精品解析：重庆市南开两江中学校2026年小升初考试数学试卷

数学 （60分钟） 一、填空题（每题4分，共40分） 1. 有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元． 【答案】105 【解析】 【分析】根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解. 【详解】解：设甲每件x元,乙每件y元,丙每件z元,依题意得： 3×（1）-2×（2）得：x+y+z=105, ∴购买甲、乙、丙各1件，共需105元． 【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 2. 下列说法正确的是_______．（在答题区填上对应的字母序号） A．把一个正方体的棱长扩大3倍，则它的体积和表面积都扩大9倍 B．如果甲与乙互为倒数，则：甲乙1 C．“哥哥的身高比弟弟高”是把“哥哥的身高”看作单位“1” D．一杯果汁，已喝的与剩下的比为，则剩下这杯果汁的 【答案】 B 【解析】 【详解】解：A、设原正方体棱长为，原体积为，原表面积为；棱长扩大3倍后棱长为，新体积为，即体积扩大27倍，新表面积为，即表面积扩大9倍，故A错误； B、根据倒数的定义，乘积为的两个数互为倒数，因此甲与乙互为倒数时，甲乙，故B正确； C、判断单位“1”时，“比”之后的量为单位“1”，因此“哥哥的身高比弟弟高”是把弟弟的身高看作单位“1”，C错误； D、已喝的与剩下的比为，总份数为，剩下占份，因此剩下这杯饮料的，D错误. 3. 一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成，先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，______天可以完成． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分数的混合运算的应用，先列式求解丙的工作效率，再由可得答案. 【详解】解：由题意可得：丙的工作效率为： ， ∴， ∴甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，10天可以完成． 故答案为：10 4. 如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 【答案】甲 【解析】 【分析】设等式结果为，分别计算出甲、乙、丙、丁的数值，再比较大小得到排序结果． 【详解】解：设， 则，，，， 比较大小得，即， 因此从小到大依次排列后，第三个数是甲． 5. 定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且重复运算，如取，则如图：那么当时，第2023次“”运算的结果是_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据定义的运算规则，依次计算前几次的结果，观察数值变化规律，发现从第5次开始结果在1和8之间循环，根据次数的奇偶性确定第2023次的结果． 【详解】解：当时，第1次运算，898为偶数，结果为； 第2次运算，449为奇数，结果为； 第3次运算，1352为偶数，由于，则结果为； 第4次运算，169为奇数，结果为； 第5次运算，512为偶数，由于，则结果为； 第6次运算，1为奇数，结果为； 第7次运算，8为偶数，由于，则结果为； 第8次运算，1为奇数，结果为； …… 由上可得，从第5次运算开始，结果在1和8之间循环出现，当运算次数m为奇数时，结果为1；当运算次数m为偶数时，结果为8； 因为且2023是奇数， 所以第2023次“F”运算的结果是1． 6. 如图，三角形是等腰直角三角形，四边形是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积是平方厘米，，则三角形的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，由三角形是等腰直角三角形，四边形是正方形，推出，得到，根据，得到，根据推出． 【详解】解：如图，过点作于点， 三角形是等腰直角三角形，四边形是正方形， ，，即， ， ， ， ， ， ， 即． 7. 甲、乙、丙三种浓度的硫酸溶液，如果甲和乙按照的重量比混合，形成的硫酸溶液浓度为；如果甲和乙按照的重量比混合，形成的硫酸溶液浓度为；如果取同样重量的三种溶液进行混合，可以得到的硫酸，那么丙溶液的浓度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据混合前后溶质总质量不变，设三种溶液浓度列方程求解，先得到甲乙浓度和，再计算丙的浓度. 【详解】解：设甲溶液浓度为，乙溶液浓度为，丙溶液浓度为， 因为甲和乙按重量比混合后浓度为，混合前后溶质总质量不变， 所以，整理得； 因为甲和乙按重量比混合后浓度为， 所以，整理得； ，得 ，化简得 ， 因为三种溶液取同样重量混合后浓度为，设每种溶液取重量为，则， 所以， 将代入上式，得 ，即丙溶液的浓度为. 8. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为_______个． 【答案】6 【解析】 【分析】如图：按照点C所在的直线分为两种情况：当点C与点A在同一条直线上时，边上的高为1，，符合条件的点C有4个；当点C与点B在同一条直线上时，边上的高为1，，符合条件的点C有2个． 【详解】解：C点所有的情况如图所示： 故答案为6． 【点睛】本题主要考查三角形的面积，灵活运用分类讨论思想，做到不重不漏是解答本题的关键． 9. 中学生天地节目中有个游戏：用一个有个洞的杯子从水缸里舀水倒到三个同样容积的空桶中．第一个桶距水缸有米，第二个桶距水缸有米，第三个桶距水缸有米．第一个桶小方用次恰好把桶装满；第二个桶用次恰好把桶装满；第三个桶小方至少要_______次才能把它装满．（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变．） 