2.2.1 直线的点斜式方程（讲义，知识点&4大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，从斜率公式推导点斜式，明确其适用条件及垂直x轴的特殊直线方程，再由点斜式导出斜截式，建立与一次函数的联系，构建完整知识支架。 资料通过推导过程培养数学思维（推理能力），结合随学随练和题型示例强化数学语言表达（应用意识），图象辨析题渗透数形结合（几何直观）。课中教师可分阶教学，课后学生通过基础与提升练习查漏补缺，有效落实核心素养。

司 第二章 直线和圆的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 课标要点 1.推导并理解直线点斜式方程的由来，明确其几何意义，掌握点斜式标准形式。 2.区分点斜式适用条件，清楚斜率不存在时直线无法使用点斜式，掌握竖直线方程。 3.由点斜式推导出斜截式方程，理解斜截式与一次函数的联系。 4.能根据定点、斜率快速写出直线方程，会利用点斜式求解参数、直线解析式。 5.借助直线方程体会解析几何数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.直线点斜式、斜截式方程的形式与书写。 2.已知一点与斜率求直线方程。 难点： 1.理解点斜式仅适用于斜率存在的直线，遗漏垂直x轴直线的特殊方程。 2.区分截距与距离，纠正截距为负数、零的理解误区。 知识点 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 特别提醒 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 随学随练 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（25-26高二上·湖北·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点 直线的截距式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 易错提醒 斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 随学随练 1．（25-26高二上·浙江衢州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）直线在轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D． 题型 直线的点斜式方程 ▌例1 （24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 利用点斜式求直线方程的注意点：用点斜式求直线方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标，注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式方程表示直线． ▌对点练1-1 （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. ▌对点练1-2 （25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 题型 直线的斜截式方程 ▌例2 （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 牢记斜截式方程的标准形式与适用条件，已知直线斜率和纵截距可直接写出方程，已知定点与斜率可先通过点斜式转化推导斜截式，解题时需注意斜率不存在的直线无斜截式，同时准确区分截距与距离，杜绝截距取值理解错误． ▌对点练2-1 （25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·广东茂名·期末）若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（    ） A．2 B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 题型 直线的图象特征 ▌例3 （25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列图象，能作为直线的图象的是（    ） A． B． C． D． 解题贴士 根据直线在平面直角坐标系中的升降趋势、与y轴交点位置，判断斜率的正负、大小以及纵截距的取值，结合图象特征快速筛选、求解直线方程参数，利用数形结合思想辨析直线平行、垂直的图象特征，高效解决图象辨析与参数判断问题． ▌对点练3-1 （25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D．   ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东揭阳·期中）（多选）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 点斜式与斜截式的应用 ▌例4 （25-26高二上·辽宁·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 解题贴士 结合点斜式、斜截式的适用条件灵活转化直线方程，已知一点和斜率优先用点斜式，已知斜率和截距优先用斜截式，可借助两种方程形式相互变形求解定点、斜率、截距参数，同时结合直线平行、垂直的斜率关系，综合解决直线方程求解与参数求值问题，注意分类讨论斜率存在与不存在的特殊情况． ▌对点练4-1 （25-26高二上·浙江·期中）直线的斜率为3且它在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． ▌对点练4-2 （25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． ▌对点练4-3 （25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 基础通关 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）直线经过点和，则它的斜率和在轴上的截距是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·河南·阶段检测）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 6．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 9．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 10．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 素养提升 11．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 12．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，，，则平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 迁移创新 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 17．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 18．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中） 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.2.1 直线的点斜式方程 课标要点 1.推导并理解直线点斜式方程的由来，明确其几何意义，掌握点斜式标准形式。 2.区分点斜式适用条件，清楚斜率不存在时直线无法使用点斜式，掌握竖直线方程。 3.由点斜式推导出斜截式方程，理解斜截式与一次函数的联系。 4.能根据定点、斜率快速写出直线方程，会利用点斜式求解参数、直线解析式。 5.借助直线方程体会解析几何数形结合思想。 学习重难点 重点： 1.直线点斜式、斜截式方程的形式与书写。 2.已知一点与斜率求直线方程。 难点： 1.理解点斜式仅适用于斜率存在的直线，遗漏垂直x轴直线的特殊方程。 2.区分截距与距离，纠正截距为负数、零的理解误区。 知识点 直线的点斜式方程 1、点斜式方程的推导 如图，直线经过点，且斜率为． 设是直线上不同于点的任意一点，因为直线的斜率为， 由斜率公式得，即． 2、直线的点斜式方程 方程由直线上一个定点及该直线的斜率确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 特别提醒 （1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点和直线的斜率． （2）当任意实数时，方程表示恒过定点的无数条直线． 3、两种特殊的直线： 倾斜角 图象特征 斜率 直线方程 0° ，即 ，即 90° 无意义， 即不存在 ，即 4、求直线点斜式方程的一般步骤： （1）求直线点斜式的步骤为：定点定斜率写出方程 （2）点斜式方程可表示过点的所有直线，但除外． 随学随练 1．（25-26高二上·河南平顶山·期末）已知直线的点斜式方程为，则的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】A 【解析】设直线的倾斜角为且， 则，故.故选：A 2．（25-26高二上·湖北·期末）过点且倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率为， 又直线过点，，即.故选：C. 知识点 直线的截距式方程 1、斜截式方程的推导 如图，如果斜率为的直线过点，这时是直线与轴的交点，代入直线的点斜式方程，得，即． 2、直线的斜截式方程 我们把直线与轴的交点为的纵坐标叫做直线在轴上的截距．这样，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，我们把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 易错提醒 斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在． 3、斜截式的几种特例 表示过原点的直线 ， 表示与轴平行的直线 ， 表示轴 随学随练 1．（25-26高二上·浙江衢州·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线方程为，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，又，所以，故选：B. 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）直线在轴上的截距为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】直线在轴上的截距为.故选：A 题型 直线的点斜式方程 ▌例1 （24-25高二上·贵州遵义·期末）过点，斜率为2的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，所求直线方程为，即.故选：B 解题贴士 利用点斜式求直线方程的注意点：用点斜式求直线方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标，注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式方程表示直线． ▌对点练1-1 （25-26高二上·黑龙江大庆·期末）过点且斜率为2的直线方程为_____. 【答案】 【解析】由题意得直线方程为， 化简得，即. ▌对点练1-2 （25-26高二上·北京·阶段检测）经过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角为，所以斜率， 又直线经过点，代入点斜式方程得直线方程为.故选：B ▌对点练1-3 （25-26高二上·辽宁·阶段检测）经过点，且倾斜角是的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以．故选：D 题型 直线的斜截式方程 ▌例2 （25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为. 由直线的斜截式公式可知，，故选：B. 解题贴士 牢记斜截式方程的标准形式与适用条件，已知直线斜率和纵截距可直接写出方程，已知定点与斜率可先通过点斜式转化推导斜截式，解题时需注意斜率不存在的直线无斜截式，同时准确区分截距与距离，杜绝截距取值理解错误． ▌对点练2-1 （25-26高二上·江苏扬州·期末）设直线的斜率为，在轴上的截距为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，所以，所以，故选：C. ▌对点练2-2 （25-26高二上·广东茂名·期末）若直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后，回到原来的位置，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】直线：沿x轴负方向平移1个单位，再沿y轴正方向平移2个单位后， 得到的直线方程为，即. ∴，∴.故选：B. ▌对点练2-3 （25-26高二上·河北衡水·阶段检测）求分别满足下列条件的直线方程，结果写成斜截式． (1)过点，斜率； (2)经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍； 【答案】(1)l；(2) 【解析】（1）由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. （2）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 所以所求直线倾斜角为，所以所求直线斜率为， 由直线的点斜式方程得直线方程为：，化简可得：. 题型 直线的图象特征 ▌例3 （25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）下列图象，能作为直线的图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线，可知直线的是上升的，且过定点， 结合选项可知：ACD错，故B正确；故选：B 解题贴士 根据直线在平面直角坐标系中的升降趋势、与y轴交点位置，判断斜率的正负、大小以及纵截距的取值，结合图象特征快速筛选、求解直线方程参数，利用数形结合思想辨析直线平行、垂直的图象特征，高效解决图象辨析与参数判断问题． ▌对点练3-1 （25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B ▌对点练3-2 （25-26高二上·广东汕头·期中）如图所示，直线与的图象可能是（    ） A． B． C． D．   【答案】D 【解析】对于A，由直线的图象可得， 由的图象可得，产生矛盾，故A不合题意； 对于B，由直线的图象可得， 由的图象可得，产生矛盾，故B不合题意； 对于C，由直线的图象可得， 由的图象可得，产生矛盾，故C不合题意； 对于D，由直线的图象可得， 由的图象可得，两者一致，故D符合题意.故选：D. ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东揭阳·期中）（多选）在同一平面直角坐标系中，表示直线：与：的图象可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故A正确； 对于B，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故B错误； 对于C，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故C正确； 对于D，直线：，由图可得， 而直线：，由图可得：，故D错误；故选：AC. 题型 点斜式与斜截式的应用 ▌例4 （25-26高二上·辽宁·期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为求直线的方程为__________用斜截式表示 【答案】 【解析】设，则， 把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入， 可得：，解得，故点， 又边上的高所在直线方程为，,， 则直线为，即． 联立，可得，故直线斜率为， 则直线的方程为：，即． 故答案为：． 解题贴士 结合点斜式、斜截式的适用条件灵活转化直线方程，已知一点和斜率优先用点斜式，已知斜率和截距优先用斜截式，可借助两种方程形式相互变形求解定点、斜率、截距参数，同时结合直线平行、垂直的斜率关系，综合解决直线方程求解与参数求值问题，注意分类讨论斜率存在与不存在的特殊情况． ▌对点练4-1 （25-26高二上·浙江·期中）直线的斜率为3且它在轴上的截距为． (1)求直线的方程； (2)求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为， 由斜截式得直线的方程为，即． （2）在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1， 则直线与坐标轴所围成的三角形面积． ▌对点练4-2 （25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知点，为坐标原点，试求解以下两个小题． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点作直线分别交轴、轴的正半轴于、两点，若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）已知直线的斜率，垂直直线斜率为，所以，所以， 所以过点的直线方程为，即. （2）由题意可得，直线斜率存在， 所以设直线：，所以当时，，所以， 当时，，， 因为直线分别交轴、轴的正半轴于、两点， 所以，，又因为， 所以，且，即， 所以，即， 解得，所以，， 所以，所以的面积为. ▌对点练4-3 （25-26高二上·甘肃金昌·阶段检测）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 基础通关 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）直线的倾斜角是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】设直线的倾斜角为， 因为的斜率为，所以，所以.故选：B 2．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）直线经过点和，则它的斜率和在轴上的截距是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为直线经过点和， 所以，所以， 所以直线的斜率，在轴上的截距，故选：B. 3．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）直线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】选项A，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，A错误； 选项B，由的图象可知，，，由的图象可知，，，可能成立，B正确； 选项C，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，C错误； 选项D，由的图象可知，，，由的图象可知，，，矛盾，D错误. 4．（24-25高二下·河南·阶段检测）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得.故选：A 5．（25-26高二上·福建漳州·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．点斜式方程可表示过点的所有直线 B．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C．过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【解析】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 6．（25-26高二上·湖南·期中）过点，垂直于轴的直线方程为______． 【答案】 【解析】因过点，垂直于轴的直线的斜率为0. 所以过点，垂直于轴的直线方程为, 即．如图： 7．（25-26高二上·山东临沂·期中）若直线沿轴向右平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位后，回到原来的位置，则直线的斜率为________. 【答案】 【解析】易知直线的斜率存在，设方程为，① 所以直线沿轴向右平移3个单位后得到的方程为， 再沿轴向上平移2个单位后得到的方程为，② 因为回到原来的位置，所以方程①②应为同一个， 比较系数可得，解得 8．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）直线的方向向量，直线过点 (1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值 (2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距. 【答案】(1)直线的斜截式方程为，倾斜角， (2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 【解析】（1）因为直线的方向向量， 所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则， 若直线与直线平行，则直线的斜率存在， 设直线的斜率为，则， 又直线过点， 所以直线的方程为，化为斜截式可得， 因为直线的斜率，所以， 又，所以， 所以直线的斜截式方程为，倾斜角， （2）若直线与直线垂直， 由（1）可得直线的斜率存在，且， 又，所以， 所以直线的方程为， 化为斜截式可得， 所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为. 9．（25-26高二上·安徽亳州·阶段检测）已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【解析】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 10．（25-26高二上·上海·期中）已知直线的方程为： (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围； 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若直线经过坐标原点，则，解得：； 若直线不经过坐标原点，即时， 则直线在两坐标轴的截距分别为和，且，解得：； 综上所述：或. （2）当直线斜率为时，，即时，直线方程为，不经过第二象限，符合题意； 当直线斜率不为时，若直线不经过第二象限，则，解得：； 综上所述：的取值范围为. 素养提升 11．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）直线经过点，斜率为k，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率k的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】依题意，直线的方程为，由，得， 因此，即，解得或， 所以斜率k的取值范围是或.故选：D 12．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第（   ）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【答案】D 【解析】对于直线（为斜率），直线，其斜率，设其倾斜角为，根据，可得，又因为倾斜角，所以. 直线绕点逆时针旋转，则直线的倾斜角. 直线的斜率. 因为直线过点，根据直线的点斜式方程（为直线上一点，为斜率），可得直线的方程为，即. 直线的斜率为负，截距为负，所以直线不过第一象限.故选：D. 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为.故选：B. 14．（25-26高二上·江西·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，，，则平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，， 设直线OQ的倾斜角为，直线OP的倾斜角为，则，， 得平分线的倾斜角为，结合题意知为锐角， ，故， 解得或（舍去）， 即得平分线的斜率为， 故平分线的方程为.故选：C. 15．（25-26高二上·河北·阶段检测）已知直线，直线过点. (1)若，求直线的方程； (2)若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以 由题意可知，所以 又因为直线过点，所以直线的方程为，即. （2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则 ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，， 的面积，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为 令，则，即点坐标为， 的面积，解得， 则直线的方程为 综上，直线的方程为或. 迁移创新 16．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____. 【答案】 【解析】由题意知：，， 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为，，直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：，即. 17．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线交线段于点，记的周长为，的周长为，若，则（    ） A．2 B．4 C．-2 D．-4 【答案】B 【解析】因为 所以的图象关于直线对称，故. 因为在上都单调递增，在上都单调递减， 则在上单调递增； 在上单调递减. 所以直线与的图象只有两个交点为和点， 设则， 设直线与相交于点，则， 于是， 则，即， 因为直线经过点，，所以.故选：B. 18．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中） 【答案】10.12m 【解析】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $