3.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质的应用(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

第2课时　双曲线的简单几何性质的应用 [对应学生用书P81] 学习目标 1．进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用． 2．理解直线与双曲线的位置关系并会灵活运用． 知识点一　由几何性质求双曲线方程 [例1] (2025·常州高二检测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B． －＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：∵圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心C(3，0)，半径r＝2， ∴双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点坐标为(3，0)，即c＝3， ∴a2＋b2＝9　①， ∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx－ay＝0， ∴C到渐近线的距离等于半径，即＝2　②， 由①②解得a2＝5，b2＝4∴该双曲线的方程为－＝1．故选A． 由几何性质求双曲线的方程的常用方法 一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程； 二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解． 为了避免讨论，也可设方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，从而直接求解． [练1] 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B． －＝1 C．－y2＝1 D．x2－＝1 D　解析：不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1，)，所以＝，因为c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求双曲线的方程为x2－＝1． 知识点二　直线与双曲线的位置关系 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，① 双曲线C：－＝1(a>0，b>0).② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线l与双曲线C相交于一点． (2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点． 当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点． 考法1　直线与双曲线位置关系的判断 [例2] 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试在下列条件下讨论实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 解：由消去y得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程(*)化为2x＝5， 故此时方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，且只有一个公共点． 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 当即－<k<，且k≠±1时， 方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个公共点． 当即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线l与双曲线有一个公共点． 当即k<－或k>时，方程(*)无实数解，即直线l与双曲线无公共点． 综上所述， (1)当－<k<－1或－1<k<1或1<k<时，直线l与双曲线有两个公共点． (2)当k＝±1或k＝±时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)当k<－或k>时，直线l与双曲线没有公共点． 数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用 (1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系． (2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系． [练2] (2024·新课标Ⅱ卷节选)已知双曲线C：x2－y2＝m(m>0)，点P1(5，4)在C上，k为常数，0<k<1，按照如下方式依次构造点Pn(n＝2，3，…)：过点Pn－1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn－1，令Pn为Qn－1关于y轴的对称点，记Pn的坐标为(xn，yn).若k＝，求x2，y2. 解：将点P1(5，4)的坐标代入C的方程得52－42＝m，解得m＝9，所以C：x2－y2＝9. 过点P1(5，4)且斜率k＝的直线方程为y＝(x－5)＋4， 与C的方程联立，消去y化简可得x2－2x－15＝0，即(x－5)(x＋3)＝0， 所以点Q1的横坐标为－3，将x＝－3代入直线方程，得y＝0， 因此Q1(－3，0)，从而P2(3，0)， 即x2＝3，y2＝0. 考法2　弦长问题 [例3] 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F(2，0)作斜率为的直线，交双曲线于M，N两点，且|MN|＝4，求双曲线的方程． 解：由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0). ∵右焦点为F(2，0)，∴c＝2，则有a2＋b2＝4， ∴b2＝4－a2，即双曲线方程化为－＝1． 直线MN的方程为y＝(x－2)，代入上式，得(20－8a2)x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0， 则Δ＝(12a2)2－4(20－8a2)(5a4－32a2)＝160a2(a2－4)2＞0. 令M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝＝，x1x2＝. 由弦长公式，得 |MN|＝·＝4，解得a2＝1． ∴所求双曲线方程为x2－＝1． 求弦长的两种方法 (1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长． (2)弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解． [练3] 已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值． 解：由 消去y得，(3－a2)x2－2ax－2＝0.① 依题意即－<a<且a≠±.② 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ∵以AB为直径的圆过原点， ∴OA⊥OB，则·＝0， ∴x1x2＋y1y2＝0.又y1y2＝a2x1x2＋a(x1＋x2)＋1， 由③④知，(a2＋1)·＋a·＋1＝0， 解得a＝±1且满足②. ∴a＝±1． 1．知识清单 (1)双曲线实际应用与轨迹方程． (2)判断直线与双曲线交点个数． (3)弦长问题． 2．方法归纳：定义法，直接法． 3．常见误区 (1)直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系． (2)代数计算中的运算失误． ◎随堂演练 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A．1 B． 2 C．1或2 D．0 A　解析：由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y＝±x， 因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行， 所以它与双曲线只有1个交点． 2．两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分的双曲线的标准方程为 ． 答案：－＝1或－＝1　解析：由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6， 于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1． 3．已知直线l：y＝kx－1与双曲线C：x2－y2＝1有两个不同的交点，求实数k的取值范围． 解：由消去y整理，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0. 由题意，知 解得－＜k＜且k≠±1， 所以实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1，1)∪(1，). 学科网（北京）股份有限公司 $$