3.2.2 奇偶性（思维导图+3大知识点+9大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第一册）

3.2.2 奇偶性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 4 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 5 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：奇偶性的判断与证明 7 题型二：求函数解析式 8 题型三：已知函数的奇偶性求值问题 9 题型四：已知函数的奇偶性求参数问题 9 题型五：中值模型 10 题型六：抽象函数的奇偶性问题 10 题型七：解不等式问题 11 题型八：识别图像 12 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 13 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：奇偶性的判断与证明 【例1】（2025·高一·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【方法技巧与总结】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式2】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【变式3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 题型二：求函数解析式 【例3】已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【例4】若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【方法技巧与总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 【变式4】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【变式5】（2025·高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【变式6】（2025·高一·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 题型三：已知函数的奇偶性求值问题 【例5】（2025·高三·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【例6】（2025·高二·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【方法技巧与总结】 充分利用奇偶性进行求解． 【变式7】（2025·高二·甘肃白银·期末）已知函数是定义在上的奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式8】已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B．15 C． D．5 【变式9】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 题型四：已知函数的奇偶性求参数问题 【例7】（2025·高二·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【例8】已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【方法技巧与总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解． 【变式10】（2025·高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式11】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式12】（2025·高一·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 题型五：中值模型 【例9】（2025·高一·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【例10】已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【方法技巧与总结】 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 【变式13】（2025·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【变式14】（2025·高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【变式15】（2025·高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【例11】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【例12】（2025·高一·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行． 【变式16】（2025·高一·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式17】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【变式18】（2025·高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 题型七：解不等式问题 【例13】已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【例14】（2025·高二·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【方法技巧与总结】 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 【变式19】（2025·高一·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【变式20】（2025·高一·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 【变式21】已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 题型八：识别图像 【例15】函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【例16】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用奇偶性进行排除． 【变式22】（2025·高一·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式23】函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式24】（2025·高一·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【例17】有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是 ； （2） ． 【例18】（2025·高一·贵州六盘水·期末）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若函数的图象关于点对称，证明：； (3)已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【方法技巧与总结】 奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性、周期性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。 【变式25】（2025·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【变式27】（2025·高一·广东广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2 奇偶性 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 5 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 6 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：奇偶性的判断与证明 8 题型二：求函数解析式 11 题型三：已知函数的奇偶性求值问题 13 题型四：已知函数的奇偶性求参数问题 14 题型五：中值模型 16 题型六：抽象函数的奇偶性问题 18 题型七：解不等式问题 20 题型八：识别图像 22 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 25 知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1、函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数． 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数． 知识点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）在定义域中，那么在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）的等价形式为：， 的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有； （5）若既是奇函数又是偶函数，则必有． 2、奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 3、用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 知识点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等． （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可． （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数． （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较． 知识点三、关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． 题型一：奇偶性的判断与证明 【例1】（2025·高一·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 【例2】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【解析】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 【方法技巧与总结】 判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功． 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 【解析】（1）由得且，定义域关于原点对称， 所以，所以， 因为，所以为奇函数． （2）由，解得，其定义域不关于原点对称， 则是非奇非偶函数． （3）的定义域为，且关于原点对称． 因为，所以为偶函数． （4）解法1：的定义域关于原点对称， ， 即，则为偶函数． 解法2：画出的图象， 观察可知图象关于轴对称，则为偶函数． 【变式2】判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 【变式3】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 题型二：求函数解析式 【例3】已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ． 【答案】 ． 【解析】由题意得， 则有 两式相减得，所以 故答案为：， 【例4】若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ． 【答案】 【解析】当时，则，得， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 故当时，. 故答案为: 【方法技巧与总结】 抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式． 【变式4】已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【解析】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 【变式5】（2025·高一·广东惠州·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】依题意，. 