四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期数学周考试题20

**基本信息** 石室中学高二周练整合代数、几何与概率统计，通过数列计算、立体几何证明、解析几何动态问题等，分层考查数学思维与运算能力，适配高二知识进阶与素养培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共面、概率方差、等差数列|基础概念辨析，如第2题补考成绩对方差影响| |多选题|4/20|独立事件、抛物线性质、正方体动态问题|多选项分层，如第11题结合体积与线面角| |填空题|4/20|空间四点共面、等比数列求和|情境化设计，如第16题函数图像与数列通项| |解答题|6/60|频率分布直方图、抛物线切线、双曲线离心率|综合应用，如第19题立体几何三问（证明、距离、夹角），第22题双曲线定值与定点探究|

石室中学高2027届高二上期第二十周数学周练 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．平面四边形中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 2．高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 3．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 4．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1， 且两两之间的夹角都是，则（    ） A．2 B． C． D． 7．已知是双曲线左支上的一点，是的左焦点，点关于原点的对称点为，延长交于点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9．若独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上一动点，是准线上一动点，若的最小值为2，则（　　） A． B． C．当的横坐标为1时，的最小值为 D．过作圆的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值为 11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的一个动点，则下列说法正确的是（   ） A．三棱锥体积为定值 B．存在点，使平面平面 C．设直线与平面所成角为，则最大值为 D．平面截正方体所得截面的面积为 12．已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知空间中四点，，，共面，则 ． 14．设等比数列的公比为，前n项和，则的取值范围是 ． 15．已知直线，直线，，与的交点为P，已知点，，则的最小值为 ． 16．，，，顺次为函数图象上的点（如图），，，顺次为轴上的点，且，，，均为等腰直角三角形（其中为直角顶点），设的坐标为，则数列的通项公式为 . 四、解答题 17．某校环保社团组织高二年级所有学生参加一项环保知识竞赛初赛，从所有成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了部分频率分布直方图如图所示． (1)求出成绩在的频率并将频率分布直方图补充完整； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 18．等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线上. (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线相交于点Q.证明：以PQ为直径的圆恒过某定点. （注：以抛物线上一点为切点的切线方程为） 19．如图，在三棱柱中，平面平面，，，，. (1)证明：平面； (2)求到直线的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 20．记为递增数列的前项和，． (1)求证：数列是等差数列，并求出其通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，前项和为，求证：. 21．点、、在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，．点、在直线两侧，记直线斜率为，直线斜率为，且． (1)求抛物线方程； (2)求直线AB的斜率； (3)记、、的面积为，，，若，，成等差数列，求直线AB方程． 22．已知双曲线的离心率为，虚半轴长为． (1)求双曲线的方程． (2)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，证明：为定值． (3)已知坐标原点为，定点为双曲线上两个不重合的动点，直线，分别与轴交于点，点在直线上，且.试问是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点和；若不存在，请说明理由． 《2027届第20周周练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C C C C D D ABD BCD 题号 11 12 答案 ACD ABD 1．A 【详解】由四点共面，且它们构成平面四边形，由共面向量定理的推论得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：A. 2．D 【详解】设，因为，所以. 由于，所以. 设双曲线的右焦点为，因为点关于原点的对称点为，所以原点为的中点， 所以，所以. 因为，所以与全等， 所以，所以， 所以，所以. 对于点，根据双曲线定义得，即. 对于点，根据双曲线定义得，即. 在中，根据勾股定理得， 又， 代入得，解得. 在中，根据勾股定理得， 即， 将代入得，化简得， 解得. 故选：D. 3．D 【详解】根据双曲线的定义，有， 两式相加得， 又，所以， 又，所以， 当轴时最小，此时， 所以，又， 则，整理得， 又，两边除以得，解得， 又双曲线的离心率，所以双曲线的离心率取值范围是. 故选：D 4．C 【详解】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方． 设抛物线C的准线l与x轴的交点为H，则． 过点M作轴于点N，作准线l于点Q，则四边形是矩形，，所以．在中，因为，，所以，所以． 因为焦点F的坐标为，所以焦点F的坐标为． 故选C． 5．C 【详解】， 所以， 因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是， 所以， 所以. 故选：C. 6．B 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 7．C 【详解】将5个数从小到大排序为： 0，1，5，5，8. 因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论： 如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即． 如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数，所以得到或 解得， 综上可得. 故选C. 8．C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，前项和为， 根据条件代入得：，即， 根据条件，分别计算和：， ，代入条件得， 得，即将代入，得， 因此. 故答案选：C 9．ABD 【详解】因为独立，所以相互独立，相互独立，相互独立， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由，， 得，，所以， 所以，故C错误； 对于D，可分解为互斥事件与， ， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．BCD 【详解】抛物线的焦点，设，则，， 则，当且仅当时取等号， 对于A，由的最小值为2，得，解得，A错误； 对于B，过作于，则，B正确； 对于C，抛物线，，准线，当时，，令点关于直线的对称点为，则 ，当且仅当是与的交点时取等号，C正确； 对于D，圆的圆心，半径，四边形的面积 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 11．ACD 【详解】对于选项A，，故A正确； 对于选项B，如图建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则，则， 因为，设，故， 则， 由，得，不合题意，故B错误； 对于选项C，易知平面的法向量为， 则， 所以， 当时，取最小值为， 所以有最大值为，故C正确； 对于选项D，如图，直线分别交的延长线于点， 连接交于，连接交于，连接， 由题意可知五边形即为平面截正方体所得截面， 因，分别为棱，的中点，，， ，得， 由正方体性质可知，， 故所求截面面积为， 由选项C可知，，，故，， 故，， ， 故所求截面面积为，故D正确， 故选：ACD 12．ABD 【详解】由双曲线，可得， 则，且其渐近线方程为， 对于A中，不妨设点位于第一象限， 由双曲线的定义，可得，所以， 则，又由双曲线的几何性质，可得， 所以，即的最大值为，所以A正确； 对于B，如图所示，设的内切圆与轴，的切点分别为， 可得， 又由，可得， 又由，可得， 所以点的横坐标为，即圆心的横坐标为，所以的内心到轴的距离为，所以B正确； 对于C，设，则满足， 则点到直线的距离为，到直线的距离为， 则， 因为，且与的夹角为，所以， 所以，所以C不正确； 对于D，由，可得， 联立方程组，解得， 即，同理可得， 所以， 因为，代入可得， 又因为，可得，所以，所以D正确. 故选：ABD. 13． 【详解】因为， 所以，即不共线， 又四点共面， 所以有唯一一组有序实数对，使得, 即， 所以，解得， 故答案为： 14． 【详解】由等比数列的前n项和， 所以， 当时，满足题意， 当时，， 所以， 所以或， 当，由，所以， 当， 综上所述，或， 故答案为：. 15． 【详解】直线可化为，所以直线过定点， 直线可化为，所以直线过定点， 又，所以. 所以与的交点P的轨迹为以AB为直径的圆， 圆心，半径，所以圆C的方程为， 在轴上取点，使得，设， 则，即， 化简整理得， 又，即， 所以，解得，则， 易知在圆C内，所以 （当且仅当P为线段EQ与圆C的交点时取得最小值）． 故答案为： 16． 【详解】过点作轴，垂足为 ，，，为等腰直角三角形，且为直角顶点， 所以点为线段的中点，， ， 点为函数图象上的点，， 时，点的纵坐标为， 点为线段的中点，点横坐标为， 轴，点的横坐标也为 点为函数图象上的点， ，即， ， 故答案为：. 17．(1)，答案见解析 (2)分 (3) 【详解】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， 成绩在的频率为， 则，补全频率分布直方图，如下： （2）的频率为，的频率和为， 排名前的同学的成绩位于内，且设为x，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲、乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ； ； 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 18．(1) (2)证明见解析 【详解】（1） 依题意，， 设，则，， 因为点在上，所以，解得， 故抛物线E的方程为． （2）设，由已知抛物线上一点为切点的切线方程为， 又因为动直线l与直线相交于点Q，则， 则l的方程为， 由，得所以， 由对称性知，以PQ为直径的圆所过定点在轴上，设为， 令对满足且 的点恒成立． 由于，， 由，得， 即　(*)， 由于(*)式对满足且 的恒成立， 所以，解得， 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以四边形是菱形，所以， 又，且，所以， 因为，平面，平面，所以平面. （2）在中，由，，， 所以， 设到直线的距离为， 如图，取的中点，连接，，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，，，平面，且，所以平面， 因为平面，所以，因为的中点为，所以， 在和中，可知，在中，可知， 因为，所以， 所以在中，，得， 即到直线的距离为. （3）以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，得, 设平面与平面的夹角为， 则, 所以平面与平面夹角的余弦值为. 20．(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题令，则，解得， 当时，， 所以，即， 因为，且是递增数列，所以， 所以，即，是公差和首项均为2的等差数列， 所以. （2）设是数列的前项和， 因为，所以， 所以， 则， 两式相减得，， 即. （3）， 所以，① 因为， 所以，② ①+②得，， 即，所以. 21．(1) (2)点的坐标为时，直线的斜率为，当点的坐标为时，直线的斜率为， (3)当点的坐标为时，直线的方程为或，当点的坐标为时，直线的方程为或. 【详解】（1）因为在抛物线上，点的横坐标是，为焦点，， 所以，故， 所以抛物线方程为， （2）因为在抛物线上，点的横坐标是，所以点的纵坐标为， 当点的坐标为时， 由已知的方程为，的方程为， 联立，所以， 故， 由已知方程的判别式， 设，则，故，故， 所以点的坐标为 同理可得点的坐标为， 所以直线的斜率为， 又， 所以直线的斜率为， 由对称性可得当点的坐标为时，直线的斜率为， （3）设直线与直线的交点为， 则，， 所以，， 所以， 因为，，成等差数列，所以， 所以， 当点的坐标为时，直线的方程为，即 令可得，，故点的坐标为， 所以， 所以或， 所以或， 所以直线的方程为或， 同理当点的坐标为时，直线的方程为或. 22．(1) (2)证明见解析 (3)存在，使为定值 【详解】（1）因为虚半轴长为，所以. 因为离心率为，所以， 因为，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示 双曲线的渐近线方程为， 双曲线上一点到渐近线的距离之积为， 因为，所以，即为定值． （3）如图所示 显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 由，联立可得， 则， 又根据韦达定理可得， 直线的方程为， 令，则，得，同理得， 由，可得， 所以 ， 整理得， 当时，，此时直线的方程为， 直线过点，与矛盾，舍去； 当时，直线的方程为，恒过定点， 设的中点为，则，因为， 所以，为定值，故存在，使为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $