四川省成都市石室中学2025-2026学年高二上学期第十一次数学周考试题

石室中学高2027届高二上期第十一周数学周练 一、单选题（每题5分） 1.若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 2．已知两条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.已知函数在区间上有且仅有1个零点，则t的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，在四面体中，，点为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A．48π B．36π C．24π D．12π 6.下列命题中是假命题的是（ ） A.一组数据的平均数、众数、中位数相同 B.有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D.若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 7.过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．已知m，，，记直线与直线的交点为P，点Q是圆C：上的一点，若PQ与C相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分） 9.关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A.若，则是钝角 B.若对空间中任意一点，有，则四点共面 C.已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 D.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 10．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 11．已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 12．在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A.若，则平面 B.若，则过点的截面面积是 C.若，则点到平面的距离是 D.若，则与平面所成角的正切值为 三、填空题（每题5分） 13．从集合中任取两个不同的数s，t，则的概率为 . 14．已知椭圆的左、右焦点分别为点F1、F2，若椭圆上顶点为点B，且△F1BF2为等边三角形，则m是________． 15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为 　 　． 16．已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，当四边形的面积最小时，则直线的方程为 . 四、解答题 17．已知直线，. (1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值； (2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程. 18．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值. 19．某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； (2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分； (3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差. 20．如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，，，为与的交点，设，，. (1)用，，表示，； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 21.2024年阿里巴巴全球数学竞赛公布决赛名单，801人成功晋级，某17岁中专生排名12名，引发社会广泛关注，进而点燃了全社会对数学的热情．某高校数学竞赛爱好者小组中的甲、乙、丙3人，各自独立去做2024年阿里巴巴全球数学竞赛预赛中的某道题，已知甲能解出该题的概率为，乙能解出而丙不能解出该题的概率为，甲、丙都能解出该题的概率为． (1)求乙、丙各自解出该题的概率； (2)求甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率． 22．平面直角坐标系中，圆M经过点，，. (1)求圆M的标准方程； (2)设，过点D作直线，交圆M于PQ两点，PQ不在y轴上. ①过点D作与直线垂直的直线，交圆M于EF两点，记四边形的面积为S，求S的最大值； ②设直线OP，BQ相交于点N，试证明点N在定直线上，求出该直线方程. 石室中学高2027届高二上期第十一周数学周练答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A B A C C C BCD ACD AC BD 13. 14. 3 15. [，] 16.5x+5y+3=0 17．【解答】（1）设原点O到直线m的距离为， 则，解得或； （2）由解得，即m与n的交点为. 当直线l过原点时，此时直线斜率为， 所以直线l的方程为； 当直线l不过原点时，设l的方程为， 将代入得， 所以直线l的方程为. 故满足条件的直线l的方程为或. 18．【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 19．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）一至六组的频率分别为， 所以，平均数为. 由图可知，众数为. 因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分. （2）前组的频率之和为， 前组的频率之和为， 第%分位数落在第组，设为，则，解得. “人工智能科普达人”的成绩至少为分. （3）的频率为，的频率为， 所以的频率与的频率之比为， 的频率与的频率之比为， 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得， ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 20．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为是平行六面体， 所以， （2）因为，底面是矩形，所以， 又因为，，所以，， 因此 ， ， 若异面直线与所成角为， 则， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 21.【答案】(1) (2) 【详解】（1）设乙能解出该题的概率为，丙能解出该题的概率为， 因为甲、丙都能解出该题的概率为，所以，解得. 因为乙能解出而丙不能解出该题的概率为，所以，解得. 所以乙、丙各自解出该题的概率是. （2）甲、乙、丙3人都没有解出该题的概率是 ， 所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出该题的概率是. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 22．【解答】（1）解：设圆M的方程为， 则，解得， 所以圆M的标准方程为； （2）设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， ①若，则直线斜率不存在， 则，，则， 若，则直线得方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当，即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7； ②设， 联立，消得， 则， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 则 ， 所以， 所以点N在定直线上. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $