2025年北京市初中学业水平考试-【中考密码】备战2026年中考数学真题汇编

拨：由 反比例函 的几何意义可得)，.SaMc- SAOAM=SAORG-SAOBN SACOM =SACON- 设0A=a,0B=b,则M(a,),公)CN= 、 6,CM=b- 日g=(a-6- 合.假设Sanm=5oa则S。m=之(ab-1)。 ② 分(b-1)=(a-)6-),整理，得 六山=1，此时函数)=（x>0)的图象 过点C,与题意矛盾.故△MOW与△MCW的面积 不可能相等 如图所示，此时△MON是钝角三角形. IN C ③ 0 假设OA=0B=m(m>0),则M(m,), m m).M(ON= √+m,w-m-,0w m ④ 0m若0w=M,则m+(分P=2(m-户， m 整理，得m-4+=0,m2-2+ m2, (m-)2=2.易知m-1>0,故开方并整 m m 理，得m'-2m-1=0,解得m=56(负值 2 已舍)，此时OM=ON=MW,故△MON可能是 等边三角形， 一题多解 对于结论②，易知SA0MM=S△0aN,假设S△Mov=S△MC,则 Sm=子Sna,连接BM,则Saew=分Sme “Sa≠Sam,人S3a0≠分Sag款假设不 成立 9x≥1107(m+2)(m-2) 11x=2 【解析】方程两边同乘x(x-6),得2x+x-6=0,解得x= 2.检验：当x=2时，x(x-6)≠0（点，麟完分式方程需进 行 提秋所 ∴.∠GFB=∠EBC=30°.由题意知BC=AB=1,∴.BF= 2c-g6F-p-Sm子4a,g-3× 2 2 1x33 4=8 D E G B 16(1)B(2)157 【解斯】(1)由题意可知四个经销商均至少分得1台设备， 故可观察四个经销商从n=1到n=2时，利润的变化情况， 将其表示如下： +20 A:40→60 B:30+255 C:202040 D:142438 可知利润增量最多的是B,故应向经销商B分配2台设备 (2)观察四个经销商的数据，将利润增量标注如下： A:40±260 B:302555275590191005105 C:202940±2960+1970+1980+1990… D:1424382462248624110+24134… 要计算最大总利润，我们可以从单个利润入手解题.观察四 个经销商（以下简记为A,B,C,D)的利润数据可知，1台设 备利润最高时，是分配给A1台，此时单个利润是40万元； 其次是B在n=1时，利润是30万元：接着是B在分得第 2台设备时，利润增量是25万元.故若使总利润最大，A至 少分得1台，B至少分得2台.假设A先分得1台，B先分得 2台，观察各经销商利润增量的变化，剩下3台设备全部分 配给D时，3台设备的平均利润最高，为62÷3≈20.67（万 元).由20.67万元>20万元>15万元>10万元>5万元， 可得A分得1台、B分得2台、D分得3台时，企业获得的总 利润最大，为40+55+62=157（万元） 原式=3+35+2-2×7 (4分) =5+35-1 =4+33. (5分) 18解不等式2(x+1)>x-1,得x>-3; (2分) 解不等式生>3x,得x<1 (4分) 故原不等式组的解集为-3<x<1. (5分) 19.a+b-3=0,∴.a+b=3, (2分) 之a）+86=4a-4b+8三招+8费24a+6） a+2ab+b2 (a+b)2 (a+b)2 44 a+b3 (5分) 20(1)证明：D,E分别是AB,AC的中点，.DG∥FC 又DG=FC,.四边形DFCG是平行四边形 .'DF⊥BC,∴.DFC=90°， .四边形DFCG是矩形（依据：有一个角是直角平行四边 形是矩形) (3分) (2).∠B=45°，∠DFB=90°，DF=3, ..BF=3,..BC=BF+FC=BF+DG=3+5=8. (4分) D,E分别是AB,AC的中点， DE=7BC=4,AC=2CE, .EG=DG-DE=5-4=1. 四边形DFCG是矩形，.CG=DF=3, .CE=√2+32=√10， .AC=2CE=210: (6分) 21(1)将(1,3)，(2,5)分别代入y=x+b, 得k+b=3,解得=1 12k+b=5, (3分) (2)m的取值范围为2≤m≤3. (5分) 解法提示：由题可知，当x<1时，对于x的每一个值，函数y =mx(m≠0)的值既小于函数y=2x+1的值，也小于函数y =x+2的值. 令2x+1=x+2,解得x=1,此时y=3, 即函数y=2x+1与函数y=x+2的图象交于点(1,3)，画 出大致图象进行判断。 ①当m<0时，大致图象如图(1)所示，可知此时存在x<1 且mx>2x+1,mx>x+2的情况，不满足题意. y y=2.x+1 y=mx y=x+2 1,3) 图(1) ②当m>0时， 若0<m<2,大致图象如图(2)所示，可知此时存在x<1且 mx>2x+1的情况，不满足题意. y=2x+1 y42+1y2 y=x+2 y=x+2 (1,3) (1,3) y=mx 0 0 图(2) 图(3) 随着m值的增大，函数y=mx的图象绕点O逆时针旋转， 当m=2时，大致图象如图(3)所示，可知此时满足题意。 当函数y=mx的图象经过点(1,3)时，m=3,大致图象如图 (4)所示，可知此时满足题意. 的性质). 又.OP=OP,OA=OB, .Rt△PAO≌Rt△PBO(HL), 5∠A0P=∠BOP=3∠A0B 又：∠ADB=2LA0B, ∴.∠ADB=∠AOP. (3分) (2)如图，延长A0交⊙0于点F,连接DF,则∠ADF=90° (依据：直径所对的圆周角是直角)· E B D 在u△0iP中，mLA0P=2,AP=I0, .∴.A0=2AP=20, .0P=√AP2+A0=√102+202=105，AF=2A0=40. ,C是OP的中点，∠OAP=90°， AC=0C=20P=55,∠DMF=∠A0P, .∴.cos∠DAF=cos∠AOP, 光-”骆品n=65 :∠CDE=∠COA,∠DCE=∠OCA, ·.△CDE△COA, 器-8脚货-1658， 20 55 DE=44. (6分) 一题多解 (2)如图，过点O作OH⊥DE于点H,则BH=DH. B 3 D 217 :在R△0AP中，an∠A0P=2,AP=10, .0B=0A=2AP=20 ,C是OP的中点，∠OAP=90°，∴.PC=OC=AC, ∴.∠2=∠1=∠3，∴.DE∥A0, .∠E=∠1=∠4，∴.BE=OB=20 mLDB0=mLA0P=子2=7 设OH=x,则EH=2x,∴.BH=2x-20 在Rt△BHO中，根据勾股定理，得B+O=OB2 即(2x-20)2+x2=202,解得x1=0(舍去)，x2=16, .BH=12,.BD=2BH=24 ∴.DE=BD+BE=44. 25(1)6 (1分) (2)m=46. (2分) 解法提示：.·48-43=5,50-48=2，且一名新员工每一日 比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，… 48-m=2,∴.m=46 T=3时的曲线C,如图所示 (3分) 5s 0 45 40 25 15 0 910 (3)①7 (4分) ②1 (5分) 解法提示：①若T=0或1，根据表中数据和曲线C,可知，小 云在试制阶段的前9日内都无法获得“优秀学员”证书； 若T=2,根据曲线C2可知，小云在试制阶段的第6日可获 得“优秀学员”证书； 若T=3,根据曲线C,可知，小云在试制阶段的第4日可获 得“优秀学员”证书， .3+4=7<2+6, “.小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员” 证书. ②当T=0时，小腾试制4日，制成的合格品的总数为7+8 +10+12=37: 当T=1时，小腾试制3日，制成的合格品的总数一定大于 10+15+25,即一定大于50： 当T=2时，小腾试制2日，制成的合格品的总数为20+30 =50； 当T=3时，小腾试制1日，制成的合格品的总数为26. 故T=1时，制成的合格品总数最多，应安排小腾先进行1 日的模拟练习. 26(1)将(0,0)代入y=ax2+bx+c,得c=0. (1分) 将(3,3a)代入y=ax2+bx,得9a+3b=3a,∴.b=-2a. (2分) (2)①当a=1时，抛物线及直线的解析式分别为y=x2- 2x,y=x. 由题意可知xw=xw=t=4, 把x=4代人y=x2-2x,得y=8, 把x=4代入y=x,得y=4, .MW=8-4=4. (4分) ②当a>0时，如图(1)，结合图象分析可知，若要满足题意， 提松 则yN>yM, .'MN=at-(at2-2at)=-at2 +3at, 其对应图象的对称箱为直线=一。》 在0≤t≤2a的范围内，MW随t的增大而增大， 2a≤3a≤子0<a≤ .3 3 (5分) 当a<0时，如图(2)，此时由图易知点P从点0运动到点 B(2a,0)的过程中，MN的长随OP的长的增大而增大， .a<0符合题意. 综上，a<0或0<a≤4 (6分) 图(1) 图(2)》 27(1)证明：a=45°，∴.180°-2a=90°， .∠CAE=90°. 又∠ACB=90°，.AE∥CF (1分) 又EF∥AB,.四边形ABFE是平行四边形， .AE BF. 由旋转可得，AE=AC,.BF=AC (3分) (2)DF=2BC. (4分) 证明：如图，在CD上取点H,使得CH=CB,连接BE,AH. ∠ACB=90°，即AC⊥BH, .:.AC垂直平分BH, .AH =AB. .∠AHC=∠ABC=a,∠HAC=∠BAC=90°-a, .∴.∠HAB=180°-2a, .∴.∠HAE+∠EAB=180°-2a 又∠HAE+∠DAH=∠DAE=180°-2a, ∴.∠EAB=∠DAH. 又AE=AD,AB=AH,∴.△AEB≌△ADH(SAS), ,.BE=DH,∠ABE=∠AHD=180°-∠AHC=180°-， ∴.∠FBE=180°-a-a=180°-2a. AB∥EF,∴.∠BFE=∠ABC=a, ∴.∠BEF=180°-∠BFE-∠FBE=180°-a-(180°-2a)=a, .∠BFE=∠BEF,BE=BF,BF=DH, .DF=HB=2BC. (7分) 解题突破。4。 在求两条线段的比例关系时，若两条线段在不同的三 角形中，且很难找到联系，则需要添加适当的辅助线，利用 全等三角形或相似三角形的性质，将其转化到一组全等三 角形或相似三角形中，再用等量代换进行求解. 28 名师教审题 几何压轴题系列·4 根据定义：对于点A和⊙C,可分如下三种情况讨论 第1种情况： A 若点A在⊙C外，当AM, AN均为⊙C的切线时， ∠PAO≤∠MAN始终成 立，故点A可能在⊙C 外.连接AC,当∠MAC 越小时，tan∠MAC越 小，关联角度越小；当 ∠MAC越大时，tan∠MAC 越大，关联角度越大 第2种情况： M 若点A在⊙C上，始终存在使 ∠PAQ>∠MAN的点P,Q,故点 "c A不可能在⊙C上， 第3种情况： M N 若点A在⊙C内，当点A在线段 MN上时，∠PAQ≤∠MAN始终 成立，故点A可能在⊙C内. (1)①A, 60 (2分) 解法提示：显然，点A,在⊙0内，关联角度为180° 方法一：如图(1)，过点A,作⊙0的切线，设切点为M2,连接 OM2,则∠0M2A2=90°.在Rt△0A2M2中，由勾股定理得 4斯 3 <1,.∠0A2M2>45°，点A2与⊙0的关联角度 大于90 12 M 0 1A, 0 图(1) 图(2) 如图(2)，过点A作⊙0的切线，设切点为M3,连接OM3,则 ∠0M,A=902:0M=号0A,∠0MM=30,点A 与⊙0的关联角度为60°. 方法二：如图(3)，设点H是⊙0的关联点，且其与⊙0的关 联角度为90°.过点H作⊙O的切线，设切点为M,连接 OM4,则∠OM4H=90°，∠OHM4=45°，此时OH=√2OM4= √2.故与⊙0的关联角度小于90°的点在点H右侧，故该点 为A,·关联角度求法同上 B 0 图(3) 图(4) ②5 (4分) 解法提示：如图(4)，以点B为圆心，1为半径画圆.根据题 意，当点D在⊙B内部时，BD上所有的点都是⊙0的关联 点，∴.⊙B与⊙0相离或相切，易知当⊙B与⊙O相切时，m 的值最小.连接0B,此时0B=1+1=2,m=√22-1产=√5. 故m的最小值为√5. 2≤-1,3≤1<3或>5 (7分) 解法提示：a.当t<0时，点T在x轴负半轴上，故线段EF在 ⊙T外侧.当a=90时，如图(5)，过点E作⊙T的切线，设切 点分别为M',N',连接TM',TN',则四边形M'TW'E是正方 形，连接TE,则TE=2TW,.(1-)2+32=(-2t)2,.t= -√1-1（正值已舍）. 故当t≤-√T-1时满足题意. 个y E 、 图(5) 图(6) b.当t>0时，易知当线段EF在⊙T上方（不与⊙T相切） 和线段EF在⊙T内部(EF与⊙T无公共点)时，满足题意. 当EF在⊙T上方且=90°时，过点T作EF的垂线，垂足 为G,如图(6)，过点G作⊙T的切线，设切点分别为M”,W", 连接TM”,TW",则四边形M"TN"G是正方形，∴GT=√2TN", =3-9 当⊙T与EF相切时，t=3,如图(7). y◆ E 0 图(7) 图(8) 分析可如，当受≤<3时，满足题意 当点E在⊙T上时，连接TE,如图(8)，则TE=t, 得(t-1)2+32=2,解得t=5. 分析可知，当t>5时，满足题意。 综上，的取值范围为：≤--1,3≤<3或>5第二部分菲选择翻 2025年北京市初中学业水平考试 一，填交语共16分.每顶2分1 a不停学 一3在实数范围内有意义，则实数x的取值是 数学 11.方程2。+上=0的解为 12某地区七年级共有2000名男生为了解这些明生的体重指数()分布情祝.从中随机拍最了0名男 19已知a+-3=0求代数，2：的值 (济分00分，考试时闻120分钟) 生，测得他们的数超单位：km),并据士年级男生体质健标准聚理妇下： 第一部分选择题 等级 (体重 正 肥祚 B)01 G15.4 15.5=22.12.2w24.9 325.0 五择莽急能又是中心对称图形的是 人数 6 15 4 20.图，在△1BC中，D,E分别为B,AC的中点，DF1BC,垂足为P,点6在DE的延长线上，Dc=FC 据以上有 控惠荷开该德区七年级2000名男生中等级为正常的人 2“是枝命题的 组实数a,的值为 ,6= 14.湾学料试题如图，⊙0是地球的示意图，其中B表示本道，CD,分别表示北同归线和 地心0.此时点处的友 2实数：，6在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 阳高度角∠F即平行于D的光线HF与⊙0的切线？所成的锐角)的大小为 A.>-1 Bg+6=0 G.m-6>0 D.lol 161 3.若一个六边形的每个内角挥是，则x的值为 B.90 G.120 D.150 不连界单甜数效球和1个白味，这些球除颜色外无其他差现从袋子中的 21,在平面直角坐标系x中，函数y=kx+(*0)的图像经过点(13》和(25) 4. (2)当x<1时，对于x的每一个值.函数y=(m≠0)的值诉小于函数y=g+b的值，也小于两数 B. C. D.2 y=x+k的值，直接写出柄的取值范丽 5若关于的一元二次方程+2+1=0有岗个相等的实数.则实数的值为 6.025年5月29日，行星架工程天问二号测器在西昌卫爱射中 功发射，开自对近地小行星 16,某企业研爱并生产了一种新设备，计划分配给A.B,C,D四家经铸商销售.当一家经练商将分配到的n台 216H03的探测与采样返回之己知该小行屋与地球的最近距离约为月球远地点乖真的45，月 设备全部售出后，企业从该经销商处使得的利润（单位：万元）与”的对应关系如下： 球远地点距离的为4×10k■，则小行与地球的最近距高约为 n-1-2&-3=4 5 =6 41g×1L e1g￥1 A 40 个1发y自3是 01.×10"k 22.北京风筝制作技艺是国家级季物质文化遗产为剂作一只京燕风筝，小明雅各了五根直竹条（如图 7.如图.∠M0N=00°，点A在射线0M上，以点0为心.04长为半径画弧，交9射线0N于点B.若分 30 55 0 10W (1)):一根们条，两根等长的榜条知两根等长的尾条.色将门条和膀条分划烤弯后与尾条一起扎成 期以点A,B为圆心，AB长为半经烈，两汇在∠MON内部交于点C,连接AC,则∠0AC的大小为 0 800 风第的骨架（如图(2）)，其头部有，胸度高与尾部高的比是1：：2已知单根磅条长是胸度高的5 A,80 B.100 G.110 D.120 1438626110134, 倍，门条比单裂跨条短10©m,图(1)中C的长是门条长的号4B,CD的长均等于期腹高.求这只风 (1》如果金业将5台设备分配命这四家经销商销售，且可家经销商军少分配到1台设备，为使5台设备挥 筝的情架的总高。 企 (2)如 分配给这四家经情高中的一家或多家销售，么6台设备都售出后，企业可获得 17一1题每题5 17.计算：1-3引+27+(2)-2in30 用，在平面直角华标系0B分别款正半事的.形是形，雨y 图2 ,(x>0》的图象与边AC交于点M,与边C交于点(M,x不重合).给出下面四个结论： ①△C0W与△CON的积一定相等：②△WON与AHCX的面积可能相等： 3△1W0N一定是锐角三角形：④△1W0N可能是等边三角形 上述结论中，所有正貌站论的序号是 A.[D B.4 C.2 D.2④ 第52页 23.校田径队教练达出甲，乙，内.丁四名运动员参加100米比赛对这列名运动员最近10次10米跑测 25工工对新负工进行来种工艺品湖作的培训，在字建理论学习后，新负工核下来先使用程能辅驰调练系滋 ,点D在射线C上，连接AD,将线段AD经点A道时针旋转 下面给出了部分信心 甲，乙两名运动员0次测试成的折线图 日制成的合格品的个数为，额据以往的培经，对于给定的T可以认为是的雨当T=0和T= 过点E作A，交直线C于点 1如图(1) 3时，部分数据如下 《2)如图(2)，点D.F都在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系，并证明 0123456789 28 1-0时的值781012602325 124 22 22 7-3时y的单263745m4w03152 T。3时、从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个段逐新被少或保持 2 2十十十寸寸古十才专布数学号 对于给定的T,在平直直角坐标系x中描出该T值下各数对(x,x)所型 .丙云动月D次试者清 对应的点，并据变化趋势用平滑曲莲接，得到曲线C背T=」和 12412.412.512.712.812812.812.812.912.9 。四名运动员10次调试成绩的平均数，中位数，方差： 甲 乙 图(1) 图(2) 平均 2.5 125 125 (3)新员工小云和小跨刚刚完成理论学习，接下来进行模拟第习和 法H 中2数 12.5 128 1245 ①若新员工单日制成不少于45个合格品博可获得“优秀学员“正 方是 a056 0034 0.056 书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第 (1)表中m的值为 日可获得“优秀学员”证书： 0056(填>=“或”<" 理论学习后的4日内制成的合格品的 式评估这四名运动员的实 力强弱：首先比较平均 函数关系，在这4口中应安排小先进行 28.在平面直角坐标系仍中，对于点A和QC给出如下定义：若QC上存在两个不同的点M,N,对于 @C上任意满足AP=AQ的两个不同的点P,Q,都有∠PAQ亏∠AN,则称点A是⊙C的关联点，称 方差较小者实力更强：若平均数，方旅分划相 ∠AN的大小为点A与⊙C的关联角度.（本定义中的所均指领角，直角，纯角或平角） (1如图，⊙0的牛径为 ①在点4，(5,0)4（，0），4(2,0)中.点 是⊙0的关联点且其与⊙0的关联角度小 (2)已知点E1,3).下4.3)，八1,0).OT经过原点，找段F上所有的点都是⊙T的关联点.记这些 28在平面直角坐标系0中，是物线y=+:+{体0)经过点0和点A(3,3) 点与⊙T的关联角度的量大值为若0°a≤10°直接写出上的取值范围. 24.如图.过点P作 0的条切线，切点分别为A,B,连接01,0B,0,取0P的中点,连接4C并延 物战于点,交直线y=于点 (求证：08 2是即在点P从运动到点B(2a.0)的过中，MN的长随OP的长的弹大而增大，求a的取值 〔2》延长ON交DB的延长线于点E若AP=1D,n∠AP=亏，求DE的长 第53页