【答案】 【解析】 【分析】根据前两次装桶的条件求出每米漏水量和桶的容积，再计算装第三个桶所需的次数． 【详解】解：设满杯水量为，每米路程漏水量为，桶的容积为． 第一次装桶，次恰好装满，距离米，可得， 第二次装桶，次恰好装满，距离米，可得， 联立两式得：， 展开计算得， 解得， 将代入， 计算得， 第三个桶距离米，每次舀水到达后剩余水量为，需要次数为，因此小方要次才能把第三个桶装满． 10. 某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+，B饮料的销售额为，C饮料销售额：，可求，六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比计算即可 【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4， 设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x, 销售C种饮料的数量4x， A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．, 设A种饮料的单价y． B、C两种饮料的单价分别为2y、y． 六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m， A饮料增加的销售占六月份销售总额的 A饮料销售额为3xy+， A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3， B饮料的销售额为 B饮料的销售额增加部分为 ∴C饮料增加的销售额为 ∴C饮料销售额： ∴ ∴ 六月份A种预计的销售额， 六月份预计的销售数量 ∴A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比 故答案为 【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键 二、计算题（每题4分，共20分） 11. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）运用分配律进行简便计算； （2）将加数1拆分为，运用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （3）运用加法交换律和加法结合律进行简便计算； （4）将各乘数化为假分数，再运用多个分数相乘的法则计算； （5）运用分配律进行简便计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ． 三、解答题（每题8分，共40分） 12. 观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： ，…… 由此我们可以推断： （1）_______；（直接填空） （2）问题解决：．（写出过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用图形总结规律，用减去最后一个加数直接算出结果； （2）把每一项改写为减分数的形式，整理后套用（1）的求和规律，再做计算； 【小问1详解】 解：根据题意，可得． 【小问2详解】 解： ． 13. 一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【解析】 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 14. 有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… （1）第100个数是几？ （2）到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 【答案】（1） 第100个数是3. （2） 到第14847个数时正好有100个3排在一起. 【解析】 【分析】（1）将数列按连续的1、2、3分组，得出每组的数字个数规律，计算前若干组总个数以确定第100个数的位置，进而得到结果； （2）根据每组中3的个数规律，求出对应100个连续3的组号，再计算该组结束时的总个数即可得到结果． 【小问1详解】 解：将每一段“连续的1、连续的2、连续的3”记为一组， 第1组有1个1，2个2，3个3， 第2组有2个1，3个2，4个3， 第3组有3个1，4个2，5个3， ， 以此类推，可知第组有个1，个2，个3， ∴第组有个数， ∴前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， 当时，前组一共有个数， ∵第7组一共有个3，且，， ∴第100个数是3； 【小问2详解】 解：∵， ∴第98组有100个3排在一起， ∵前98组一共有个数， ∴到第14847个数时正好有100个3排在一起． 15. 某城市南北走向的地铁号线与东西走向的地铁号线恰好相互垂直，如图，某时刻甲列车恰好从站出发向北开去，乙列车恰好从站出发向西开去，分钟后，它们离站的距离相等；如果它们不停顿地继续行驶，再过分钟，甲车驶过站后，它们离站的距离又会相等，已知乙列车的速度是每分钟千米，问两站的距离是多少千米？ 【答案】千米 【解析】 【分析】设两站的距离是千米，甲车的速度为每分钟千米，利用两车两次离站距离相等列出等式求解． 【详解】解：设两站的距离是千米，甲车的速度为每分钟千米， 根据题意可得，， 由， 解得， 代入， 可得， 解得， 故两站的距离是千米． 16. 对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则___________，___________； (2)已知，． ①； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个； ③若正格线性数，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由． 【答案】(1) 5，3，(2) ①a = 3，b = 2， ②10； (3)由L(x，y)=3x+2y=76得y= ， ∵x > 0，y > 0即>0， ∴ 0<x<， 又x、y均为正整数 ∴x为偶数 ∴共有12个满足条件的正格数对 若x、y满足②，则 解得x = 16 ∴y=x-2=14 ∴在这些正格数对中，有满足②的数对，为， 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用题意计算进而求出答案； （2）①利用已知得出关于a，b的等式求出答案； ②根据题意列不等式组即可得到结论； ③根据题意列方程和不等式组即可得到结论． 试题解析：（1）∵L（x，y）=x+3y， ∴L（2，1）=2+3×1=5，L（，）=+×3=3， （2）①∵L（x，y）=ax+by，L（1，-2）=-1，L（，）=2， ∴，∴ ②由 (2) 知，L(m, m-2)=3m+2(m-2)=5m-4 , ∵50<L(m, m-2)<100 , ∴ , 解得, ∵m和m – 2均为正整数 ∴满足50<L(m, m-2)<100的正整数对共有10个 ③ 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （60分钟） 一、填空题（每题4分，共40分） 1. 有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元． 2. 下列说法正确的是_______．（在答题区填上对应的字母序号） A．把一个正方体的棱长扩大3倍，则它的体积和表面积都扩大9倍 B．如果甲与乙互为倒数，则：甲乙1 C．“哥哥的身高比弟弟高”是把“哥哥的身高”看作单位“1” D．一杯果汁，已喝的与剩下的比为，则剩下这杯果汁的 3. 一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成，先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成，如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，______天可以完成． 4. 如果（甲、乙、丙、丁都不为），那么把甲、乙、丙、丁数从小到大依次排列后第三个是_______． 5. 定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数），并且重复运算，如取，则如图：那么当时，第2023次“”运算的结果是_______． 6. 如图，三角形是等腰直角三角形，四边形是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积是平方厘米，，则三角形的面积是_____． 7. 甲、乙、丙三种浓度的硫酸溶液，如果甲和乙按照的重量比混合，形成的硫酸溶液浓度为；如果甲和乙按照的重量比混合，形成的硫酸溶液浓度为；如果取同样重量的三种溶液进行混合，可以得到的硫酸，那么丙溶液的浓度是______． 8. 如图，正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在小方格的顶点上，位置如图形所示，C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1个平方单位，则点C的个数为_______个． 9. 中学生天地节目中有个游戏：用一个有个洞的杯子从水缸里舀水倒到三个同样容积的空桶中．第一个桶距水缸有米，第二个桶距水缸有米，第三个桶距水缸有米．第一个桶小方用次恰好把桶装满；第二个桶用次恰好把桶装满；第三个桶小方至少要_______次才能把它装满．（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变．） 10. 某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________． 二、计算题（每题4分，共20分） 11. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 三、解答题（每题8分，共40分） 12. 观察如图，通过计算验证，我们发现以下关系式： ，…… 由此我们可以推断： （1）_______；（直接填空） （2）问题解决：．（写出过程） 13. 一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 14. 有一些自然数，这样排列：1、2、2、3、3、3、1、1、2、2、2、3、3、3、3、1、1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、… （1）第100个数是几？ （2）到第几个数时正好有100个3排在一起？（这个数后面的数字不再是3） 15. 某城市南北走向的地铁号线与东西走向的地铁号线恰好相互垂直，如图，某时刻甲列车恰好从站出发向北开去，乙列车恰好从站出发向西开去，分钟后，它们离站的距离相等；如果它们不停顿地继续行驶，再过分钟，甲车驶过站后，它们离站的距离又会相等，已知乙列车的速度是每分钟千米，问两站的距离是多少千米？ 16. 对于实数x，y我们定义一种新运算（其中a，b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x，y叫做线性数的一个数对．若实数x，y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x，y叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则___________，___________； (2)已知，． ①； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个； ③若正格线性数，满足这样的正格数对有多少个；在这些正格数对中，有满足问题②的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $