第11讲 椭圆及其简单的几何性质 讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦椭圆的定义、标准方程及简单几何性质，从平面内与两定点距离和为常数的定义出发，延伸至焦点在x轴、y轴的标准方程，再系统梳理对称性、范围、顶点、离心率等几何性质，构建从概念到性质的完整学习支架。 资料亮点在于题型设计全面，涵盖定义应用、焦点三角形、离心率计算等八类问题，融入延伸探究（如角度变化求焦点三角形面积），培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（方程表达）。课中助力教师系统授课，课后学生可通过多样题型巩固，查漏补缺。

第11讲 椭圆及其简单的几何性质 目录 知识点一 椭圆的定义 2 知识点二 椭圆的标准方程 2 知识点三 椭圆的简单几何性质 3 题型一 椭圆的定义 4 题型二 根据a,b,c求标准方程 5 题型三 椭圆的焦点三角形 7 题型四 椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 10 题型五 椭圆的焦距、长轴、短轴 11 题型六 根据椭圆的几何性质求标准方程 12 题型七 与椭圆的相关轨迹 14 题型八 求椭圆的离心率 15 01 学习新知 知识点一 椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二 椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 知识点三 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴x轴和y轴,对称中心 范围 顶点 轴长 长轴长,短轴长 焦点 焦距 离心率 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状,反映了椭圆的扁平程度． 由可知,当越趋近于1时,越趋近于0,椭圆越扁；当越趋近于0时,越趋近于1,椭圆越接近于圆．当且仅当时, ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 02 经典题型 题型一 椭圆的定义 1. 点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】椭圆，即，其中 由椭圆定义可知：得，故选：A. 2. 若椭圆1上的点P到左焦点的距离是5，则点P到右准线的距离是 【答案】3 【详解】 解析：由椭圆方程得2a＝8，c＝2，e＝＝，由点P到左焦点的距离是5，得点P到右焦点的距离是2a－5＝3.因为e＝，所以点P到右准线的距离是＝3. 【考查意图】 离心率的运用，椭圆第二定义． 3. 已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由已知可得为椭圆的焦点， 根据椭圆定义知， 所以， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 题型二 根据a,b,c求标准方程 4. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程. 解　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义知c=2， 2a=+=2 所以a=. 所以b2=a2-c2=10-4=6. 所以，所求椭圆的标准方程为+=1. 5. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)； (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点； (3)经过点P，Q. 解　(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，所以解得 所以所求椭圆的标准方程为+x2=1. (2)方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由椭圆的定义知，2a=+=2， 即a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6，所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　由题意得椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)， 由题意知 解得所以所求椭圆的标准方程为+=1. (3)方法一　(分类讨论法)①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有解得由a>b>0，知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意，有解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　(待定系数法) 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，故椭圆的标准方程为+=1. 6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点. 解　因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同， 所以其焦点在y轴上， 且c2=25-9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16，且c2=a2-b2， 所以a2-b2=16. ① 又点(，-)在椭圆上， 所以+=1， 即+=1. ② 由①②得b2=4，a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 题型三 椭圆的焦点三角形 7. 已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ） A．20 B．16 C．18 D．14 【答案】C 【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C. 8. 经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（    ） A．24 B．12 C．36 D．48 【答案】A 【详解】因为， 所以的周长为4a=24． 故选：A. 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【详解】由椭圆定义可得，故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 10. 已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a=2，b=，所以c===3， 从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°， 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4， 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4.所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 延伸探究　若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a=2，b=，所以c===3. 从而|F1F2|=2c=6.在△F1PF2中，由勾股定理可得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2， 即|PF2|2=|PF1|2+36，又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4， 所以|PF2|=4-|PF1|.从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36， 解得|PF1|=.所以=·|PF1|·|F1F2|=××6=， 即△F1PF2的面积是. 11. 该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 解：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 12. 设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A.24 B.12 C.8 D.6 答案　C 解析　∵P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|∶|PF2|=3∶4， |PF1|+|PF2|=2a=14，∴|PF1|=6，|PF2|=8. 又|F1F2|=2c=2=10，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形，=|PF1|·|PF2|=24. ∵△PF1F2的重心为点G，∴=3，∴△GPF1的面积为8. 题型四 椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 13. 已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以. 故选：B. 14. 已知点，P为椭圆上的动点，则的（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为 【答案】BD 【解析】 注意到Q为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为， 则， 而的取值范围是，即，因此所求最大值为，最小值为． 故选：BD. 题型五 椭圆的焦距、长轴、短轴 15. 求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (1)+=1； (2)4x2+y2=16. 解　(1)由椭圆方程知，a=，b=，c==1， 所以椭圆的长轴长为2，短轴长为2，离心率为， 顶点坐标为(-，0)，(，0)，(0，-)，(0，)，焦点坐标为(-1，0)，(1，0). (2)椭圆方程可变形为+=1， 所以a=4，b=2，c==2， 所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，离心率为， 顶点坐标为(-2，0)，(2，0)，(0，-4)，(0，4)，焦点坐标为(0，-2)，(0，2). 16. (多选)已知椭圆C：16x2+4y2=1，则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 答案　CD 解析　由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1， 所以a=，b=，c= ， 所以长轴长2a=1， 焦距2c=，焦点坐标为， 离心率e==. 17. 已知椭圆（）与椭圆有相同的焦点，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为椭圆（）与椭圆有相同的焦点， 所以，解得或（舍去）.故选：B 题型六 根据椭圆的几何性质求标准方程 18. 写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点坐标为，，且椭圆经过点 ； （2）椭圆经过，两点 ； （3）焦距等于，且椭圆经过点 ． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】（1）椭圆焦点在轴上，可设其方程为：； 椭圆过点，，又，， 椭圆标准方程为：； （2），椭圆长轴为轴，可设其方程为， 则，，椭圆标准方程为：； （3）椭圆焦距为，，设椭圆方程为：或， 椭圆过点，，解得：， 椭圆标准方程为：或. 19. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为.故选：B 20. 若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（    ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【解析】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，D错误，C正确； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误. 故选：C 题型七 与椭圆的相关轨迹 21. 设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 【答案】A 【解析】因为，，所以， 所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选：A. 22. 已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【解析】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程是. 故答案为： 23. 设定点是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】 【解析】设． 因为为线段的中点，所以， 因为，所以点的轨迹方程为． 题型八 求椭圆的离心率 24. 已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且直线的一个方向向量为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即是直角三角形， 因为直线的一个方向向量为，所以， 即，因为，所以， 因为，所以. 故选：A 25. 设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 26. 设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则椭圆C的离心率为　　　　.  答案　 解析　方法一　由题意可设|PF2|=m，结合条件可知|PF1|=2m，|F1F2|=m，故离心率e=====. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x=c代入椭圆方程可得y=±，所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得|F1F2|=|PF2|，故2c=·，变形可得(a2-c2)=2ac，等式两边同除以a2，得(1-e2)=2e，解得e=或e=-(舍去). 延伸探究1　若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“∠PF2F1=75°，∠PF1F2=45°”，求椭圆C的离心率. 解　在△PF1F2中， ∵∠PF1F2=45°，∠PF2F1=75°，∴∠F1PF2=60°， 设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，则m+n=2a， 则在△PF1F2中，有==，∴=， ∴e====. 延伸探究2　若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 解　设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a，∴mn≤=a2， 当且仅当m=n时取等号. 由余弦定理知cos∠F1PF2====-1≥-1， 当且仅当m=n时取等号，即P为短轴端点时，cos∠F1PF2最小，此时∠F1PF2最大. 椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角， 只需当点P位于短轴端点时，∠F1PF2为钝角，则c>b，∴c2>b2. 又b2=a2-c2，∴c2>a2-c2，即2c2>a2，∴e2=>， ∴e>，又0<e<1，∴椭圆C的离心率的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $第11讲椭圆及其简单的几何性质 目录 知识点一椭圆的定义… 2 知识点二椭圆的标准方程， 2 知识点三椭圆的简单几何性质， 题型一 椭圆的定义….4 题型二 根据a,b,c求标准方程…。 5 题型三 椭圆的焦点三角形 题型四椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 10 题型五， 椭圆的焦距、长轴、短轴 .11 题型六根据椭圆的几何性质求标准方程.12 题型七与码椭圆的相关轨迹.…14 题型八 求椭圆的离心率15 1 学习新知 知识点一椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F,B的距离的和等于常数大于引)的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距 根据椭圆的定义，设点M与焦点F,F的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可 看作点集P=MM+ME=2a; 知识点二椭圆的标准方程 椭圆 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 16—② y2.x2 a+存=1(a>b>0) y M 图形 0F2 焦点坐标 (c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) 焦距 2c a,b,C的关系 a2=b2+c2 2 知识点三椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在X轴上 焦点在'轴上 标准方程 x2,y2 a+京=1(a>b>0) y2x2 a+京=l(a>b>0) B. 图形 B 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0) 范围 x∈[-a,a],y∈[-b,b] x∈[-b,b],y∈[-a,a] A(-a,0),A(a,0) A(0,-a),A(0,a） 顶点 B(0,-b),B2(0,b) B(-b,0),B2(b,0) 轴长 长轴长44=20，短轴长BB,=2b 焦点 F(-c,0),F(c,0) F(0,-c),F(0,c) 焦距 FF =2c 离心率 e=c(0<e<1) a 注意：椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程度. b a2-c2 b 由aVa2 =-e(0<e< 可知，当越趋近于1时，a越趋近于0，椭圆越扁；当 6 e越趋近于0时，a越趋近于1，椭圆越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0,两焦点重合，图形 变为圆，方程为x2+y2=a2 3 经典题型 题型一椭圆的定义 1点P在椭园E:4r+少=16上，F是E的两个焦点.若PF=3.则P() A.5 B.6 C.7 D.8 x2.y2 2.若椭圆1681上的点P到左焦点的距离是5，则点P到右准线的距离是 3.己知A3,0),B(-3,0),P是椭圆25+161上的任意一点，则PA小PB的最大值为一 题型二根据a,b,c求标准方程 4.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点5，一3，求它的标准方 2-2 程， 4 5.求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； 3 (2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0,2)，并且椭圆经过点 8终减点P行引0，引 6求适合下列条件的稀圆的标准方程：过点5，⑤.且与稀圆兰。1有相同的焦 259 点 题型三 椭圆的焦点三角形 x2.y2 二1 7.已知点F,F2分别是椭圆259一的左、右焦点，点P在此椭圆上，则△PFF2的周长等 于() A.20 B.16 C.18 D.14 5 C:xy =1 8经过椭圆3616的左焦点F的直线交椭圆C于A,B两点，B是椭圆C的右焦点，则 △ABF 的周长为() A.24 B.12 C.36 D.48 2y2=1 C: 9.已知F,B是椭圆C162的两个焦点，点P在C上，且PF=3,则△PFF的面积 为() A.3 B.4 C.6 D.10 10已知P为椭圆y1上一点A,乃分别是椭园的左、右焦点∠瓜PR=60求 123 △F1PF的面积. 延伸探究若将本例中°∠FPF2=60”变为°∠PF1F=90°”，求△F1PF的面积 6 1.该椭圆C:3691的左右焦点为F,5,点p是C上一点，满足∠FP5=0,则 C △EPF 的面积为 2设P为椭因C名兰1上一点，五，分别是椭园C的左、右焦点，且△PR的重 4924 心为点G,若Pl:|PF=3:4,那么△GPF的面积为() A.24 B.12 C.8 D.6 题型四 椭圆上点到焦点和定点的距离的和、差最值 x2.y2 24 13.己知椭圆C:43,的右焦点为R,P为椭圆C上任意一点，点4的坐标为5， =1 则P+PFl 的最大值为() A.5 B.5 D.5 =1 14.已知点A1,1),Q1,0),P为椭圆43上的动点，则PA+P№的（) A.最大值为4+V5 8.最大值为4+5 7 C:最小值为4-V3 D.最小值为4-5 8 题型五椭圆的焦距、长轴、短轴 15.求下列椭圆的长轴长、短轴长、离心率、顶点坐标和焦点坐标： (2)4x2+y2=16. 16.(多选)已知椭圆C:16x2+4y=1,则下列结论正确的是() A.长轴长为 3 B.焦距为 x 3 C焦点坐标为0，± 4 3 D离心率为2 以已阿C若+若-1 =1 (b>0)与椭圆94有相同的焦点，则b=() A.23 B.2V5 C.3 D.4 9 题型六根据椭圆的几何性质求标准方程 18.写出分别满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为6,0)(6,0) 且椭圆经过点(0,8) 2)精圆经过0，-2).（6.0两点一 2√62W6 (3)焦距等于4且椭圆经过点气3，-3 19.与椭圆 9x2+4y2=36 2√5 有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（) x2.y2 x2,y2 =1 A.2520 B.20+251 r.y C.20+451 x2y2 D.80+85=l x2 2 =1 20.若方程9-kk-1表示椭圆C,则下面结论正确的是() A.K∈(19) B.椭圆C的焦距为2V2 C.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(，5)0.若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈(65，) 10 二 题型七与椭圆的相关轨迹 21.设定点F(0,-2）E(0,2) 动点P满足条件P+PE-5,则点P的轨迹是(） A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段 x2.y2 2,已知P为精圆16+121上一动点，记原点为0，若0P=200,则点0的轨迹方程为- x2,y2 28.设定点4(6,2).P是椭因25+)1上的动点求线段P的中点M的轨达方程. 题型八求椭圆的离心率 24.已知椭圆a+京=1(a>b>0) 的左右焦点分别为F,B,P为椭圆E上一点， P所，P听=0且直线PS的一个方向向量为3-5，则椭圆E的离心率为《) 3 1 6 A.V3-1 B.2 C.2 D.3 12 C:y 25.设5，B是椭圆C:a+京1 (a>b>0)的左、右焦点，过F的直线l与C交于A, B两点，若，⊥服，H-号，则C的离心率为() 429 B.5 c.5 号 13 26.设椭圆C:2 2b =1(心b>0)的左、右焦点分别为F,乃，P是椭圆C上的点， PF211F2,∠P1F=30°，则椭圆C的离心率为 延伸探究1若将本例中P乃1F1F,∠PF1F=30”改为∠PFF=75°，∠PFF=45”, 求椭圆C的离心率 延伸探究2若将本例中“P乃⊥F1F2,∠PF1F=30°”改为椭圆C上存在点P,使∠F1P乃为 钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围 14