四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期第十二次数学周考试题

石室中学高2027届高二上期第十二周周数学周考 1. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某企业策划部门有男、女职员共100人，其中男职员40人，用分层抽样的方法，从该部门随机选取20人参加某项活动，则应选取的男、女职员人数分别是（    ） A．8和12 B．9和11 C．12和8 D．11和9 2．已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（    ） A．19和2 B．19和4 C．19和8 D．19和16 3. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是 （ 　） A． B． C． D． 4．已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 5.已知直线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D.不存在 6．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） （A） （B） （C） (D) 7.已知点，O为坐标原点，动点M满足，P，Q为直线上的两点，且对任意的点M都有，则线段PQ长度的最小值为（　　） A． B． C． D． 8.如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 9．已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 10．已知圆，点，直线，则下列说法正确的是（    ） A．若点的坐标为，则直线被圆截得的弦长等于 B．若直线被圆截得的弦长等于，则为定值 C．若直线与圆相交，则点在圆内 D．若点在圆上，直线与圆相切 11．如图，已知正方形和正方形所在的平面相互垂直，，．（    ） A．平面 B．二面角的正切值为 C．三棱锥外接球体积为 D．侧面内的动点满足平面，则点轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知实数满足，则最小值为       . 13．已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值与最小值的和为          . 14.在等腰△中，，边上的中线长为6，则的面积取得最大值为 ． 四．解答题： 15．（12分）大运会的正常举行，志愿者的服务工作是成功举办的重要保障．某高校承办了大运会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（百分位数精确到0.1）； (3)在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率． 16．（12分）已知三角形的顶点，边上的高所在的直线方程为，点是边的中点． (1)求边所在直线的方程； (2)求点的坐标； (3)求的角平分线所在直线的方程． 17．（13分）已知圆，点是直线上的动点.    (1)圆与圆交于，两点，求直线的方程； (2)过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明的斜率为定值，并求出的斜率； (3)易知点，在圆上，设直线，与圆的另一个交点分别为，，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 18．（13分）如图，在平面四边形中，，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. (1)已知，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上. （i）证明：平面平面ABC； （ii）求球O的半径 (2)求二面角的余弦值的最小值. 石室中学高2027届高二上期第十二周周数学周考答案 1． A 2． B 3. D　 4． C 5. C 6． D 7.【答案】D 【详解】设，∵，∴，∴， 可得动点M的轨迹为圆， ∵，∴圆C内含于或内切于以PQ为直径的圆， 设PQ的中点为N，则， 的最小值为C点到直线l的距离 ∴，∴线段PQ长度的最小值为， 故选：D． 8.【答案】C 【解析】 ∵，，，，∴，同理：．∴为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，∴，又，∴，∴．在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，．设，（）∴，整理得．∴点在平面内的轨迹为以为圆心，以为半径的上半圆．∵平面平面，，，∴为二面角的平面角．∴当与圆相切时，最大，取得最小值．此时，，，∴．．故选：C． 9．【答案】BCD 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD   10．【答案】ABD 【详解】对于A，点的坐标为，直线， 圆的圆心为， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长等于，故A正确； 对于B，圆心到直线的距离为：， 若直线被圆截得的弦长等于， 解得：，故B正确； 对于C，若直线与圆相交，圆心到直线的距离为： ，即，所以点在圆外，故C错误； 对于D，若点在圆上，则， 圆心到直线的距离为：， 此时直线与圆相切，故D正确. 故选：ABD. 11．【答案】ABD 【详解】对于A：正方形中，， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 因为，所以， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 令，则， 所以，， 所以， 设二面角的平面角为，， 所以， 则，故B正确； 对于C：设球心为， 则， 解得， 所以球的半径， 所以球的体积为，故C错误； 对于D：取的中点，的中点，连接，， 所以，平面，平面，平面， 又因为为中点， 所以，平面，平面，平面 平面， 所以平面平面， 所以当在上运动时，平面， 所以点轨迹为，长度为，故D正确； 故选：ABD 12．【答案】 【详解】由， 即转化问题为：直线上一动点到点的距离之和最小，    如图所示，设直线与轴分别交于点，则， 由直线方程可得其倾斜角为，易知是等腰直角三角形， 设关于直线的对称点为，连接， 则三点共线，易知也是等腰直角三角形，所以， 故， 当且仅当重合时取得最小值. 故答案为： 13．【答案】12 【详解】，则椭圆左焦点为，右焦点为. 由椭圆定义，，则. 当三点共线时，易得. 因，则. 则，即的最大值为，最小值为.从而的最大值与最小值的和为12. 故答案为：12    14.【答案】24 【解析】 根据题意，设，则，由余弦定理，得＝＝，所以，所以＝＝，当，即时等号成立， 15．【详解】（1）由题意可知：，， 解得，； （2）由频率分布直方图得众数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，第分位数等于； （3）根据分层抽样，和的频率比为 故在和中分别选取4人和1人，分别设为和 则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有 共10个， 即，记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有 共4个，即， 所以. 16．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为， 所以边所在直线的斜率为，且经过点， 所以边所在直线的方程为， 即所在直线的方程为； （2）设点B的坐标为，因为边上的高所在直线方程为， 又因为点是边的中点，所以点A的坐标为， 由边所在直线的方程为， 所以，即， 由，得，所以点B的坐标为. （3）由（2）可得点A的坐标为，所以， 所以直线的方程为，即， 设的角平分线上任意一点的坐标为， 又直线所在直线的方程为， 则，所以， 所以或， 即或，又因为，， 所以的角平分线所在直线的方程为． 17． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)定点，证明见解析 【详解】（1）因为两圆的圆心距为，且， 所以圆与圆相交. 所以两圆的公共弦所在的直线方程为：， 化简得：，即为直线的方程. （2）设过点的直线与：的交点为，与直线：的交点为. 因为为线段的中点， 所以. 所以直线的斜率为：. 所以直线的斜率为定值，且. （3）设，因为，所以直线的方程为. 由. 因为是方程的一个根，所以另一根，也就是的横坐标为： ， 所以，即. 同理，直线的方程为，由可得. 所以， 设直线方程为，则. 所以直线的方程为. 所以直线过定点. 18．【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【详解】（1）（i）证明：因为⊥，，，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）法一：取中点，由已知可得为的外心，过作平面的垂线， ，，故为等边三角形，， 取的外心，过作平面的垂线， 设与交于点，则为三棱锥外接球的球心， 取的中点，连接，其中，，三点共线， 因为平面平面，交线为，⊥，平面， 所以⊥平面，则四边形为矩形， 则，其中,, 则球的半径； 法二：，，故为等边三角形，， 取的中点，连接，则⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 如图，过点作平面的垂线，， 以为原点，分别以向量，，为轴和轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，设球心，半径为， 则， 所以，解得，所以球的半径为； （2）如图，过点作平面的垂线， 以为原点，分别以向量，，为轴和轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为，则， 即，取，则， 平面的法向量，则， 即，取，则得 ， ， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 显然，二面角为锐角， 所以二面角余弦值的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $