专题15 方程与不等式（5年汇编）（北京专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 本试卷为初中数学方程与不等式专题的中考真题与模拟题汇编，覆盖一元二次方程根的判别式、分式方程求解等核心考点，实际应用题融入传统文化（如风筝制作）、科技（机器人比赛）等情境，注重基础技能与现实应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|19题|一元二次方程根的判别式（2025北京卷题）、方程求解|基础单选题，聚焦核心概念，连续考查必考点| |填空题|28题|分式方程求解（2024北京卷题）、方程组解法|固定基础题型，强调解题步骤（去分母、检验）| |解答题|50题|不等式组解法（2026北京卷题）、实际应用（机器人比赛行程问题）|实际应用题结合传统文化与科技情境，综合建模能力|

专题15 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程 2025北京卷 2024北京卷 均为基础单选题，每题 2 分，放置试卷前中段基础选择；分为两大轮换考点：一元二次方程根的判别式（2022-2025 连续必考）、二元一次方程组求解（2026 轮换考查），纯代数计算题型，无几何、生活情境。 考点02 分式方程 2025北京卷 2024北京卷 分式方程题为固定基础填空题，单题分值 2 分，位于试卷前半段基础填空，属于必拿送分题型；题干仅给出简单分式等式，无生活情境、无几何结合，遵循 “去分母化为整式方程→求解→代入最简公分母检验” 三步标准解题逻辑，综合去分母、一元一次方程求解、分式方程增根检验三大基础能力。 考点03 解一元一次不等式组 2026北京卷 2025北京卷 一元一次不等式组为中考固定基础解答题型，分值 5 分，位于代数基础计算板块，纯代数无情境图形，遵循 “分别求解两个不等式→取公共交集写解集” 两步标准解题逻辑，综合一元一次不等式求解、解集取集口诀两大基础能力。 考点04 一元一次方程实际应用 2026北京卷 2025北京卷 一元一次方程应用题为中考固定中档解答题，分值 5 分，位于代数计算板块之后；统一以传统文化、环保科技、工程行程、手工工艺为现实情境，部分搭配示意图，遵循梳理比例 / 等量关系→合理设元→列一元一次方程→求解作答四层解题逻辑，综合比例换算、线段长度等量、行程路程等量、总量变化等量四大核心建模能力。 考点01 一元二次方程 1．（2025·北京·中考）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 2．（2024·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 3．（2023·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 4．（2022·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京·中考）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 考点02 分式方程 1．（2025·北京·中考）方程的解为_______． 2．（2024·北京·中考）方程的解为___________. 3．（2023·北京·中考）方程的解为______． 4．（2022·北京·中考）方程的解为___________． 考点03 解一元一次不等式组 1．（2026·北京·中考）解不等式组：． 2．（2025·北京·中考）解不等式组： 3．（2024·北京·中考）解不等式组： 4．（2023·北京·中考）解不等式组：． 5．（2022·北京·中考）解不等式组： 考点04 一元一次方程实际应用 1．（2026·北京·中考）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 2．（2025·北京·中考）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 3．（2024·北京·中考）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 4．（2023·北京·中考）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    一、单选题 1．（2026·北京门头沟·综合练）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B． C．4 D． 2．（2026·北京朝阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（      ） A． B． C． D． 3．（2026·北京大兴·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 4．（2026·北京丰台·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 6．（2026·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．（2026·北京昌平·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　） A．－4 B．－1 C．1 D．4 8．（2026·北京西城·一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．（2026·北京海淀·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．0 C． D．1 11．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．(25-26九下·北京房山区·二模)若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 13．(25-26九下·北京大兴区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（   ） A．1 B．4 C． D． 14．(25-26九下·北京平谷区·二模)关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 15．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 16．(25-26九下·北京燕山区·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 18．(25-26九下·北京顺义区·二模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 19．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 1．（2026·北京东城·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 2．(25-26九·北京海淀区·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 3．(25-26九下·北京昌平区·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 5．(25-26九下·北京朝阳区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 6．（2026·北京门头沟·综合练）方程的解为________． 7．（2026·北京东城·一模）方程的解为______． 8．（2026·北京朝阳·一模）方程的解为______________． 9．（2026·北京大兴·一模）方程的解为________． 10．（2026·北京丰台·一模）方程的解为x＝_____． 11．（2026·北京顺义·一模）方程的解为_____． 12．（2026·北京石景山·一模）方程的解为______． 13．（2026·北京西城·一模）方程的解为________． 14．（2026·北京海淀·一模）方程的解为______． 15．（2026·北京通州·一模）方程的解为______． 16．（2026·北京平谷·一模）方程的解为____． 17．(25-26九下·北京房山区·二模)方程的解为________． 18．(25-26九下·北京大兴区·二模)方程的解为________． 19．(25-26九下·北京平谷区·二模)方程的解为__________． 20．(25-26九下·北京西城区·二模)方程的解为________． 21．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)方程的解为___________. 22．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程的解为________． 23．