第16讲 抛物线的简单几何性质讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦抛物线的简单几何性质，系统梳理范围、对称性等几何性质，通过对比表格整合四种标准方程的性质，衔接焦半径公式、直线与抛物线位置关系及焦点弦性质，构建从基础到应用的学习支架。 资料以知识点系统梳理与分层题型设计为特色，通过表格对比培养几何直观（数学眼光），题型从基础到综合（如综合应用题）提升推理能力（数学思维），焦半径公式应用体现模型意识（数学语言）。课中辅助教师授课，课后学生可通过题型练习查漏补缺。

第16讲 抛物线的简单几何性质 目录 知识点1 抛物线的几何性质 2 知识点2 焦半径公式 2 知识点3 直线与抛物线的位置关系 3 知识点4 抛物线的焦点弦性质 4 题型一 由抛物线方程研究几何性质 5 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 6 题型三 直线与抛物线的位置关系 6 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 7 题型五 抛物线的中点弦问题 10 题型六 抛物线的综合应用 12 01 学习新知 知识点1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 02 经典题型 题型一 由抛物线方程研究几何性质 1. 对抛物线y=4x2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 3. 抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 4. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5. 过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 题型三 直线与抛物线的位置关系 6. 已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 7. 已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 8. (课本例4)　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 9. 过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 10. 若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.12 C. D.13 11. 若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　　.  12. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 13. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型五 抛物线的中点弦问题 14. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 15. 直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 16. 设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 题型六 抛物线的综合应用 17. 已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点. (1)若|AB|=10，求实数m的值；(5分) (2)若OA⊥OB，求实数m的值.(5分) 18. 如图，已知抛物线y2=4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(4分) (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.(8分) 19. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 抛物线的简单几何性质 目录 知识点1 抛物线的几何性质 2 知识点2 焦半径公式 2 知识点3 直线与抛物线的位置关系 3 知识点4 抛物线的焦点弦性质 4 题型一 由抛物线方程研究几何性质 5 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 6 题型三 直线与抛物线的位置关系 6 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 7 题型五 抛物线的中点弦问题 10 题型六 抛物线的综合应用 12 01 学习新知 知识点1 抛物线的几何性质 1、抛物线的几何性质 （1）范围：由方程可知，对于抛物线上的点，，，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同；当的值增大时，的值也增大，这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸． （2）对称性：以代，方程不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． （3）顶点：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点． （4）离心率：抛物线上的点与焦点的距离和点到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用表示．由抛物线的定义可知，． 2、四种标准方程对应的抛物线的性质比较 标准方程 图形 范围 对称轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径 知识点2 焦半径公式 1、焦半径的定义 设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，． 2、用坐标表示焦半径公式 （1）抛物线，． （2）抛物线，． （3）抛物线，． （4）抛物线，． 【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式． 3、焦半径公式的应用：利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．一般来说，涉及到过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式解决较为简单． 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系有三种情况 相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）． 2、以抛物线与直线的位置关系为例 （1）直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. （2）直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数． ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点． ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点． 3、直线与抛物线相交弦长问题 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为． （1）弦长公式：（为直线的斜率，且）． （2）中点弦斜率：, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. （3）中点弦直线方程：直线的方程为． 知识点4 抛物线的焦点弦性质 1、焦点弦的定义：过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦． 2、焦点弦长：如图，是抛物线过焦点的一条弦，设，，的中点，过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； （1）以为直径的圆必与准线相切. （2）(焦点弦长与中点关系) （3）． （4）若直线的倾斜角为，则． （5），两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，． （6）为定值． 02 经典题型 题型一 由抛物线方程研究几何性质 1. 对抛物线y=4x2，下列描述正确的是(　　) A.开口向上，焦点为(0，1) B.开口向上，焦点为 C.开口向右，焦点为(1，0) D.开口向右，焦点为 答案　B 解析　由抛物线y=4x2，得抛物线的标准方程为x2=y，2p=， 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【解析】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误.故选：D. 3. 抛物线（）上的动点Q到焦点的距离的最小值为2，则 . 【答案】4 【解析】抛物线的准线方程为，设， 显然，当且仅当时取等号，则点到焦点的距离， 当且仅当时取等号，因此，所以. 故答案为：4 题型二 由几何性质求抛物线标准方程 4. 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为.故选：C. 5. 过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【解析】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 题型三 直线与抛物线的位置关系 6. 已知直线l：y=kx+1，抛物线C：y2=4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？ 解　联立消去y，得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*) 当k=0时，(*)式只有一个解x=，此时l与C只有一个公共点. 当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k). ①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； ②当Δ=0，即k=1时，l与C有一个公共点； ③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点. 综上所述，当k=1或0时，l与C只有一个公共点； 当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点； 当k>1时，l与C没有公共点. 7. 已知抛物线的准线为，且与直线相切，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】由题知，，且， 所以，，的方程为. 将代入，整理得. 因为与直线相切， 所以，，解得．故选：B. 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 8. (课本例4)　斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 解　由题意可知，p=2=1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.由抛物线的定义，可知 |AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2. 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)， 所以直线l的方程为y=x-1.① 将①代入方程y2=4x，得(x-1)2=4x，化简，得x2-6x+1=0. 所以x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8.所以，线段AB的长是8. 9. 过点P(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，弦AB恰好被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 解　方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有=8x1，=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2).∵P是AB的中点，∴x1+x2=8，y1+y2=2， 则直线AB的斜率k===4，∴所求直线AB的方程为y-1=4(x-4)， 即4x-y-15=0.由消去x并整理得y2-2y-30=0，则y1+y2=2，y1y2=-30. 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 方法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1(k≠0)， 由消去x并整理得ky2-8y-32k+8=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=， ∵P是AB的中点，∴=1，∴=2，∴k=4.∴所求直线AB的方程为4x-y-15=0. 由消去x并整理得y2-2y-30=0，则y1+y2=2，y1y2=-30， 由弦长公式得|AB|=·|y1-y2|=·=. 求抛物线弦长的方法 (1)统一弦长公式：|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|. (2)焦点弦长：在抛物线y2=2px(p>0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=x1+x2+p. 10. 若抛物线y2=12x与直线2x+y-4=0交于A，B两点，则|AB|等于(　　) A.2 B.12 C. D.13 答案　C 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2-7x+4=0， ∴x1+x2=7，x1x2=4，∴|AB|=|x1-x2|=×=. 11. 若直线y=k(x-2)与抛物线y2=8x交于A，B两点，|AB|=10，则k=　　　　.  答案　±2 解析　抛物线y2=8x的焦点坐标为(2，0)，则直线y=k(x-2)恒过焦点，若k=0，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，故k≠0， 联立消去y，整理得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，Δ=(4k2+8)2-16k4=64k2+64>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，因为|AB|=x1+x2+4=10，故=6， 解得k=±2. 12. 过抛物线的焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】抛物线的焦点，过焦点且倾斜角的直线为， 联立，得，得，所以， 原点到直线的距离， 所以的面积.故选：A 13. 已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由抛物线方程可知，因为直线过抛物线的焦点， 当时，直线方程为，由解得，则不满足题意， 当时，联立消可得：， ， 设，，则，， 由抛物线的定义可得：， 因为，所以，所以，故选：A. 题型五 抛物线的中点弦问题 14. 已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得， 因为的中点为，则， 所以，即直线的斜率为.故选：D. 15. 直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（    ） A． B．2 C．或2 D．以上都不是 【答案】B 【解析】设，因为中点的横坐标为，则， 可得， 又由，两式相减得到，可得， 可得，解得或， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以.故选：B. 16. 设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，所以，即轴. 令，可得，，， 所以，得，故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 题型六 抛物线的综合应用 17. 已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点. (1)若|AB|=10，求实数m的值；(5分) (2)若OA⊥OB，求实数m的值.(5分) 解　由得x2+(2m-8)x+m2=0.由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0，得m<2. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=8-2m，x1x2=m2，y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m. (1)因为|AB|==·=10， 所以m=，经检验符合题意. (2)因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=m2+8m=0，解得m=-8或m=0(舍去). 所以m=-8，经检验符合题意. 18. 如图，已知抛物线y2=4x，其焦点为F. (1)求以M(1，1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(4分) (2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.(8分) 解　(1)由题意知，以M(1，1)为中点的弦所在的直线斜率存在. 设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则=4x1，=4x2，kPQ===2， ∴所求直线方程为2x-y-1=0. (2)依题意知，直线m，n的斜率存在且均不为0，设直线m的方程为y=k(x-1)，与抛物线方程联立，得 消去y，整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，设其两根为x3，x4，则x3+x4=+2. 由抛物线的定义可知，|AB|=2+x3+x4=+4，同理可得|CD|=4k2+4， ∴四边形ACBD的面积S=(4k2+4)·=8≥32，当且仅当k=±1时等号成立，此时所求四边形ACBD面积的最小值为32. 19. 已知动点在抛物线上，，点到的准线的距离为，且的最小值为5. (1)求的方程； (2)若过点的直线与交于两点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，求的斜率. 【答案】(1)；(2)4或 【解析】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得， 则， 当三点共线且点在线段上时，取得最小值， 则，整理得，解得或， 因为，所以，故的方程为. （2）设过点的直线. 联立，消元得，则， 由， 得 代入韦达定理得： 化简得，得或. 故的斜率为4或. 20. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. (1)求拋物线的方程； (2)如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】(1)；(2)证明见解析， 【解析】（1）如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. （2）因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点. 1 学科网（北京）股份有限公司 $