2.4.2 平均增长率·几何计算·动点问题·同步作业 2026-2027学年 苏科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练习针对九年级上2.4.2，按基础/提升/拓展分层，梯度覆盖平均增长率、传染问题、动点问题等，从单一知识点到综合应用，适配新授课巩固与分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平均增长率、传染、握手等单一问题|以填空选择为主，强化方程模型构建，培养数据意识| |提升|枝干、双循环、动点面积计算|增加解答题，深化等量关系分析，发展运算能力| |拓展|动点问题多问探究（面积比、存在性）|结合动态几何与分类讨论，提升推理能力与空间观念|

作业防抄袭说明 本卷 30 秒上手卡 · 首次使用请先读 必看 1．学生卷分甲卷和乙卷，目的是防抄袭. 2．怎么区分甲乙：看密钥卡 3．如何操作：①收作业时：课代表、组长老师告知分类标准（或看密钥），分类收齐②老师看答案卷批改（甲卷和乙卷有1~2题题号相同、题目相似、但题答案不同） 选看：4．防抄袭原理——三层随机+1重伪装.2层随机：差异题随机题号、差异题数量随机（1题或2题），每一份作业都不一样.剩余随机+伪装：学生卷看不见“甲”、“乙”，只能看见试卷边缘灰色色块，每次甲乙都是4选2的随机结果，迷惑加威慑. 本卷密钥卡（可裁下贴讲台） ⚠ 本次甲乙分组随机，都以本页密钥卡为准. 第一部分　答案速查版（批改用） 甲、乙卷答案或解法不同者只列一次；不同者行首标「异」并以两栏并排（左甲/右乙）呈现，乙栏标红.（空答案题显示「详见解析」） 【异】1． 【甲】 30（1﹣x＝24.3 【乙】 20% 2．20% 3．故选：D． 4．9 5．14 6．6 7．（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121，　整理得：（1+m＝121，　解得：＝10，＝﹣12（不合题意，舍去）．　m的值为10．　（2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人，　∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人．　依题意得：100%＝2100%﹣10%，　解得：n＝4，　∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%．　小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 8．每一轮传播中，1名同学传给4名新同学 9．10（x﹣3）+x＝ 10．x（x﹣1）＝380 11．x（x﹣1）＝380 12．9 13．（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm，　∴SCP•CQ（20﹣4t）×2t＝20t﹣4．　又∵，　∴0≤t≤5．　∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4（0≤t≤5）．　（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm），　∴PQ10（cm）．　（3）依题意得：20t﹣415×20，　整理得：﹣5t+6＝0，　解得：＝2，＝3．　∴t为2或3时，S． 14．邀请6支球队参加比赛 15．9个 16．所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人． 17．共有16支球队参加比赛 18．（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）．　当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，　根据题意得：2t（5﹣t）＝4，　整理得：﹣5t+4＝0，　解得：＝1，＝4．答：t的值为1或4；　（2）连接DP，如图所示，　当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm，　根据题意得：＝+，　即+＝[（5﹣t+（2t]+[+（12﹣2t]，　整理得：4﹣29t+25＝0，　解得：（不符合题意，舍去），＝1．　当PQ⊥DQ时，t的值为1． 19．（1）∵t（8﹣2t），4×8＝16，　∴t（8﹣2t）＝16，　整理得﹣4t+4＝0，　解得t＝2．　当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；　（2）当时，　t（8﹣2t）＝16，　整理得﹣4t+8＝0，　Δ＝（﹣4﹣4×1×8＝﹣16＜0，　∴此方程没有实数根，　∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 20．（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ．　根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12．　则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6，　解得t；　（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ．　①当0＜t≤3时，如图，则有（6﹣2t﹣t+4＝5，　解得t或 ；　②当3＜t≤4时，如图，则有（8﹣2t+＝5，　得方程5﹣32t+59＝0，　此时Δ＜0，此方程无解．　综上所述，当t或 时，点P与点Q之间的距离． 第二部分　分步详解（讲评用） 第 1 题　基础层 【解答】 【甲卷】 题干：某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 ______ ． 根据题意得：30（1﹣x＝24.3． 【乙卷】 题干：某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为19.2万元，求平均每次降价的百分率． 设平均每次降价的百分率为x，根据题意得 ． 整理得 ，解得 （舍去 ），故 x=0.2=20%． 答：平均每次降价的百分率为20%． 第 2 题　基础层 【解答】 　　设年平均增长率为x， 　　依题意得：300（1+x＝432． 　　解得：x＝0.2（舍去负值）， 　　∴x＝0.2＝20%． 第 3 题　基础层 【解答】 　　根据题意得：6.94（1+x＝8.14． 　　答：故选：D． 第 4 题　基础层 【解答】 　　根据题意得：第一轮传播，发给了n个人，第二轮传播，发给了个人， 　　∴1+n+＝91， 　　整理得：+n﹣90＝0 　　解得：＝9，＝﹣10（不符合题意，舍去）， 　　∴n的值为9． 第 5 题　基础层 【解答】 　　设每轮传染中平均一个人传染了x人， 　　根据题意列一元二次方程得，1+x+x（1+x）＝225， 　　解得＝14，＝﹣16， 　　因为传染人数不能为负数，所以舍去，＝﹣16． 　　∴每轮传染中平均一个人传染了14人， 第 6 题　基础层 【解答】 　　设每轮感染中平均每台服务器感染x台服务器， 　　由题意得5（1+x＝245， 　　整理得：（1+x＝49， 　　直接开平方得：1+x＝±7， 　　解得：＝6，＝﹣8（舍去）， 　　即每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器， 第 7 题　基础层 【解答】 　　（1）依题意得：1+m+（1+m）m＝121， 　　整理得：（1+m＝121， 　　解得：＝10，＝﹣12（不合题意，舍去）． 　　m的值为10． 　　（2）∵第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人， 　　∴小丽号召了（n+2）人，小红号召了17﹣n﹣（n+2）＝（15﹣2n）人． 　　依题意得：100%＝2100%﹣10%， 　　解得：n＝4， 　　∴100%100%＝40%，100%100%＝70%，100%100%＝60%． 　　小颖号召的成功率为40%，小红号召的成功率为70%，小丽号召的成功率为60%． 第 8 题　基础层 【解答】 　　设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 　　根据题意列一元二次方程得，（6+6x﹣6）（1+x）﹣6＝114． 　　整理得，6+6x﹣120＝0， 　　解得＝4，＝﹣5（不合题意，舍去）． 　　每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 第 9 题　基础层 【解答】 　　由题意得： 　　10（x﹣3）+x＝． 第 10 题　基础层 【解答】 　　设参赛队伍有x支，由题意，得：x（x﹣1）＝380； 第 11 题　基础层 【解答】 　　由题意得：x（x﹣1）＝380， 第 12 题　基础层 【解答】 　　设参加聚会的人有x人，则每人需赠送出（x﹣1）份礼物，依题意得：x（x﹣1）＝72， 　　整理得：﹣x﹣72＝0， 　　解得：＝9，＝﹣8（不符合题意，舍去）， 　　∴参他们一共有9人．故答案为：9． 第 13 题　基础层 【解答】 　　（1）若运动的时间为ts，则CP＝（20﹣4t）cm，CQ＝2tcm， 　　∴SCP•CQ（20﹣4t）×2t＝20t﹣4． 　　又∵， 　　∴0≤t≤5． 　　∴Rt△CPQ的面积S＝20t﹣4（0≤t≤5）． 　　（2）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝20﹣4×3＝8（cm），CQ＝2t＝2×3＝6（cm）， 　　∴PQ10（cm）． 　　（3）依题意得：20t﹣415×20， 　　整理得：﹣5t+6＝0， 　　解得：＝2，＝3． 　　∴t为2或3时，S． 第 14 题　基础层 【解答】 　　设应邀请x支球队参加比赛， 　　根据题意得， 　　解得＝6，＝﹣5 （舍去）， 　　邀请6支球队参加比赛． 第 15 题　提升层 【解答】 　　设每个支干长出x个小分支，则1+x+＝91， 　　解得：＝9，＝﹣10（舍去）， 　　∴每个支干长出9个小分支． 第 16 题　提升层 【解答】 　　设每轮传染中平均每个人传染了x人， 　　依题意得1+x+x（1+x）＝121， 　　∴x＝10或x＝﹣12（不合题意，舍去）． 　　所以，每轮传染中平均一个人传染了10个人． 第 17 题　提升层 【解答】 　　设共有几支球队参加比赛，根据题意得： 　　x（x﹣1）＝240， 　　解得x＝16或x＝﹣15（舍去）． 　　共有16支球队参加比赛． 第 18 题　提升层 【解答】 　　（1）5÷1＝5（秒），12÷2＝6（秒）． 　　当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm， 　　根据题意得：2t（5﹣t）＝4， 　　整理得：﹣5t+4＝0， 　　解得：＝1，＝4．答：t的值为1或4； 　　（2）连接DP，如图所示， 　　当运动时间为t（0≤t≤5）秒时，AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝AB﹣AP＝（5﹣t） cm，CQ＝BC﹣BQ＝（12﹣2t） cm， 　　根据题意得：＝+， 　　即+＝[（5﹣t+（2t]+[+（12﹣2t]， 　　整理得：4﹣29t+25＝0， 　　解得：（不符合题意，舍去），＝1． 　　当PQ⊥DQ时，t的值为1． 第 19 题　拓展层 【解答】 　　（1）∵t（8﹣2t），4×8＝16， 　　∴t（8﹣2t）＝16， 　　整理得﹣4t+4＝0， 　　解得t＝2． 　　当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； 　　（2）当时， 　　t（8﹣2t）＝16， 　　整理得﹣4t+8＝0， 　　Δ＝（﹣4﹣4×1×8＝﹣16＜0， 　　∴此方程没有实数根， 　　∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 第 20 题　拓展层 【解答】 　　（1）设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的 ． 　　根据题意，得BP＝6﹣2t，CQ＝t，矩形的面积是12． 　　则有 （t+6﹣2t）×2＝2×6， 　　解得t； 　　（2）设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为 ． 　　①当0＜t≤3时，如图，则有（6﹣2t﹣t+4＝5， 　　解得t或 ； 　　②当3＜t≤4时，如图，则有（8﹣2t+＝5， 　　得方程5﹣32t+59＝0， 　　此时Δ＜0，此方程无解． 　　综上所述，当t或 时，点P与点Q之间的距离． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本节同步作业 · 内容目录 （本节内容目录导图：按基础/能力/拓展 分层罗列题型，先见森林再入树木） 九年级上 2.4.2 平均增长率·几何计算·动点问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　平均增长率问题 1．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 ______ ． 2．某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为 ______ ． 3．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ______ ）A．6.94（1+x）＝8.14B．6.94（1+2x）＝8.14C．6.94（1﹣x＝8.14D．6.94（1+x＝8.14 题型二　传染问题 4．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 ______ ． 5．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ______ 人． 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 ______ 台服务器． 7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 8．数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型三　数字问题 9．阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为 ______ ． 题型四　双循环问题 10．某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为 ______ ． 题型五　握手问题 11．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，请列出方程 ______ ． 12．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 ______ 人． 题型六　动点问题 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S？ 题型七　单循环问题 14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 提升练习 题型一　枝干问题 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ______ 小分支． 题型二　传染问题 16．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型三　双循环问题 17．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 题型四　动点问题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当△PBQ的面积为4时，求t的值；（2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 拓展练习 题型一　动点问题 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 01 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.4.2 平均增长率·几何计算·动点问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　平均增长率问题 1．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为19.2万元，求平均每次降价的百分率． 2．某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为 ______ ． 3．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ______ ）A．6.94（1+x）＝8.14B．6.94（1+2x）＝8.14C．6.94（1﹣x＝8.14D．6.94（1+x＝8.14 题型二　传染问题 4．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 ______ ． 5．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ______ 人． 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 ______ 台服务器． 7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 8．数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型三　数字问题 9．阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为 ______ ． 题型四　双循环问题 10．某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为 ______ ． 题型五　握手问题 11．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，请列出方程 ______ ． 12．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 ______ 人． 题型六　动点问题 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S？ 题型七　单循环问题 14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 提升练习 题型一　枝干问题 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ______ 小分支． 题型二　传染问题 16．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型三　双循环问题 17．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 题型四　动点问题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当△PBQ的面积为4时，求t的值；（2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 拓展练习 题型一　动点问题 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 02 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.4.2 平均增长率·几何计算·动点问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　平均增长率问题 1．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为24.3万元，假如每次平均降价的百分率都为x，那么可列方程为 ______ ． 2．某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为 ______ ． 3．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ______ ）A．6.94（1+x）＝8.14B．6.94（1+2x）＝8.14C．6.94（1﹣x＝8.14D．6.94（1+x＝8.14 题型二　传染问题 4．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 ______ ． 5．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ______ 人． 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 ______ 台服务器． 7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 8．数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型三　数字问题 9．阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为 ______ ． 题型四　双循环问题 10．某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为 ______ ． 题型五　握手问题 11．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，请列出方程 ______ ． 12．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 ______ 人． 题型六　动点问题 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S？ 题型七　单循环问题 14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 提升练习 题型一　枝干问题 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ______ 小分支． 题型二　传染问题 16．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型三　双循环问题 17．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 题型四　动点问题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当△PBQ的面积为4时，求t的值；（2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 拓展练习 题型一　动点问题 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 03 学科网（北京）股份有限公司 九年级上 2.4.2 平均增长率·几何计算·动点问题　同步作业 班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿＿＿ 基础练习 题型一　平均增长率问题 1．某品牌新能源汽车的某款车型售价为30万元，连续两次降价后售价为19.2万元，求平均每次降价的百分率． 2．某公司2023年的年利润为300万元，2025年的年利润达到432万元．若该公司这两年年利润的年平均增长率相同，则年平均增长率为 ______ ． 3．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业．中国民用航空局的现有统计数据显示，从2020年底至2022年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约6.94万人增加到约8.14万人．若设2020年底至2022年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（ ______ ）A．6.94（1+x）＝8.14B．6.94（1+2x）＝8.14C．6.94（1﹣x＝8.14D．6.94（1+x＝8.14 题型二　传染问题 4．网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给n个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有91人参与了这个“祝福”链接的传播，则n的值为 ______ ． 5．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了 ______ 人． 6．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染 ______ 台服务器． 7．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，他们就发现了问题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而他们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召2人，三人一共号召17人，其中小颖号召了n人．请分别求出他们三人号召的成功率． 8．数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 题型三　数字问题 9．阅读下面古诗，通过列方程式，可算出周瑜去世时的年龄．大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？设周瑜逝世时的年龄的个位数为x，根据题意可列方程为 ______ ． 题型四　双循环问题 10．某篮球联赛，采用双循环制（每两队之间都进行2场比赛），总场数为380场，求有多少只队伍参加比赛？设参赛队伍有x支，可列方程为 ______ ． 题型五　握手问题 11．过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，请列出方程 ______ ． 12．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 ______ 人． 题型六　动点问题 13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S？ 题型七　单循环问题 14．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 提升练习 题型一　枝干问题 15．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 ______ 小分支． 题型二　传染问题 16．某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 题型三　双循环问题 17．某足球联赛，不分小组，所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间按主客场共要进行两场比赛），共要进行240场比赛，求共有几支球队参加比赛？ 题型四　动点问题 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时，两点同时立即停止运动，设运动的时间为t（s）．（1）当△PBQ的面积为4时，求t的值；（2）连接DQ，当PQ⊥DQ时，求t的值． 拓展练习 题型一　动点问题 19．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 20．如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，AD＝2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A﹣B﹣C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？（2）是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 04 学科网（北京）股份有限公司 $