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)方程的解为_______． 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)方程的解为_________． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)方程的解为________． 26．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 27．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程组：的解为________． 28．(25-26九下·北京西城区·二模)某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 三、解答题 1．(25-26九下·北京石景山区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 2．(25-26九下·北京朝阳区·二模)某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 3．（2026·北京门头沟·综合练）解不等式组： 4．（2026·北京东城·一模）解不等式组：． 5．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 6．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 7．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 8．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 9．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 10．（2026·北京昌平·一模）解不等式组： 11．（2026·北京西城·一模）解不等式组： 12．（2026·北京海淀·一模）解不等式组：． 13．（2026·北京通州·一模）解不等式组： 14．（2026·北京平谷·一模）解不等式组： 15．(25-26九下·北京房山区·二模)解不等式组： 16．(25-26九下·北京大兴区·二模)解不等式组： 17．(25-26九下·北京平谷区·二模)解不等式组． 18．(25-26九·北京海淀区·期末)解不等式组： 19．(25-26九下·北京燕山区·二模)解不等式组： 20．(25-26九下·北京西城区·二模)解不等式组： 21．(25-26九下·北京昌平区·二模)解不等式组：． 22．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)解不等式组： 23．(25-26九下·北京朝阳区·二模)解不等式组： 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)解不等式组：． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)解不等式组：． 26．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)解不等式组：． 27．（2026·北京门头沟·综合练）屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高比中段高短27厘米，宽是横楣条的一半，如果屏芯的高是宽的．求该单扇折屏的总高． 28．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 29．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 30．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 31．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 32．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 33．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 34．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 35．（2026·北京西城·一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 36．（2026·北京海淀·一模）“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 37．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 38．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 39．(25-26九下·北京房山区·二模)自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 40．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 41．(25-26九下·北京平谷区·二模)学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 42．(25-26九下·北京燕山区·二模)列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 43．(25-26九下·北京昌平区·二模)端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 44．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 45．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 46．(25-26九·北京海淀区·期末)为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 47．(25-26九下·北京西城区·二模)某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 48．(25-26九下·北京顺义区·二模)用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 49．(25-26九下·北京石景山区·二模)《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    50．(25-26九下·北京丰台区·二模)某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程 2025北京卷 2024北京卷 均为基础单选题，每题 2 分，放置试卷前中段基础选择；分为两大轮换考点：一元二次方程根的判别式（2022-2025 连续必考）、二元一次方程组求解（2026 轮换考查），纯代数计算题型，无几何、生活情境。 考点02 分式方程 2025北京卷 2024北京卷 分式方程题为固定基础填空题，单题分值 2 分，位于试卷前半段基础填空，属于必拿送分题型；题干仅给出简单分式等式，无生活情境、无几何结合，遵循 “去分母化为整式方程→求解→代入最简公分母检验” 三步标准解题逻辑，综合去分母、一元一次方程求解、分式方程增根检验三大基础能力。 考点03 解一元一次不等式组 2026北京卷 2025北京卷 一元一次不等式组为中考固定基础解答题型，分值 5 分，位于代数基础计算板块，纯代数无情境图形，遵循 “分别求解两个不等式→取公共交集写解集” 两步标准解题逻辑，综合一元一次不等式求解、解集取集口诀两大基础能力。 考点04 一元一次方程实际应用 2026北京卷 2025北京卷 一元一次方程应用题为中考固定中档解答题，分值 5 分，位于代数计算板块之后；统一以传统文化、环保科技、工程行程、手工工艺为现实情境，部分搭配示意图，遵循梳理比例 / 等量关系→合理设元→列一元一次方程→求解作答四层解题逻辑，综合比例换算、线段长度等量、行程路程等量、总量变化等量四大核心建模能力。 考点01 一元二次方程 1．（2025·北京·中考）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 2．（2024·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3．（2023·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4．（2022·北京·中考）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到=0，建立关于m的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴=0， ∴， 解得，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，=0；当方程没有实数根时，<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 5．（2026·北京·中考）方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 将①式两边同乘2得，， 得，， 解得， 将代入①式得，， 解得， 因此原方程组的解为． 考点02 分式方程 1．（2025·北京·中考）方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 2．（2024·北京·中考）方程的解为___________. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 3．（2023·北京·中考）方程的解为______． 【答案】 【分析】方程两边同时乘以化为整式方程，解整式方程即可，最后要检验． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 4．（2022·北京·中考）方程的解为___________． 【答案】x=5 【分析】观察可得最简公分母是x(x+5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解． 【详解】解： 方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5, 解得：x=5, 经检验：把x=5代入x(x+5)=50≠0. 故答案为：x=5. 【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根. 考点03 解一元一次不等式组 1．（2026·北京·中考）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 2．（2025·北京·中考）解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 3．（2024·北京·中考）解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 4．（2023·北京·中考）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式的解集为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 5．（2022·北京·中考）解不等式组： 【答案】 【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 故所给不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键． 考点04 一元一次方程实际应用 1．（2026·北京·中考）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A类机器人）与遥控机器人（以下称B类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算完赛成绩的规则： ·A类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）； ·B类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的倍． 已知比赛中，一台A类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为；一台B类机器人起跑后，前保持匀速，速度是这台A类机器人的倍，之后原地维护，维护后匀速跑至终点，速度比维护前增加了，完赛成绩为．求这台A类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程． 【答案】A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 【分析】根据赛道总路程不变，设A类机器人速度为，得出全程路程；再根据B类成绩规则，由公示成绩算出它含维护的实际总耗时，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，与总路程相等建立方程求解． 【详解】设这台A类机器人的速度为， 由题意可知，， 解得， 所以， 答：这台A类机器人的速度为，此次比赛从起点到终点的路程为． 2．（2025·北京·中考）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 3．（2024·北京·中考）为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求类物质排放量不超过，，两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的，两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的类物质排放量降低了，类物质排放量降低了，，两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由. 【答案】符合， 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，根据汽车的，两类物质排放量之和原为建立方程求解即可． 【详解】略 4．（2023·北京·中考）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为，宽为．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）    【答案】边的宽为，天头长为 【分析】设天头长为，则地头长为，边的宽为，再分别表示础装裱后的长和宽，根据装裱后的长是装裱后的宽的4倍列方程求解即可． 【详解】解：设天头长为， 由题意天头长与地头长的比是，可知地头长为， 边的宽为， 装裱后的长为， 装裱后的宽为， 由题意可得： 解得， ∴， 答：边的宽为，天头长为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，题中的数量关系较为复杂，需要合理设未知数，找准数量关系． 一、单选题 1．（2026·北京门头沟·综合练）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．1 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 2．（2026·北京朝阳·一模）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可. 【详解】由题意得∆=0， ∴4-4k=0， 解得k=1， 故选：A. 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0. 3．（2026·北京大兴·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，结合一元二次方程根的判别式性质，方程有两个相等实数根时根的判别式，列出关于的关系式即可求解. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得，解得，满足的条件， ∴的值为1. 4．（2026·北京丰台·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则实数a的值是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴ 根的判别式满足， 解得． 5．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 6．（2026·北京石景山·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用一元二次方程二次项系数不为0，且方程有两个相等的实数根时根的判别式等于0列方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴ ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 把，，代入得 解得． 7．（2026·北京昌平·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（　　） A．－4 B．－1 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的性质，当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式的值为0，代入方程系数计算即可得到的值. 【详解】对于一元二次方程，题中方程为 ，， ∵方程有两个相等的实数根 代入系数得 化简得 解得 ． 8．（2026·北京西城·一模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是利用一元二次方程的根与判别式的关系解决问题．一元二次方程有实数根需满足二次项系数不为零且判别式非负，即且，计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴且． ， ∴ 解得． 又∵， ∴且． 故选：D． 9．（2026·北京海淀·一模）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0，列出不等式即可求出k的范围． 一元二次方程有两个不相等的实数根， ，解得：． 【方法指导】一元二次方程根的个数与判别式的关系为：，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根． 10．（2026·北京通州·一模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】解：由关于x的方程有两个相等的实数根，可知：， ∴． 11．（2026·北京平谷·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴ 解得： 12．(25-26九下·北京房山区·二模)若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个实数根时，判别式，据此列不等式求解即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，且二次项系数， ∴， 解得：． 13．(25-26九下·北京大兴区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（   ） A．1 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程有两个相等的实数根则根的判别式是解题的关键． 根据题意以及根的判别式列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故选A． 14．(25-26九下·北京平谷区·二模)关于的方程根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】根据即可判断． 【详解】解：， ， ， 可得，即， 方程无实数根． 15．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 16．(25-26九下·北京燕山区·二模)若关于x的一元二次方程有实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程有实数根求参数以及解一元一次不等式，根据即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：． 故选∶B． 17．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 18．(25-26九下·北京顺义区·二模)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入系数列不等式即可求解． 【详解】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 19．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 二、填空题 1．（2026·北京东城·一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______. 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 2．(25-26九·北京海淀区·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 3．(25-26九下·北京昌平区·二模)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】4 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴△=42﹣4a=16﹣4a=0， 解得：a=4． 故答案为4． 4．(25-26九下·北京西城区·二模)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 【答案】 【详解】解：方程 是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 5．(25-26九下·北京朝阳区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则a的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根时列出方程，解之可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即 解得，， 故答案为：． 6．（2026·北京门头沟·综合练）方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 合并同类项、移项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 7．（2026·北京东城·一模）方程的解为______． 【答案】 / 【详解】解： 方程两边同乘以最简公分母得， 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 8．（2026·北京朝阳·一模）方程的解为______________． 【答案】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， ∴， 经检验：是原方程的解． 故答案为：x=3． 【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 9．（2026·北京大兴·一模）方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 10．（2026·北京丰台·一模）方程的解为x＝_____． 【答案】﹣1 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到方程的解． 【详解】去分母得：2x＝x﹣1， 解得：x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是分式方程的解， 故答案为﹣1 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 11．（2026·北京顺义·一模）方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题的解题思路是先将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，再进行验根得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 12．（2026·北京石景山·一模）方程的解为______． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． 13．（2026·北京西城·一模）方程的解为________． 【答案】 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：原方程移项得：， 方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 检验：当时， 是原分式方程的解． 14．（2026·北京海淀·一模）方程的解为______． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：, 将系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 15．（2026·北京通州·一模）方程的解为______． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 16．（2026·北京平谷·一模）方程的解为____． 【答案】3/ 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘， 得， 展开各项，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 17．(25-26九下·北京房山区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】按解分式方程的步骤求解即可，注意分式方程需要检验． 【详解】解：， 去分母，两边同乘最简公分母得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 18．(25-26九下·北京大兴区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验得到原方程的解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 19．(25-26九下·北京平谷区·二模)方程的解为__________． 【答案】 【分析】先将分式方程通过去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母， 得 ， 展开各项，得 ， 移项合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时， ， 所以是原方程的解． 20．(25-26九下·北京西城区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴去分母得 ， 移项，合并同类项，得 ， 解得 ， 检验：当时， ， ∴原分式方程的解是． 21．(25-26九下·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·模拟)方程的解为___________. 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． 先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根． 【详解】解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 所以，原方程的解为， 故答案为：． 22．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程的解为________． 【答案】 【分析】先将分式方程化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否满足原分式方程，即可得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 23．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)方程的解为_________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，对所得结果进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)方程的解为________． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 26．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 【答案】7 【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 27．(25-26九下·北京昌平区·二模)方程组：的解为________． 【答案】 【分析】直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得. 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为：． 28．(25-26九下·北京西城区·二模)某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 三、解答题 1．(25-26九下·北京石景山区·二模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求k的取值范围； 若k为负整数，求此时方程的根． 【答案】（）；（）时，，． 【分析】（1）由题意可知：在该方程中，“根的判别式△>0”，由此列出关于k的不等式求解即可； （2）在（1）中所求的k的取值范围内，求得符合条件的k的值，代入原方程求解即可. 【详解】解：(1)由题意得Δ＞0， 即9－4(1－k)＞0， 解得k＞. (2)当k为负整数，则k＝－1， 原方程为x2－3x＋2＝0， 解得x1＝1，x2＝2. 【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，求不等式解集等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 2．(25-26九下·北京朝阳区·二模)某公司为节能环保，购进了相同数量的A，B两种型号的节能灯．已知所有A型节能灯一年共用电15000度，所有B型节能灯一年共用电9000度，一台A型节能灯的平均年用电量比一台B型节能灯的平均年用电量的2倍少30度．求一台A型节能灯的平均年用电量． 【答案】一台A型节能灯的平均年用电量为150度 【分析】根据两种节能灯数量相等列出分式方程求解即可． 【详解】解：设一台B型节能灯的平均年用电量为度． 由题意，得, 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：一台A型节能灯的平均年用电量为150度. 3．（2026·北京门头沟·综合练）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为． 4．（2026·北京东城·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 去分母， ， 移项， ， 原不等式组的解为 ． 5．（2026·北京朝阳·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再取它们解集的公共部分，就是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 6．（2026·北京大兴·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到）或者数轴求出两个不等式解集的公共部分即是该不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 原不等式组的解集为． 7．（2026·北京丰台·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①，得， 解得：． 解不等式②，得， 解得：． ∴原不等式组的解集为． 8．（2026·北京顺义·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 所以，该不等式组的解集为． 9．（2026·北京石景山·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，先分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的公共解集即可． 【详解】解：, 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 10．（2026·北京昌平·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是． 11．（2026·北京西城·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，然后找出它们解集的公共部分． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 12．（2026·北京海淀·一模）解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 13．（2026·北京通州·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 14．（2026·北京平谷·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为. 15．(25-26九下·北京房山区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】根据不等式组的解法，先分别求出两个不等式的解集，再取公共部分，即可求解． 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 16．(25-26九下·北京大兴区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】分别求解两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 17．(25-26九下·北京平谷区·二模)解不等式组． 【答案】 【详解】解：， ①去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ②去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴不等式组的解集为：． 18．(25-26九·北京海淀区·期末)解不等式组： 【答案】 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为． 19．(25-26九下·北京燕山区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得． 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为． 20．(25-26九下·北京西城区·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 21．(25-26九下·北京昌平区·二模)解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解为． 22．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 23．(25-26九下·北京朝阳区·二模)解不等式组： 【答案】 【来源】2026年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为． 24．(25-26九下·北京顺义区·二模)解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 25．(25-26九下·北京石景山区·二模)解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解：， 解不等式①：去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 解不等式②：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 两个解集的公共部分为， 因此原不等式组的解集为． 26．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)解不等式组：． 【答案】 【详解】解：． 解不等式①得， 解不等式②得； ∴原不等式组的解集为． 27．（2026·北京门头沟·综合练）屏风是一种传统的中式家具，具有防风、隔断、遮隐、点缀环境和美化空间的作用．折屏是一种能折叠的屏风，又称曲屏．某家具厂为制作一款折屏，画出了单扇折屏的示意图，如图1，已知折屏的上段高、中段高与下段高的比是，横楣条的长度是上段高的2倍．屏芯为装饰区，其高比中段高短27厘米，宽是横楣条的一半，如果屏芯的高是宽的．求该单扇折屏的总高． 【答案】厘米． 【分析】设折屏的上段高、中段高与下段高分别为，则横楣条的长度是，，，根据屏芯的高是宽的列方程并解方程求出，即可求出该单扇折屏的总高． 【详解】解：设折屏的上段高、中段高与下段高分别为，则横楣条的长度是，，， ∵屏芯的高是宽的． ∴， 解得， ∴， 即该单扇折屏的总高为厘米． 28．（2026·北京东城·一模）学校为庆祝第七个国际数学日，举办了主题为“数学与希望”的数学活动，决定购买圆规与笔记本作为奖品．已知圆规每个15元，笔记本每本6元，共花费1560元，它们的数量之比为．此时恰逢商家开展“店庆满送”优惠活动，每满180元送1张兑换券，满360元送2张兑换券，……，以此类推．一张兑换券可兑换2个圆规或4个笔记本．学校花费1560元后，将兑换券也全部用于商品兑换，最终圆规与笔记本的数量相同． (1)求兑换前购买的圆规和笔记本的数量； (2)求用于兑换圆规的兑换券的张数． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 【分析】（1）根据圆规和笔记本的数量比设未知数，再根据总花费为1560元列出方程即可求解； （2）先计算出1560元可获得的兑换券总数，再设用于兑换圆规的兑换券为张，根据兑换后笔记本与圆规数量相同列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设兑换前购买圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得， ∴，． 答：兑换前购买圆规80个，笔记本60本． （2）解：∵， ∴可获得8张兑换券， 设用于兑换圆规的兑换券的张数为张，则用于兑换笔记本的兑换券为张， 则兑换后圆规的数量为个，笔记本的数量为本， 由题意得，， 解得． 答：用于兑换圆规的兑换券为2张． 29．（2026·北京朝阳·一模）某校重视学生的传统名著阅读，该校图书管理员在“传统文化宣传月”期间为学校购买了甲种名著本，乙种名著本，共支付元．若乙种名著的单价是甲种名著单价的倍，求甲、乙两种名著的单价． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 【分析】设未知数表示两种名著的单价，再根据总费用的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲种名著的单价为元，则乙种名著的单价为元， 根据题意，得， 解得， 则， 故甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元． 30．（2026·北京大兴·一模）每年五月，世界级月季名园——大兴世界月季主题园迎来花海盛宴，景致怡人．某学校组织师生到该园区开展综合实践活动．经了解，园区门票原价为60元/人，网络平台购票按原价八折优惠．此次参与活动的学生人数比教师人数的10倍多4人，全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元． (1)此次参加活动的教师与学生各有多少人？ (2)若网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省______元． 【答案】(1)此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2)320 【分析】（1）设参加活动的教师有人，根据“全体师生按原价购票比按网络平台购票多花费972元”列方程求解即可； （2）分别计算出两种方式的费用，然后求出差额即可； 【详解】（1）解：设参加活动的教师有人，则参加活动的学生有人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：此次参加活动的教师有7人，学生有74人； （2）解：采用双人票与单人票组合的购买方式，总费用为（元）， 全部按门票原价八折购票需要（元）， ∴网络平台另有双人票88元的优惠方式，相比全部按门票原价八折购票，最多能节省（元）． 31．（2026·北京丰台·一模）用一张长为，宽为的矩形纸板制作长方体包装盒（纸板厚度忽略不计）．图1为包装盒裁剪设计图，包含盒体、带有插舌的盒盖、翼盖，以及用于粘贴的粘口，其中插舌宽和粘口宽相等．沿图中实线剪开，按虚线折叠，经过粘贴制成如图2所示的包装盒，其上下底面均为正方形，高与底面边长的比为．求包装盒的高． 【答案】包装盒的高为 【分析】根据题意可设包装盒高为，底面边长为，再根据图列出方程求解即可． 【详解】解：∵高与底面边长的比为， ∴设包装盒高为，底面边长为． 由图可得， 解得， ∴． 答：包装盒的高为． 32．（2026·北京顺义·一模）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【分析】设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，，则该中国结的总高为，根据题意易得结体总宽为，再根据“总高是总宽的1.5倍”建立关于的方程，求解即可获得答案． 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍， ∴， 解得， ∴， 即该中国结的总高为． 33．（2026·北京石景山·一模）随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 34．（2026·北京昌平·一模）油纸伞制作技艺是中国国家级非物质文化遗产，凝聚着传统工匠的智慧．油纸伞的主要骨架是由短伞骨，长伞骨及伞柄构成，油纸伞完全撑开后，其示意图如图所示．已知短伞骨长度与长伞骨长度之比为，短伞骨与长伞骨连接点恰为长伞骨的三等分点，伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多．求这个油纸伞的伞柄长． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先理解题意，结合短伞骨长度与长伞骨长度之比为，设短伞骨长度为，则长伞骨长度为，又因为伞柄长度是长伞骨长度的倍，伞柄顶端到支撑点的距离等于，支撑点到伞柄底端的距离比短伞骨长度多，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设短伞骨长度为， 则长伞骨长度为， 依题意，得， 解得， ∴． 答：这个油纸伞的伞柄长． 35．（2026·北京西城·一模）竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图1，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图2，已知短竹节长与长竹节长的比为，竹节人的头长与上身长的比为，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度． 