故答案为： 【变式6】（2025·高一·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【答案】 【解析】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 题型三：已知函数的奇偶性求值问题 【例5】（2025·高三·重庆·开学考试）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【解析】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 【例6】（2025·高二·浙江·学业考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【解析】为奇函数，， 函数的定义域为，令，得，， 令，得， 当时，，，即， . 故选：D. 【方法技巧与总结】 充分利用奇偶性进行求解． 【变式7】（2025·高二·甘肃白银·期末）已知函数是定义在上的奇函数，若，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】∵，∴ ∴ 由是定义在上的奇函数，得， ∴， ∴ 又，∴. 故选：A. 【变式8】已知是偶函数，当时，，则（    ） A． B．15 C． D．5 【答案】D 【解析】因为是偶函数，所以， 令，即，则. 故选：D 【变式9】（2025·高三·北京朝阳·期中）已知为定义在上的函数，，且为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C．0 D．2 【答案】A 【解析】因为为奇函数， 所以， 令，得，所以. 故选：A. 题型四：已知函数的奇偶性求参数问题 【例7】（2025·高二·吉林·期末）已知为奇函数，则（   ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】A 【解析】函数是奇函数，且，都在定义域内， 所以且， 所以且， 所以，所以. 故选：A. 【例8】已知函数为定义在区间上的奇函数，则（   ） A． B．3 C．8 D．无法确定 【答案】C 【解析】奇函数的定义域关于原点对称，，． 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解． 【变式10】（2025·高一·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【变式11】（2025·江西景德镇·三模）函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 【变式12】（2025·高一·贵州黔南·期末）设是定义在区间上的奇函数，则（    ） A． B．38 C．26 D． 【答案】C 【解析】根据奇函数的定义，设函数的定义域为D，则对，都有， 即定义域关于原点对称，所以，即，解得. 要使函数在上为奇函数，需满足， 即，， 则，即， 则 所以， 故选：C. 题型五：中值模型 【例9】（2025·高一·广西·期中）已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【解析】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 【例10】已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 已知奇函数+M，，则 （1） （2） 【变式13】（2025·高一·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【解析】由题意得 ， 令，（） 则，即为奇函数， 则， 又函数，（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048. 【变式14】（2025·高一·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【解析】， . 故答案为：2. 【变式15】（2025·高一·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【解析】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 题型六：抽象函数的奇偶性问题 【例11】已知对任意x，，都有，且，那么 （    ） A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数 【答案】D 【解析】令，有， 因为，所以， 再令，得：， 所以，又， 所以是偶函数. 故选：. 【例12】（2025·高一·江苏扬州·期中）已知函数对任意实数，都满足，且，，则函数是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【解析】在中， 令，则，又，所以， 令得，所以， 所以是偶函数， 故选：B． 【方法技巧与总结】 判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行． 【变式16】（2025·高一·河南洛阳·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【解析】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 【变式17】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知函数的定义域为，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C．若，则 D．函数在单调递减 【答案】B 【解析】对于A，令，可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，又， 则，所以函数是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，则是周期函数，周期为2，所以，故C错误； 对于D，令，，且，则， 即，而时，与2大小不定，故D错误. 故选：B. 【变式18】（2025·高一·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【解析】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 题型七：解不等式问题 【例13】已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】是增函数，且， 因为为奇函数，所以在上是增函数． 由，得， 于是，解得．故． 故答案为：. 【例14】（2025·高二·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数， 则，在上单调递增. 则， 又或， 由，可得不等式组无解，由可得. 综上可得满足题意. 故答案为： 【方法技巧与总结】 函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题． 【变式19】（2025·高一·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 【变式20】（2025·高一·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 【变式21】已知定义域为R的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为是定义域为上的奇函数，且对于任意， 不等式恒成立， 所以，即， 又因为，所以在上是单调递减函数， 则有恒成立，即恒成立， 令，，函数开口向上，对称轴为， 则，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 题型八：识别图像 【例15】函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知，无解，图像不可能和轴有交点，故排除A， 因为，定义域为 所以， 故为偶函数，排除C， 时，，排除D． 故选：B 【例16】函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，， 则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故BD错误； 而， 则时，；时，，故A满足题意，C错误. 故选：A. 【方法技巧与总结】 利用奇偶性进行排除． 【变式22】（2025·高一·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 【变式23】函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】∵的定义域为，关于原点对称， 且， ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项B； 又，故排除选项D； 又，故排除选项C； 故选：A． 【变式24】（2025·高一·全国·单元测试）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得的定义域为，又，故为偶函数，排除B，C； 当时，，则在上单调递增，排除D， 故选：A 题型九：奇偶性与对称性的综合运用 【例17】有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是 ； （2） ． 【答案】 3033 【解析】由得， 令，则， 即为奇函数；由题中命题可得，函数的对称中心是； 由得， 则； 所以. 故答案为：；3033. 【例18】（2025·高一·贵州六盘水·期末）我们知道，函数的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)若函数的图象关于点对称，证明：； (3)已知函数，其中，若正数满足，且不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）令，因为为奇函数， 所以，即， 所以， 化简得， 则，解得， 即图象的对称中心为. （2）令，因为为奇函数， 所以，即， 所以， 令，则，即. （3）因为， 所以， 所以，可得的对称中心为. 因为， ， 两式相加得：，即， 由题意知恒成立. 方法一：由为正数， ， 当且仅当时取等号. 所以. 方法二：由， 令， 则， 当且仅当时取等号. 所以. 【方法技巧与总结】 奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括： 定义法：直接利用奇偶性定义及对称性定义来判断。 图象法：通过绘制函数图像，观察图像是否关于原点或y轴对称来判断奇偶性和对称性。 性质法：利用奇偶性、对称性的性质进行推导，如奇±奇=奇，偶±偶=偶，以及函数图像的轴对称和中心对称性质。 结合法：在解题时，常将奇偶性与单调性、周期性结合使用，通过性质转换和变量替换简化问题。 【变式25】（2025·高一·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题： (1)直接写出函数的对称中心； (2)证明：函数的对称中心为； (3)若函数的对称中心为，求实数、的值. 【解析】（1）函数的对称中心为. 验证如下： 因为函数， 定义域，即定义域关于原点对称，且， 所以是奇函数，即函数的对称中心为. （2）证明：记， 定义域为R，即定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以的对称中心为. （3）， 令 ， 因为是奇函数， 所以， 即， 整理得，进而得， 解得或. 【变式26】（2025·高一·全国·单元测试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)判断在区间上的单调性（只写出结论即可）； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，，若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【解析】（1）方法一：设函数图象的对称中心为， 则由题意得， 即， 整理得， 所以，解得， 所以图象的对称中心为. 方法二：设函数图象的对称中心为， 因为的定义域为，所以， 则由题意可知为奇函数， 设， 则，即，解得． 则，经检验是奇函数，所以， 所以函数图象的对称中心为. （2）函数在上单调递增 （证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以且， 所以，即， 所以函数在上单调递增．） （3）由对任意，总存在，使得， 可得函数在上的值域为在上的值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故在上的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， 由二次函数的图象和性质可知当，即时，在上单调递增， 又，所以函数的图象恒过对称中心， 所以在上也单调递增，故在上单调递增， 又因为，故， 因为，所以，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 因为的图象过对称中心，所以在上单调递增，在上单调递减， 故， 欲使，只需且， 解得，又因为，所以， 当，即时，在上单调递减，在上也单调递减， 所以在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数的取值范围是． 【变式27】（2025·高一·广东广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【解析】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $