25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的实际应用，核心讲解循环问题（单循环、双循环）与销售问题，通过排球邀请赛单循环赛制导入，结合知识回顾的传播问题、增长率问题搭建学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点是以足球赛、销售利润等真实情境为载体，引导学生用数学眼光抽象数量关系，通过方程建立与求解发展数学思维的推理能力，用表格总结等量关系强化数学语言的模型意识。对接中考和拓展延伸提升应用能力，助力教师高效教学，学生提升解决实际问题的能力。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题、销售问题与其他问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 循环问题 6. 课堂小结 7. 当堂小练 CONTENTS 9. 拓展与延伸 3. 新课导入 2. 知识回顾 5. 知识点2 销售问题 8. 对接中考 能从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，解决循环问题与销售问题，并根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理. 学习目标 知识回顾 类型 等量关系 病毒传播、植物分支生长、转发、分裂等 设a为传染源数，x为每个传染源传播的个数，则传播n轮后感染的总个数为 a(1+x)n=b， 传播问题的解题策略 增长(或降低)前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 平均增长(或降低)百分率为 x 增长取“+”，降低取“－” 增长率和降低率的数量关系 新课导入 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行 x(x-1) 场， 所以可列得方程 x(x-1)=28. 整理并化简，得 x2-x-56=0. 解方程，得 x1​=8，x2​=−7（不合题意，舍去）. 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题. 新课讲解 知识点1 循环问题 例 1.《教育强国建设规划纲要年 》中指出，实施学生体质强健计划，加强校园足球建设.某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场. (1) 如果有4支球队参加比赛，那么共需进行___场比赛. (2) 如果全市共需进行28场比赛，那么共有多少支球队参加比赛? (3) 如果赛制改为双循环形式（每两支球队之间都需要进行两场比赛）， 共需进行90场比赛，那么共有多少支球队参加比赛？ 解：(1) 设共有 支球队参加比赛. 根据题意，得 , 解得， (不符合题意，舍去). 答：共有8支球队参加比赛. (2) 设共有 支球队参加比赛. 根据题意，得 ， 解得， (不符合题意，舍去). 答：共有10支球队参加比赛. 6 新课讲解 例 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数， ∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 2. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 新课讲解 例 解：(2) 设原来有  人参加比赛， 则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 2. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 新课讲解 循环类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 新课讲解 练一练 1. 某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国.已知共赠勉励卡1 640张，则全班共有多少名学生？ 解：设全班共有 名学生，根据题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）， . 答：全班共有41名学生. 新课讲解 练一练 2. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解：设参加此次比赛的球队数为x. 根据题意,得x(x-1)=36， 解得x1=9，x2=-8(舍去). 故参加此次比赛的球队数是9． D 新课讲解 知识点2 销售问题 例 3. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 解：方法一(间接设未知数)设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 解：方法二(直接设未知数)设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 新课讲解 例 4. 某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元时，每天可售出200袋；若每袋售价每降低1元，则可多售出80袋，此种粽子每袋售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低 元，则可列方程为 ( ) A. B. C. D. A 新课讲解 练一练 1. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低多少元？ 解：设售价应降低a元. 列方程，得(100-a-60)(20+2a)=1 200， 整理，得a2-30a+200=0， 解得a1=10 ， a2=20. ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a=20. 答：售价应降低20元． 新课讲解 练一练 2. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了增加盈利，该商店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？ 解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元. 根据题意，得(40-x)(20+2x)=1 200. 整理，得x2-30x+200=0， 解得x1=10，x2=20. 因为要求每件盈利不少于25元， 所以40-x≥25，解得x≤15. 所以x2=20应舍去. 所以x=10. 答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1 200元. 课堂小结 实际问题与 一元二次方程 循环问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 当堂小练 解：设共有  人.根据题意，得 解得 （不合题意，舍去）. 答：共有5人. 1. n个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 当堂小练 2. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=182×2 B 当堂小练 3. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个多边形是  边形. 根据题意， 解得（不合题意，舍去）. 故该多边形是八边形. 不存在有18条对角线的多边形.理由如下： 若则 . ∵ n不是正整数， ∴ 不存在这样的多边形. 当堂小练 4. 有一人利用手机发送短信，获得信息的人也按他的发送人数发送了该条短信息，经过两轮短信发送，共有90人的手机上获得同一信息，则每轮平均一个人向多少人发送短信？ 解：设每轮平均一个人向x人发送短信. 由题意，得x+x2=90. 解得：x1=9，x2=-10(舍去). 答：每轮平均一个人向9个人发送短信. 当堂小练 5. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售? 解：设每千克核桃应降价x元， 则每千克利润(60-40-x)元， 此时可销售( )千克， 根据题意，得 ()()=2240. 化简，得 x2-10x+24=0，解得x1=4， x2=6 ∴每千克核桃应降价4元或6元 ∵要尽可能让利于顾客， ∴每千克核桃应降价6元. 此时，售价为60-6=54(元) ， ×100%=90%. 答: 该店应按原售价的九折出售. 当堂小练 6. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 解：设商品的销售单价应降低 x 元，则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件. 列方程，得 (60-x-40)(300+20x)=6080， 整理，得x2-5x+4=0，解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取 x=4，所以销售单价定为 56 元. 答：应将销售单价定为 56 元. 当堂小练 7. 菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售. (1) 求平均每次下调的百分率； (2) 小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由. 解： (1) 设平均每次下调的百分率为x.由题意，得5(1-x)2=3.2， 解得 x1=20%，x2=1.8 （舍去）. ∴平均每次下调的百分率为20%. (2) 小华选择方案一购买更优惠，理由如下： 方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400(元)； 方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000(元). ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠. 对接中考 每件售价 元 … 45 55 65 … 日销售量 件 … 55 45 35 … 1. 某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示. (1) 求与之间的函数解析式（不要求写出自变量 的取值范围）. (2) 该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 解：(1) 设与之间的函数解析式为 ， 将，代入 ， 得解得 与之间的函数解析式为 . (2) 该商品日销售额不能达到2 600元.理由如下： 依题意得， 整理得 ， ∴ ， 该方程无实数根， 该商品日销售额不能达到2 600元. 对接中考 解：(1)由图象可知每月的销售量 y (件) 与每件的售价 x (元) 之间为一次函数关系， 设其函数关系式为y=kx+b (k≠0，x≥50). 将(60，600)，(80，400)分别代入， 得 解得 ∴ 每月的销售量y (件) 与每件的售价x (元) 之间的函数关系式为y=−10x+1 200. 2. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系. (1) 求每月的销售量y （件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.（不必写出自变量的取值范围） 对接中考 2. 抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价.经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x （元）之间满足如图所示的函数关系. (1) 求每月的销售量y （件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式.（不必写出自变量的取值范围） y=−10x+1 200 (2) 物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的50%.该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10 000元，那么每件的售价应定为多少元？ 解：(2) 由题意得(-10x+1 200)(x-50)=10 000. 解得x1=70，x2=100. ∵该防护品每件的利润不允许高于进货价的 50%， ∴ x≤50×(1+50%)，解得x≤75，∴x=70. ∴ 每件的售价应定为 70 元. 根据上面所列方程，完成下列任务： (1) 数学问题中横线处缺少的条件是________________________________________； (2) 所列方程中未知数 的实际意义是_______________； (3) 请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程. 拓展与延伸 1. 某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月按单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，________，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？ 解：设……根据题意，得 解：设单价降低了 元. 根据题意，得 ，解得， . 要让顾客得到更大的实惠， ， ． 答：定价为每件68元时，才能使以后每个月的利润达到 元． 单价每降低2元，月销售量可增加40件 单价降低了元 拓展与延伸 2.【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局“打造数字化教学”的号召，鼓励学生进行周末劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学在家务劳动的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？ #1【模型构建】用点，，， ，分别表示第1，2，3， ，50名同学，把该班级人数与视频通话次数 之间的关系用如图模型表示.#1.1 【问题解决】(1) 如图中第5个图中 的值为____. (2) 通过探索发现，视频通话次数与该班级人数 之间的关系式为__________，则当时，对应的 _____. 15 1225 拓展与延伸 【问题解决】(3) 若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生. (4) 若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信，小明统计全组共发送微信110条，求该班数学兴趣小组共有多少人. 视频通话次数与该班级人数 之间的关系式为 解：(3) 设该班共有 名女生. 根据题意，得 ， 解得， (不合题意，舍去). 答：该班共有20名女生． (4) 设该班数学兴趣小组共有 人. 根据题意，得 ， 解得， (不合题意，舍去). 答：该班数学兴趣小组共有11人． $