解题大招19 深入探究倍增函数和类周期函数（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 以高考真题为切入点，构建“概念-策略-应用”三级体系，系统整合倍增函数与类周期函数的逻辑关联，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |倍增函数|2典例+3跟踪|识别倍增关系→建立指数模型→求解验证|从2019高考真题引入，定义两类倍增函数，揭示图象“倍增”规律| |类周期函数|零点问题：2典例+2跟踪；求参问题：2典例+2跟踪|零点：求解析式→递推零点→验证定义域；求参：求最值→转化不等式→解参数|从周期函数延伸，明确类周期关系，建立“基础区间解析式→各段性质分析”推导链|

解题大招19 深入探究倍增函数和类周期函数 知识点01 倍增函数 1．倍增函数的概念 2019年高考全国 II 卷理数压轴选择题将本节要讲解的主角——倍增函数推向了风口浪尖，倍增函数的一般形式为或 ,其图象的变化非常有规律——但不是简单的重复，因此也称此类函数为类周期函数． 2．两类倍增函数 函数表示函数每右移个单位，纵坐标扩大为原来的倍，也即图象从左至右是依次“倍增”的； 函数表示函数的横坐标每扩大为原来的 倍，纵坐标扩大为原来的倍，其图像从左至右也是依次“倍增”的. 知识点02 类周期函数 1．类周期函数的概念 从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中，情形就是周期函数． 【注意】倍增函数也可看作是广义类周期函数. 2．类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，我们往往知道其在（或）上的解析式．此时我们通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析 则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 题型01 倍增函数的应用 倍增函数应用问题求解策略：首先识别问题中的倍增关系，明确自变量每倍增一次时函数值的变化规律（如( f(2x)=kf(x) )）；其次根据倍增特征建立指数型函数模型，可转化为（( m )为倍增间隔）；然后代入已知条件求解模型参数；最后结合实际情境，利用模型解决增长、衰减类问题，同时验证结果是否符合定义域与实际意义. 【典例1-1】（2019全国Ⅱ卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【典例1-2】（多选）（25-26高三上·湖北十堰·期中）函数在区间上值域为，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．若为．的“1 倍增区间”，则b=1 B．二次函数存在“2倍增区间” C．函数存在“1 倍增区间” D．若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍增函数”．若函数（其中）为“倍增函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（    ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西西安·质检）如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型02 类周期函数的零点问题 1．类周期形式的各段区间解析式的求法，重点关注两步：第一步，求啥设啥；第二步，变形.变形既要保证变形后在已知区间内，又要确保知道变形后与变形前的关系式. 2．类周期函数零点问题求解策略：先明确类周期关系（如），求解一个基础周期内的零点；再依据类周期特性递推其他区间的零点；若，单独分析对应区间；最后验证所有零点是否在定义域内。 【典例2-1】（多选）（2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【典例2-2】已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围为 【跟踪训练】 1． 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 ． 2．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 题型03 类周期函数的求参问题 类周期函数常与不等式综合，考查不等式有解或恒成立问题，这类问题求解策略是： 先求出类周期函数的解析式，在给定的区间内求出最值，再通过恒成立转化为参数和最值的不等式关系，解不等式即得所求. 【典例3-1】（2026·河北衡水·模拟）若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026山东淄博质检）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______. 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数，.若对于给定的非零常数m，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为. (1)已知是上的周期为的“2级类周期函数”，且当时，，求若对任意，都有，求实数t的取值范围； (2)是否存在非零实数k，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数k和的值，若不存在，说明理由. 1.（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东临沂·期中）已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[） 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高三下·江西上饶·阶段检测）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得，则称为“类周期函数”，则下列函数为“类周期函数”的是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）（25-26高三上·黑龙江绥化·期中）知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 8．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 9．(多选)（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数在区间上是增函数，且当时，，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．为的“1倍增区间” B．二次函数存在“3倍增区间” C．函数存在“1倍增区间” D．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 10.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是 11．（25-26高三上·福建泉州·期中）定义在上的函数，其图象是连续不断的，如果存在非零常，使得对任意的，都有，则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是__（写出所有真命题对应的序号）． ①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点； ②函数是倍增函数，且倍增系数； ③函数是倍增函数，且倍增系数． 12．（25-26高三下·北京·质检）对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的有___________ ①函数是以为“类周期”的“类周期函数” ②函数是“类周期函数” ③函数是以2为“类周期”的“类周期函数” ④设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 13．（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，对于任意的，都存在非零常数T，使得成立，则称函数是 “类周期函数”，T为函数的 “类周期”.已知“类周期函数”，当时，（），且. (1)若，求在该区间上的最小值； (2)若，研究函数在上的零点个数，并给出一般性的结论：在区间上零点个数的规律. (3)对任意，在上恰有5个零点，求的取值范围，并证明：存在，使得对于任意的，恒成立. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 解题大招19 深入探究倍增函数和类周期函数 知识点01 倍增函数 1．倍增函数的概念 2019年高考全国 II 卷理数压轴选择题将本节要讲解的主角——倍增函数推向了风口浪尖，倍增函数的一般形式为或 ,其图象的变化非常有规律——但不是简单的重复，因此也称此类函数为类周期函数． 2．两类倍增函数 函数表示函数每右移个单位，纵坐标扩大为原来的倍，也即图象从左至右是依次“倍增”的； 函数表示函数的横坐标每扩大为原来的 倍，纵坐标扩大为原来的倍，其图像从左至右也是依次“倍增”的. 知识点02 类周期函数 1．类周期函数的概念 从周期函数进行延伸拓展，若函数满足，我们可称函数为类周期函数．其中，情形就是周期函数． 【注意】倍增函数也可看作是广义类周期函数. 2．类周期函数问题的处理方法 对于满足的类周期函数来说，我们往往知道其在（或）上的解析式．此时我们通常采用以下步骤处理： 第一步：利用函数的类周期性，找到函数各段值域之间的关系，如涉及精细分析 则需要将函数各段的解析式求出来，如有必要画出函数各段的图象． 第二步：对函数各段开展分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 题型01 倍增函数的应用 倍增函数应用问题求解策略：首先识别问题中的倍增关系，明确自变量每倍增一次时函数值的变化规律（如( f(2x)=kf(x) )）；其次根据倍增特征建立指数型函数模型，可转化为（( m )为倍增间隔）；然后代入已知条件求解模型参数；最后结合实际情境，利用模型解决增长、衰减类问题，同时验证结果是否符合定义域与实际意义. 【典例1-1】（2019全国Ⅱ卷）设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍． 如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．    【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 【典例1-2】（多选）（25-26高三上·湖北十堰·期中）函数在区间上值域为，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．若为．的“1 倍增区间”，则b=1 B．二次函数存在“2倍增区间” C．函数存在“1 倍增区间” D．若函数存在“1 倍增区间”，则m的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据函数“k倍增区间”的定义，对于A，由求解即可判断，对于B，假设存在“2倍增区间”，结合函数单调性得到求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到求解即可判断，对于D，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断． 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1 倍增区间”，则，则或（舍去），故A正确； 对于B，若函数存在“2倍增区间”，设定义域为，值域为， 当时，函数在定义域上单调递增，则， 则a，b是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，故B正确； 对于C，函数中x的取值范围为， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 函数在，递减， 则，则， 解得或，均不符合题意，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，，则， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需，解得，故D正确； 故选：ABD． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·安徽·阶段检测）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍增函数”．若函数（其中）为“倍增函数”，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，即是方程的两个根，设， 即有方程有两个不等的实根，且两根都大于0，由判别式及韦达定理求解即可. 【详解】解：依题意知，函数在上单调递增且是“倍增函数”； 可得，即， 是方程的两个根； 设，则，此时方程为， 即方程有两个不等的实根，且两根都大于0， 可得，解得； 故满足条件的取值范围是． 故选：A. 2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，函数存在“倍增区间”，若函数单调递增，则，若函数单调递减，则，根据条件逐个分析选项，求解即可. 【详解】解：对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确. 对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确. 对于C： ，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若 ，仍然无解，所以C不正确. 对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确. 故选B. 【点睛】本题考查函数新定义题型，考查函数的单调性以及构造函数求解问题，属于中档题. 3．（25-26高二下·陕西西安·质检）如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断出的单调性，然后根据倍增函数的定义列式求得的取值范围. 【详解】由于在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知，且.则，所以.构造函数，即有两个解.，令，解得所以在区间上递减，在上递增，极小值也即是最小值为.注意到当时，，，当时，，所以. 故选：D 题型02 类周期函数的零点问题 1．类周期形式的各段区间解析式的求法，重点关注两步：第一步，求啥设啥；第二步，变形.变形既要保证变形后在已知区间内，又要确保知道变形后与变形前的关系式. 2．类周期函数零点问题求解策略：先明确类周期关系（如），求解一个基础周期内的零点；再依据类周期特性递推其他区间的零点；若，单独分析对应区间；最后验证所有零点是否在定义域内。 【典例2-1】（多选）（2026·海南·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（     ） A．函数的值域为 B．函数在上单调递减 C．方程有3个不同的解 D．若方程有10个不同的解，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D. 【详解】依题意，当时，； 当时，，则； 当时，，则， 对于A，当时，；当时，；当时， ，函数的值域为，A错误； 对于B，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，由选项A及，得或，解得 或，方程有3个不同的解，C正确； 对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解， 等价于方程在内各有一个实数根， 因此，解得，D正确. 【典例2-2】已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】先根据函数的“类周期”性，将函数各段解析式求出来，画出图象，然后将函数有4个零点转化为函数的图象与直线有4个交点，进而根据函数各段的图象，求出的取值范围． 【详解】因为所以所以当时，，所以当 时， （如果能根据图象评议和伸缩理清楚，这里不求解析式也可以），画出的图象如图所示． 因为函数有4个零点，所以函数的图象与直线有4个交点，所以， 所以实数的取值范围为 ． 【题后反思】对于种函数满足的类周期形式，可先求出一段区间到二段的解析式，画出对应的图象，从中找出规律，研究其他区间的解析式和图象特征. 【跟踪训练】 1． 已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为 ． 【答案】10000 【详解】，此时两解的和为1； ，此时两解的和为3； …… ，此时两解的和为，199； 所以所有解的和为； 2．（2026·河北沧州·二模）已知函数，若函数恰有10个不相等的实数根，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图， 令，则方程可化为， 因为方程恰有10个不相等的实数根， 所以方程有两个不等实根，， 设，则，， 令，则，解得， 故实数的取值范围为. 题型03 类周期函数的求参问题 类周期函数常与不等式综合，考查不等式有解或恒成立问题，这类问题求解策略是： 先求出类周期函数的解析式，在给定的区间内求出最值，再通过恒成立转化为参数和最值的不等式关系，解不等式即得所求. 【典例3-1】（2026·河北衡水·模拟）若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值， 结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其 求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g（x）min ≤f（x）max的问题，即可得+m≤8，解可得m的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时， 分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣， 当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜ f（x）＜， 又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4， 则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8， 则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12； 对于函数 ，有g′（x）=﹣+x+1=， 分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数， 则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m， 若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立， 必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8， 解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞）， 使g（x2）﹣f（x1）≤0成立”转化为函数的最值问题． 【典例3-2】（2026山东淄博质检）定义在R上的函数满足，且当时，．若对任意，都有，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，根据，可得依此类推，作出函数的图象，结合图象即可求解． 【详解】因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以，同理可得 依此类推，作出函数的图象，如图所示： 由图象知：当时，令，则， 对任意，都有，则. 故的取值范围为，故答案为：. 【题后反思】通过函数的具体图象可以看出函数值的特征，而对于恒成立的情况，要找到那个函数值为2的点，确定t的范围． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·江苏南京·阶段检测）已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】由函数f（x）在[0，2）上的解析式，可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g（x）min≤f（x）max的问题求解． 【详解】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有， 又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且； 则在上，，则有， 则 ， 则函数在区间上的最大值为8，最小值为0； 对于函数，有 ， 得在上，，函数为减函数， 在上，，函数为增函数， 则函数在上，由最小值. 若，，使成立， 必有，即，解可得，即的取值范围为. 2．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知函数，.若对于给定的非零常数m，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是D上的“m级类周期函数”，周期为. (1)已知是上的周期为的“2级类周期函数”，且当时，，求若对任意，都有，求实数t的取值范围； (2)是否存在非零实数k，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数k和的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）结合的解析式以及函数类周期关系式，得出，的解析式，再结合图象可求； （2）利用值域求得，再分类求出值. 【详解】（1）由题意可知，对恒成立， 可知在每个周期内的最大值随着的变大而变大， 当时，， 则时，，，最大值为， 则时，，，最大值为， 令，，解得或， 结合图象可知，对任意，都有时，实数t的取值范围为. （2）假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，则对恒成立， 即对恒成立， 因，，则， 当时，，得，，， 当时，，得，， 综上， ，，，或，，. 1.（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，根据，都有判断；对于B，根据时，；对于C，根据，只对成立判断；对于D，由题得，再分和两种情况讨论判断. 【详解】对于A选项，的定义域为，对于任意给定，任取，都有，满足“倍增友好函数”定义； 对于B选项，的定义域为，对于任意给定，取，，满足“倍增友好函数”定义； 对于C选项，的定义域为，对于任意给定，取，，， 要使成立，则，又，解得，这意味着对于任意的的正整数，不存在满足条件， 所以该函数不满足“倍增友好函数”定义； 对于D，的定义域为，对于任意给定，取，，， 故当，即，变形得：， 所以，当时，，解得， 当时，，均满足， 综上，满足“倍增友好函数”定义. 2．（2026·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数” 如下: 函数，对于给定的非零常数 ，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数都有恒成立，此时为的周期. 若是上的级类周期函数，且，当时，,且是上的单调递增函数，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵时,， ∴当时,； 当时,， 即时,， ∵在上单调递增， ∴且， 解得， ∴实数的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高三上·山东临沂·期中）已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[） 【答案】B 【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为 的问题求解． 【详解】 根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，， 可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0， 当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1， 又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4， 则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8， 则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0； 对于函数， 有 ， 得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数， 则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值 若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立， 必有g（x）min≤f（x）max，即 解可得 ，即m的取值范围为 故选B． 4．（25-26高三下·江苏泰州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，若关于x的方程 恰有4个互不相等的实数根，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对该方程进行因式分解，得到的可能取值，分析时的分段函数图象和性质，再利用奇函数性质得到和时的图象，结合的图象确定的取值. 【详解】由因式分解得： 即或. 是定义在上的奇函数，则； 由题意知当 时， ， 当 时，，则， 当 时，，则， 以此类推，可作出当时时的图象，再由奇函数对称性可得时时的图象，如图所示： 结合图象可知，和的图象有2个交点，即有2个根； 当时，和的图象有2个交点，即有2个根， 结合图象可知其他选项不合题意， 所以，满足原方程恰有4个互不相等的实数根. 5．（2026·辽宁朝阳·三模）定义在上的函数满足：若函数有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则恒过定点，将和的大致图象画在同一直角坐标系， 有3个零点等价于与图象有3个交点，设， 由图可知，，即． 6．(多选)（25-26高三下·江西上饶·阶段检测）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得，则称为“类周期函数”，则下列函数为“类周期函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据“类周期函数”逐项判断取对应的的值即可得结论. 【详解】对于A，若，取得，取，得，矛盾，故A错误； 对于B，存在，使得，故B正确； 对于C，存在，使得，故C正确； 对于D，由，得，即， 因为方程有实根，设为，则存在，使得，故D正确． 故选：BCD． 7.（多选）（25-26高三上·黑龙江绥化·期中）知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．若方程的实数根从小到大依次记为，且，则实数的取值范围为 D．若方程在上恰有4个实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对于A，根据推导即可；对于B，令，再结合已知区域的函数关系式即可求解；对于C，画出函数的图像，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围；对于D，结合图像判断与交点的位置，即可求出实数的取值范围． 【详解】对于A，因为，所以， 当时，，则， 所以，故A正确； 对于B，由A知，，因此当时，， 故由，则，故， 其开口向下，且对称轴为，所以在上单调递减，故B错误； 对于C，方程的实数根可看作函数与直线图象交点的横坐标， 由题可作出的图象如图所示， 若，则是与在对称轴为对应区间上交点的横坐标， ，，，故C正确； 对于D，同C分析，若在上有4个实数根， 则与的图象有4个交点，由图知，则的取值范围为，故D正确． 故选：ACD． 8．（多选）（25-26高三上·江苏常州·开学考试）若函数在区间上值域为，则称为的“倍增区间”，则（   ） A．若为的“1倍增区间”，则 B．函数存在“1倍增区间” C．若函数存在“1倍增区间”，则的取值范围是 D．二次函数存在“2倍增区间” 【答案】ACD 【分析】根据函数“倍增区间”的定义，对于A，由，求解即可判断，对于B，假设存在，结合函数单调性得到，求解即可判断，对于C，假设存在“1倍增区间”，结合单调性得到，通过作差得到，再通过换元得到，再结合韦达定理及判别式即可判断，对于D，假设存在“2倍增区间”，由，结合一元二次方程求解即可判断. 【详解】对于A，由题意可知，为的单调递区间，函数值域为， 若为的“1倍增区间”，则，则或 （舍去），A正确； 对于B，函数中x的取值范围为 ， 若存在“1倍增区间”，则必有或， 又因为函数在区间上递减， 则有，则，解得 ，不符合或，所以B错误； 对于C，因为函数在上单调递减， 若存在“1倍增区间”（）， 则有，即， 两式作差得，即， 又，所以，故， 所以，设，则 ， 即是的一个根； 同理也是的一个根， 即在区间上有两个不相等的实数根， 只需 ，解得，C正确； 对于D，若函数存在“2倍增区间”， 设定义域为，值域为， 当 时，函数在定义域上单调递增，则， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或 ， 故存在定义域为 使得值域为 ，D正确， 故选：ACD ． 9．(多选)（25-26高三上·浙江杭州·期中）若函数在区间上是增函数，且当时，，则称为的“k倍增区间”，则（   ） A．为的“1倍增区间” B．二次函数存在“3倍增区间” C．函数存在“1倍增区间” D．若函数存在“1倍增区间”，则m的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据 “倍增区间” 的定义，对每个选项：先判断函数在候选区间上的单调性；再联立求解区间端点，验证值域是否为；结合方程根的存在性与单调性，最终判断选项正误. 【详解】对于A：函数在单调递增，值域为，即，是的“1倍增区间”，A正确； 对于B：函数，其单调增区间是， 取，则在单调递增，值域为，即， 即二次函数存在“3倍增区间”，B正确； 对于C：在和单调递增，若存在“1倍增区间”，则（1）， 因为方程，即无实根，所以方程组（1）无解，故不存在“1倍增区间”，C错误； 对于D：函数在单调递增，若存在“1倍增区间”，则（2）， 令，则， 方程组（2）有解，即方程，也即在有两个不同的实根， 令，则，解得，D正确. 【点睛】利用单调性转化为方程有两异根问题，数形结合判别根的分布. 10.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是 【答案】 【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图象，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围. 【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2, 当时，1＜2x≤2，所以f(x)=, 当时，＜2x≤1，所以f(x)=, 当时，＜2x≤，所以f(x)=, 当时，＜2x≤，所以f(x)=, 所以函数的图象为：    其图象为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,) 直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系， 由题得C(),D(), 当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图象有三个不同的交点， 由题得. 所以k的取值范围为. 故答案为 【点睛】（1）本题主要考查函数的图象和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图象.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图象法、方程+图象法. 11．（25-26高三上·福建泉州·期中）定义在上的函数，其图象是连续不断的，如果存在非零常，使得对任意的，都有，则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是__（写出所有真命题对应的序号）． ①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点； ②函数是倍增函数，且倍增系数； ③函数是倍增函数，且倍增系数． 【答案】①③ 【详解】试题分析：因为函数是倍增系数的倍增函数，所以，当时，（ⅰ）若任一个为0则函数有零点；（ⅱ）若全不为0则必为异号所以根据零点存在定理可得函数也有零点所以①正确；因为函数是倍增函数，所以即与矛盾所以②错误；因为函数是倍增函数，所以即. 考点：命题真假的判断. 【点睛】本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题． 12．（25-26高三下·北京·质检）对于函数，若存在大于零的常数和非零常数，使得当取定义域中的每一个值时，都有，那么称为“类周期函数”，叫做“类周期”.下列四个命题正确的有___________ ①函数是以为“类周期”的“类周期函数” ②函数是“类周期函数” ③函数是以2为“类周期”的“类周期函数” ④设函数是周期为的周期函数，当函数在上的值域为时，在上的值域为 【答案】①③④ 【分析】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断. 【详解】根据题干中的“类周期函数”定义，逐项判断. 对于①，由是以为周期的周期函数， 而， 由题意可知函数是以为“类周期”的“类周期函数”，①正确； 对于②，函数定义域为，若函数是“类周期函数”， 因为，而， 要使对恒成立，就要对恒成立， 即对恒成立， 所以当且仅当时，上式成立， 这与 “类周期函数”定义中，的要求矛盾，所以函数不是“类周期函数”，②错误； 对于③，， 所以（非零常数）,即， 所以函数是以2为“类周期”的“类周期函数”，③正确； 对于④，，即， 所以是类周期函数，且， 设满足，由得， ， 又，知道在上的最小值是在上获得的， 而，所以在上的最小值为， 由，得， 由此可知，， 又， 知道在上的最大值是在上获得的，而， 所以在上的最大值为23，故值域为，④正确. 【点睛】关键点点睛：对于④，设满足，根据“类周期函数”的定义，求函数的值域. 13．（25-26高三上·河北·阶段检测）设函数，对于任意的，都存在非零常数T，使得成立，则称函数是 “类周期函数”，T为函数的 “类周期”.已知“类周期函数”，当时，（），且. (1)若，求在该区间上的最小值； (2)若，研究函数在上的零点个数，并给出一般性的结论：在区间上零点个数的规律. (3)对任意，在上恰有5个零点，求的取值范围，并证明：存在，使得对于任意的，恒成立. 【答案】(1) (2)； (3)；证明见解析 【分析】（1）由整体角范围结合正弦函数图象可得最小值； （2）分段讨论各区间的零点，借助图象平移与伸缩变换结合图象可将各区间都可转化为零点的个数研究； （3）分段讨论并将零点转化为函数图象与直线的交点个数建立关于的不等式，分类为正整数、负整数、0三类情况证明，当为正整数时用数学归纳法证明结论，负整数时整体代换可得. 【详解】（1）因为，则，又， 由正弦函数图象可知，， 故求在该区间上的最小值为. （2）若，则当，， 因为，令， 函数的零点个数即为函数，的零点个数， 如图，作出函数的图象，    又. 由图可知函数当时，函数的零点个数为； 由已知函数 是“类周期函数”，且. 则对于任意的，成立. 所以当时，， 则， 令，即，. 故函数在区间内零点的个数与区间内零点的个数相同. 同理依次可知，故函数在区间内零点的个数， 也都与区间内零点的个数相同，每个区间零点个数都为； 故在区间内的零点个数为，在区间的零点个数为， 在区间的零点个数为，，在区间的零点个数为. 又由， ， 即对任意，. 故在区间上零点个数为. （3）若在上恰有5个零点， 即在有5个不等实根. 当时，，即， 由“类周期函数”的性质可知， 当时，，故方程，解的个数即方程，解的个数， 即函数图象与直线的交点个数； 当时，，即函数图象与直线的交点个数； 又当时，，故不是函数的零点； 综上可知，函数在上恰有5个零点，即函数在的图象与直线及的交点共有5个. 由题意， 其中，则， 又，则. ①当，即时， 如图，作出的大致图象， 设图象在轴右侧起交点依次为，， 要使函数在的图象与直线及共有5个交点， 则，由，则， 由，则，或. 又，则有， 解得； 又由，则. 则有，解得； 由，则， 若存在，使能成立， 则，解得；    ②当时，即时， 如图，同理可得，解得； ③当，即时， 如图，同理可得， 由，得， 若存在，使能成立， 则有，解得； 综上所述，. 当时，恒成立； 当为任意的正整数时： 下面用数学归纳法证明： 任意，使得对于任意的正整数，恒成立. ①当时，由“类周期函数”定义，， 则任意，成立. ②假设，结论成立，即任意，使得对于任意的，恒成立，下面证明当时，结论也成立， 当时，对任意，由“类周期函数”定义，， 则成立. 故时，对任意，使得对于任意的，恒成立. 综合①②可知，任意，使得对于任意的，恒成立. 当为任意负整数时： 设，则， 任意，任意，由上结论已证， 令，任意，则，所以， 即任意负整数，，即， 即任意，对任意负整数，恒成立. 综上所述，对任意，使得对于任意的，恒成立，得证. 14．（25-26高三上·上海·阶段检测）我们把定义在R上，且存在常数a，T满足（其中常数a，T满足，，）的函数叫做“类周期函数”，此时T称为函数的“类周期”，a称为函数的“类波幅”. (1)判断下列函数是否是“类周期函数”，若是，找出一对“类周期”与“类波幅”，若不是，说明理由：①；② (2)类周期函数满足，且当，，求当时函数的取值范围； (3)对于确定的且时，，试研究以T为“类周期”，a为“类波幅”类周期函数在区间上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由. 【答案】(1)①是，，其中为奇数，；②不是； (2)答案见解析； (3)不存在，证明过程见解析. 【分析】（1）假设其是“类周期函数”，再根据定义求证即可； （2）先求出的解析式，再利用导数研究其单调性其值域； （3）假设存在符合题意的，则先利用单调性的定义求证在、，上的单调性的关系，得出，再通过导函数分类讨论在上的单调性，得出或，再分别举反例说明其不符合题意即可. 【详解】（1）①假设是“类周期函数”，则存在常数a，T，使得， 令，则，则，则， 若为偶数，则，则，不符合题意； 若为奇数，则，则， 则存在常数，，其中为奇数，使得是“类周期函数”； ②假设是“类周期函数”，则存在常数a，T，使得， 令，则，不符合题意， 故不存在常数a，T，使得是“类周期函数”； （2）由题意可知，， 因当，， 则当时，，则， 则， 则， 因，则， 若，即，则，则在上单调递增， 则， 因时，，则； 若，则由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 因时，，则； 综上，时；时； （3）因是“类周期函数”，则，， 当，时，有， 且， 任取，且， 则， 若，则与大小关系一致， 则在、，上的单调性始终一致； 若， 则当为奇数时，与大小关系一致， 当为偶数时，与大小关系相反， 则在、，上的单调性不总一致； 欲使类周期函数在区间上是单调函数，则； 因，， 又，则， 若，则，则在上单调递增； 若，则，则在上单调递减； 若，则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减，不符合题意； 综上，或， 当时，在上单调递增，则， 则，则， 则在区间上不可能是单调增函数； 当时，在上单调递减， 因，则存在，且，则， 则在区间上不可能是单调减函数， 则不存在以T为“类周期”，a为“类波幅”类周期函数在区间上是单调函数. 41 / 42 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $