，， 令，，则， 因为，所以，即， 所以，， 当或时，取到最小值为；当时，取到最大值为， 即的取值范围是. 故答案为： （25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】由椭圆的定义可得，再根据基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. （25-26高二上·辽宁朝阳·期末）P为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点分别为，若 ，则到轴的距离为___________．小试牛刀3 【答案】/ 【分析】首先画出图形，利用数形结合转化为点也在另一个椭圆上，通过联立方程，即可求解. 【详解】如图，正方形是曲线表示的图形，，，，， 椭圆的焦点分别为，，， 所以，所以点也在以点，为焦点的椭圆上，椭圆方程为， 联立，解得：，则 所以点到轴的距离为. 故答案为： 【题型2：椭圆上的点到定点或圆上的点的距离最值与范围】 【练方法】 公式结论 设椭圆动点.平面定点.两点距离公式 距离平方形式 由椭圆方程变形可得 将上式代入距离平方式消去.整理得到只含的一元二次函数 椭圆动点到定圆上点的距离最值=动点到圆心距离最值定圆半径 方法技巧 1用椭圆解析式替换.将距离平方转化为单变量二次函数.结合求解最值 2定点位于坐标轴时.借助椭圆图像数形结合快速定位最值点位 3求解椭圆点到圆周动点最值时严格遵循圆心距加减半径的运算规则 （2026·吉林长春·模拟预测）已知点是椭圆上的动点，点，则的最小值为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用换元法，设，然后由两点间距离公式计算，结合二次函数和余弦函数的性质求得最小值． 【详解】设，则 ， 所以时，． （25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ）小试牛刀1 A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D （25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点，且与轴垂直.小试牛刀2 (1)求椭圆的方程； (2)若点，，证明点在椭圆上，并求的取值范围. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即得. （2）将点的坐标代入椭圆方程计算得证；再利用两点间距离公式，结合余弦函数有界性求出范围. 【详解】（1）由与轴垂直得，即半焦距， 由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程是. （2）由点，得， 所以点在椭圆上； 依题意， ，而，则  ， 所以的取值范围是. （23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）小试牛刀3 A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 【题型3：椭圆上的点到焦点和定点的距离和差问题】 【练方法】 公式结论 由椭圆定义做等量代换 距离和变形： 距离差值最值满足三角不等式： 方法技巧 1依托椭圆定义替换焦半径.把双焦点距离式子转化为普通定点动点距离模型 2利用两点之间线段最短三角形三边不等式求解距离和差的最值 3绘制平面点位图.依靠几何特征确定取最值时点的具体位置 （25-26高二下·上海·期末）已知椭圆：，左、右焦点分别是、，点是椭圆上任意一点，点，则的最大值为____________．经典例题1例题 【答案】/ 【分析】借助椭圆的定义将代换为，把目标式转化为定值与距离差的和，再利用三角不等式求解距离差的最大值，进而得到目标式的最大值. 【详解】椭圆中，，，故，焦点，. 由椭圆的定义得，即， 因此. 在中，由三角不等式得， 当且仅当三点共线且位于之间时取等号. 计算得，故. 经检验，直线与椭圆存在满足取等条件的交点，等号可取. （2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______．小试牛刀1 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． （2026·辽宁·二模）已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.小试牛刀2 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. （25-26高二上·山东临沂·期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 【题型4：椭圆焦点三角形的周长问题】 【练方法】 公式结论 焦点三角形周长公式 2a+2c 方法技巧 1直接套用固定周长公式完成数值计算 2图形存在折线段结构时.拆分各段线段再结合椭圆定义化简总周长表达式 （2026·河北秦皇岛·模拟预测）过椭圆 （）的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 是椭圆的左焦点，则 的周长为________.经典例题1例题 【答案】20 【详解】 如图的周长为. （25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. （25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. （25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ）小试牛刀3 A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为 ． 【题型5：椭圆焦点三角形的面积问题】 【练方法】 公式结论 设 顶角对应面积公式 坐标对应面积公式 方法技巧 1题干给出顶角时.选用求解三角形面积 2已知动点坐标时.优先使用快速计算面积 3联立椭圆定义式与余弦定理求解顶角大小.反向推导焦点三角形面积数值 （2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ）经典例题1例题 A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. （2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ）小试牛刀1 A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. （2026·江西赣州·一模）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得. ，， 则 . （2026·重庆九龙坡·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上且在 轴上方. 若 的面积为 12，则直线的斜率为_____.小试牛刀3 【答案】 【分析】通过三角形面积确定坐标，再由斜率公式即可求解 【详解】由椭圆方程 ，得 ，， 因此 ，即 ， 所以，右焦点 ， 设 ，在轴上方故 ， 的面积： ， 解得：， 将 代入椭圆方程： ， 即 故直线​的斜率： .​ 【题型6：椭圆焦点三角形的综合问题】 【练方法】 内心坐标关系式 焦点三角形半周长a+c 方法技巧 1已知点坐标.直接代入内心坐标公式即可快速求解内心坐标 2题干给出顶角条件时.优先通过面积法计算内切圆半径.再分析内心几何特征 3综合题型联立焦半径公式、面积公式、余弦定理、内心坐标公式联立求解参数 （25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知椭圆的左，右焦点分别为，不在轴上的动点在上运动，的平分线交轴于点，则（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线定理及椭圆的定义，联立求解，即可得答案. 【详解】由椭圆的方程得，，即，所以， 因为为的平分线， 所以由角平分线定理得，则，即， 由椭圆定义得，联立解得. （2026·山东泰安·三模）已知是椭圆上异于顶点的任意点，为椭圆的左，右焦点，的内切圆圆心为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程可知，，可得，，延长与x轴交于点，结合角平分线性质可得，，代入求解即可. 【详解】由椭圆方程可知：，，，则， 因为点是椭圆上，则，即， 可得， 且，则，可得，， 延长与x轴交于点， 因为，即，解得， 又因为，，则， 可得，即，解得. （2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. （25-26高二上·安徽马鞍山·期末）（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点为椭圆上一点，则（   ）小试牛刀3 A．的最大值为4 B．不存在点，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点共有四个 【答案】AB 【分析】利用椭圆的定义结合基本不等式可判断A；利用余弦定理结合椭圆的定义列方程，可判断B；解三角形，利用面积公式可判断C；分3类解出点可判断D. 【详解】已知椭圆 ，其中 ，，， 离心率 ，，点 在椭圆上， 设，，则 ， 焦距 ， 对于A： 由均值不等式，，当且仅当 时取等号， 所以的最大值 4，故 A正确； 对于B： 在 中，由余弦定理得： 代入得 ，即 ， 当 时，，则 ， 由选项A知：，故不可能等于 8， 因此不存在这样的点 ，使得，故B 正确； 对于C：由选项B知：，当 时，，代入得 ， 三角形面积 ，故 C 错误； 对于D： 等腰三角形有三种情况： （1）当时：点取短轴端点，共有2 个点符合要求； （2）当时， 设 ，由距离公式： 平方得： 由点 在椭圆上，得， 代入 (4)： 化简得：， 解得： 因为 ，所以 ， 代入椭圆中得， 所以 ，共有两个点符合要求； （3）当时， ， 平方得：， 代入椭圆并化简： 解得： 因为 ，所以 ，代入椭圆中，得 ， 所以 ，共有两个点符合要求， 综上：使得为等腰三角形的点共有六个，故D错误. 故选：AB 【题型7：求共焦点的椭圆方程】 【练方法】 公式结论 共焦点椭圆通用含参方程 共焦点椭圆恒定等量关系.同一组共焦点椭圆的半焦距数值固定不变 方法技巧 1依据已知椭圆方程计算公共半焦距.列出带参数的通用椭圆方程 2将椭圆经过的定点坐标代入通用方程求解参数.整理化简得到标准椭圆解析式 3焦点在轴的场景.互换方程内部分式与分式的位置 （24-25高二上·江苏徐州·阶段检测）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： （24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程：小试牛刀1 (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． （23-24高二上·北京·阶段检测）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是______ ．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. （23-24高二上·浙江杭州·期中）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求椭圆方程为 ，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为 ， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 【题型8：判断点和椭圆的位置关系】 【练方法】 公式结论 设定点.椭圆标准方程 .点在椭圆内部 .点落在椭圆曲线上 .点在椭圆外部 方法技巧 1直接将点坐标代入椭圆左侧代数式.对比计算结果与数字1的大小即可判定点位位置 2求解恒成立、参数取值范围类题目时.依托点在椭圆内部的不等式约束求解参数范围 （2026高二·全国·专题练习）已知椭圆：的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】椭圆的左焦点为，求出椭圆的两个焦点的坐标，根据椭圆定义得，结合得，根据几何关系求出的范围，从而可得到一个不等式组，进行求解可得m的一个范围；再根据A在椭圆内可得m的另外一个范围；综合两个范围即可得到答案． 【详解】设椭圆的左焦点为， 因，则，则，则，， 由椭圆的定义可知，，∴， ∴，∴， ∵， ∴，当三点共线时，等号成立， ∵椭圆上存在一点，使得， ∴，解得， 又∵点为椭圆内一点， ∴，解得或， 综上可得的取值范围为， 故选：B． （2025·河北秦皇岛·三模）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围为（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点在椭圆内部，列出不等式求解即可. 【详解】由点在椭圆的内部， 可得：，且， 解得：或， 所以实数的取值范围为， 故选：B （24-25高二上·全国·课前预习）若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是______．小试牛刀2 【答案】 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. （23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（    ）小试牛刀3 A．点在圆O内 B．点在圆O上 C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上 【答案】BC 【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系. 【详解】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离， 即，所以点在圆O上， 并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内. 故选：BC 课后过关检测 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段检测）为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解. 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 3．（25-26高三上·江苏常州·期末）已知椭圆的焦点在轴上，是的上顶点，若上存在点使得，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意可得，利用二次函数的最值可求得的范围. 【详解】设， ， 又因为，因为下顶点到上顶点的距离为， 令， 要存在点使得，则的最大值必须大于， 由于是开口向下的二次函数，其最大值若要大于等于， 其对称轴必须在的右侧， 所以，解得， 故选：A 4．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 5．（25-26高二上·江西吉安·期末）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线PM的垂线，垂足为H，O为坐标原点，若，则面积为（   ） A． B．8 C． D．12 【答案】C 【分析】延长，交的延长线于点，确定为等腰三角形，进而得到，设，再由椭圆定义求得，进而可求解. 【详解】如图所示，延长，交的延长线于点，    因为PH为的平分线，， 故为等腰三角形， 即为的中点， 因为为的中点，所以OH为的中位线， 故，设，由椭圆定义知， ，故，解得， 故在中，边上高为. 故面积为. 故选：C 6．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知点为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的动点，则下列结论中错误的是（    ） A．若，则的面积为2 B．使为直角三角形的点有6个 C．的最大值为 D．若，则的最大值为 【答案】C 【分析】选项A，由得到，结合，解出，利用三角形面积公式求解；选项B，按照，，三种情况讨论求解；选项C，将代入，利用的范围求解；选项D，将代入，利用的范围求解. 【详解】，，， 选项A，，， 点为椭圆上的点，， ，联立，解得， ，故选项A正确； 选项B，当时，，点为短轴的两个端点，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 当，，点有两个，故这样的有2个； 综上可知，使为直角三角形的点有6个，故选项B正确； 选项C，，， ， ，， ，， ，故选项C错误； 选项D，，， ，， ， 的最大值为，故选项D正确. 故选：C. 二、多选题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值. 【详解】由题意知，解得． 故选：BC 8．（2026·河北保定·二模）若椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则Γ的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】椭圆Γ上的动点到Γ的两个焦点的距离之和为10，则，， 且Γ上的动点到Γ的焦点的距离的最小值为2，则， 即，解得， ，故选项BD正确. 9．（2026·四川达州·二模）椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 【答案】ACD 【分析】由椭圆方程得出基本参数，，，进而得到焦点及相关线段长，判断周长，分析最大值情况判断B选项，分析取值及相关距离情况判断C、D选项. 【详解】因为椭圆，得，，， 所以焦点，，满足， 所以， 在A选项中，的周长为，A正确， 在B选项中，在短轴端点时最大， 此时，为等边三角形， 最大角为，不存在满足条件的，B错误， 在C选项中，设，， 代入椭圆，得， 又，最大值为，代入得最大值为，C正确， 在D选项中，过作直线的垂线，垂足记为， 当与不重合时，为直角三角形，， 当与重合时，到距离等于，D正确. 三、填空题 10．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则__________. 【答案】35 【分析】由椭圆的对称性结合椭圆定义即可分析求解. 【详解】由题可得，为椭圆上顶点， 则根据椭圆的对称性知，，，， ∴. 故答案为： 11．（25-26高二上·贵州贵阳·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为______． 【答案】 【分析】设，，利用余弦定理、椭圆定义可求得的值，结合三角形的面积公式以及等面积法可求得，再利用正弦定理可求得的值，即可得解. 【详解】在椭圆中，，，则，故，如下图所示： 设的内心为，设，，则， 由余弦定理可得， 即，故， 所以， 又因为 ，解得， 由正弦定理可得，故，所以. 故答案为：. 12．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 13．（23-24高三上·广东·阶段检测）已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    故答案为： 14．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最大值时，即最大，根据三角不等式即可解出﹒ 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为：    15．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 16．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 $