【答案】这个竹节人的总高度为 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，下身长为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 36．（2026·北京海淀·一模）“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 【答案】 【分析】设竖直平移距离为，则水平平移距离为，再根据平移次后的总横距与总纵距的倍数关系列方程求解． 【详解】解：设小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为，则水平方向的平移距离为， 根据题意，可得， 解得， 故小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为． 37．（2026·北京通州·一模）北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”．为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图1所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图1中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图2，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图3，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为．求图3中小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【分析】先表示出图中小长方形的宽和长，再根据图中小正方形的边长列方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知，图中小长方形的宽为，长为． 横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为， 设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为． 根据题意，得：， 解得， ． 答：小正方形的边长为． 38．（2026·北京平谷·一模）榫卯结构体现了中国“和”的思想，一凹一凸之间达到巧妙平衡，互补对方之缺，使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（图1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部分叫做榫头，凹进部分叫榫槽．常用于柜子的背板与面板的连接等非承重结构．下图2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长榫头长，榫头长榫头宽，榫身宽榫头宽，榫身长与榫头长之和为，求此面的表面积． 【答案】 【分析】设榫头长为，则榫身长为，根据榫身长与榫头长之和为求出的值，进而根据比例关系求出各边长，再利用长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设榫头长为， 榫身长榫头长， 榫身长为， 榫身长与榫头长之和为， ， 解得， 榫头长为，则榫身长为， 榫头长榫头宽， 榫头宽为， 榫身宽榫头宽， 榫身宽为， 此面的表面积为：． 39．(25-26九下·北京房山区·二模)自年月日起，我国开始实施《公共机构电动汽车充电基础设施配置及运行指南》（以下简称“指南”），“指南”要求公共机构充电车位配建比例宜不低于整体车位的．为解决某社区停车难问题，社区居委会联合相关部门划定一块面积为的公共停车场，需规划普通车位和充电车位，每个车位面积包含实际停车使用面积和公共通道分摊面积，其中充电车位另含充电桩占地面积．已知平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为，普通车位数量比充电车位数量的倍多个．判断充电车位数量是否满足“指南”要求，并说明理由． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 【分析】设充电车位的数量为x个，根据“平均每个普通车位占地面积为，平均每个充电车位占地面积为”求出充电车位和普通车位的个数，再求出充电车位配建比例即可． 【详解】略 40．(25-26九下·北京大兴区·二模)如图1，筒车是明代科学家宋应星所著《天工开物》中记载的经典水利灌溉工具，它利用流水冲击圆形转轮带动筒车转动，通过遍布圆周的竹筒舀水至顶部，并倾倒在水槽中，实现将低处河水提升至高处水槽中，再引流至农田，达到自流灌溉的目的，是我国古代劳动人民智慧的结晶．如图2，已知某筒车的转轮圆心为O，吃水深度（转轮最低点到水位线的距离）与转轮半径的比为，转轮圆心O到水槽底部的距离为0.9米，提水高度（水槽底部到水位线的竖直高度）是吃水深度的3.5倍．求这个筒车的转轮半径． 【答案】1.8米 【分析】根据题意设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米，列出一元一次方程求解x的值即可得出筒车的转轮半径． 【详解】解：设吃水深度为x米，则筒车的转轮半径为米， 由题意得：， 解得：， ∴（米）， ∴筒车的转轮半径为1.8米． 41．(25-26九下·北京平谷区·二模)学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 42．(25-26九下·北京燕山区·二模)列方程解应用题 小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加，该车选择的充电站充电综合电费均为元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键 设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里，根据题意列出方程求解即可，注意单位换算． 【详解】解：设所走高速公路的路程为x公里，则普通公路的路程为公里， 根据题意得：， 解得， ∴所走高速公路的路程为550公里． 43．(25-26九下·北京昌平区·二模)端午，是我国四大传统节日之一，佩戴香囊是流传千年的端午民俗．古人常在香囊内装入艾草、丁香、薰衣草等中草药，寓意祈福安康，承载着中华民族独特的养生智慧与民俗文化．制作端午香囊所选用的原始长方形布料的长与宽之比一般为，制作时，先距离布料上下两端为原始长方形布料的长的处进行画线，再分别距离左右两边为原始长方形布料的宽的处进行画线（如图1），然后沿中线对折（如图2），最后经过一系列折边定型、缝边、翻面等操作，得到成品香囊（如图3）．某人制作端午香囊时，要求成品香囊的长比宽多，求制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是多少厘米？ 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 【分析】通过设未知数，根据成品香囊长和宽的关系列出方程，进而求解原始长方形布料的长和宽． 【详解】原始长方形布料的长与宽之比一般为， 可设原始长方形布料的长为，则宽为， 由题意可得，成品香囊的长为，宽为， 成品香囊的长比宽多， ，解得， ， 答：制作端午香囊所用的原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米． 44．(25-26九下·北京第五中学分校·二模)赛龙舟是中国端午节的传统习俗，也是国家级非物质文化遗产．某校手工社团准备制作一件木制龙舟模型（如图所示），该模型由“龙头”、“船身”、“龙尾”三部分整体排成一条直线组成．已知龙头的长度与龙尾的长度之比是，船身的长度比龙尾长度的4倍还多．为了还原真实感，模型还配备了一根主桅杆和若干船桨．已知单根船桨的长度比龙尾的2倍少．在拼装时同学们发现，这艘龙舟模型的总长（龙头、船身与龙尾的长度之和．恰好比单根船桨长度的4倍多．则该龙舟模型的总长度是多少？ 【答案】 【分析】根据题意设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为，列出方程求解x的值，再代入x的值到原方程即可求得龙舟模型的总长度． 【详解】解：设龙尾的长度为，则龙头的长度为，船身的长度为，船桨的长度为， 根据题意，可列出方程：， 解得， 将代入可得：， ∴该龙舟模型的总长度是． 45．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学分校·期中)列方程解决实际问题：某条城际铁路线从西往东依次有A，B，C三个车站，每天上午均有两个车次的列车从A站驶往C站，其中次列车从A站始发，经停B站后到达C站，次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行时刻的相关信息如表所示．已知次列车的行驶速度为千米/时，求次列车的行驶速度． 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经B站，不停车 【答案】千米/时 【分析】设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：次列车的行驶时间为（小时）， 次列车的行驶时间为（小时）， 设次列车的行驶速度为x千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：次列车的行驶速度为288千米/时． 46．(25-26九·北京海淀区·期末)为方便出行，某城市推出四种地铁定期票，在有效期内可不限次数乘坐地铁，深受通勤人员欢迎．已知地铁部分定期票的票价和使用有效期如下：一日票每张元，有效期为天；三日票每张元，有效期为连续天；每张五日票和七日票的有效期分别为连续天和连续天．已知组合购买张三日票、张五日票和张七日票，或者组合购买张一日票、张五日票和张七日票，总费用都是元，求张五日票的票价和张七日票的票价． 【答案】1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元 【分析】设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元，根据“两种组合的总费用都是248元”，列方程组求解即可． 【详解】解：设1张五日票的票价为x元，1张七日票的票价为y元， 由题意得：， 解得， 答：1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元． 47．(25-26九下·北京西城区·二模)某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 【答案】这个费用不够用 【分析】先设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元，根据题干给出的等量关系列出二元一次方程组，求解得到单次费用后，计算本次活动所需总费用，再与总预算150元比较大小，即可得出结论． 【详解】解：设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元， 根据题意可得方程组， 解得， ∴所需总费用：（元）， 用于这次活动的总预算为150元，且 这个费用不够用． 48．(25-26九下·北京顺义区·二模)用某类充电桩充电时，充电过程分为快速和慢速两个阶段，给A型新能源汽车在电量为的情况下充电．技术改进前，充满电需要用时分钟；技术改进后，充满电需要用时分钟，其中快速充电阶段用时减少了，慢速充电阶段用时减少了，求快速充电阶段用时减少了几分钟． 【答案】分钟 【分析】本题为二元一次方程组实际应用题，设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟 ，根据改进前后总充电时长和各阶段用时减少比例列方程，求解得到改进前快速充电用时，进而计算得到快速阶段减少的用时． 【详解】解：设技术改进前快速充电阶段用时为分钟，慢速充电阶段用时为分钟． 根据题意可得 解得： 因此快速充电阶段减少的用时为 （分钟） 答：快速充电阶段用时减少了分钟． 49．(25-26九下·北京石景山区·二模)《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 50．(25-26九下·北京丰台区·二模)某学校食堂午餐提供A，B两种套餐，1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质．学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量每周不低于，且不高于（一周按5天计算）．若小云在校某一周内午餐选择A套餐2次，B套餐3次．通过计算说明，小云这周的午餐蛋白质摄入总量是否在膳食委员会建议的范围内． 【答案】这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内 【分析】设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据“1份A套餐和3份B套餐共含有蛋白质，3份A套餐和1份B套餐共含有蛋白质”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，将其代入中，可求出小云这周的午餐蛋白质摄入总量，再将其与学校膳食委员会建议中学生午餐蛋白质摄入总量比较后，即可得出结论． 【详解】解：设1份A套餐含有蛋白质，1份B套餐含有蛋白质．根据题意得： ， 解得， ， 不低于，且不高于， ∴这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内． 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 方程与不等式 5年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2022-2026） 命题规律 考点01一元二次方程 2025北京卷 2024北京卷 均为基础单选题，每题 2 分，放置试卷前中段基础选择；分为两大轮换考点：一元二次方程根的判别式（2022-2025 连续必考）、二元一次方程组求解（2026 轮换考查），纯代数计算题型，无几何、生活情境。 考点02 分式方程 2025北京卷 2024北京卷 分式方程题为固定基础填空题，单题分值 2 分，位于试卷前半段基础填空，属于必拿送分题型；题干仅给出简单分式等式，无生活情境、无几何结合，遵循 “去分母化为整式方程→求解→代入最简公分母检验” 三步标准解题逻辑，综合去分母、一元一次方程求解、分式方程增根检验三大基础能力。 考点03 解一元一次不等式组 2026北京卷 2025北京卷 一元一次不等式组为中考固定基础解答题型，分值 5 分，位于代数基础计算板块，纯代数无情境图形，遵循 “分别求解两个不等式→取公共交集写解集” 两步标准解题逻辑，综合一元一次不等式求解、解集取集口诀两大基础能力。 考点04 一元一次方程实际应用 2026北京卷 2025北京卷 一元一次方程应用题为中考固定中档解答题，分值 5 分，位于代数计算板块之后；统一以传统文化、环保科技、工程行程、手工工艺为现实情境，部分搭配示意图，遵循梳理比例 / 等量关系→合理设元→列一元一次方程→求解作答四层解题逻辑，综合比例换算、线段长度等量、行程路程等量、总量变化等量四大核心建模能力。 考点01 一元二次方程 1．C 2．C 3．C 4．C 5．A 考点02 分式方程 1． 2． 3． 4．x=5 考点03 解一元一次不等式组 1． 2． 3． 4． 5． 考点04 一元一次方程实际应用 1．A类机器人的速度为，比赛起点到终点的路程为 2． 3． 【答案】符合， 设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为， 由题意得：， 解得：， ∵， ∴这次技术改进后该汽车的类物质排放量符合“标准”． 4．边的宽为，天头长为 一、单选题 1．A 2．A 3．A 4．A 5．C 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．B 12．D 13．A 14．C 15．C 16．B 17．C 18．D 19．D 二、填空题 1． 2． 3．4 4．5 5．2 6． 7． 8． 9． 10．-1 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 21． 22． 23． 24． 25． 26．7 27． 28． 三、解答题 1． 【答案】（）；（）时，，． 2． 【答案】一台A型节能灯的平均年用电量为150度 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 21． 22． 23． 24． 25． 26． 27． 【答案】厘米． 28． 【答案】(1)兑换前购买圆规80个，笔记本60本 (2)用于兑换圆规的兑换券为2张 29． 【答案】甲种名著的单价为元，乙种名著的单价为元 30． 【答案】(1)此次参加活动的教师有7人，学生有74人. (2)320 31． 【答案】包装盒的高为 32． 【答案】 33． 【答案】0.9万件 34． 【答案】 35． 【答案】这个竹节人的总高度为 36． 【答案】 37． 【答案】小正方形的边长为 38． 【答案】 39． 【答案】解：满足，理由如下： 设充电车位的数量为x个，普通车位的数量为个， 则， 解得， 则， 所以车位的总数为． ∵且， ∴充电车位数量满足“指南”要求． 40． 【答案】1.8米 41． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 42． 【答案】所走高速公路的路程为550公里 43． 【答案】原始长方形布料的长和宽各是厘米和厘米 44． 【答案】 45． 【答案】千米/时 46． 【答案】1张五日票的票价为70元，1张七日票的票价为90元 47． 【答案】这个费用不够用 48． 【答案】分钟 49． 【答案】两种材等分别为三等材、六等材 50． 【答案】这周午餐蛋白质摄入总量在建议范围内 试卷第1页，共3页 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $