第3章 3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与双曲线的位置关系，涵盖位置关系判断、弦长公式及中点弦问题。课堂导入承接上节课双曲线几何性质，通过类比椭圆位置关系提问，搭建知识支架，引导学生从已有认知过渡到新内容。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过类比、分类讨论培养数学思维，如例1中结合二次项系数和判别式确定k的范围，体现严谨推理。知识梳理和反思感悟系统总结方法，帮助学生规范表达，提升逻辑推理与运算能力，教师可直接使用例题和训练，提高教学效率。

第2课时 直线与双曲线的位置关系 第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质 <<< 1.理解直线与双曲线的位置关系. 2.会求解有关弦长的问题(重点). 学习目标 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质才能解答双曲线基本问题，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 导 语 一、直线与双曲线的位置关系 二、弦长公式及中点弦问题 课时对点练 随堂演练 内容索引 直线与双曲线的位置关系 一 提示　有三种位置关系，分别为相交、相切和相离三种情况. 类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 问题1 提示　不一定.当直线与渐近线平行时，仅有一个交点. 当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ 问题2 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有 不同的公共点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有 切点. (3)Δ<0时，直线与双曲线 公共点. 当a=0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有 交点. 两个 一个 没有 一个 知识梳理 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 注 意 点 <<< 9 已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 例 1 联立 消去y，得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2≠0，即k≠±1时，Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 解 10 若直线l与双曲线有且只有一个公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 延伸探究 11 联立消去y， 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). 由得k=±， 此时方程(*)有两个相等的实数根， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 解 12 当1-k2=0，即k=±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x=5， 故方程(*)只有一个实数解， 即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当k=±或±1时， 直线l与双曲线有且只有一个公共点. 解 13 (1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 反 思 感 悟 14 若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围为　　　　　　　.  跟踪训练 1 15 将y=kx+2代入双曲线方程整理可得x2-4kx-10=0， 设直线与双曲线右支交于两点， 则 解得-<k<-1，即k的取值范围为. 解析 16 二 弦长公式及中点弦问题 (课本例6)　如图，过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 例 2 18 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3，0)，F2(3，0). 因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2， 所以直线AB的方程为y=(x-3). ① 由消去y， 得5x2+6x-27=0. 解方程，得x1=-3，x2=. 解 19 将x1，x2的值分别代入①， 得y1=-2y2=-. 于是，A，B两点的坐标分别为(-3，-2) . 所以|AB|===. 解 20 若直线l：y=kx-1与双曲线C：-y2=1交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为-2，求线段AB的长. 例 2 21 设A，B， 联立方程组消去y， 得x2+4kx-4=0， 因为l与C有两个交点，所以1-2k2≠0且Δ=16k2+16=16-16k2>0， 解得k2<1且k2≠， 所以-1<k<1且k≠±， ① 解 22 且x1+x2=-，x1x2=， 又因为AB中点的横坐标为-2， 所以-=-4，即2k2+k-1=0， 解得k=-1或k=， ② 结合①②可知k=， 此时l：y=x-1，x1+x2=-=-4，x1x2==-8， 解 23 所以= =· =×=2， 即线段AB的长为2. 解 24 双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用根与系数关系法和点差法，注意所求参数的取值范围. 反 思 感 悟 25 已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练 2 26 方法一　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦，且此弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1，代入双曲线方程x2-=1，得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0， ∴k2-2≠0，且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0， 解得k<，且k≠±. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=. 解 27 ∵点B(1，1)是弦的中点， ∴=1，∴k=2>. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 方法二　假设双曲线上存在被点B(1，1)平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=2，y1+y2=2， 且 解 28 由①-②得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0，∴kMN==2， ∴直线MN的方程为y-1=2(x-1)， 即y=2x-1. 由消去y，得2x2-4x+3=0. 又Δ=-8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 解 29 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系. (2)弦长公式及中点弦问题. 2.方法归纳：定义法、数形结合法. 3.常见误区：判断直线与双曲线的公共点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论.代数计算中的运算失误. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0，b>0)的交点个数是 A.1 B.2 C.1或2 D.0 √ 由题意，双曲线-=1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y=±x， 因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行， 所以它与双曲线只有1个交点. 解析 1 2 3 4 2.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为 A.(-2，2) B.[-2，2) C.(-2，2] D.[-2，2] √ 易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0， 由Δ>0可得-2<k<2. 解析 1 2 3 4 3.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是 A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) √ 1 2 3 4 方法一　将y=x-1代入2x2-y2=3， 得x2+2x-4=0， 由此可得弦的中点的横坐标为==-1， 纵坐标为-1-1=-2，即中点坐标为(-1，-2). 方法二　设直线y=x-1与双曲线2x2-y2=3交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，将A，B代入双曲线方程得 2-=3，2-=3， 解析 1 2 3 4 作差整理得 kAB====1， ① 又M在y=x-1上，则有y0=x0-1， ② 联立①②解得x0=-1，y0=-2， 所以M(-1，-2). 解析 1 2 3 4 4.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　　　　.  由双曲线方程可得右焦点坐标为(2，0)，渐近线方程为y=±x，把x=2代入渐近线方程， 得y=±2，故|AB|=4. 解析 4 课时对点练 四 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B D C AC 2 3x-2y-18=0 题号 11 12 13 14 15 答案 B A D x-=0，x-y- =0，x+y-=0 (任选一个即可). -x2=1　3π 9. 双曲线方程可化为x2-=1， 故a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4， ∴c=2.∴F2(2，0)， 又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k=tan 45°=1， ∴直线l的方程为y=x-2， 代入双曲线方程，得2x2+4x-7=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵x1·x2=-<0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. ∵x1+x2=-2，x1·x2=- ∴|AB|= =·=6. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 则1==2-k2≠0)， 解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， ∴直线AB的方程为y=x+1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. (2)由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d== ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (1)由题知 ∴双曲线C-=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. (2)将l：x=my+1代入双曲线C-=1， 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2-1≠0，Δ=32m2-8>0， y1+y2=-y1y2=-. 直线AE的方程为y=x-2)+2， 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16. 令x=1，得yM=+2； 直线AF的方程为y=x-2)+2， 令x=1，得yN=+2. ∵+==-4， ∴yM+yN=0，又B(1，0)， ∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 直线与双曲线有唯一公共点时， 直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时有唯一公共点)； 直线与双曲线相切时， 直线与双曲线一定有唯一公共点. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P(x，y)，由题意知k1·k2=·====3， 所以其渐近线方程为y=±x. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为 A. B. C. D.7 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线x2-y2=8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2-y2=8的右焦点且斜率为2的直线方程为y=2(x-4)， 代入x2-y2=8并整理得3x2-32x+72=0，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=24， 所以直线被双曲线截得的线段的长为×=. 解析 4.设点F1，F2分别是双曲线C：-=1(a>0)的左、右焦点，过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点.若△ABF2的面积为2，则该双曲线的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设F1(-c，0)，A(-c，y0)， 则-=1，∴=-1===， ∴=，∴|AB|=2|y0|=. 又=2，∴·2c· |AB|=·2c·==2， ∴=，∴==. ∴该双曲线的渐近线方程为y=±x. 解析 5.过M(1，1)且斜率为的直线交双曲线C：-=1(a>0，b>0)于A，B两点，弦AB恰好被点M平分，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，且=， 又因为 所以(y1+y2)(y1-y2)-(x1+x2)(x1-x2)=0， 即有(y1-y2)=(x1-x2)，所以===， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以b2=2a2，所以c2=b2+a2=3a2， 所以e2==3， 所以e=. 解析 6.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3，)，则下列结论正确的是 A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y=±x D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由双曲线C：-=1过点(3，)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为-y2=1.所以a=，b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为==，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ=-4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 解析 7.双曲线-=1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a=　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B为双曲线的右焦点，如图所示. ∵四边形OABC为正方形且边长为2， ∴c=|OB|=2. 又∠AOB=， ∴=tan=1，即a=b. 又∵a2+b2=c2=8，∴a=2. 解析 8.双曲线9x2-16y2=144的一条弦的中点为A(8，3)，则此弦所在的直线方程为　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3x-2y-18=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由双曲线的对称性可得此弦所在直线的斜率存在. 设弦的两端点分别为B(x1，y1)，C(x2，y2)， 则有 两式相减得9(-)-16(-)=0， 所以9(x1+x2)(x1-x2)-16(y1+y2)(y1-y2)=0， 又因为弦的中点为A(8，3)，所以 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故直线斜率k===， 则所求直线方程为y-3=(x-8)， 整理得3x-2y-18=0， 由 得y2-6y-15=0， Δ=(-6)2-4×1×(-15)=96>0，故该直线满足题意. 解析 9.已知双曲线3x2-y2=3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线方程可化为x2-=1， 故a2=1，b2=3，c2=a2+b2=4， ∴c=2.∴F2(2，0)， 又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k=tan 45°=1， ∴直线l的方程为y=x-2， 代入双曲线方程，得2x2+4x-7=0. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵x1·x2=-<0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. ∵x1+x2=-2，x1·x2=-， ∴|AB|= =·=6. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)，即y=kx+2-k. 由 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1==(2-k2≠0)，解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y=x+1. 解 (2)△OAB的面积(O为坐标原点). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 解 11.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知条件易得直线l的斜率 k==1， 设双曲线E的方程为-=1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则-=1， ① -=1， ② x1+x2=-24，y1+y2=-30， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由①②得=， 从而=1，又因为a2+b2=c2=9， 故a2=4，b2=5，所以E的方程为-=1. 解析 12.已知点P(1，2)和双曲线C：x2-=1，过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线l有 A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x，点(1，0)是双曲线的顶点. ①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=1，此时，直线l与双曲线C只有一个公共点，符合题意； ②若直线l的斜率存在，则当直线平行于渐近线y=-2x时，直线l与双曲线只有一个公共点. 若直线l的斜率为2，则直线l的方程为y=2x，此时直线l为双曲线C的一条渐近线，不符合题意. 综上所述，过点P(1，2)与双曲线只有一个公共点的直线l共有2条. 解析 13.(2023·天津)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|=2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为 A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设过F2(c，0)作一条渐近线y=x的垂线，垂足为P， 则|PF2|==b， 所以b=2， ① 联立可得x=，y=， 即P，因为直线PF1的斜率为=， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得(a2+c2)=4ab， ② a2+b2=c2， ③ ①②③联立得，a=，b=2， 故双曲线的方程为-=1. 解析 14.过双曲线x2-=1的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这条直线可以是　　　　　　　　　 .(写出一个即可)  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x-=0，x-y-=0，x+y-=0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线方程为x=my+，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立y2+2my+2=0， 因为直线交双曲线于A，B两点，所以m2-≠0， 所以y1+y2=，y1y2=， 所以|AB|=·==4， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即m2+1=|2m2-1|，解得m=0或m=或m=-， 所以这条直线为x=，x=y+，x=-y+. 即x-=0，x-y-=0，x+y-=0(任选一个即可). 解析 15.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为，且过点，则双曲线的方程为　　　　 ；若直线x=0，x=1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为　　　.  -x2=1 3π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵双曲线C的离心率e==， ∴c=a，∴c2=a2+b2=a2，∴b2=a2， ∵双曲线的方程为-=1过点(，2)， 即-=1，a2=3，b2=1， ∴双曲线方程为-x2=1，则渐近线方程为y=±x， 取直线x=m(0≤m≤1)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入-x2=1，得y=， 代入y=x，得y=m， ∴直线x=m在阴影部分内的线段旋转一周所得 圆环的面积S=(3+3m2)π-3m2π=3π. 又高度为1， 故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半径为，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的体积 为3π. 解析 16.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2，2)，且△AF1F2的面积为2. (1)求双曲线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为-=1. 解 (2)直线l：x=my+1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x=1交于点M，N，证明：B是MN的中点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将l：x=my+1代入双曲线C：-=1， 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2-1≠0， Δ=32m2-8>0， y1+y2=-，y1y2=-. 直线AE的方程为y=(x-2)+2， 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=1，得yM=+2； 直线AF的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yN=+2. ∵+==-4， ∴yM+yN=0，又B(1，0)， ∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点. 证明 第三章　3.2.2　双曲线的简单几何性质 <<< $