专题03方程与不等式（组）及实际应用（1年汇编）（四川专用）2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦四川中考方程与不等式专题，整合2026年各地市真题及模拟题，涵盖6大核心考点，突出实际应用与文化情境融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30%|一元一次方程解法、不等式组整数解等|以《九章算术》古算诗为情境命制列式题，如牧童分竹问题| |填空|约20%|韦达定理、分式方程增根等|结合菱形对角线、直角三角形内切圆考一元二次方程应用| |解答|约50%|方程组求解、方案设计与最值等|依托四川猕猴桃、红薯加工等乡土素材，设计“方程求单价+不等式限定+函数求最值”综合题|

专题03方程与不等式（组）及实际应用 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用 2026年南充、宜宾、成都、甘孜、眉山、乐山、凉山、自贡中考真题 高频以《九章算术》等古算诗为情境命列式选择题；基础解答固定考二元一次方程组求解，应用题围绕分物、比赛积分建模，侧重文字等量关系提取，计算难度低。 考点02一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用 2026年遂宁、宜宾、凉山、内江、泸州、南充、乐山、眉山、巴中中考真题 根的判别式、韦达定理整体代入为必考小题；应用题聚焦产量增长率、销售利润；常结合菱形、直角三角形内切圆几何综合，新定义运算结合判别式是创新考法。 考点03分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用 2026年巴中、内江、成都、广安、甘孜中考真题 行程、滞尘采样为核心情境列式；易错点集中在增根、解的检验；结合样本估计总体跨模块小题出现，侧重区分分式与整式方程建模逻辑。 考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用 2026年广安、乐山、泸州、达州、广元、凉山、宜宾、攀枝花、自贡、甘孜、成都、巴中中考真题 必考解不等式组并数轴表示，整数解高频；结合三角形边长、盐水浓度生活情境；解答搭配购物比价应用题，不等式变号是常设失分陷阱。 考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围 2026年遂宁、泸州、广元、南充、甘孜、内江、成都、广安、眉山中考真题 综合度高，串联分式方程正数解、一元二次方程根的情况、不等式组解集/无解；多要求筛选整数参数求和，融合一次、反比例函数条件，是小题分层核心题型。 考点06方程与不等式综合方案设计、最值类应用题 2026年遂宁、广安、广元、内江、南充中考真题 依托四川本地猕猴桃、红薯、鸭蛋加工等乡土素材；分两小问：先用方程组求单价，再用不等式限定范围搭配一次函数求最大利润，方案枚举为必考步骤。 考点01 一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用 1．（2026·四川南充·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（     ） A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40 4．（2026·四川甘孜·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组： 8．（2026·四川凉山·中考真题）解二元一次方程组、化简求值： (1)解二元一次方程组：； (2)先化简，再求值：，其中，． 9．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 考点02 一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用 1．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 6．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 8．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 9．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 10．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 11．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 12．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 13．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 考点03 分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用 1．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·中考真题）为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100颗豆子，并给这些豆子做上记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60颗豆子，发现其中有5颗豆子带有记号，则瓶中豆子的颗数约为（     ） A．300 B．600 C．1000 D．1200 4．（2026·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（     ） A．若，则与互余 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．数据1，2，3，2，1的中位数是3，众数是2 D．关于的分式方程的根为 5．（2026·四川甘孜·中考真题）方程的解为______． 考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用 1．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·四川乐山·中考真题）下列各数是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川泸州·中考真题）不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 5．（2026·四川广元·中考真题）若关于的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·四川达州·中考真题）食盐的主要成分是，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐（   ）（水的密度是，） A． B． C． D． 7．（2026·四川凉山·中考真题）不等式组的解集是_______． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）不等式的解集是________． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）一个整数x满足，写出一个这样的整数：_______． 10．（2026·四川攀枝花·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：． 11．（2026·四川自贡·中考真题）解不等式组：． 12．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 13．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组： (1) (2) 14．（2026·四川巴中·中考真题）计算： (1)； (2)求不等式组的解集； (3)先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 15．（2026·四川泸州·中考真题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围 1．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·中考真题）若方程的解是关于的方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值为（     ） A． B． C．3 D．4 6．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 7．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 8．（2026·四川成都·中考真题）把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 9．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 10．（2026·四川眉山·中考真题）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 考点06 方程与不等式综合方案设计、最值类应用题 1．（2026·四川遂宁·中考真题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放________摞． 2．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 3．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． (1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格； (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 4．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 5．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 6．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 1．（2026·四川南充·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·二模）《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·一模）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川南充·一模）北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有x个客人，y个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川南充·二模）小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（    ） A．7瓶 B．8瓶 C．9瓶 D．10瓶 6．（2026·四川南充·二模）正整数使关于的方程的解为正数，则的值为（   ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3 7．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 9．（2026·四川广元·二模）已知是方程的解，则a的值为_____． 10．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式的解为___________． 11．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式组的整数解的和为__________． 12．（2026·四川成都·二模）分式方程的解为______． 13．（2026·四川广元·二模）关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是______ ． 14．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 15．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 16．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 17．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 18．（2026·四川成都·三模）从，，0，1，2，3中随机选取一个数作为k，则关于x的分式方程无解的概率为______． 19．（2026·四川广安·模拟预测）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 20．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 21．（2026·四川达州·模拟预测）按要求完成各题 (1)计算： (2)解二元一次方程组： 22．（2026·四川眉山·一模）解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 23．（2026·四川资阳·模拟预测）2025年，安岳柠檬实现了价格和价值的双重跃升，为我县持续领跑全国柠檬市场奠定了坚实基础．在10-12月，其价格处于顶峰稳定期，已知5千克优质果和5千克精品果可售120元；10千克优质果和6千克精品果可售188元． (1)求优质果和精品果的销售单价； (2)小刘家准备购买这两类柠檬共30千克，且购买的总费用不超过362元，则最多能购买精品果多少千克？ 24．（2026·四川乐山·一模）夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？ 25．（2026·四川成都·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲，乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)请问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买25个甲，乙两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的，请问共有哪几种购买方案？ 26．（2026·四川成都·二模）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件． (1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？ (2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数） 27．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03方程与不等式（组）及实际应用 1年真题1年模拟·答案版 考点01 一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用 1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．A 7． 8．(1) (2)化简结果为, 值为 9．(1)场 (2) ①胜平负； ②胜平负； ③胜平负； ④胜平负； ⑤胜平负； ⑥胜平负．（任意两种正确结果即可） 考点02 一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用 1．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．或 8．3 9． 10． 11． 12．(1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)的值为或 13．(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 考点03 分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用 1．B 2．C 3．D 4．A 5． 考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用 1．B 2．A 3．C 4．C 5．A 6．B 7． 8． 9．（答案不唯一，都正确） 10．， 11． 12．(1) (2) 13．(1)3 (2) 14．(1) (2) (3)，当时，值为 15．(1)购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元. (2)当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算. 考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围 1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6． 7．（ 8．2 9． 10． ， 考点06 方程与不等式综合方案设计、最值类应用题 1．3 2．(1)A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． (2)从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 3．(1)购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． (2)购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 4．(1)“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； (2)该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二：购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋． 5．(1)（，为整数）； (2)共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； (3) 6．(1)每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 (2)共有种安排加工线的方案 (3)安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 1．A 2．D 3．A 4．A 5．C 6．C 7．D 8．A 9．4 10． 11． 12． 13． 14．5、4、2、1 15． 16． 17． 18． 19．14 20． 21．(1) (2) 22．，整数解是，0，1 23．(1)优质果的销售单价为11元/千克，精品果的销售单价为13元/千克 (2)最多能购买精品果16千克 24．实际每天制作幅骏马年画 25．(1)甲型充电桩单价为万元，乙型充电桩单价为万元 (2)共有3种购买方案，分别为：方案1：购买14个甲型充电桩，11个乙型充电桩；方案2：购买15个甲型充电桩，10个乙型充电桩；方案3：购买16个甲型充电桩，9个乙型充电桩． 26．(1)该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件 (2)元/件 27．(1)此玩具的进价是20元 (2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 (3)该益智玩具的销售单价定为30元 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03方程与不等式（组）及实际应用 1年真题1年模拟 考点分类 四川考情（2026） 命题规律 考点01一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用 2026年南充、宜宾、成都、甘孜、眉山、乐山、凉山、自贡中考真题 高频以《九章算术》等古算诗为情境命列式选择题；基础解答固定考二元一次方程组求解，应用题围绕分物、比赛积分建模，侧重文字等量关系提取，计算难度低。 考点02一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用 2026年遂宁、宜宾、凉山、内江、泸州、南充、乐山、眉山、巴中中考真题 根的判别式、韦达定理整体代入为必考小题；应用题聚焦产量增长率、销售利润；常结合菱形、直角三角形内切圆几何综合，新定义运算结合判别式是创新考法。 考点03分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用 2026年巴中、内江、成都、广安、甘孜中考真题 行程、滞尘采样为核心情境列式；易错点集中在增根、解的检验；结合样本估计总体跨模块小题出现，侧重区分分式与整式方程建模逻辑。 考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用 2026年广安、乐山、泸州、达州、广元、凉山、宜宾、攀枝花、自贡、甘孜、成都、巴中中考真题 必考解不等式组并数轴表示，整数解高频；结合三角形边长、盐水浓度生活情境；解答搭配购物比价应用题，不等式变号是常设失分陷阱。 考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围 2026年遂宁、泸州、广元、南充、甘孜、内江、成都、广安、眉山中考真题 综合度高，串联分式方程正数解、一元二次方程根的情况、不等式组解集/无解；多要求筛选整数参数求和，融合一次、反比例函数条件，是小题分层核心题型。 考点06方程与不等式综合方案设计、最值类应用题 2026年遂宁、广安、广元、内江、南充中考真题 依托四川本地猕猴桃、红薯、鸭蛋加工等乡土素材；分两小问：先用方程组求单价，再用不等式限定范围搭配一次函数求最大利润，方案枚举为必考步骤。 考点01 一元一次方程、二元一次方程组解法与实际应用 1．（2026·四川南充·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程． 【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿， ∴竹子总数量为， ∵每人分七竿竹子时少五竿， ∴竹子总数量也可表示为， ∵竹子总数量固定不变， ∴可列方程为． 2．（2026·四川宜宾·中考真题）如图所示的自制平衡秤，允许砝码放在任意一边．现有，，的砝码各一个，则最多能称出整数克质量有（     ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据天平平衡原理，物体质量等于两边砝码质量之差或和，通过分类讨论列举出所有可能的质量值即可． 【详解】解：设物体质量为，砝码可以放在天平的左盘或右盘，则的值为砝码质量的代数和（取正值， 分三种情况讨论： 只使用一个砝码：，，，共种； 使用两个砝码： 两砝码放在异侧（做减法）： ，，； 两砝码放在同侧（做加法）：，，； 共种； 使用三个砝码： ； ； ； ； 共种 综上所述，能称出的整数克质量有：，共种． 3．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，剩余14竿；每人8竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（     ） A．8，64 B．7，56 C．6，48 D．5，40 【答案】B 【分析】设牧童的人数为人，根据竹竿总数不变建立方程，解方程即可． 【详解】解：设牧童的人数为人， 由题意得：， 解得， 则， 所以牧童的人数为7人，竹竿的根数为56根． 4．（2026·四川甘孜·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴被使用的车辆数为，总人数满足； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴坐上车的人数为，这部分人刚好坐满辆车，可得． 因此符合题意的方程组为． 5．（2026·四川宜宾·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设买甜果个，买苦果个，根据甜果和苦果共个，可得方程，求出单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文，根据总花费一共是文，可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设买甜果个，买苦果个， ∵甜果和苦果共个， ∴， ∵文钱可以买个甜果，文钱可以买个苦果， ∴单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文， ∵总花费一共是文， ∴， ∴可得方程组． 6．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程 ，互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 7．（2026·四川乐山·中考真题）解方程组： 【答案】 【详解】解： ，得． 把代入②，得， ． 8．（2026·四川凉山·中考真题）解二元一次方程组、化简求值： (1)解二元一次方程组：； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2)化简结果为, 值为 【分析】（1）将方程组的两个方程相加可求出，把代入第一个方程，可求出，从而可得方程组的解； （2）先根据完全平方公式和平方差公式计算括号内的，再根据多项式除以单项式运算法则进行计算得最简结果，再代入的值进行计算即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 把代入①得：， 解得， 所以，方程组的解为； （2）解： ； 当，时，原式． 9．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行场比赛．每场比赛结果分为胜、平、负，胜场积分，平场积分，负场积分． (1)班负了场，总积分为分，求班胜了多少场？ (2)班总积分为分，请直接写出班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）． 【答案】(1) 场 (2) ①胜平负； ②胜平负； ③胜平负； ④胜平负； ⑤胜平负； ⑥胜平负．（任意两种正确结果即可） 【分析】（1）设班胜了场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得到胜场数； （2）设班胜场，平场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的胜、平、负场次组合． 【详解】（1）解：设班胜了场， ∵一共场比赛，负了场， ∴平的场数为场， 根据总积分为分列方程：， 化简得， 解得， 答：班胜了场； （2）解：设班胜场，平场（为非负整数，且）， ∵总积分为分， ∴，即 取非负整数解即可： ①，则；即负场，即胜平负； ②，则负场，即胜平负； ③，则负场，即胜平负； ④，则负场，即胜平负； ⑤，则负场，即胜平负； ⑥，则负场，即胜平负（任选两种写出即可）． 考点02 一元二次方程：解法、根的判别式、韦达定理与实际应用 1．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用根的判别式的符号即可得出结论. 【详解】解：∵对于一元二次方程，，， ∴判别式， 又∵任意实数的平方非负，即， ∴， ∴ 原方程有两个不相等的实数根. 2．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵共有支球队，每支球队需要和除自身外的支球队比赛， 又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数， ∴总比赛场数为，已知总比赛场数为场， ∴可列方程． 4．（2026·四川内江·中考真题）对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 5．（2026·四川达州·中考真题）“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是（   ） ① ②   ③ 一元二次方程 ↓ 或一元一次方程 ④ 多项式多项式 单项式多项式 单项式单项式 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】转化思想是指在研究和解决有关数学问题时，将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题．①属于分类讨论思想；②将平行四边形转化为长方形；③将一元二次方程转化为一元一次方程；④将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式． 【详解】解：①将三角形分为锐角、直角、钝角三角形，这是分类讨论思想，不是转化思想； ②利用割补法将平行四边形转化为长方形，从而推导面积公式，用到了转化思想； ③解一元二次方程时，通过因式分解将其转化为两个一元一次方程，用到了转化思想； ④多项式乘多项式通过分配律转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式，用到了转化思想． 综上所述，用到转化思想的是②③④． 6．（2026·四川泸州·中考真题）若一个直角三角形的两直角边长分别是一元二次方程的两个实数根，则该直角三角形的内切圆半径的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两直角边的和与积，再利用勾股定理求出斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可得到结果. 【详解】设该直角三角形的两直角边长为、，斜边长为， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，由勾股定理得： ， ∵三角形的面积， ∴直角三角形的内切圆半径公式为，代入得：． 7．（2026·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于A，B两点，且，则m的值为_______． 【答案】或 【分析】设，，可得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系表示与，结合的条件，建立关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：设，， 令，得 ， 由根与系数的关系得，， ， ∵， ∴， 两边平方得， 整理得， 因式分解得， 解得或． 8．（2026·四川乐山·中考真题）已知方程的两个根是和，则_________． 【答案】3 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴． 9．（2026·四川凉山·中考真题）已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 10．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 11．（2026·四川巴中·中考真题）已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 12．（2026·四川南充·中考真题）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1) 证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2) 的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 13．（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 考点03 分式方程：求解、增根/无解问题与实际应用 1．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程． 【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2倍少， ∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． ∵一年滞尘所需的银杏树叶的片数为，一年滞尘所需的国槐树叶的片数为，且两种树叶的片数相同， ∴可列方程：． 2．（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小青龙河6千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2倍，小林比小明早15分钟走完全程．设小明的速度为x千米/时，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，小明走完全程的时间为小时，小林走完全程的时间为小时，而小林比小明早15分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多小时，即可建立方程． 【详解】解：设小明的速度为千米/时，则小林的速度为千米/时， 由题意得，． 3．（2026·四川成都·中考真题）为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100颗豆子，并给这些豆子做上记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60颗豆子，发现其中有5颗豆子带有记号，则瓶中豆子的颗数约为（     ） A．300 B．600 C．1000 D．1200 【答案】D 【分析】设瓶中豆子的颗数约为颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等建立方程求解即可． 【详解】解：设瓶中豆子的颗数约为颗， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， 则瓶中豆子的颗数约为1200颗． 4．（2026·四川广安·中考真题）下列说法正确的是（     ） A．若，则与互余 B．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C．数据1，2，3，2，1的中位数是3，众数是2 D．关于的分式方程的根为 【答案】A 【分析】根据互余的定义、特殊四边形的判定、中位数众数的求解、分式方程的根四个初中数学知识点，只需逐个判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A、根据互余的定义：和为的两个角互余，∵，∴与互余，故A正确； 选项B、根据平行四边形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形才是矩形，故B错误； 选项C、将原数据从小到大排序得1，1，2，2，3，中位数是中间位置的，众数是出现次数最多的和，故C错误； 选项D、分式方程分母不能为0，当时，原方程分母，，则是增根，原方程无解，故D错误． 5．（2026·四川甘孜·中考真题）方程的解为______． 【答案】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 考点04 一元一次不等式（组）求解、整数解与实际应用 1．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得，7天记的英语单词个数可得． 2．（2026·四川乐山·中考真题）下列各数是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 移项可得， ∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解． 3．（2026·四川泸州·中考真题）不等式组的所有整数解的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，先分别求解不等式组中两个不等式，得到不等式组的公共解集，再找出解集内的所有整数，计算它们的和即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，即， ∴不等式组的解集为， ∴该范围内的整数解为和， ∴所有整数解的和为． 4．（2026·四川达州·中考真题）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 5．（2026·四川广元·中考真题）若关于的不等式组的解集为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 6．（2026·四川达州·中考真题）食盐的主要成分是，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入水，要想烧出味美的汤，可放入盐（   ）（水的密度是，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据体积和密度求出水的质量，再利用浓度公式列出不等式，得到盐的质量取值范围，即可选出符合范围的选项，本题用到浓度公式，溶液质量=溶质质量+溶剂质量． 【详解】解：∵，水的密度为 ∴水的质量为 设放入盐的质量为，根据浓度要求在， 可得不等式： 解左边不等式： 得 解右边不等式： 得 ∴盐的质量范围约为， 选项中只有在此范围内．故选． 7．（2026·四川凉山·中考真题）不等式组的解集是_______． 【答案】 【详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 8．（2026·四川宜宾·中考真题）不等式的解集是________． 【答案】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得 ． 9．（2026·四川攀枝花·中考真题）一个整数x满足，写出一个这样的整数：_______． 【答案】（答案不唯一，都正确） 【分析】先根据绝对值的性质解绝对值不等式，得到的取值范围，再找出范围内的整数，任选一个作答即可． 【详解】解：解不等式得，， ∴该范围内的整数为， ∴写出一个这样的整数：1（答案不唯一）． 10．（2026·四川攀枝花·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来：． 【答案】， 【分析】第一步利用不等式的性质，两边同乘分母的最小公倍数6去分母，注意不等号方向是否改变．去分母后得到整式不等式，所以接下来按照去括号、移项、合并同类项的步骤化简不等式．化简得到系数不为1的一元一次不等式后，将未知数系数化为1，此时系数为负数，需要改变不等号的方向，最终得到解集．得到解集后，按照数轴表示解集的规则，对应画出解集的范围． 【详解】解：去分母： ， 去括号： ， 移项： ， 合并同类项： ， 系数化为1： ， 把解集在数轴上表示不等式的解集略． 11．（2026·四川自贡·中考真题）解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，， ， ， 解得， 不等式组的解集为． 12．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组 (1)计算：． (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 13．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式②：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 不等式组的解集为． 14．（2026·四川巴中·中考真题）计算： (1)； (2)求不等式组的解集； (3)先化简，然后从1、2、3这三个数中选出合适的数代入求值． 【答案】(1) (2) (3)，当时，值为 【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并同类项得到最终结果． （2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． （3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的，将合适的代入得到计算结果． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． （3）解： 根据分式有意义的条件，可得，，即且． ∴代入，原式． 15．（2026·四川泸州·中考真题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B两种材料制作端午香包，两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元． (1)购买1份A材料和1份B材料的费用分别是多少元？ (2)现甲、乙两家超市均对B材料开展促销活动，甲超市对B材料按9折出售；乙超市对一次购买B材料总金额超过180元的部分打8折．该手工社团计划购买B材料份（），如何根据购买数量选择在哪家超市购买？ 【答案】(1) 购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元. (2) 当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算. 【分析】（1）根据购买1份A材料和3份B材料的总费用为110元；购买2份A材料和1份B材料的总费用为70元列出方程组，解方程组即可； （2）分别用的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可. 【详解】（1）解：设购买1份A材料的费用为元，购买1份B材料的费用为元， 根据题意，得：， 解得：， 答：购买1份A材料的费用为20元，购买1份B材料的费用为30元； （2）解：在甲超市购买的费用为（元），在乙超市购买的费用为（元）， 当甲超市费用高于乙超市费用时，， 解得， ∴当时，选择乙超市购买更合算； 当甲超市费用和乙超市费用一样多时，， 解得， ∴当时，选择两家超市购买费用相同； 当甲超市费用低于乙超市费用时，， 解得， 又， ∴， ∴当时，选择甲超市购买更合算； 综上，当时，选择甲超市购买更合算；当时，选择两家超市购买费用相同；当时，选择乙超市购买更合算 考点05 含参数方程、含参数不等式（组）求参数范围 1．（2026·四川遂宁·中考真题）已知点是第三象限内一点，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用第三象限点横纵坐标均为负数的性质，列不等式求解即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点在第三象限， ∴， 解得. 2．（2026·四川泸州·中考真题）若方程的解是关于的方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解分式方程得到x的值，再将x代入一元一次方程求解a，解分式方程后需要检验． 【详解】解：解分式方程， ∵方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项解得， 检验：把代入，得， ∴是原分式方程的解， ∵是方程的解， 将代入方程得， 解得． 3．（2026·四川广元·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，代入方程系数计算即可得到的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 根的判别式满足，其中二次项系数，常数项， 代入得，， 整理得，， 解得，． 4．（2026·四川南充·中考真题）反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 5．（2026·四川遂宁·中考真题）关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则k的值为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】分别解两个不等式得到 的取值范围，结合数轴上表示的解集 ，建立关于 的方程求解即可． 【详解】解：解不等式 ， 得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不等式组的解集为， 由数轴可知，不等式组的解集为， ， 解得． 6．（2026·四川甘孜·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·四川内江·中考真题）若关于 的方程 的解是负数，且一次函数 中，函数值 随 的增大而减小，则所有满足条件的整数 的值之和是______． 【答案】 【分析】先求出一元一次方程的解，根据一元一次方程的解为负数得到 的取值范围，再根据一次函数的性质得到 的另一个取值范围，进而得到符合条件的整数 的值，最后相加即可求解． 【详解】解：解方程 ，得， ∵方程的解是负数， ∴， 解得， ∵一次函数中，函数值随的增大而减小， ∴， 解得， ∴的取值范围是， ∴符合条件的整数为， ∴所有满足条件的整数的值之和为． 8．（2026·四川成都·中考真题）把一个分式化为另外几个分式的代数和的形式是处理分式运算和变形的常见策略．已知（a，b为常数），则_____． 【答案】2 【分析】先将等式右侧通分，再与等式左边进行比较，对应项系数相等，列出一个关于二元一次方程组，解方程组可得的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 9．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 10．（2026·四川眉山·中考真题）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数的值为_______． 【答案】 ， 【分析】先解不等式组得到的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定的最终范围，即可得到符合条件的整数． 【详解】解：， 解不等式①得：， 不等式组无解， ， 整理分式方程 ， 得， 两边同乘 得：， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得： 且， 综上可得，，且， ∴符合条件的所有整数的值为，1． 考点06 方程与不等式综合方案设计、最值类应用题 1．（2026·四川遂宁·中考真题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为，如图所示．请问将50个这款杯子放在限高的摆放区，至少需要叠放________摞． 【答案】3 【分析】设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据“4个杯子叠放成一摞的总高度为，9个杯子叠放成一摞的总高度为”可列二元一次方程组，求得，由此可得n个杯子叠放的高度公式为，再根据高度不超过列不等式求出的最大值即可求解． 【详解】解：设每个杯子的高为，每多叠一个杯子增加的高度为，根据题意得： ， 解得， ∴n个杯子叠放的高度公式为， 又每一摞的总高度不超过， ∴， 解得， 因为n是整数，所以一摞最多放19个杯， （摞）（个）， 剩下的12个还需要1摞，所以至少需要（摞）． 2．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B两地收到社会各界人士所捐物资共400吨．据统计，A地收到物资吨数的3倍与地收到物资吨数的5倍相等．现要把这批物资全部运往受灾的C，D两地．从A地运往C，D两地的费用分别为15元/吨和20元/吨；从B地运往C，D两地的费用分别为12元/吨和18元/吨；现C地需物资180吨，D地需物资220吨． (1)分别求出A，两地各收到多少吨物资； (2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． (2)从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 【分析】（1）设A地收到吨物资，B地收到吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨，易得、再利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设A地收到吨物资，B地收到吨物资． 由题意得： ，解得：． 答：A地收到250吨物资，B地收到150吨物资． （2）解：设总费用为元，从A地运往C地吨，则运往D地吨，B地运往C地吨，运往D地吨， 由题意得： ， ∴W随的增大而增大， 当，总费用最少，元． ，， 答：从A地运往C地30吨，运往D地220吨，从B地运往C地150吨，运往D地0吨时，总运费最少，最少费用为6650元． 3．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3件中果礼盒和2件大果礼盒需190元，购进2件中果礼盒和4件大果礼盒需260元． (1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格； (2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100件进行销售，中果礼盒每件售价50元，大果礼盒每件售价80元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． (2)购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 【分析】（1）设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件，根据题意可得，即m的最大值为33；再列出获得利润：，再利用一次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x元，大果礼盒每件y元． 则，解得：， 答：购进中果礼盒每件30元，大果礼盒每件50元． （2）解：设购进大果礼盒m件，则购进中果礼盒件， 由题意可得：，解得：， ∵m为整数， ∴m的最大值为33， 由题意可得：获得利润：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，有最大利润元． 答：购进中果礼盒67件，大果礼盒33件时可获得最大利润，最大利润为2330元． 4．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 【答案】(1) “红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； (2) 该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二：购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋． 【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系； （2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解： 设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元， 根据题意得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解， ， 答：“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； （2）解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是3的正倍数，且， 即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：该游客共有3种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1袋，“红薯淀粉”15袋；②购买“红薯粉条”4袋，“红薯淀粉”10袋；③购买“红薯粉条”7袋，“红薯淀粉”5袋． 5．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价元，售价元；乙种衬衣每件进价元，售价元．现计划购进两种衬衣共件，其中甲种衬衣不少于件．设购进甲种衬衣件，两种衬衣全部售完，商场可获利元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商场购进这件衬衣的总费用不超过元，求有哪几种进货方案？ (3)在的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价元（）出售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为元，求的值． 【答案】(1)（，为整数）； (2)共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； (3) 【分析】设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件，然后根据“总利润甲的利润乙的利润”，列出函数关系式即可； 根据题意，总费用不超过元，可得，结合自变量的取值范围得到所有整数解，即所有进货方案； 根据题意调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元，则利润，分情况根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解，舍去不符合范围的解． 【详解】（1）解：设购进甲种衬衣件，则购进乙种衬衣件， 甲每件利润为元，乙每件利润为元， 根据题意得 由题意得，， 因此，且为整数； （2）解：根据题意，总费用不超过元，可得， 整理得， 解得， ∵，且为正整数， ∴，的取值为，对应乙的数量为， 因此共有种进货方案，分别是购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件；购进甲种衬衣件，乙种衬衣件； （3）解：根据题意，调价后甲每件利润为元，乙每件利润仍为元， ∴利润， 当时，， ∴随的增大而增大， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得； 当时，，不符合题意； 当时，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，利润有最大，此时， 解得，不符合题意； 综上可得：最大利润为元时的值为． 6．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到下列信息． 背景 某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有9条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或咸蛋） 素材一 若3条加工线加工皮蛋和1条加工线加工咸蛋，则每月可加工11万枚； 若2条加工线加工皮蛋和3条加工线加工咸蛋，则每月可加工12万枚． 素材二 现收购了30万枚鸭蛋，计划在一月内用9条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半； 加工厂安排皮蛋加工线不低于3条； 一月内未能加工完的鸭蛋另作处理． 素材三 每万枚皮蛋可获利0.7万元，每万枚咸蛋可获利1.2万元； 一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1万元处理． 根据以上信息，完成下列任务： (1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？ (2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？ (3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚 (2)共有种安排加工线的方案 (3)安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元 【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得，然后进行求解即可； （2）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得，进而求解即可； （3）设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚，由题意得： ，解得：； 答：每条加工线每月可加工皮蛋万枚，可加工咸蛋万枚． （2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，由题意得： ，解得：， ∵m为正整数， ∴m的取值为， 答：共有种安排加工线的方案． （3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m条，则安排咸蛋加工线条，可获利润为W万元，由题意得： ， 由（2）可知：， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为，此时； 答：安排条加工线加工皮蛋，条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为万元． 1．（2026·四川南充·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 2．（2026·四川广元·二模）《九章算术》记载这样一道问题：现将一份文书送往距离900里处的城池，若用慢马递送，所需时间比规定时间多2天；若用快马递送，所需时间比规定时间少3天．已知快马速度是慢马的2倍，求规定的时间．设规定时间为天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据速度路程时间，分别表示出慢马和快马的速度，再结合快马速度是慢马的2倍列方程即可． 【详解】解：∵ 规定时间为天，慢马所需时间比规定时间多天，快马所需时间比规定时间少天， ∴ 慢马走完全程的时间为天，快马走完全程的时间为天， ∵速度路程时间，总路程为里， ∴ 慢马速度为，快马速度为， ∵ 快马速度是慢马的倍， ∴． 3．（2026·四川成都·一模）某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 4．（2026·四川南充·一模）北魏数学家张丘建所著的《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”．设有x个客人，y个盘子，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有个客人，个盘子， ∵2个人共用1个盘子，少2个盘子，即一共需要个盘子，现有个盘子比需要的少2个， ∴， ∵3个人共用1个盘子，多出来3个盘子，即一共用掉个盘子，现有个盘子比用掉的多3个， ∴， 因此可得方程组． 5．（2026·四川南充·二模）小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（    ） A．7瓶 B．8瓶 C．9瓶 D．10瓶 【答案】C 【分析】设未知数构造方程，求整数解即可． 【详解】解：设小乐购买A种饮料瓶，B种饮料瓶， 则， 得， ∵是正整数，是偶数， 则是偶数， 则时，，， 则时，，， 则时，，， ∴则小乐最多购买A，B两种饮料共瓶． 6．（2026·四川南充·二模）正整数使关于的方程的解为正数，则的值为（   ） A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3 【答案】C 【分析】先将分式方程化为整式方程，用表示出，再根据解为正数、分式分母不为0两个条件，确定正整数的取值，即可选出答案． 【详解】解：解方程得：， ∵方程的解为正数， ∴，即， 又∵分式方程分母不能为0， ∴，即，得， ∵是正整数， ∴符合条件的为和． 7．（2026·四川乐山·一模）关于的方程 有个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况分析，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的判定方法结合具体的数值列式解答即可． 【详解】解：当时，方程为有两个不同的实数根，不符合题意； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的正实数根， ∴ 解得：； 当且时，方程  有个不同的实数根， ∴方程 一定有2个不同的负实数根， ∴ 解得：； 的取值范围是． 8．（2026·四川南充·二模）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（    ） A．4 B．3 C．0 D．－4 【答案】A 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 9．（2026·四川广元·二模）已知是方程的解，则a的值为_____． 【答案】4 【分析】将代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得． 10．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式的解为___________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的解法步骤求解即可． 【详解】解：， 去分母得， 移项得， 合并同类项得， ． 11．（2026·四川自贡·模拟预测）不等式组的整数解的和为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，确定不等式组的解集，找出解集中的所有整数解，计算整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为， 整数解的和为． 12．（2026·四川成都·二模）分式方程的解为______． 【答案】 【分析】按照解分式方程的一般步骤，先去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后再进行检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，约去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 系数化为，得 ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 13．（2026·四川广元·二模）关于x的不等式组，恰好有三个整数解，则a的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】先写出不等式的解集，再根据有3个整数确定a的取值范围即可． 【详解】解：∵关于x的不等式组有解， ∴该不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有三个整数解， ∴这三个整数解为0、、， ∴． 14．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 15．（2026·四川南充·一模）关于x的一元一次方程的解为____． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义求出参数的值，再代入原方程求解未知数即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，得，且， 解得， 将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 系数化为得． 16．（2026·四川遂宁·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 17．（2026·四川内江·一模）对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查新定义题型． 根据“博文数”的定义列出关于和的等式，由“博文数”的定义可得∶ 十位数字是千位数字的倍， 即，个位数字比百位数字多， 即，由此求出，的值， 验证条件后即可得到所求四位数． 【详解】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”， ，， 解得， ， 因此这个数是，符合“博文数”的定义． 18．（2026·四川成都·三模）从，，0，1，2，3中随机选取一个数作为k，则关于x的分式方程无解的概率为______． 【答案】 【分析】先确定总的等可能结果数，再根据分式方程无解的条件找出符合条件的的个数，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：给定数共有个，因此随机选取一个数，共有种等可能的结果． 分式方程 两边同乘去分母得： 整理得： 分式方程无解分为两种情况： ①整式方程无解，此时一次项系数为， 即， 解得，符合选取要求． ②整式方程的解为分式方程的增根，该分式方程的增根为，将代入得： 解得，符合选取要求． 因此使分式方程无解的共有个， 根据概率公式可得，所求概率为． 19．（2026·四川广安·模拟预测）若关于的不等式组至少有两个正整数解，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值之和为___________． 【答案】14 【分析】先解不等式组并结合解的情况确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． ∴，解得：． 分式方程化简为：，解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数，即a为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， ∴所有满足条件的整数a之和为． 20．（2026·黑龙江大庆·二模）我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， 21．（2026·四川达州·模拟预测）按要求完成各题 (1)计算： (2)解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 22．（2026·四川眉山·一模）解不等式组：并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解是，0，1 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出其整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， ∴不等式组的整数解是，0，1． 23．（2026·四川资阳·模拟预测）2025年，安岳柠檬实现了价格和价值的双重跃升，为我县持续领跑全国柠檬市场奠定了坚实基础．在10-12月，其价格处于顶峰稳定期，已知5千克优质果和5千克精品果可售120元；10千克优质果和6千克精品果可售188元． (1)求优质果和精品果的销售单价； (2)小刘家准备购买这两类柠檬共30千克，且购买的总费用不超过362元，则最多能购买精品果多少千克？ 【答案】(1) 优质果的销售单价为11元/千克，精品果的销售单价为13元/千克 (2) 最多能购买精品果16千克 【分析】（1）根据“5千克优质果和5千克精品果可售120元，10千克优质果和6千克精品果可售188元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购买精品果千克，根据总费用不超过362元列一元一次不等式，取最大正整数解即可． 【详解】（1）解：设优质果的销售单价为元/千克，精品果的销售单价为元/千克， 根据题意得 ， 解得， 答：优质果的销售单价为11元/千克，精品果的销售单价为13元/千克． （2）设购买精品果千克，则购买优质果千克.， 根据题意得， 解得， 答：最多能购买精品果16千克． 24．（2026·四川乐山·一模）夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”，年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接年马年新春，某年画工艺传承人计划制作幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？ 【答案】实际每天制作幅骏马年画 【分析】设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画，根据题意列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设原计划每天制作幅骏马年画，则实际每天制作幅骏马年画， 由题可知，， 解得， 实际每天制作幅骏马年画， 答：实际每天制作幅骏马年画． 25．（2026·四川成都·二模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲，乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩的单价比乙型充电桩的单价少0.3万元，且用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)请问甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买25个甲，乙两种型号充电桩，购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的，请问共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲型充电桩单价为万元，乙型充电桩单价为万元 (2)共有3种购买方案，分别为：方案1：购买14个甲型充电桩，11个乙型充电桩；方案2：购买15个甲型充电桩，10个乙型充电桩；方案3：购买16个甲型充电桩，9个乙型充电桩． 【分析】（1）设甲型充电桩的单价是万元，则乙型充电桩的单价是万元，利用数量总价单价，结合用18万元购买甲型充电桩与用24万元购买乙型充电桩的数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即甲型充电桩的单价），再将其代入中，即可求出乙型充电桩的单价； （2）设购买个甲型充电桩，则购买个乙型充电桩，根据“购买总费用不超过26万元，且乙型充电桩的购买数量不少于甲型充电桩购买数量的”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设甲型充电桩的单价是万元，则乙型充电桩的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （万元）． 答：甲型充电桩的单价是0.9万元，乙型充电桩的单价是1.2万元； （2）解：设购买个甲型充电桩，则购买个乙型充电桩， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为14，15，16， 共有3种购买方案， 方案1：购买14个甲型充电桩，11个乙型充电桩； 方案2：购买15个甲型充电桩，10个乙型充电桩； 方案3：购买16个甲型充电桩，9个乙型充电桩． 26．（2026·四川成都·二模）情绪价值产品是指以情绪体验为核心价值的商品或服务，以满足现代人在物质丰富后对精神层面的追求．情绪价值产品正成为消费新热点，某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件，其中，两种玩具的进价分别为元/件和元/件． (1)求该玩具批发公司采购，两种玩具各多少件？ (2)该玩具公司为了尽快销售完这批玩具，计划种玩具的售价定为元/件，若该公司想要获得不低于的利润率，则种玩具的售价至少应定为多少元/件？（售价为整数） 【答案】(1)该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件 (2)元/件 【分析】（1）设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件，根据“某玩具批发公司用元采购，两种解压玩具共件”得到关于，的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）设种玩具的售价定为元/件，根据“该公司要获得不低于的利润率”得到关于的一元一次不等式，求出解集后得到符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件， 依题意，得：， 解得：， 答：该玩具批发公司采购种玩具件，种玩具件； （2）解：设种玩具的售价定为元/件（为整数）， 依题意，得：， 解得：． ∵为整数， ∴最小取， 答：种玩具的售价至少应定为元/件． 27．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 【答案】(1)此玩具的进价是20元 (2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 (3)该益智玩具的销售单价定为30元 【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答； （2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答． 【详解】（1）解：设此玩具的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元； （2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为； （3）解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为个， 当销售单价为30元时，日销售量为个， ，且要尽量减少库存， ∴ 应选择日销售量较大的方案， ． 答：该益智玩具的销售单价定为30元． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $