2.4《用一元二次方程解决问题》同步练习 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本练习聚焦一元二次方程应用，通过基础情境、几何综合到方案探究的三层设计，覆盖增长率、面积计算等核心考点，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点应用（增长率、互赠问题）|以云南旅居、书签互赠等生活情境命题，强化概念理解| |中档|几何与方程综合（矩形面积、动点问题）|结合直角三角形、矩形图形，渗透数形结合思想| |提高|方案设计与优化（养鸡场围栏、草莓利润）|设置开放探究题，培养数学思维与实际决策能力|

2.4《用一元二次方程解决问题》同步练习 一、单选题 1．旅居云南，从“游”到“居”，是身心的安放；由“居”而“创”，是梦想的扎根，2023年，云南全省接待旅居人数约200万；2025年，云南全省接待旅居人数约550万．设云南全省接待旅居人数的年平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．中国（安庆）黄梅戏艺术节是中国首个以黄梅戏为主题的全国综合性艺术节，安庆市某校八（1）班同学互赠黄梅戏主题书签，共赠主题书签2450张，若八（1）班共有n名学生，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 3．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，．点从点出发向终点以的速度移动，点从点出发向终点以的速度移动，，两点同时出发，其中一点到达终点则两点同时停止运动．当的面积等于时，两点运动了（    ） A． B． C． D．或 5．某农场拟建两间矩形饲养室，其中一面靠现有墙（墙的长度为16米），另外三面及中间用围栏隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门，已知计划中的围栏材料（不包括门）总长为33米，则能建成的饲养室面积最大为（   ）平方米． A．54 B． C．108 D． 二、填空题 6．为了积极响应“中央关于增强国民健康基础，促进健康中国战略发展”，东西湖区五环体育中心暑假期间（每日上午9：00—12：00）向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场1000人次，第三周进场1440人次．若进场人次的周平均增长率相同，为求进场人次的周平均增长率．设进场人次的周平均增长率x，依题意可列方程为__________________． 7．如果一个直角三角形三边的长为连续整数，求它的斜边长．若设这个直角三角形的斜边长为，则可列方程______． 8．如图，某校有一块长、宽的矩形种植园、为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块、则小路的宽度为______． 9．将一些半径相同的小圆按如图所示摆放成一组不仅具有艺术美感，还存在数学规律的图案，请仔细观察，按此规律，如果某个图中小圆的个数恰好为60个，那么它应该是第______________个图． 10．问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为_____． 三、解答题 11.某超市3月份的利润为20000元，5月份的利润为24200元．若3月份到5月份利润的月平均增长率相同． (1)求该超市这两个月的月平均增长率； (2)在（1）的条件下，请通过计算预测该超市7月份的利润能否超过30000元？ 12.漳浦县自发布渔业生态保护相关通告后，本地养殖的黄翅鱼（黄鳍鲷）和石斑鱼在市场上热销，成为不少游客喜爱的伴手礼．2026年端午假期，小福同学旅游到此，并购买了若干黄翅鱼和石斑鱼，他用元买的黄翅鱼的数量比用同样价钱买石斑鱼的数量多斤，且石斑鱼的单价是黄翅鱼的倍． (1)求黄翅鱼、石斑鱼两种鱼的单价分别为多少元/斤； (2)两种鱼在得到一致好评后，小福决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中黄翅鱼按照原单价购买，石斑鱼的单价每斤降低元，则购买的数量会比第一次购买石斑鱼的数量增加斤，第二次一共购买斤鱼共用了元．求的值． 13.中国书法是中华文化的独特表现艺术．被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐、而“三分画，七分裱”．书画装裱技艺同时也为书画内容服务．现要装裱一幅竖式布局的《七律·长征》书法作品，装裱时四周加上一定宽度的绫边、上、下绫边的宽度之比为．左、右绫边的宽度相等、下绫边的宽度是左、右绫边宽度的2倍．若装裱成品的面积为，求装裱成品的长与宽． 14.长鑫存储是合肥市政府重大招商引资项目，也是国内专注于存储芯片研发、生产与销售的龙头企业，坐落于合肥经开区，实现了存储芯片自主化突破，旗下内存产品广泛应用于电脑、服务器等设备．随着技术不断成熟与市场需求增长，企业经营业绩稳步攀升．请结合以下信息解答问题． (1)长鑫存储2023年全年营收为90亿元，2025年全年营收达到608.4亿元，求2023年至2025年这两年营收的年平均增长率． (2)某经销商主营长鑫内存条，该内存条进价为240元/条．经市场调研：当售价定为300元/条时，每月可售出200条；若售价每降低5元，每月销量可增加25条．为减少库存，若该经销商每月想要获得12375元的销售利润，求此时内存条的实际售价． 15.第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱．玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个．经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个． (1)若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为______元；若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为______个（用含的代数式表示）； (2)商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元? 16.综合与探究 问题情境： 如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． 猜想证明： （1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由． 拓展延伸： （2）当时，求四边形的面积． （3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的． 17.综合与实践 【问题情境】小豪毕业后决定从事农业养殖，他计划在老家建一个面积为的长方形养鸡场，为了节省材料，养鸡场的一边利用原有的一面墙（如图），另三边用铁丝网围成，已知铁丝网的长为． (1)若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为多少米？ 【方案设计】 (2)若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为多少米？ 【方案预测】 (3)小豪经过实地考察，希望能在未来扩大养殖．其他条件不变，且墙足够长，你认为将长方形养鸡场的面积扩建为是否可行？若可行，则请给出符合条件的方案；若不可行，则请说明理由． 18.根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路宽度都为米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． (1)若中间部分种植面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润=总销售额-收购总成本-冷库总费用） (2)该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 参考答案 一、单选题 1．D 解：2023年接待旅居人数约为万，年平均增长率为， 2024年接待旅居人数为， 2025年接待旅居人数为， 又2025年接待旅居人数约为万， 可列方程． 2．C 解：∵八（1）班共有名学生，同学之间互赠书签，即每名同学需要向除自己以外的其他同学各赠送1张书签， ∴每名同学送出张书签，名同学送出书签的总张数为， 又已知共赠主题书签2450张， ∴可列方程． 3．C 解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 4．A 解：设后，的面积等于． 由题意，得，，则． ， ， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 故当的面积等于时，两点运动了． 故选：A． 5．D 解：设中间隔开的墙长为，能建成的饲养室总占地的面积为， ∵， ∴， 根据题意得，， ∵，且， ∴当时，取得最大值，最大值为， 则能建成的饲养室面积最大为平方米． 故选：D． 二、填空题 6． 解：根据增长率问题，第一周为基础值，经过两周增长后达到第三周的值， 因此第三周人次为，等于1440， 故列方程为． 故答案为： 7． 解：设斜边长为，则两条直角边长分别为和． 由勾股定理，得． 故答案为：． 8． 解：设小路的宽度为，则一个小长方形的长为，宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，， ∴， 故答案为：． 9．7 解：由题意可知第1个图形有小圆个； 第2个图形有小圆个； 第3个图形有小圆个； 第4个图形有小圆个； ∴第n个图形有小圆个， 设第x个图中小圆的个数恰好为60个，根据题意得 解得（不符题意，舍去） 所以，第7个图中小圆的个数恰好为60个． 故答案为：7． 10．或 ∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 三、解答题 11.（1）解：设该超市这两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得或（舍去）， 答：该超市这两个月的月平均增长率为； （2）解：∵5月份的利润为24200元，月平均增长率为， ∴， 答：该超市7月份的利润不能超过30000元． 12.（1）解：设黄翅鱼的单价为元/斤，则石斑鱼的单价为元/斤． 根据题意，， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解， 则石斑鱼的单价为：（元/斤）． 答：黄翅鱼单价为元/斤，石斑鱼单价为元/斤； （2）解：第一次购买石斑鱼的数量：（斤）， 第二次购买时，石斑鱼的数量为斤，黄翅鱼的数量为 斤； 石斑鱼的单价变为元/斤，黄翅鱼单价仍为元/斤． 根据题意，， 解得（不合题意，舍去）或． 答：的值为． 13.解：设左、右绫边的宽度为，则上绫边的宽度为，下绫边的宽度为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， 答：装裱成品的长为，宽为． 14.（1）解：设至年平均增长率为， ∴， ， 开平方，得， 增长率不能为负，故舍去， 所以， 即， 答：年平均增长率为． （2）解：设每条内存条降价元，则 单件利润：， 月销量：， ∴， 化简得：， ， 解得，． 越大，销售量越大，库存越少，所以舍去， 当时，售价：元， 答：内存条实际售价为元． 15.（1）解：若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为：（元）； 若每个玩偶售价降低元，则每周的销售量为：个， 故答案为：18，； （2）解：每个玩偶售价应降价元，由题意得： ， 整理得， 解得， 即每个玩偶售价应降价5元． 16.解：（1）当点D，E都运动时，的长不可以是，理由： 由题意，，，则 在中，由勾股定理得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数根， 故当点D，E都运动时，的长不可以是； （2）当时，，， ∴， ∵， ∴； （3）∵的面积等于四边形的面积的， ∴面积等于面积的， ∴， 即， 整理，得， 解得，． 答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的． 17.（1）解：设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 解得：，； 答：若墙足够长，则垂直于墙的一边长可以设计为米或米． （2）解：当，则平行于墙的一边长为：符合题意； 当，则平行于墙的一边长为：，不符合题意； 答：若墙的长度为，则垂直于墙的一边长应设计为米． （3）解：不可行，理由如下： 设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， ∴， 整理得：， ， ∴此方程没有实数根， ∴没有符合题意的方案． 18.（1）解：当中间部分种植面积是时，则有： 整理得：， 解得，，， ∵， ∴不符合题意， ∴， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）解：设草莓存放了天，根据题意得： ， 整理得： 解得，（超出最大保存期限，舍去） 答：在第10天出售． 学科网（北京）股份有限公司 $